3.5. El teorema de Stokes.

5. El teorema de Stokes.

En esta sección estudiaremos otro de los teoremas clásicos del análisis vectorial: el teorema de Sto-kes. Esencialmente se trata de una generalización del teorema de Green a superficies regulares de

3

,

\ no necesariamente planas. En el teorema de Green la curva frontera ha de estar orientada posi-tivamente. Para poder establecer el teorema de Stokes necesitamos dar un convenio que determine cuál es el sentido adecuado en el que debemos recorrer el borde de una superficie parametrizada. Lo que haremos será trasladar al borde de la superficie el sentido positivo de recorrido de la frontera de la correspondiente región de parámetros mediante la parametrización.

Sea D⊆\2 una región simplemente conexa limitada por una curva de Jordan C_* formada por ar-cos regulares orientada positivamente. Sea

(

)

2 3

: ( , ) ( , ) ( , ), ( , ), ( , )

S u v ∈ ⊆D \ →S u v = x u v y u v z u v ∈\

una superficie parametrizada simple y regular con derivadas parciales segundas continuas. Sea

(

)

2

*: [ , ] *( ) ( ), ( )

C t∈ a b ⊆ →\ C t = u t v t ∈\ una parametrización regular de la frontera de la región

.

D Recordemos que la frontera de la superficie S es la curva C:=S C( _*), es decir,

(

)

(

)

3

*

: [ , ] ( ) : ( ) ( ), ( )

C t∈ a b →C t =S C t =S u t v t ∈\

es una parametrización de la curva C, que es la frontera de la superficie S. Observemos además que se verifica que

(

)

(

)

(

)

* * * * * * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ), ( ( )) ( ) ( ( )) ( ), ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) . u v

u v u v u v

C t S C t u t S C t v t

x C t u t x C t v t y C t u t y C t v t z C t u t z C t v t

′ = ′ + ′

′ ′ ′ ′ ′ ′

= + + +

para todo t∈[ , ].a b

Consideremos ahora un campo vectorial F =( , , )P Q R con derivadas parciales continuas definido en S. Vamos a calcular la integral de línea ,

C

F dC⋅

∫

v

donde C se orienta con la orientación que le induce la superficie ,S es decir, la orientación dada por la parametrización descrita anteriormente.

Observemos que ( , 0, 0) (0, , 0) (0, 0, ) .

C C C C

F dC⋅ = P ⋅dC+ Q ⋅dC+ R dC⋅

∫

∫

∫

∫

v

v

v

v

Sólo calcularemos

la priemra de las tres integrales. Las restantes se calculan de forma similar.

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

[ ]

(

)

* * * * * * * * * *

( , 0, 0) ( ) , 0, 0 ( )

( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Teorema ( ) , ( ) ( ) , de Green . b C a b u v a b

u v u v

a C

u v v u

D

P dC P C t C t dt

P x C t y C t z C t x C t u t x C t v t dt

Px C t Px C t C t dt Px Px dC

Px Px dudv

Vamos a calcular ahora las derivadas parciales ∂_u

[ ]

Px_v y ∂v

[ ]

Pxu . Obtenemos que

[ ]

[ ]

(

)

[ ]

[ ]

(

)

,

.

u v u v vu x u y u z u v vu x u v y u v z u v vu

v u v u uv x v y v z v u uv x v u y v u z v u uv

Px P x Px P x P y P z x Px P x x P y x P z x Px Px P x Px P x P y P z x Px P x x P y x P z x Px

∂ = ∂ + = + + + = + + +

∂ = ∂ + = + + + = + + +

Entonces, teniendo en cuenta que la parametrización S es de clase C2 y, en consecuencia xuv =xvu, obtenemos que

[ ]

[ ]

(

)

(

)

(

)

( , ) ( , ) ( , )

0, , , , .

( , ) ( , ) ( , )

u v v u y u v v u z u v v u z y

y z z x x y

Px Px P y x y x P z x z x P P

u v u v u v

⎛∂ ∂ ∂ ⎞

∂ − ∂ = − + − = − _{⋅⎜ ⎟}

∂ ∂ ∂

⎝ ⎠

Entonces

(

, 0, 0

)

(

0, _z, _y

)

(

_{u v}

)

(

0, _z, _y

)

.

C D S

P ⋅dC= P −P ⋅ S ×S dudv= P −P ⋅NdS

∫

∫∫

∫∫

v

De la misma forma se establece que

(

0, , 0

)

(

_z, 0, _x

)

C S

Q ⋅dC= −Q Q ⋅NdS

∫

∫∫

v

y también se puede

probar que

(

0, 0,

)

(

_y, _x, 0

)

.

C S

R ⋅dC= R −R ⋅NdS

∫

∫∫

v

Sumando las tres igualdades obtenemos la

fór-mula de Stokes, es decir, rot .

C S

F dC⋅ = F N dS⋅

∫

∫∫

v

El enunciado preciso del teorema que hemos

probado es el siguiente.

TEOREMA (STOKES). Sea D⊆\2 una región simplemente conexa limitada por una curva de Jordan *

C formada por arcos regulares. Sea S una superficie parametrizada simple y regular con derivadas parciales segundas continuas. Sea C la frontera de S. Sea F un campo vectorial con derivadas

parciales continuas definido en S. Entonces rot ,

S C

F N dS⋅ = F dC⋅

∫∫

v

∫

donde la curva C se

re-corre en el sentido que resulte de rere-correr C* en el sentido positivo y componer con la parametriza-ción de la superficie.

OBSERVACIÓN. 1) Si escribimos el campo vectorial F =

(

P Q R, ,

)

componente a componente,

en-tonces el teorema de Stokes se reescribe de la forma

( y z) ( z x) ( x y) .

C S

Pdx Qdy+ +Rdz= R −Q dy∧dz+ P −R dz∧dx+ Q −P dx∧dy

∫

∫∫

v

EJEMPLO. Vamos a calcular directamente y por el teorema de Stokes la integral

2 2

3 4 ,

C

yz dx+xz dy+ xyzdz

∫

v

siendo C la intersección del paraboloide z=x2+y2 con el cilindro x2+y2 = y. Seguidamente da-remos una parametrización del trozo de paraboloide S cuyo borde es la curva C. Si consideramos la proyección de S sobre el plano OXY, esto es, D:=

{

( , )x y ∈\2:x2+y2 ≤y

}

, podemos tomar como parametrización S: ( , )x y ∈ ⊆D \2 →S x y( , )=

(

x y x, , 2+y2

)

∈\3, con lo que tenemos que

(

)

( , ) 1, 0, 2

x

S x y = x y S x y_y( , )=

(

1, 0, 2y

)

. Por tanto, S x y_x( , )×S x y_y( , )= −

(

2 , 2 ,1 .x − y

)

Considere-mos el campo vectorial F x y z( , , )=

(

3yz xz2, 2, 4xyz

)

cuyo rotacional vale

(

2

)

rotF x y z( , , )= 2xz, 2yz, 2− z .

Denotemos ahora por C₁ la frontera del conjunto D. Considerando coordenadas polares tenemos la siguiente parametrización de dicha frontera C₁:θ∈[0, ]π →C₁( )θ =(sen cos , senθ θ 2θ)∈\3. Te-niendo esto en cuenta, una parametrización de la curva C viene dada por

(

2 2

)

3

: [0, ] ( ) sen cos , sen , sen .

C θ∈ π →C θ = θ θ θ θ ∈\

Por comodidad fijamos la orientación en C que se obtiene con la parametrización anterior. Enton-ces tenemos que C′( )θ =

(

cos2θ−sen2θ, 2 sen cos , 2 sen cosθ θ θ θ

)

. Comencemos calculando la

in-tegral de línea .

C

F dC⋅

∫

v

Tenemos que

(

)

6 8

0 0 0

5

( ) ( ) 13 sen 16 sen .

16

C

F dC F C C d d d

π π π _π

θ ′θ θ θ θ θ θ

⋅ = ⋅ = − = −

∫

∫

∫

∫

v

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2

rot rot ( ( , )) ( 2 , 2 ,1)

2 ( ), 2 ( ), 2( ) ( 2 , 2 ,1)

4 ( ) 4 ( ) 2( )

( )4( ) 2( )

cos 6 sen S D D D D D

F NdS F S x y x y dxdy

x x y y x y x y x y dxdy

x x y y x y x y dxdy

x y x y x y dxdy

x r x y dxdy

y r θ θ ⋅ = ⋅ − − = + + − + ⋅ − − = − + − + − + = − + + + + = ⎡ = − + = = ⎣

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

(

sen 4 0 0 sen 6 6 0 0 0 6 5 sen . 16

r rdr d

r d d

π θ

π _θ π

θ

π

θ θ θ

⎤_{= −} ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎦ ⎤ = − _⎦ = − = −

∫ ∫

∫

∫

Podemos observar que la curva C está contenida en el plano z=y y rodea una superficie S con la misma frontera, que está parametrizada por S x y( , )=( , , ),x y y donde ( , )x y ∈D. Entonces tenemos que S x y_x( , )×S x y_y( , )=(0, 1,1).− Teniendo esto en cuenta, también podemos calcular la integral de superficie del rotacional de la siguiente forma

(

2 2 2 2 2

sen sen

2 2 2 3

0 0 0 0

sen

2 4 6

0

0 0

rot (2 , 2 , 2 ) (0, 1,1) ( 2 2 ) 4

cos

4 sen 4 sen

sen

5

sen sen .

16

S D D D

F NdS xy y y dxdy y y dxdy y dxdy

x r

r rdrd r dr d

y r

r d d

π θ π θ

π _θ π

θ

θ θ θ θ

θ

π

θ θ θ θ

⋅ = − ⋅ − = − − = − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥}= − = − _{⎢ ⎥} = _{⎣ ⎦} ⎣ ⎦ ⎤ = − _⎦ = − = −

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

Relación entre los teoremas de Stokes y de Green. Sea G x y( , )=

(

P x y Q x y( , ), ( , )

)

un campo pla-no definido en una región D⊆\2. Consideremos ahora el campo F x y z( , , )=

(

P x y Q x y( , ), ( , ), 0

)

y la superficie D considerada en el plano OXY de \3. Es fácil comprobar que

(

)

rotF x y z( , , )= 0, 0, rotG x y( , ) .

Entonces, el teorema de Stokes se reduce al teorema de Green. Para comprobar esto observemos que una parametrización de D⊆\3 viene dada por S: ( , )x y ∈ ⊆D \2 →S x y( , )=( , , 0)x y ∈\3, con lo que el producto vectorial fundamental es S x y_x( , )×S x y_y( , )=(0, 0,1). Entonces

rotF x y S x y( , )⋅ _x( , )×S x y_y( , )=rotG x y( , ),

luego rot rot .

S D

F N dS⋅ = Gdxdy

∫∫

∫∫

Por otra parte, si consideramos una parametrización

(

)

2

*: [ , ] *( ) ( ), ( ) C t∈ a b ⊆ →\ C t = x t y t ∈\

(

)

3

: [ , ] ( ) ( ), ( ), 0

C t∈ a b →C t = x t y t ∈\

es una parametrización de de la frontera C de la región D⊆\3. Teniendo esto en cuenta llegamos

a la conclusión de que *.

C C

F dC⋅ = G dC⋅

∫

∫

v

v

Teorema de Stokes para superficies orientables. El teorema de Stokes se puede extender a algu-nas superficies compuestas por dos o más superficies parametrizadas simples y regulares que sólo tienen en común parte de su frontera.

Es tremendamente difícil hacer un estudio riguroso de este tema por lo que sólo haremos una des-cripción geométrica del mismo. Llamemos arista a cada trozo del borde común a dos superficies simples adyacentes, por ejemplo, S1 y S2. La dirección del vector normal unitario en S1 indica,

mediante la regla del sacacorchos, la orientación positiva inducida en la arista por S₁ y lo mismo ocurrirá con S₂. Se dice que la superficie global es orientable si es posible elegir una orientación en cada superficie simple de manera que cada dos superficies simples adyacentes induzcan en las aris-tas comunes orientaciones opuesaris-tas. Si esto es posible y se hace, entonces se dice que la superficie global está orientada. La frontera de la superficie global es la unión de las fronteras de cada una de las superficies simples que la componen exceptuando las aristas comunes. Por ejemplo, la frontera de la figura está formada por los arcos de curva AB, BC, CD, DE, y EA.

Si se define la integral de un campo sobre una superficie global orientada como la suma de las inte-grales en cada una de las superficies simples que la componen entonces, al aplicar el teorema de Stokes, la integral de superficie es igual a la integral de línea a lo largo de su frontera global orien-tada (con el convenio establecido) con respecto a la orientación que se haya fijado en la superficie porque las integrales sobre las aristas comunes aparecen dos veces con orientación opuesta y se cancelan. Así obtenemos el siguiente resultado.

TEOREMA (STOKES). Sea S una superficie orientada en \3 y F un campo vectorial con derivas

parciales continuas definido en S. Entonces rot ,

S C

F N dS⋅ = F dC⋅

∫∫

v

∫

donde C es la frontera de

la superficie S con la orientación positiva inducida por la orientación fijada en S. En particular, si

S es una superficie cerrada entonces rot 0.

S

F N dS⋅ =

EJERCICIO 1. Sea C la curva intersección del elipsoide de ecuación 2 1 2 2 1 2

x + y +z = con el plano 2 .

y= − z Calcula la integral de línea ,

C

F dC⋅

∫

siendo F x y z( , , )= − +

(

y cos( ), ,ex y z

)

.

EJERCICIO 2. Sea C la curva cerrada formada por los arcos C1 y C2 que se describen a

continua-ción: el arco C1 es la intersección del cono

2 2 2

( 1)

z = x− +y y la superficie esférica unidad en el primer octante y el arco C₂ es la intersección del plano OXZ con la superficie esférica unidad

tam-bién en el primer octante. Calcular 2

C

ydx+ xdy+zdz

∫

v

y comprueba el resultado haciendo uso del

teorema de Stokes.

EJERCICIO 3. Comprueba las siguientes igualdades usando el teorema de Stokes, explicando el

sen-tido de recorrido de C en cada caso.

(1) ( ) ( ) ( ) ( 2 ),

C

y−z dx+ −z y dy+ −x y dz= −πa a+ b

∫

v

donde C es la intersección del cilindro de

ecuación x2+y2 =a2 con el plano de ecuación bx+az=ab (siendo a b, >0).

(2) ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2) 2 2,

C

y +z dx+ z +x dy+ x +y dz= πab

∫

v

donde C es la intersección del hemisferio

norte de x2+y2+z2 =2ax y el cilindro x2+y2 =2bx, siendo 0< <b a.

(3) ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2) 3 3,

2

C

y −z dx+ z −x dy+ x −y dz= − a

∫

v

donde C es la intersección del plano

3 2

a

x+ + =y z con el cubo de lado a en el octante positivo.

EJERCICIO 4. Sea C la curva intersección del cilindro de ecuación x2+(y−1)2 =1 con el hemisfe-rio esférico x2+y2+z2 =4 y z≥0. Considera el campo vectorial F x y z( , , )=

(

xz x2, −2 ,y x z2

)

. (1) Halla una parametrización de C usando coordenadas cilíndricas con respecto al centro de la base del cilindro en el plano OXY.

(2) Calcula, aplicando directamente la definición, la integral de línea de F en ,C indicando el sen-tido de recorrido de la curva que tomes.

(3) Comprueba el resultado del apartado anterior usando el teorema de Stokes.

EJERCICIO 5. Sea U el cono sólido definido por U:=

{

( , , )x y z ∈\3: 2 x2+y2 ≤ ≤z 4

}

y sea S

la superficie exterior de U (incluida la tapa).

(1) Dibuja el cono U junto con sus proyecciones sobre los planos coordenados.

(3) Halla sendas parametrizaciones de los arcos C₁ y C₂ que constituyen la curva cerrada C.

(4) Dado F x y z( , , )=

(

x y z, , 2

)

, calcula la integral de línea de F en C indicando el sentido de re-corrido de la curva C que tomes.

(5) Elige una superficie adecuada y comprueba el resultado del apartado anterior usando el teorema de Stokes.

EJERCICIO 6. Sea S la porción del elipsoide

2

2 2

1 4

y

x + +z = comprendida en el octante positivo. Sea C la curva cerrada que limita dicha superficie recorrida en sentido negativo vista desde el

ori-gen de coordenadas y sea F x y z( , , )=

(

y x z, 2,

)

. Calcula la integral

C

F dC⋅

∫

v

directamente y

apli-cando el teorema de Stokes.

EJERCICIO 7. Sea S la porción del cono z= −1 x2+y2 comprendida en el octante positivo. Sea

C la curva cerrada que limita dicha superficie recorrida en sentido negativo vista desde el origen de

coordenadas y considera el campo F x y z( , , )=(y2,1, ).z Calcula la integral

C

F dC⋅

∫

v

directamente