Modelos Multifractales de Precipitaci´
on
Oscar J. Mesa S.
Facultad de Minas Universidad Nacional de Colombia
Contenido
1 Conjunto de Cantor
2 Dimensi´on de Fractales Auto-semejantes 3 Sistema de Funciones Iteradas
4 Hausdorff-Besicovitch 5 Dimensi´on de Cajas 6 Multifractales
7 Cascadas Multiplicativas 8 Bibliograf´ıa
Contenido
1 Conjunto de Cantor
2 Dimensi´on de Fractales Auto-semejantes
3 Sistema de Funciones Iteradas 4 Hausdorff-Besicovitch
5 Dimensi´on de Cajas 6 Multifractales
Contenido
1 Conjunto de Cantor
2 Dimensi´on de Fractales Auto-semejantes
3 Sistema de Funciones Iteradas
4 Hausdorff-Besicovitch 5 Dimensi´on de Cajas 6 Multifractales
7 Cascadas Multiplicativas 8 Bibliograf´ıa
Contenido
1 Conjunto de Cantor
2 Dimensi´on de Fractales Auto-semejantes
3 Sistema de Funciones Iteradas
4 Hausdorff-Besicovitch
5 Dimensi´on de Cajas 6 Multifractales
Contenido
1 Conjunto de Cantor
2 Dimensi´on de Fractales Auto-semejantes
3 Sistema de Funciones Iteradas
4 Hausdorff-Besicovitch
5 Dimensi´on de Cajas
6 Multifractales
7 Cascadas Multiplicativas 8 Bibliograf´ıa
Contenido
1 Conjunto de Cantor
2 Dimensi´on de Fractales Auto-semejantes
3 Sistema de Funciones Iteradas
4 Hausdorff-Besicovitch
5 Dimensi´on de Cajas
6 Multifractales
Contenido
1 Conjunto de Cantor
2 Dimensi´on de Fractales Auto-semejantes
3 Sistema de Funciones Iteradas
4 Hausdorff-Besicovitch
5 Dimensi´on de Cajas
6 Multifractales
7 Cascadas Multiplicativas
8 Bibliograf´ıa
Contenido
1 Conjunto de Cantor
2 Dimensi´on de Fractales Auto-semejantes
3 Sistema de Funciones Iteradas
4 Hausdorff-Besicovitch
5 Dimensi´on de Cajas
6 Multifractales
7 Cascadas Multiplicativas
Conjunto de Cantor
Sea E0 el intervalo [0,1]
Remueva el tercio medio (13,23) y seaE1 la uni´on de los
intervalos [0,13] y [23,1]
SucesivamenteEn se obtiene deEn−1 removiendo el tercio
medio de cada intervalo y tomando la uni´on de los 2n
intervalos resultantes, cada uno de longitud 3−n
El conjunto de Cantor es el conjunto P =T∞
n=1En
Algunos elementos
0,1,1/3,2/3,1/9,2/9,7/9,8/9, . . . ,1/4, . . .
Cantor Dimensi´on SFI Hausdorff Dimensi´on Caja Multifractales Cascadas Bibliograf´ıa
Construcci´
on conjunto de Cantor
⌦ = 2
⌦ = 1
⌦ = 2
⌦ = 1
⌦ = 2
⌦ = 1 ⌦ = 2 ⌦ = 3 ⌦ = 4 ⌦ = 5
Propiedades
P no es vac´ıo, es cerrado y acotado, por lo tanto compacto
Ning´un intervalo de la forma (3k3+1m ,3k3+2m ), con k ym enteros
no negativos, tiene puntos en com´un con P
Como todo segmento (α, β) contiene un segmento de la
anterior forma si 3−m <(β−α)/6, entoncesP no contiene segmentos.
P es perfecto, pues no contiene puntos aislados. Seax∈P y
S un segmento que lo contenga. Sea In el intervalo de En que
contiene a x, Tomen suficientemente grande para garantizar
que In⊂S, y sea xn un punto extremo deIn, tal que x 6=xn.
Por tanto xn∈P y por tanto x es un punto l´ımite de P
Propiedades
µ(P) = l´ımn→∞2n3−n= 0
P es no contable
P es auto-semejante
P tiene estructura fina. Si lo magnificamos le vemos m´as
vac´ıos. Sin embargo, su definici´on es simple
La definici´on de P es recursiva. Su geometr´ıa no es cl´asica, es muy irregular
P consiste de todos los puntosx∈[0,1] que no tienen 1s en
su representaci´on en base 3. Esto implica queP es no contable
Provisional: Un conjunto es Fractal si
Tiene estructura fina. Si lo magnificamos le vemos m´as
detalles
Su geometr´ıa es muy irregular para ser descrita en t´erminos cl´asicos, tanto a escala local como global
Es auto-semejante, o aproximadamente auto-semejante, al menos en un sentido estad´ıstico
P Sin embargo, su definici´on es simple en la mayor´ıa de los casos
En la mayor´ıa de los casos su dimensi´on es mayor que la
dimensi´on topol´ogica y no es entera
Koch
L
n= (4/3)
nFigure 1: Curva Koch
3
Koch
Figure 1: Curva de Koch, ordenes 1, 2, 3, 4 y 5. En cada orden la longitud del paso se reduce a la mitad del anterior
1
Construcci´
on del tri´
angulo de Sierpinski
Figure 1: Tringulo de Sierpinski, ordenes 1, 2, 3, 6 y 8. En cada orden la longitud del paso se reduce a un tercio del anterior
1
Construcci´
on de curva de Peano
Figure 2: Curva de Peano
4
Construcci´
on de curva de Hilbert
Figure 1: Curva de Hilbert, ordenes 1, 2, 3, 4 y 5. En cada orden la longitud del paso se reduce a la mitad del anterior
1
Construcci´
on de ´
arbol de Pit´
agoras
Figure 3: ´Arbol de Pitagoras
5
Construcci´
on de curva de Gosper
⌦ = 1
⌦ = 2
⌦ = 3
⌦ = 4
2 ⌦ = 1
⌦ = 2
⌦ = 3
⌦ = 4
2 ⌦ = 2
⌦ = 3
⌦ = 4
2
Construcci´
on de curva del drag´
on
⌦ = 1 ⌦ = 2 ⌦ = 3 ⌦ = 4
⌦ = 5
⌦ = 6
⌦ = 7
⌦ = 8
1 ⌦ = 1 ⌦ = 2 ⌦ = 3 ⌦ = 4
⌦ = 5
⌦ = 6
⌦ = 7
⌦ = 8
1 ⌦ = 1 ⌦ = 2 ⌦ = 3 ⌦ = 4
⌦ = 5
⌦ = 6
⌦ = 7
⌦ = 8
1 ⌦ = 3 ⌦ = 4
⌦ = 5
⌦ = 6
⌦ = 7
⌦ = 8
1
Planta Fractal
Figure 1: ´Arbol Fractal
1
Teorema de Pit´
agoras
∠CAB =∠CDA=⊥
4ABC ∼ 4ABD∼ 4ADC
f1 = Factor de escala
4ABD/4ABC =c/a
f2 = Factor de escala
4ADC/4ABC =b/a
Factor de escala para ´
areas es el cuadrado del factor de escala para longitudes
Sea z =µ(4ABC),
por suma tambi´en
z =z(b/a)2+z(c/a)2
a2 =b2+c2
Dimensi´
on de Auto-semejanza
Ley potencial
Para conjuntos auto-semejantes la relaci´on entre el n´umero N de
objetos re–escalados y el factor de reducci´onr =λ−1 sigue una ley
de potencia
N=rD =λ−D
Sea D la dimensi´on de un conjuntoE yµD(E) su “volumen”.
El conjunto re–escalado r−1E =λE tiene “volumen”
µD(r−1E) =µD(λE) =r−DµD(E) =λDµD(E)
Por lo tanto para un conjunto auto-semejante de dimensi´on
D, que es igual a N copias re–escaladas de ´el mismo, se tiene
µD(E) =NµD(r−1E) =Nr−DµD(E) →N=rD =λ−D D = lnN
lnr =
lnN
Dimensi´
on Auto-semejanza
La dimensi´on de la curva de Koch es ln 4/ln 3≈1,26
Transformaciones Auto-semejantes
Un mapa S :Rn→Rn es una contracci´on si hay un real
positivo f <1 tal que|S(x)−S(y)| ≤f|x−y|para todo
x,y∈Rn. Si es una igualdad, entonces la contracci´on es
semejante, S transforma un conjunto en otros semejante.
Una colecci´on finita de contracciones{S1,S2, . . . ,Sm}para
m≥2 es un sistema de funciones iteradas (SFI):
S(F) =∪m i=1Si(F)
Un conjunto compacto no vac´ıo F es un atractor (un conjunto
invariante) de SFI si
F =
m
[
i=1
Si(F)
Para el conjunto de Cantor
Transformaciones Autosemejantes
Es posible definir una distancia en C, la colecci´on de todos los
subconjuntos compactos de Rn y demostrar que un SFI con
contracciones auto-semejantes con factores de escala
f1, . . . ,fm tiene un ´unico atractor F tal que
F =
m
[
i=1
Si(F).
M´as aun, si se define la transformaci´onS(E) =∪m i=1Si(E)
para cualquier conjuntoE ∈ C, entonces
F =
∞
\
k=0
Sk(E)
si Si(E)⊂E para todo i, donde S0 =I,Sk =S(Sk−1), son los iterados de S
dim(F) =s, la soluci´on de Pm
i=1fis = 1
Transformaciones Auto-afines
Una transformaci´onS :Rn→Rn es auto-af´ın si es de la
forma S(x) =T(x) +b dondeT es una transformaci´on lineal
(una matriz) y b un vector.
La transformaci´on corresponde a traslaci´on, rotaci´on, cambio de escala probablemente diferente a lo largo de cada
coordenada
Una colecci´on finita de transformaciones auto-afines
{S1,S2, . . . ,Sm}para m≥2 es un sistema de funciones
iteradas (SFI).
Tambi´en hay atractores, algunas relaciones para la dimensi´on
Helecho
Barnsley, 2000, p. 86. En R2, para i = 1, . . . ,N
Si(x) =Aix+ti,
Si x1 x2 =
ai bi ci di x1 x2 + ei fi .
i ai bi ci di ei fi pi
1 0 0 0 0,16 0 0 0,01
2 0,85 0,04 −0,04 0,85 0 1,6 0,85
3 0,20 −0,26 0,23 0,22 0 1,6 0,07
4 −0,15 0,28 0,26 0,24 0 0,44 0,07
C´
alculo del atractor, 1
Procedimiento determin´ıstico
Aplicar iterativamente el sistema de transformaciones a partir
de un conjunto compacto inicial F0 ⊂R2,
Fn+1=S(Fn) =∪Ni=1Si(Fn), para n= 1,2, . . .
La sucesi´on de conjuntos compactos{Fn;n =n= 1,2, . . .} es
convergente al atractor F, punto fijo del sistema de funciones
Meandro
C´
alculo del atractor, 2
Procedimiento estoc´astico
Asociada aSi,i = 1, . . . ,N, hay una probabilidad pi, tal que
P
pi = 1
Suponga un punto inicial x0 ∈R2
Para n= 1,2, . . . se aplica recursivamente la transformaci´on
xn+1 =Skn(xn),
donde kn,n= 1,2, . . . son realizaciones independientes de variable aleatoria K, con posibles valores 1,2, . . . ,N con probabilidad p1,p2, . . . ,pN
helecho, 50k y 500k iteraciones
Teorema del Collage
Problema inverso: encontrar transformaciones
Si,i = 1, . . . ,m, tales que atractor F aproxime un E dado.
Estrategia: cubrir E con conjunto peque˜no de copias
deformadas, tan exactamente como sea posible,
d(E,∪m
i=1Si(E))< . Teorema (Teorema del Collage)
Dado un compacto E ∈ C(Rn), un SFI compuesto por
Si :Rn→Rn,i = 1, . . . ,m con factor de contracci´on0<s <1, con atractor F =∪m
i=1Si(F) =S(F), y si adem´as la distancia de Hausdorff entre el conjunto objetivo E y su imagen bajo el SFI es d(E,S(E))< ; entonces la distancia de Hausdorff entre el conjunto objetivo E y el atractor F del SFI es
d(E,F)≤
Interpolaci´
on Fractal, 1
Y ={z0= (x0,y0),z1 = (x1,y1), . . . ,zn= (xn,yn)} n+ 1 puntos deR2, es decirxi ∈R,yi ∈Ryzi ∈R2 n ≥2,x0≤x1 ≤. . .≤xn yx0 6=xn
∆xi =xi+1−xi, y ∆yi =yi+1−yi
Tradicionalmente m´ınP
(h(xi)−yi)2
O tambi´en una funci´on suave h tal queh(xi) =yi para i = 0,1, . . . ,n
Interpolaci´
on Fractal, 2
Si(x) =Aix+ti,
Si x1 x2 = ai bi ci di
x1 x2 + ei fi .
Si(z0) =zi−1 ySi(zn) =zi, parai = 1,2, . . . ,n
ai =
∆xi−1
xn−x0
, bi = 0, ci =
∆yi−1
xn−x0
−di
yn−y0
xn−x0
ei =xi −aixn, fi =yi−cixn−diyn.
Interpolaci´
on Fractal, 3
El SFI tiene un ´unico atractor F tal que
F =
m
[
i=1
Si(F).
F corresponde al gr´afico de la funci´on de interpolaci´onh, es decir
F ={(x,h(x));x∈[x0,xn]}.
Adem´as se garantiza queh(xi) =yi parai = 0,1, . . . ,n.
La dimensi´on fractal del atractorF es la ra´ızD, soluci´on de
Pn
i=1|di|aDi −1 = 1,dado quePni=1|di|>1,
Adem´as que no todos los puntos a interpolar sean colineales.
Si no D= 1.
Interpolaci´
on fractal,
Interpolaci´
on fractal,
d
i= 0,
Splines de orden 1
Seis iteraciones de interpolaci´
on fractal,
Familia interpolaci´
on fractal,
{
z
i}
= (0,
0),
(1,
1),
(2,
1),
(3,
2)
Si ∆xi =cte, entoncesai = 1/n yD= 1 +log
P|
di|
logn ,fijando D= 1,3 y P
|di|=ND−1 miembros de la familia
Familia interpolaci´
on fractal,
{
z
i}
= (0,
0),
(1,
1),
(2,
1),
(3,
2)
Medida de Hausdorff
Definici´on
Sea U un subconjunto no vac´ıo deRn, su di´ametro es
|U|= sup{|x−y|;x,y ∈U}. Dado un conjunto F , una colecci´on de subconjuntos abiertos Uα tal que F ⊂S
αUα es una cobertura de F . Si todos los Uα tienen di´ametro menor queδ, la cobertura se denomina unaδ-cobertura. Para un n´umero no negativo s, la
medida s-dimensional de Hausdorff de F se define como
Hs(F) = l´ım
δ→0´ınf (
X
α
|Uα|s;{Uα}es unaδ-cobertura de F
)
Medida de Hausdorff
Note que el ´ınf garantiza que la cobertura sea ´optima
A medida que δ→0, la clase de posibles coberturas se
reduce, por lo tanto el l´ımite existe, aunque sea 0 o∞
Hs(∅) = 0. Si E ⊂F entoncesHs(E)≤ Hs(F). Y
Hs(S
Fi)≤P
Hs(Fi)
Para los conjuntos regulares en Rn se tiene
Hn(F) = 2nvn(F)/cn, donde cn=πn/2/Γ(1 +n/2) es el
volumen de la bolan-dimensional de radio unitario.
Si T es una transformaci´on semejante con factor de escala
Volumen de Bola Unitaria,
c
n=
π
n/2/Γ(1 +
n
/2)
Dimensi´
on Hausdorff-Besicovitch
Definici´on
La Dimensi´on Hausdorff-Besicovitch, DH, del conjunto S es el
valor cr´ıtico de s para el cualHs(F) cambia de cero a infinito:
Hs(F) =
0, s >DH
Propiedades de Dimensi´
on
Si E ⊂F entonces D(E)≤D(F)
D(E∪F) = m´ax(D(E),D(F))
Si T es una transformaci´on r´ıgida, Lipschitz o semejante,
D(T(F)) =D(F)
Si F es contable entoncesD(F) = 0
Si F es un conjunto abierto de Rn, entoncesD(F) =n, igual
una variedadm−dimensional tiene dimensi´onm
Dimensi´
on de Cajas
Cubrir el objeto con cajas (celdas) de tama˜noδ. Lam´ınima cobertura.
Se requieren N(δ) cajas. Para una curvaN(δ) =L/δ, para una superficie N(δ) =A/δ2. En general N(δ)∝δ−DB
Dimensi´
on de Regla
Longitud de la Costa de Islandia
r [km] N L=Nr [km] lnr lnL
200 6 1200 5,30 7,09
100 14 1400 4,61 7,24
80 20 1600 4,38 7,38
40 46 1840 3,69 7,52
20 112 2240 3,00 7,71
Longitud de la Costa de Islandia
1−DR =
7,9−7,3
2,3−4,5 ≈ −0,27 ⇒ DR = 1,27,c = 8,5
L(0,010)≈17000km,L(50)≈1700 km
Dimensi´
on de Cajas
N(r) =c·r−DB
Dimensi´
on de Cajas
Dimensi´
on de Cajas
DB = 1,77
Dificultades
La dimensi´on de caja de un conjunto y su clausura son iguales
En particular si F es un subconjunto denso de un conjunto
abierto G deRn, entoncesD(F) =D(G) =n. Los
fraccionarios tienen dimensi´on de caja 1, mientras que en
realidad tienen dimensi´on 0
Fuentes
K. Falconer, 1990. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley
C.J.G. Evertsz and B.B. Mandelbrot., 1992. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, Springer Verlag. (Appendix B on Multifractal Measures)
Turbulencia, Teor´ıa de Escalamiento Estad´ıstico: Kolmogorov (1941) y (1962)
Cascadas multiplicativas determin´ısticas: Sistemas din´amicos. Mandelbrot (1974)
Gupta, V.J. Notas sobre Cascadas Determin´ısticas.
Bifurcaci´on y Enjambres (Clusters)
Medidas
Distribuci´on de una “masa” sobre regiones cada vez m´as
peque˜nas. Da origen a densidades y medidas.
Sea µuna medida en Rn. Es decir cumple tres propiedades:
µ(∅) = 0;µ(A)< µ(B) siA⊂B; y si An,n = 1,2, . . .es una
sucesi´on contable de conjuntos mutuamente disjuntos
entonces
µ(
∞
[
n=1
An) =
∞
X
n=1 µ(An)
Para medidas de probabilidad se requiere adem´as que
Cascada Binomial Determin´ıstica
Proceso multiplicativo
Inicio con una masa unitaria uniformemente distribuida en intervalo unitario I = [0,1]
En el primer paso de la construcci´on divida el intervalo en dos partes iguales:I0 = [0,12] e I1= (12,1]. Redistribuya
uniformemente una fracci´onm0 de la masa para el intervalo I0
y la masa restante m1 = 1−m0 uniformemente para el
intervaloI1, sin p´erdida de generalidad seam1 ≤m0
Es decir µ(I0) =m0, µ(I1) =m1
Repita el proceso. En la segunda etapa hay 4 intervalos:
I00= [0,14], I01= (14,12], I10= (12,32], I11= (34,1]; y
redistribuya la masa como en la primera etapa, una fracci´on
m0 para el intervalo de la izquierda ym1 para el de la derecha µ(I00) =m0m0, µ(I01) =m0m1, µ(I10) =m1m0, µ(I11) =m1m1
Cascada Binomial
En la etapa k, la masa est´a distribuida en los intervalos di´adicos (i2−k,(i+ 1)2−k], coni = 0,1, . . . ,2k −1.
Denotemos este intervalo comoIk =Iβ1β2...βk, con βi ∈ {0,1}
Sea n0 el n´umero de ceros en la direcci´onβ1β2. . . βk, y n1=k−n0 el n´umero de unos
La medida en tal subintervalo es
µ(Ik) =µ(Iβ1β2...βk) =
k
Y
i=1
mβi =m
n0
0 m
n1
1
El n´umero de subintervalos con tal masa es nk
0
Densidad de 8 iteraciones de cascada
m
0= 0,7. Escala gr´
afica superior izquierda
Distribuci´
on Ingreso
Riqueza de los percentiles m´as ricos en USA seg´un censo y seg´un
cascada conm0 = 0,7 yk = 20
Percentil Observada Cascada
5 59 57
10 71 70
20 84 84
40 95 95
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Po
rcen
ta
je d
el in greso a cu mu la do
Percen<l más Rico
Lluvia
Figura:Gupta and Nordstrom, 2003
Jerarqu´ıa Escalas Lluvia
Singularidad
La medida de Lebesgue es suave, tiene densidad unitaria en todas partes
En contraste, la medida multiplicativa no es suave, no tiene densidad, de hecho va a cero o a infinito
Para el subintervalo m´as a la izquierda,
µ([0,2−k]) =m0k = (2−k)αmi, conα
mi =−log2m0.
Por lo tanto en una vecindad de 0 con radio la medida
escala comoµ([0, ])∼α, α=αmi
Por la tanto su densidad escala como α−1, y siα6= 1 tiende
a cero o a infinito cuando→0
Para el intervalo m´as a la derecha
µ([1−2−k,1]) =mk1 = (2−k)αmx, conα
Singularidad (cont.)
Por ejemplo si m0= 0,7 se tiene αmi =−log2m0 = 0,514,y αmx =−log2(m1) = 1,74.
Por lo tanto en una vecindad de 0 se tiene
µ([0, ])∼α, α= 0,514 yµ([1−,1])∼α, α= 1,74 en la
vecindad de 1.Ambas van a cero cuando →0
Y la densidad escala como−0,486 que tiende a∞, cerca a 0 y como0,74 que tiende a 0 cerca a 1.
La ´unica manera de renormalizar la medida µ([0, ]) es mediante el doble logaritmo, log(µ([0, ]))/log()
Exponente de Holder
Cuando una medida, µ, escala enV(x),una–vecindad de un
punto x, de acuerdo a una ley de potencia, cuando→0, el
exponente α se conoce como exponente de Holder, o como el
´ındice de singularidad de la medida.
α(x) = l´ım
→0
logµ(V(x))
log
En algunas aplicaciones pr´acticas se toma una aproximaci´on
gruesa del exponente de Holder como la fracci´on anterior
antes del l´ımite, para un valor suficientemente peque˜no de,
αg(x) =
logµ(V(x))
Exponente de Holder
En el ejemplo el exponente paraIk =Iβ1β2...βk es
α(β1β2. . . βk) =
logµ(Iβ1β2...βk) log 2−k
= logm
n0
0 m
n1
1
−klog 2 =
n0
k αmi+ k−n0
k αmx
Luego el exponente de Holder,αes diferente para todos los puntos.
Comom1≤m0 se tiene −log2m0 =αmi ≤α≤αmx =−log2m1.
Los valores extremos se presentan s´olo en los subintervalos m´as extremos a la izquierda y la derecha
Espectro de Singularidad
La idea es cuantificar la distribuci´on del exponente de Holder. Una
manera de entenderlo es pensar que en la etapak, se toma al azar
uno de los 2k subintervalos, y se le mira su exponente de Holder,
que se denota como la variable aleatoriaA. Por tanto,
Pr{A=α}= 2−kNk(α) = 2−k
k n0
= 2−k
k
φ(α)k
.
DondeNk(α) es el n´umero de subintervalos con exponente α y 2k
es el n´umero total de subintervalos.
α est´a determinada por la fracci´onn0/k que se denota por φ(α).
Recuerde quen0 es el n´umero de ceros en las k posiciones de la
Espectro
Aproximaci´on usando la f´ormula de Stirling
k!∼√2πkkke−k.
Para facilitar nomenclatura tome
z =φ(α) = (αmx−α)/(αmx −αmi),luego
k zk
= k!
(zk)!(k−zk)!
∼
√
2πkkke−k
√
2πzk(zk)zke−zkp
2π(k−zk)(k−zk)k−zke−(k−zk)
= (z
z(1−z)1−z)−k
p
2πkz(1−z) ∼(z
z(1−z)1−z)−k ∼(2−k)−f(z)+o(k)
Conf(z) =−log2(zz(1−z)1−z)
Espectro
Usandoz =φ(α), la renormalizaci´on log−log de la densidadρ de Pr{A=α} se puede escribir comoρ(α) =f(α)−1 usando una frecuenciaf(α)
Nk(α)∼(2−k)−f(α)
recordando quez depende de α
f(α) =− αmx−α
αmx −αmi
log2 αmx−α
αmx−αmi
− α−αmi
αmx −αmi
log2 α−αmi
αmx−αmi
El papel def como un exponente de escalamiento sugiere que es
una dimensi´on. El hecho que α toma diferentes valores, cada uno
con diferentef(α) es una de las razones para el nombre de medidas
multi-fractales. Algunas propiedades def son: Est´a definida para
α∈[αmi, αmx],f >0, tiene su m´aximo en α0= (αmx+αmi)/2, al
Espectro
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8
f(a)
a
Funci´
on de Partici´
on
Para cualquier realq, defina
S2−k(q) =
2k
X
i=1
µq(Iik) =
k X r=0 k r
mrq0 m1q(k−r)= (m0q+m1q)k
Esta funci´on escala de acuerdo al exponente de R´enyi,
τ(q) = l´ım
k→∞
logS2−k(q)
−log 2−k = log2(m
q
0+m
q
1)
A continuaci´on se muestra queτ(q) yf(α) est´an relacionados de
acuerdo a la transformaci´on de Legendre
τ(q) =−m´ın
α [qα−f(α)] = m´αax[−qα−(−f(α))] = (−f) ∗
(−q)
f(α) = m´ın
q [qα+τ(q)] =−m´qax[−qα−τ(q)] =−τ ∗
Legendre
La funci´on de partici´on se puede escribir como una integral,
teniendo en cuenta queµ=α y que N=−f
S(q) =
Z ∞
0
N(α)µq()dα=
Z ∞
0
−f(α)+qαdα.
Cuando→0, la contribuci´on dominante a la integral viene de los
valores deα que hacen m´ınimo el exponente, por tanto
S(q)∼m´ınα[−f(α)+qα]
Legendre
Si el m´ınimo se obtiene paraα=α(q), entonces
τ(q) =f(α(q))−qα(q) y
d
dα(qα−f(α))|α(q)= 0
Por tantof0(α(q)) =q. La condici´on de segundo orden es
d2
dα2(qα−f(α))|α(q)>0,
es decirf00(α(q))<0. Igualmente,τ0(q) =−α(q)
Propiedades
Para q= 0 se tieneτ(0) =DB(Soporte(µ)). Adem´as f0(α(0)) = 0
Para q= 1 se tieneS(1) = 1, luego τ(1) = 0,
f(α(1)) =α(1) y f0(α(1)) = 1.
Para q= 1 se tiene la dimensi´on de informaci´on
α(1) =−τ0(1) = l´ım
k→∞
−P
µ(Ik) logµ(Ik) log 2−k
Dq=τ(q)/(q−1)
Para q= 2 se tiene la dimensi´on de correlaci´on (M el n´umero
de puntos, g el n´umero de pares de puntos con distancia
menor que) D2= l´ım→0,M→∞ log(logg/M )
Legendre. L´ınea gruesa:
y
=
f
(
x
),
l´ınea delgada:
y
=
px
L´ınea delgada a trazos: tangente enx(p), punto con distancia vertical m´axima entre f(x) y px
-‐0.3 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
y
Legendre
Definici´on
Sea y =f(x) una funci´on convexa, f00(x)>0. Latransformada de
Legendrede f es una nueva funci´on g de una nueva variable p,
definida simetricamente mediante:
p = df
dx =p(x), x= dg
dp =x(p)
f(x) +g(p) =px
Legendre
Definici´on
Sea y =f(x) una funci´on convexa, f00(x)>0. Latransformada de
Legendrede f es una nueva funci´on f∗ de una nueva variable p,
que se construye de la siguiente manera: Para un n´umero p dado, se toma el punto x=x(p) en el cual la recta y =px est´a m´as lejos verticalmente de la curva y =f(x). Para cada p,
Legendre
Ejemplo
f(x) =xα/α. Entonces F(p,x) =px−xα/α.
∂F/∂x = 0→f0(x) =p, Es decir x(p) =p1/(α−1), luego f∗(p) =F(p,p
1
α−1) =pp 1
α−1 − 1
α[p
1
α−1]α
.
f∗(p) = α−α1p α
α−1 =pβ/β, con 1
α +
1
β = 1
Transformada de Legendre
Funci´
on no diferenciable
9
Figure 3: Function having a nondifferentiable point; its LF transform is affine.
• Differentiable points off: Each point(x,f(x))on the differentiable branches of
173
f(x)admits a strict supporting line with slope f0(x) =k. From the results of
174
the previous section, we then know that these points are transformed at the level 175
of f⇤(k)into points(k,f⇤(k))admitting supporting line of slopes f⇤0(k) =x. 176
For example, the differentiable branch of f(x)on the left (brancha in Figure
177
3) is transformed into a differentiable branch of f⇤(k)(brancha0) which extends
178
over allk2( 1,kl]. This range ofk-values arises because the slopes of the
left-179
branch off(x)ranges from 1tokl. Similarly, the differentiable branch of f(x)
180
on the right (branchb) is transformed into the right differentiable branch of f⇤(k) 181
(branchb0), which extends fromkhto+1. (Note that, for the two differentiable
182
branches, the LF transform reduces to the Legendre transform.)
183
• Nondifferentiable point of f: The nondifferentiable pointxcadmits not one but
184
infinitely many supporting lines with slopes in the range [kl,kh]. As a result, each
185
point of f⇤(k)withk2[kl,kh] must admit a supporting line with constant slope
186
xc (branchc0). That is, f⇤(k)must have a constant slope f⇤0(k) = xcin the
187
interval [kl,kh]. We say in this case that f⇤(k)isaffineorlinearover(kl,kh).
188
(The affinity interval is always the open version of the interval over which f⇤has
189
constant slope.)
190
The case of functions having more than one nondifferentiable point is treated
simi-191
larly by considering each nondifferentiable point separately.
192
3.3. Affine function
193
Since f(x)in the previous example is convex, f(x)= f⇤⇤(x)for allx, and so the roles
194
of f and f⇤can be inverted to obtain the following: a convex function f(x)having an
195
Transformada de Legendre
Funci´
on no convexa
13
Figure 8: Structure of the LF transform for nonconvex functions.
To summarize, note that, as a result of Point 2 above, we have
256
(f⇤⇤)⇤=(f)⇤= f⇤. (26)
Also, for the example considered, we have
257
(f⇤)⇤= f⇤⇤6= f. (27)
Overall, this means that the LF transform has the following structure:
258
f !f⇤⌦ f⇤⇤, (28)
where the arrows stand for the LF transform; see Figure8. This diagram clearly shows
259
that the LF transform is non-involutive in general. For convex functions, i.e., functions
260
admitting supporting lines everywhere, the diagram reduces to
261
f ⌦ f⇤. (29)
That is, in this case, the LF transform is involutive (see Theorem2.4).
262
4. Important results to remember
263
• The LF transform yields only convex functions: f⇤ =(f)⇤is convex and so is
264
f⇤⇤=(f⇤)⇤.
265
• The shape of f⇤is determined from the shape of f by using the duality
relation-266
ship which exists between the supporting lines of f⇤and those of f.
267
– Points of f are transformed into slopes of f⇤, and slopes of f are
trans-268
formed into points of f⇤.
269
– Nondifferentiable points of f are transformed, through the action of the LF
270
transform, into affine branches of f⇤.
271
Cascadas
SeaJ = [0,1]d el cuadrado unitario,d = 2,b un n´umero de ramificaci´on para generar una sub-divisi´on deb=Nd cuadrados de lado 1/N. SeaJ(σ), σ= 1,2, . . . ,b=Nd la partici´on deJ en esa sub-divisi´on.
Inicie con una densidad de masaW0 distribuida uniformemente
sobreJ.
En la siguiente iteraci´on asigne las siguientes densidades a cada sub-divisi´on
W0W1(1),W0W1(2), . . . ,W0W1(b),
donde lasW1(i) son variables aleatorias mutuamente
Cascadas, cont.
En la etapa siguiente cada sub-divisi´onσ se divide de nuevo en b
sub-cuadrados de lado 1/N2 y su masa se distribuye de acuerdo a
densidades
W0W1(σ1)W1(σ2), σ1=σ, σ2 = 1, . . . ,b,
donde cadaW2(i) son variables aleatorias mutuamente
independientes, independientes de las anteriores, e identicamente distribuidas, con E[W] = 1.
La construcci´on contin´ua indefinidamente, en etapan hay bn
sub-cubos de ladob−n/d.
La masa totalµn(Jn) en un sub-cuadrado Jn es
µn(Jn) =
Z
Jn
dx Y
j∈ruta
Wj.
Convergencia
La distribuci´on de la masa totalµn converge a un l´ımiteµ∞
cuandon→ ∞, que puede ser o no degenerado, es decir, cero con
probabilidad uno.
La posibilidad de un limite no degenerado es una consecuencia del principio de grandes desviaciones de la media, puesto que de
acuerdo a la ley fuerte de grandes n´umeros, con probabilidad 1, el
productoW0W1· · ·Wn→0 cuandon → ∞por cualquiera de las
ramas del ´arbol de bifurcaci´on.
Convergencia, cont.
SeaZ∞=µ∞(J) la masa total en el cuadrado unitario. Y sean
∆in,i = 1,2, . . . ,bn los sub-cuadrados de ladoλ= 1/Nn en la iteraci´onn de la cascada. Entonces,
µ∞(∆in) =Z∞(i)µn(∆in),i = 1,2, . . . ,bn, (1)
con
µn(∆in)
d
=W0W1· · ·Wnb−n,
lasZ∞(i) son iid comoZ∞, independientes de µn(∆in) y
E[Z∞(i)] = 1.
Convergencia, cont.
Si se toman = 1 y se suma sobrei se tiene
b
X
i=1
µ∞(∆i1) =
b
X
i=1
Z∞(i)µ1(∆i1),i = 1,2, . . . ,bn.
El lado izquierdo esZ∞y en el lado derechoµ1(∆i1) =Wi/b, luego
Z∞=d
1
b b
X
i=1
Datos
Los datos de la cascada son el n´umero de bifurcacionesb, y el
generadorW caracterizado por su funci´on MKP
(Mandelbrot-Kahene-Peyrier)
χb(h) = logbE[Wh]−(h−1) =κ(h)−(h−1),
conκ(h) = logbE[Wh] la llamada funci´on de cumulantes.
Teorema KP
1 Si χ0b(1)<0 entonces E[µ∞(J)]>0
2 Sea h>1, entonces Z∞=µ∞(J) tiene momento de orden h
finito si y solo si h<hc = ´ınf{h≥1 :χb(h)≥0}
3 Asuma que E[Z∞logZ∞]<∞, entonces con probabilidad 1
Binomial aleatoria
Seab = 2 y fije 0<q <p <1, p+q= 1.
W =
(
2p con probabilidad 1/2,
2q con probabilidad 1/2.
χb(h) = log2(ph+qh).
Modelo beta
Fije 0<p<1,
W =
(
p−1 con probabilidad p,
0 con probabilidad 1−p.
Modelo alfa
Fije 0≤a1<1<a2, E[W] = 1
W =
(
a1 con probabilidad p,
a2 con probabilidad 1−p. χb(h) = logb(ah1p+ah2(1−p))−(h−1).
Modelo lognormal
Tome
W = exp[σX −σ2/2],
dondeX es una variable normal est´andar.
χb(h) =
σ2
2 log(b)h
2−
σ2
2 log(b) + 1
Momentos de Ensamble y Cola
Tema de la correlaci´on La intensidad de precipitaci´on en un cuadrado de ladoλ <1 esRλ=µ∞(∆λ)/(λ2∆t), los momentos
de ensamble de ordenh<hc son
E[Rλh]∼λ−2κ(h).
La cola es
Pr[Rλ> λα]∼λc(α),
conc(α) = m´axh[hα−2κ(h)], la transformada de Legendre de
2κ(h).
Fracci´
on ´
area mojada
Sea−p(t, λ) la fracci´on de ´area mojada definida con respecto a la
densidad l´ımiteµ∞, yp(t, λ) = E[ −
p(t, λ)]. Por conveniencia no se
sigue con la dependencia det.
Comoµ∞(∆in), parai = 1, . . . ,bn denota la densidad l´ımite para
los pixeles ∆in a la escalaλ=b−n/2 y se tiene que
µ∞(∆in)
d
=Z∞(i)µn(∆in).
Recuerde queµn(∆in) =W0W1. . .Wnb−n.
Sear = Pr[W = 0]>0 y asuma χ0b(1)<0 para garantizar
Fracci´
on ´
area mojada (cont.)
Ahora [µ∞(∆λ)]>0 ⇐⇒ [Z∞>0 y Wk >0 para todok].
Por la independencia se tiene que
p(λ) = (1−γ)(1−r)n,
comon=−2 logbλse puede escribir
logbp(λ) = logb(1−γ)−2 logb(1−r) logbλ.
Es decir, una relaci´on lineal en escala log-log conλ, con intercepto fijo logb(1−γ) y pendiente −2 logb(1−r), que es postiva.
Tambi´en se puede calcularγ (usar Eq. 2)
γ = Pr[Z∞= 0] = Pr[WZ∞]b= [r+γ−rγ]b,
γ
para modelo
β
b= 2 y r = 1−p =q, luego γ es la menor ra´ız de
γ = [q+pγ]2,
desarrollando el cuadrado e igualando a cero
p2γ2+ (2pq−1)γ+q2 = 0.
Se toma 1 = (p+q)2 y por tanto 2pq−1 =−(p2+q2) y con la f´ormula del bachiller
γ =
p2+q2±
q
(p2+q2)2−4p2q2
/2p2
y por lo tanto
γ =
1
p−1
Fracci´
on ´
area mojada
Como no hay una ley de grandes n´umeros la convergencia de p(λ
no es la misma que la de−p(λ). Es claro que
logb−p(λ) = logb
− p(λ)
p(λ) + logbp(λ).
Hay un teorema de Holley y Waymire que dice que cuandoλ→0
se tiene−p(λ)/p(λ)→Y, una variable aleatoria, por tanto
logb−p(λ) = logbY + logb(1−γ)−2 logb(1−r) logbλ.
Gate I
Campos observados Gate I y simulados con cascada
modelo beta
p
= 0,65
Regresi´
on entre par´
ametro del modelo beta contra
Relaci´
on de escalamiento de fracci´
on de ´
area con
precipitaci´
on, observada y simulada
Relaci´
on entre dos maneras de estimar par´
ametro de
modelo beta
Algoritmo de Simulaci´
on de densidades,
nomenclatura
ρn=µn/λ2n R0L20= 1
Sub-cuadrado en etapan se denota por ∆i,jn , con
i = 0,1, . . . ,bn/2−1,j = 0,1, . . . ,bn/2−1,N es el n´umero de niveles de baja frecuencia,M es el n´umero de niveles de alta frecuencia.
1 Incializar ρ0(∆00) = 1.
2 Incrementarn =n+ 1
Algoritmo de Simulaci´
on de densidades, cont.
4 Para i = 0,1, . . . ,bn/2−1,j = 0,1, . . . ,bn/2−1 haga
ρn(∆i,jn ) =ρn−1(∆bi/
√
bc,bj/√bc
n−1 )Wi,j
5 Si n<N retorne al paso 2, de lo contrario proceda con el 6
6 Aproxime la densidad l´ımite conρM+N =ρNρM, donde ρM se
genera usando los pasos 1 a 5 con iguales par´ametros.
Bibliograf´ıa I
V. K. Gupta and E. C. Waymire.
A statistical analysis of mesoscale rainfall as a random cascade.
Journal of Applied Meteorology, 32(2):251–267, 1993. doi:10.1175/1520-0450(1993)032h0251:ASAOMRi2.0.CO;2.
T. M. Over and V. K. Gupta.
Statistical analysis of mesoscale rainfall: Dependence of a random cascade generator on large-scale forcing.
