Aplicaciones de la derivada a las ciencias de la vida
1. La población mundial alcanzaba mil millones de habitantes en 1804, dos millones en 1927, tres millones en 1960, cuatro millones en 1974, cinco millones en 1987 y seis millones en 1999. Determine la razón promedio de cambio de la población mundial, en personas por minuto, durante cada uno de esos inter-valos. (Esto es, de 1804 a 1927, después de 1927 a 1960, etcétera.)
2. El tamaño S de un tumor (en milímetros cúbicos) está dado por S = 2t; donde t es el número de meses a partir del momento en que el tumor fue descubierto.
(a) ¿Cuál es el cambio total en el tamaño del tumor durante los primeros seis meses?
(b) ¿Cuál es la razón promedio de cambio en el tamaño durante los primeros seis meses?
3. El peso W (en libras), de un niño es una función de su edad, a; en años; por tanto W =f(a):
(a) ¿usted espera que f0(a) sea positiva o
negativa?¿Por qué?
(b) ¿Qué le indica f(8) = 45?
(c) ¿Cuáles son las unidades de f0(a)? (d) ¿Qué le dicef0(8) = 4respecto a la eda
y el peso?
4. La cantidad Q (en mg), de nicotina en el cuerpo t minutos después de fumar un ciga-rrillo está dada porQ=f(t):Interprete los enunciadosf(20) = 0:36 y f0(20) = 0:002
en términos de la nicotina. ¿Cúales son las unidades de los números 20;0:36y 0:002?
5. Una población de peces es pronosticada me-dianteP (t) = 10e0:6t;dondetestá en meses. Calcule y utilice unidades para explicar qué le dice P0(12) acerca de la población.
6. Desde el 1o. de enero de 1960, la población de Slim Chance se ha descrito por medio de la fórmula P = 35000 (0:98)t; donde P es la población de la ciudad t años después del inicio de 1960. ¿Con qué tasa estaba cam-biando la población el 1o. de enero de 1983?
7. Si t es el número de años desde 1993, la población P de China, en miles de millones, puede aproximarse por medio de la función
P (t) = 1:15 (1:014)t:
Evalúe P (6) y P0(6): ¿Qué le indican estos valores sobre la población de China?
8. El Global 2000 Report dio la población mundial, P; como 4.1 miles de millones en 1975 con un crecimiento de 2% anual.
(a) Dé una fórmula para hallarP en térmi-nos del tiempot; medido en años desde 1975.
(b) Encuentre dPdt;dPdtjt=0 y dPdtjt=15 ¿Qué
representa cada uno de estos términos prácticos?
9. Durante la década de 1990 la población de Hungría se aproximaba por P = 10:8 (0:998)t; donde P está en millones y t está en años desde 1990.
(a) ¿Qué predice este modelo para la población de Hungría en el año 2000? (b) ¿Con qué rapidez (en personas/año)
predijo este modelo que disminuiría la población de Hungría en el año 2000?
11. La población mundial es aproximadamente def(t) = 6e0:013t miles de millones de habi-tantes, donde t es el tiempo, en años desde 1999. Calcule f(0); f0(0); f(10) y f0(10):
Utilizando unidades, interprete sus respues-tas en términos de habitantes.
12. La curva de concentración de un medica-mento está dada por C = f(t) = 20e 0:04t; conC en mg/ml y t en minutos.
(a) Trace la grá…ca deC como función det: ¿f0(15)es positiva o negativa? ¿f0(45)
es positiva o negativa? Explique.
(b) Analíticamente encuentre f(30) y f0(30): Interprételas en términos de la concentración del medicamento en el cuerpo.
13. Para constantes positivas c y k; la curva de crecimiento de Mond
P = cr k+r
describe el crecimiento de una población P; como función de la cantidad disponible de cierta materia prima, r: Si la materia prima varía periódicamente a lo largo del tiempo, digamos r = 10 sen ( t=6) + 10; encuentre dP=dt:
14. En 1990 la población en México era de aprox-imadamente 84 millones de habitantes y au-mentaba a razón de 2.6% anual, mientras que la población de Estados Unidos era cercana a los 250 millones de habitantes y crecía an-ualmente a 0.7% ¿Qúe población crecía con mayor rapidez, si medimos las tasas de crec-imiento en habitantes/año? Explique su re-spuesta.
15. La cantidad de un medicamento,Q mg, que está presente en el cuerpothoras después de que se aplica una inyección es Q = f(t) = 100te 0:5t: Encuentre f(1); f0(1); f(5) y
f0(5): Indique las unidades y explique las
respuestas.
16. En 1974 el capitán James Cook dejó 10 cone-jos en una pequeña isla del Pací…co. La población de conejos se aproxima mediante
P (t) = 200 1 +e5:3 0:4t; con t medido en años desde 1974.
(a) Calcule cuándo la población de cone-jos creció más rápido. ¿Qué tan grande era la población de conejos en ese mo-mento?
(b) Encuentre el punto de in‡exión en la grá…ca y explique su importancia para la población de conejos.
17. Para cierta constante positiva C; el cambio T en la temperatura de un paciente, debido a una dosis, D; de un medicamento está de-terminado por
T = C 2
D
3 D
2:
(a) ¿Qué dosis maximiza el cambio de la temperatura?
(b) La sensibilidad del cuerpo a la sustancia está de…nida como dT =dD: ¿Qué dosis maximiza la sensibilidad?
18. Cuando usted tose, su tráquea se contrae. La velocidad, v; a la cual el aire sale de-pende del radio, r; de su tráquea. Si R es el radio normal (en descanso) de su tráquea, entonces para r R; la velocidad está dada por v = a(R r)r2; donde a es una con-stante positiva. ¿Qué valor de a maximiza la velocidad?
19. La energía que consume un pájaro al día, E; depende del tiempo que gasta en buscar co-mida al día,F;en horas. Para buscar comida en un territorio más corto necesita un mejor territorio, pero a su vez requiere más energía para su defensa. Determine el tiempo de la búsqueda de comida que minimice el con-sumo de energía si
20. En la costa oeste de Canadá los cuervos comen buccinos (caracol marino de concha pequeña y abocinada). Para abrir los buc-cinos, los cuervos los cuervos los dejan caer contra una roca. Si la concha no se rompe la primera vez arrojan nuevamente al buccino. El número de lanzamientos promedio,n;que se necesita cuando arrojan al buccino desde una altura dex metros se calcula mediante
n(x) = 1 +27 x2:
(a) Determine la distancia vertical total que el cuervo recorre en ascenso para abrir un buccino como una función de la altura de lanzamiento,x:
(b) Se observa que los cuervon lanzan los buccinos desde una altura que minimiza la distancia vertical total que tienen que ascender por buccino. ¿A qué altitud?
21. Durante un brote de gripa en una escuela en la que hay 763 niños, el número de niños infectados, I; se expresó en términos del número de niños suceptibles (pero aún salud-ables), S;por medio de
I = 192 ln S
762 S+ 763:
¿Cuál es el número máximo posible de niños infectados?
22. La cantidad de un medicamento en el tor-rente sanguíneo t horas después de que se ingiere una tableta está dada, en mg, por
q(t) = 20 e t e 2t :
(a) ¿Cuánto medicamento hay en el tor-rente sanguíneo en el tiempot= 0? (b) ¿Cuándo es máxima la cantidad de
medicamento en el torrente sanguíneo? ¿Cuál es el máximo?
23. El suministro de oxígeno,S, en la sangre de-pende del hematocrito, H, el porcentaje de glóbulos rojos en la sangre: S = aHe bH; para las constantes positivasa; b:
(a) ¿Qué valor de H maximiza el istro de oxígieno? ¿Cuál es el sumin-istro máximo de oxígeno?
(b) ¿Cómo cambia el valor máximo deS si aumenta el valor de las constantes a y b?
24. En promedio un manzano produce 400 kilo-gramos de fruta en cada temporada. Sin embargo si se plantan más de 200 árboles por km2; la concentración reduce la
produc-ción un kilogramo por cada árblol arriba de los 200. ¿Cuántos árboles debe plantar el agricultor en cada kilómetro cuadrado para maximizar la producción?
25. La presión sanguínea de una persona, p; en milímetros de mercurio (mm Hg) está dada, para t en segundos, por
p= 100 + 20 sen (2:5 t):
(a) ¿Cuáles son los valores máximo y mín-imo de la presión sanguínea?
(b) ¿Cuál es la longitud del intervalo entre máximos sucesivos?
26. Si t está dado en años desde 1990, un mod-elo de la población mundial, P; en miles de millones, es
P = 40
1 + 22e 0:08t:
(a) ¿Cuál es la máxima población mundial sustentable que predice este modelo?
(b) De acuerdo con este modelo, ¿cuándo llegará a 20 mil millones la población de la Tierra?
27. La comunidad indígena Tojolobal Maya del sur de México tiene una cantidad …ja de tierra. La proporción, P; de tierra, para uso agrícola, t años después de 1935 se modela con la función logística
P = 1
(a) ¿Cuál era la proporción de tierra que es-taba destinada a la agricultura en 1935? (b) ¿Cuál es el pronósitico a largo plazo de
este modelo?
(c) ¿En qué momento la mitad del terreno se utilizaba para la agricultura?
(d) ¿En qué momento aumenta más rápido la proporción de tierra destinada a la agricultura?
28. Si el tiempotestá dado en horas y la concen-tración C está dada en mg/ml, la curva de concentración para cierto medicamento está dado por
C = 12:4 t e 0:2t:
(a) Trace la grá…ca de esta curva.
(b) ¿Cuánto tiempo le toma al medica-mento alcanzar su concentración pico? ¿Cuál es la concentración en ese mo-mento?
(c) Si la concentración mínima efectiva es de 10 mg/ml, ¿durante cuánto tiempo es efectivo el medicamento?
(d) Pueden surgir complicaciones cada vez que el nivel de medicamento es superior a 4 mg/ml. ¿Qué tiempo debe esperar un paciente para estar a salvo de com-plicaciones?
29. La relación de longitud a peso del pez lla-mado hipogloso del Pací…co está descrita por la fórmulaW = 13:375L3;donde la longitud
Lestá en metros y el pesoW en kilogramos. Su tasa de crecimiento en longitud está dada por dL=dt = 0:18 (2 L); para t medido en años.
(a) Encuentre una fórmula para la tasa de crecimiento en pesodW=dt en términos deL:
(b) Use la fórmua de la parte (a) para cal-cular la tasa de crecimiento en peso de un hipogloso de 20 kg.
30. Un hato de venados se transporta a una isla pequeña. El rebaño crece rápidamente pero los recursos alimenticios de la isla comien-zan a escasear y la población disminuye. Suponga que el número de venados que hay a los t años está dado por
N(t) = t4 21t2+ 100:
(a) ¿Cuándo deja de crecer el hato?
(b) ¿Cuál es su tamaño máximo?
(c) ¿Cuándo se extingue la población?
31. La población de una ciudad crece a razón de 5% al año. Si la población actual es de 500000, ¿cuál será la población dentro de 10 años?
32. Durante el primer mes de crecimiento de ciertos cultivos como el maíz, el algodón y la soya, la rapidez de crecimiento (en gramos por día) es proporcional al peso actual W: Para una especie de algodón,dW=dt = 0:2W: ¿Cuál será el peso dentro de un mes (t= 30 días) de una planta que actualmente pes 70 mg?
33. Los veterinarios anestesian animales con pentobarbitol sódico. Para anestesiar a un perro se requieren 30 mg por cada kilogramo de peso. El citado pentobarbitol sódico se elimina exponencialmente de la sangre. En 4 horas la cantidad baja a la mitad. Calcular el tamaño de una dosis única para anestesiar durante 45 minutos a un perro que pesa 20 kg.
35. La rapidez con la que el azúcar se disuelve en agua es proporcional a la cantidad sin di-solverse. Si 10 kg de azúcar se vierten en un recipiente con agua a la 1:00 p.m., se encuen-tra qeu a las 4:00 p.m. ya sea ha disuleto la mitad.
(a) ¿Cuánto tardarán en disolverse 2 kg más?
(b) ¿Cuántos de los 10 kg se habrán dis-uelto a las 8:00 p.m.?
36. La relación de Ehrenberg lnW = ln 2:4 + 1:84h es un fórmula empírica que relaciona la altura h (en cm) con el peso W (en kg) para niños mayores de 5 años y menores de 13. Determine la relación entre las rapideces de variación dW=dt y dh=dt al tiempo t (en años).
37. Si un medicamento se inyecta en la corri-ente sanguínea, su concentración t minutos después está dada por
C(t) = k a b e
bt e at ;
donde a; by k son constantes positivas.
(a) ¿En qué momento se alcanza la conce-tración máxima?
(b) ¿Qué se pude decir de la concentración cuando ha transcurrido un tiempo largo? (Justi…que)
38. Elmodelo de Jenss está considerado como la fórmula más precisa para predecir la estatura de niños en edad preescolar. Sihes la altura (en cm) yx la edad (en años), entonces
h= 79:041 + 6:39 e3:261 0:993x;
para 14 x 6:
(a) Calcule la altrua y la rapidez (o tasa) de crecimiento de un niño típico de un año de edad.
(b) ¿A qué edad es mayor la rapidez de crecimiento? ¿A qué edad es menor?
39. El número de bacterias en cierto cultivo crece de 5000 a 15000 en 10 horas. Suponiendo que la tasa o rapidez de crecimiento es pro-porcional al número de bacterias, encuentre una fórmula para el número de bacterias en el cultivo al tiempo t: Calcule el número al cabo de 20 horas ¿Cuándo llegará a 50000 el número de bacterias?
Respuestas a ejercicios seleccionados
4. 20 min., 0.36 mg, 0:002 mg/min, 10. 15.4 mg/ml, 2:16 mg/ml por hora, 13. (5 =3)kccos ( t=6)=(k+ 10 sen ( t=6) + 10)2; 14. México, puesto que dM=dt > dU=dt en t= 0; 17. (a) D = C; (b) D = C=2; 19. 2.4 ho-ras, 21. 306 niños, 22. (a) 0, (b) 0.69 horas, 5 mg (c) Tiende a 0, 23. (a) H = 1=b; (b) a: aumenta, b: disminuye, 24. 200x si x 200 y 600 x2 si x > 200: 30. (a) En t = p10:5
