EJERCICIOS APLICACIONES DE DERIVADAS

(1)

MATEMÁTICAS I. 1º BACHILLERATO.

UNIDAD 12: DERIVADAS. APLICACIONES.

Matematicas-ccnn1.blogspot.com 1/7

D

ERIVADAS.

A

PLICACIONES.

1.) Aplicando la definición de derivada calcula f'

(((( ))))

1 con f x

(((( ))))

==== 2 x

2.) Halla la función derivada def x

(((( ))))

====2x

3 . Aplica la definición.

3.) Aplicando la definición de derivada calcula f'

(((( ))))

−−−−1 , siendo

(((( ))))

2

f x ====3x −−−−1

4.) Utilizando la definición de derivada, halla f'

(((( ))))

0 con

(((( ))))

2

f x ====x ++++5x

5.) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y==== x++++3en el punto de abscisa x = 1.

6.) Determina los puntos de tangente horizontal de la función

(((( ))))

3

x f x

x 2

==== ++++

7.) Dada la función 3 2

y====x ++++x ++++2x−−−−1. Halla la ecuación de las rectas tangentes en x = 0 y en x = 1.

8.) Halla un punto de la función

(((( ))))

3 2

f x ====x ++++x ++++x en el que la tangente sea paralela a la rectay====2x++++5.

9.) Calcula el valor de a para que la derivada de la función f(x) sea 2 cuando x = 2, siendo

(((( ))))

2

x a

f x x

++++

==== .

10.) Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función

(((( ))))

2

f x = −= −= −= −x 5x en los puntos de corte con el eje de

abscisas.

11.) Obtén los puntos singulares de las siguientes funciones.

a) 3 2

y====2x −−−−3x −−−−12x++++8 b) 4 3

y====x ++++4x

c) y ₂1

x 1

====

++++ d)

2

x 3x y

x 1

++++ ====

++++

12.) Haz un estudio y representa la función y====x3−−−−2x2++++x

13.) Haz un estudio y representa la función y ₂ 1

x 3x 2

==== ₋ ₊

− +

14.) La función f x

(((( ))))

====x2++++bx++++c tiene un mínimo en x = 2 y pasa por

(((( ))))

2,2 . Calcula b y c.

15.) Estudia y representa la función 3

y====x −−−−12x++++16

16.) Estudia y representa la función y ₂4x

x 1

==== ++++

17.) Estudia y representa la función 4 2

y====x −−−−2x

18.) Estudia y representa la función

2

x y

2 x

==== −−−−

19.) Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f x

(((( ))))

====ax2++++bx−−−−2 pasa por el punto

(((( ))))

1,0 y presenta un

máximo en x 3

2

====

20.) ¿Qué valores deben tomar b y c para que f x

(((( ))))

====x3++++bx2++++cx++++1 tenga dos puntos singulares en x = 1 y

(2)

1.)

(((( ))))

((((

)))) (((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

h 0 h 0 h 0 h 0 h 0

2 2 1 h ₂ ₂ _2h _2h

2 2

f 1 h f 1 _{1 h} 1 h 1 h 1 h

f ' 1 lim lim lim lim lim

h h h h h

→ → → → →

→→ →→ →→ →→ →→

→ → → → →

− +

− + _{− −}_{− −}_{− −}_{− −} ₋₋₋₋ −−−−

+ − +

+ − ₊₊₊₊ + ++++ ++++

= = = = = =

((((

))))

((((

))))

h 0 h 0

2h 2 2

lim lim 2

1 h h 1 h 1

→ →

− − −

−− −− −−

− − −

= = = = −

== == == = −= −

= = = = −

+ +

2.)

(((( ))))

((((

)))) (((( ))))

((((

))))

h 0 h 0 h 0 h 0 h 0

2 x h 2x _2x _2h _2x _2h

f x h f x 3 3 3 3 2h 2

f ' x lim lim lim lim lim

h h h h 3h 3

→ → → → →

++++ ₊₊₊₊ ₋₋₋₋ −−−−

+ −

= = == = = =

3.)

(((( ))))

((((

)))) (((( ))))

((((

))))

((((

))))

2 ₂

h 0 h 0 h 0 h 0

f 1 h f 1 3 1 h 1 2 3h 6h h 3h 6

f ' 1 lim lim lim lim 6

h h h h

→ → → →

→→ →→ →→ →→

→ → → →

− + − − − + − − −

− + − − − + − − −−−− −

− = = = = = −

4.)

(((( ))))

((((

)))) (((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

2 ₂

h 0 h 0 h 0 h 0

f 0 h f 0 0 h 5 0 h 0 h 5h h h 5

f ' 0 lim lim lim lim 5

h h h h

→ → → →

+ − + + + − +

++ −− ++ ++ ++ −− ++

+ − + + + − ++++ +

= = = = =

5.)

Punto de tangencia Pendiente Recta tangente

(((( ))))

((((

1, f 1

))))

====

(((( ))))

1,2

(((( ))))

m f´ 1

1 f ' x

2 x 3

1 f ' 1

4

====

==== ++++ ====

(((( ))))

(((( ))))((((

))))

y f 1 f´ 1 x 1

1 7

y x

4 4

= + −

= +

== ++

= +

6.) Los puntos de tangente horizontal son aquellos en los que la derivada es 0.

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

2 3 3 2 3 3 2

2 2 2

3x x 2 x 3x 6x x 2x 6x

f ' x

x 2 x 2 x 2

+ −

+ − ++++ −−−− ++++

= = =

+ + +

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

3 2 2

x 0 0 , 0

f ' x 0 2x 6x 0 x 2x 6 0

x 3 3 , 27

 

 _{= →}_{= →}_{= →}_{= →}

  

==== ⇒⇒⇒⇒ ++++ ==== ⇒⇒⇒⇒ ++++ ====   

 _{= −}_{= −}_{= −}_{= −} _→_→_→_→ ₋₋₋₋

  

Punto

7.)

(((( ))))

(((( ))))((((

))))

(((( ))))

2

y f 0 f´ 0 x 0

f 0 1

f´ x 3x 2x 2 y 1 2x y 2x 1

f´ 0 2

− = −

= − = − = − = −

= + +

= + + ⇒⇒⇒⇒ _{+ =}_{+ =}_{+ =}_{+ =} ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌ ₋₋₋₋

====

(((( ))))

(((( ))))((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

2

y f 1 f´ 1 x 1

f 1 3

f´ x 3x 2x 2 y 3 7 x 1 y 7x 4

f´ 1 7

− = −

====

= + +

= + + ⇒⇒⇒⇒ _{− =}_{− =}_{− =}_{− =} ₋₋₋₋ ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌ ₋₋₋₋

(3)

8.) Las rectas paralelas a y====2x++++5son de pendiente m = 2. Para resolver este problema calculamos la función

derivada y después resolvemos la ecuación f´ x

(((( ))))

====2

Punto de tangencia Pendiente

(((( ))))

((((

x , f x0 0

))))

(((( ))))

0 2

0 0 0

0 2

x 1

m f´ x 2 3x 2x 1 1

x 3

f ' x 3x 2x 1

= − = −= − = −

     

==== ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌ ₊₊₊₊ ₊₊₊₊ ⇒⇒⇒_{⇒ }

====

  

= + +

Los puntos son

((((

1, 1

))))

1 31,

3 27

 

− − − − − −

− −  

 

9.)

(((( ))))

((((

))))

2 ₂

2 2

2x x x a _x _a

f ' x

x x

⋅ − +

⋅ −⋅ − ++

⋅ − + ₋₋₋₋

= =

== ==

= =

(((( ))))

4 a

f ' 2 2 2 a 4

4

−−−−

==== ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −

10.) Primero calculamos los puntos de corte con el eje de abscisas.

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

(((( ))))

2

x 0 0 ,0

f x 0 5x x 0 x 5 x 0

x 5 5 ,0

 

 _{= →}_{= →}_{= →}_{= →}

  

==== ⇒⇒⇒⇒ −−−− ==== ⇒⇒⇒⇒ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ====   

 ₌₌₌₌ _→_→_→_→

  

Punto

Punto Seguidamente calculamos las rectas tangentes en dichos puntos.

(((( ))))

(((( ))))((((

))))

(((( ))))

y f 0 f´ 0 x 0

f 0 0

f´ x 5 2x y 5x

f´ 0 5

− = −

==== = − = − = −

= − ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌

====

(((( ))))

(((( ))))((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

y f 5 f´ 5 x 5

f 5 0

f´ x 5 2x y 5 x 5 y 5x 25

f´ 5 5

− = −

−− == −−

− = −

==== = − = − = −

= − ⇒⇒⇒⇒ _{= −}_{= −}_{= −}_{= −} ₋₋₋₋ _{= −}_{= −}_{= −}_{= −} ₊₊₊₊

= − = −= − = −

11.)

a)

(((( ))))

2

f ' x ====6x −−−−6x−−−−12

(((( ))))

2

x 1

f ' x 0 6x 6x 12 0

x 2

= − = −= − = −

     

==== ⇒⇒⇒⇒ ₋₋₋₋ ₋₋₋₋ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒ 

 

 ₌₌₌₌

  

b)

(((( ))))

3 2

f ' x ====4x ++++12x

(((( ))))

3 2 2

((((

))))

x 0

f ' x 0 4x 12x 0 4x x 3 0

x 3

====

     

==== ⇒⇒⇒⇒ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒ _⋅_⋅_⋅_⋅ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌ ⇒⇒ ⇒⇒

 

 _{= −}_{= −}_{= −}_{= −}

  

c)

(((( ))))

((((

₂

))))

2

2x f ' x

x 1

−−−− ====

++++

(((( ))))

((((

₂

))))

2 2x

f ' x 0 0 2x 0 x 0

x 1

−−−−

==== ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒−−−− ==== ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌

(4)

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-1.75 -1.5 -1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75

x y

(((( ))))

2

₍₍₍₍

₎₎₎₎

2

x 2x 3

f ' x 0 0 x 2x 3 0 No hay puntos singulares.

x 1

+ +

==== ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒ ++++ + =+ =+ =+ = ⇒⇒⇒⇒

++++

12.)

3 2

y====x −−−−2x ++++x

Dominio= −∞ +∞= −∞ +∞= −∞ +∞= −∞ +∞

((((

,

))))

La función es continua en su dominio. Puntos de corte con los ejes de coordenadas Eje X:

((((

))))

_{(((( ))))}

(((( ))))

3 2

3 2 2

2

x 0 A 0,0

y x 2x x

x 2x x 0 x x 2x 1 0

y 0 x 2x 1 0 x 1 B 1,0

 

 ₌₌₌₌ _→_→_→_→ 



 ₌₌₌₌ ₋₋₋₋ ₊₊₊₊ 

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ₋₋₋₋ _{+ =}_{+ =}_{+ =}_{+ =} ⇒⇒⇒⇒ _⋅_⋅_⋅_⋅ ₋₋₋₋ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒

 

 

 

==== ___ −−−− + =+ =+ =+ = ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌ _→_→_→_→ 



 

Eje Y:

(((( ))))

A 0,0

Asíntotas.

Las funciones polinómicas no tienen asíntotas.

Intervalos de crecimiento – decrecimiento. Máximos y mínimos.

(((( ))))

2

f ` x ====3x −−−−4x++++1

Puntos singulares:

(((( ))))

2

1 x

f ` x 0 3x 4x 1 0 3

x 1

  

====

  

==== ⇒⇒⇒⇒ ₋₋₋₋ _{+ =}_{+ =}_{+ =}_{+ =} ⇒⇒⇒⇒   

 ₌₌₌₌

  

La función es creciente en ,1

((((

1,

))))

3

 

 

 

−∞ +∞

−∞−∞ +∞+∞

−∞ +∞

 

 

 

 

 

 U . La función es decreciente en

1 ,1 3

                       

Máximo en 1, f 1 1 4,

3 3 3 27

 

 

       

====

 

 

       

   

 

 

  y mínimo en

((((

1, f 1

(((( ))))

))))

====

(((( ))))

1,0 .

Gráfica de la función.

1 3

1

Signo de f´(x)

+ + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +

– –

1 3

1

(5)

13.)

2

1 y

x 3x 2

==== ₋ ₊

−− ++

− +

Dominio= −= −= −= −R

{{{{ }}}}

1,2

La función es continua en su dominio. Puntos de corte con los ejes de coordenadas Eje X:

2

2 1

y 1

0 No hay puntos de corte

x 3x 2

y 0    ====    ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒ − + −− ++ − +    − + −− ++ − +   _ ₌₌₌₌   Eje Y: 2 2 1

y 1 1 1

y A 0,

x 3x 2

2 2

0 3 0 2

x 0    ====      ⇒ ⇒⇒ ⇒ ₌₌₌₌ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒ − + −− ++ − +      − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ +     _ ₌₌₌₌   Asíntotas.

A. V. x====1 x====2

((((

))))((((

))))

(((( ))))

((((

))))((((

))))

(((( ))))

x 1 x 1 1 1 lim

x 1 x 2 0 1

x 1

1 1

lim

x 1 x 2 0 1

−−−− → → → → ++++ → → → → −−−− ++++    = = +∞ = = +∞ = = +∞ = = +∞    ₋₋₋₋ ₋₋₋₋ _{⋅ −}_{⋅ −}_{⋅ −}_{⋅ −}    ====     ₌₌₌₌ _{= −∞}_{= −∞}_{= −∞}_{= −∞}    ₋₋₋₋ ₋₋₋₋ _{⋅ −}_{⋅ −}_{⋅ −}_{⋅ −}   

((((

))))((((

))))

((((

))))((((

))))

x 2 x 2 1 1 lim

x 1 x 2 1 0

x 2

1 1

lim

x 1 x 2 1 0

−−−− → → → → ++++ → → → → −−−− ++++    = = −∞ = = −∞ = = −∞ = = −∞    ₋₋₋₋ ₋₋₋₋ _⋅⋅⋅⋅    ====     ₌₌₌₌ _{= +∞}_{= +∞}_{= +∞}_{= +∞}    ₋₋₋₋ ₋₋₋₋ _⋅⋅⋅⋅    A. H. 2 2 x x 2 2 x x

1 1 1

lim lim 0

x 3x 2 x

y 0

1 1 1

lim lim 0

x 3x 2 x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞    = = = = = = = = = = = _+∞_+∞_+∞_+∞ = _{} + + + + + + + + ____⇒_⇒_⇒_⇒ ₌₌₌₌    = = = = = = = = = = = = ___ +∞ +∞ +∞ +∞ + + + + + + + + 

Intervalos de crecimiento – decrecimiento. Máximos y mínimos.

(((( ))))

((((

))))

2 2

2x 3

f ` x

x 3x 2

− + − + − + − + ==== − + − + − + − +

Puntos singulares:

(((( ))))

((((

))))

2 2

2x 3 3

f ` x 0 0 x

2

x 3x 2

− + −− ++ − + ==== ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌ − + − + − + − +

La función es creciente en

((((

,1

))))

1,3

2         −∞ −∞ −∞ −∞          

U . La función es decreciente en 3,2

((((

2,

))))

2       +∞ +∞ +∞ +∞            U

Máximo en 3, 4

2       −−−−             3 2 2

Signo de f´(x)

(6)

-Gráfica de la función.

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-6 -4 -2 2 4 6

x y

14.) Sea

(((( ))))

2

f x ====x ++++bx++++c, cuya derivada es f´ x

(((( ))))

====2x++++b

Pasa por

(((( ))))

2,2 ⇒⇒⇒⇒ f 2

(((( ))))

====2⇒⇒⇒⇒ 4++++2b+ =+ =+ =+ =c 2

Mínimo en x = 2⇒⇒⇒⇒ f´ 2

(((( ))))

====0⇒⇒⇒⇒ 4+ =+ =+ =+ =b 0

b= −= −= −= −4 y c====6

15.)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-16 -12 -8 -4 4 8 12 16 20 24 28 32 36

x y

16.)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

2 4x y

x 1

==== ++++ 3

(7)

17.)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x y

18.)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x y

19.) Sea f x

(((( ))))

====ax2++++bx−−−−2 y su función derivada f´ x

(((( ))))

====2ax++++b

Pasa por el

(((( ))))

1,0 ⇒⇒⇒⇒ f 1

(((( ))))

====0⇒⇒⇒⇒ a+ − =+ − =+ − =+ − =b 2 0

Tiene un máximo en x 3 f´ 3 0 2 a 3 b 0 3a b 0

2 2 2

       

==== ⇒⇒⇒⇒ _{ }_{ }_{ }_{ }₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒ _{⋅ + =}_{⋅ + =}_{⋅ + =}_{⋅ + =} ⇒⇒⇒⇒ _{+ =}_{+ =}_{+ =}_{+ =}  

     

Resolviendo el sistema a b 2 a 1 b 3

3a b 0

+ = + =+ = + =

  

⇒ ⇒ ⇒

⇒ _{= −}_{= −}_{= −}_{= −} ₌₌₌₌

  

+ = + = + = + =

  

20.) Sea f x

(((( ))))

====x3++++bx2++++cx++++1 y su función derivada f´ x

(((( ))))

====3x2++++2bx++++c

x = 0 es un punto singular

(((( ))))

2

f´ 0 0 3 0 2b 0 c 0 c 0

⇒

⇒⇒

⇒ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒ _⋅_⋅_⋅_⋅ ₊₊₊₊ _{⋅ + =}_{⋅ + =}_{⋅ + =}_{⋅ + =} ⇒⇒⇒⇒ ₌₌₌₌

x = 1 es un punto singular f´ 1

(((( ))))

0 3 12 2b 1 c 0 b 3

2

⇒

⇒⇒

⇒ ₌₌₌₌ ⇒⇒⇒⇒ _{⋅ +}_{⋅ +}_{⋅ +}_{⋅ +} _{⋅ + =}_{⋅ + =}_{⋅ + =}_{⋅ + =} ⇒⇒⇒⇒ _{= −}_{= −}_{= −}_{= −}

4 2 y====x −−−−2x

2 x y

2 x