Series Finitas de Fourier y Caracteres de Dirichlet

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(1)UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS. ´ FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION ´ PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICAS. SERIES FINITAS DE FOURIER Y CARACTERES DE DIRICHLET. CRISTIAN ALEJANDRO PULIDO QUINTERO. Bogotá, D.C 2017.

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(3) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS. ´ FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION ´ PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICAS. SERIES FINITAS DE FOURIER Y CARACTERES DE DIRICHLET. CRISTIAN ALEJANDRO PULIDO QUINTERO. Trabajo de Grado presentado como parte de los requisitos para la obtención del tı́tulo de Matemático por la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.. Director: MILTON DEL CASTILLO LESMES ACOSTA. Bogotá, D.C 2017.

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(5) ´INDICE GENERAL i. Índice general. Introducción. 1. Objetivos. 3. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Objetivos especı́ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1. Preliminares 1.1. Algunos Hechos de la teorı́a de números . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 5. 1.1.1.. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.1.2.. Máximo Común Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.1.3.. Funciones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.1.4.. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2. Grupos y sus Caracteres 2.1. Algunos Hechos de la teorı́a de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 11. 2.1.1.. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.1.2.. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.1.3.. Propiedades de los grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13.

(6) ii series finitas de fourier y caracteres de dirichlet 2.1.4.. Propiedades de los subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.2. Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.2.1.. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.2.2.. El grupo de los caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 3. Caracteres de Dirichlet 3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.. 23 23. Relación de ortogonalidad en los Caracteres de Dirichlet . . .. 25. 3.2. Módulos Inducidos y Caracteres Primitivos . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 3.2.1.. Módulos Inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 3.2.2.. Propiedades de módulos inducidos . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 3.3. El conductor de un carácter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 4. Series Finitas de Fourier. 33. 4.1. Funciones Periódicas Módulo k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 4.2. Existencia de Series Finitas de Fourier Para Funciones Aritméticas Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 5. Sumas de Gauss. 39. 5.1. Asociadas a Caracteres de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 5.2. Caracteres de Dirichlet con sumas de Gauss no nulas . . . . . . . . .. 41. 5.3. La serie finita de Fourier de los caracteres de Dirichlet . . . . . . . . .. 43. 6. Sumas de Gauss de orden Superior. 45. 6.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 6.2. Calculo suma cuadrática de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49.

(7) ´INDICE GENERAL iii. 7. Conclusiones. 59. Bibliografı́a. 61.

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(9) introducción 1. Introducción En el desarrollo de este trabajo se estudiaran conceptos de la teorı́a analı́tica de números, como son los caracteres de Dirichlet, algunas representaciones como en serie finita de Fourier y su relación con otros conceptos como lo es la suma de Gauss, para ello se fundamentara con la teorı́a de números y la teorı́a de grupos, los conceptos presentados resultan ser herramientas básicas para un estudio más avanzado en esta área que es la solución de ecuaciones Diofánticas que son ecuaciones polinómicas o sistemas de ecuaciones en variables enteras que han sido de gran interés en la matemáticas desde sus propios orı́genes. Para saber más acerca de las ecuaciones Diofánticas ver [5].. En el primer capı́tulo se establecen las bases para esta teorı́a como son los conceptos de divisibilidad, funciones aritméticas y congruencias, en el capı́tulo dos se define caracteres en general, los cuales son definidos sobre grupos, además de mostrar algunos ejemplos y propiedades, a partir de esto se puede definir lo que es un carácter de Dirichlet que por ser una función aritmética periódica, como se verá más adelante admite un desarrollo en serie finita de Fourier con lo cual podremos relacionar los caracteres de Dirichlet con sumas de Gauss y por ultimo ver ejemplos de sumas de Gauss de orden superior y desarrollar particularmente la de grado 2 en el capı́tulo final.. El desarrollo de este proyecto de grado toma como base el libro ”Introducción a la Teorı́a Analı́tica de Números” de Tom Apóstol..

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(11) objetivos. 3. Objetivos Objetivo General Conocer y exhibir los caracteres de Dirichlet, sus representaciones y relación con la suma de Gauss.. Objetivos especı́ficos 1. Dar a conocer el concepto de Carácter de un grupo y sus propiedades. 2. Demostrar la existencia de la serie de Fourier de una función aritmética periódica. 3. Mostrar ejemplos de sumas de Gauss de orden superior..

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(13) 1. preliminares 5. 1. Preliminares. A lo largo de este trabajo se recordaran ideas importantes de diferentes ramas de la matemática como son la teorı́a de números y la teorı́a de grupos que nos ayudara a avanzar en el tema propuesto por este trabajo, para este capı́tulo en especı́fico nos enfocaremos en la teorı́a de números.. 1.1 Algunos Hechos de la teorı́a de números Para el desarrollo de este trabajo es necesario entender el comportamiento que tienen los números enteros y las importantes propiedades que de ellos se desprenden ya que frecuentemente encontraremos funciones cuyo dominio es precisamente este conjunto.. 1.1.1 Divisibilidad Definición 1.1 (Divisibilidad). Sean a, b números enteros, diremos que a divide a b y lo notaremos por a|b si existe c ∈ Z tal que b = ac. La notación para decir que a no divide a b sera a - b. Teorema 1.1. Propiedades de la divisibilidad; a, b, c, d, e son números enteros..

(14) 6 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9). a|a si a|b y b|c implica que b|c si a|b y a|c implica que a|(bd + ce) si a|b entonces ac|bc si ab|ac y a 6= 0 entonces b|c 1|a si 0|a entonces a = 0 si a|b y b 6= 0 entonces |a| ≤ |b| si a|b y b|a entonces |a| = |b|. reflexividad transitividad linealidad multiplicativa simplificación 1 divide a todos los enteros el cero sólo divide al cero. 1.1.2 Máximo Común Divisor El conjunto de divisores de un numero dependerá primordialmente de las propiedades del numero en cuestión, pero gracias al Teorema 1.1 podemos decir que al menos siempre está el 1 en este conjunto y que es finito, pues está acotado por |n|. Podemos entonces pensar en el conjunto de divisores comunes de dos números, que será la intersección de los conjuntos de divisores de cada uno de ellos, este conjunto resultante contendrá al número 1, por lo que habı́amos dicho antes, además de ser finito y acotado, por tanto ha de tener un elemento máximo. Teorema 1.2.. Dados dos enteros a y b, existe un divisor común de a y b de la forma d = ax + by. en donde x e y son enteros. Además, todo divisor común de a y b divide a este d. Teorema 1.3. Dados dos enteros a y b, existe un número d y sólo uno, con las siguientes propiedades: (a) d ≥ 0. (b) d|a y d|b. (c) si e|a y e|b entonces e|d. Definición 1.2. El número d del Teorema 1.3 se denomina máximo común divisor (mcd) de a y b y se nota por (a, b). Observación 1.1. Si (a, b) = 1 entonces se dice que a y b son primos relativos. Definición 1.3. Un entero n se llama primo si n > 1 sus únicos divisores positivos son 1 y n. Si n no es primo, entonces n se llama compuesto..

(15) 1. preliminares 7. 1.1.3 Funciones aritméticas Definición 1.4. Una función real o compleja definida sobre los enteros positivos se llama función aritmética. Ejemplo 1.1. Un importante y bien conocido ejemplo de una función aritmética es la función indicatriz de Euler. La Función Indicatriz de Euler Definición 1.5. Si n ≥ 1 la indicatriz de Euler ϕ(n) es el número de enteros positivos menores que n que son primos relativos con n, de este modo ϕ(n) =. X. 1. (k,n)=1 1≤k<n. Observación 1.2. Note que la función ϕ para un número primo p es ϕ(p) = p − 1 ya que todos los enteros positivos menores a p son primos relativos con p. Definición 1.6. Una función aritmética f se llama función multiplicativa si f no es idénticamente nula y si f (mn) = f (m)f (n) siempre que (m, n) = 1 Una función multiplicativa es completamente multiplicativa si f (mn) = f (m)f (n) para todo m,n. Ejemplo 1.2. La función Indicatriz de Euler es multiplicativa (ver [2, pág 33] ), pero no es completamente multiplicativa ya que ϕ(4) = 2 pero ϕ(2)ϕ(2) = 1.. 1.1.4 Congruencias En esta sección nos centramos en resultados que serán necesarios para el desarrollo del trabajo, los faltantes se pueden encontrar en [2]..

(16) 8 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Definición 1.7. Dados enteros a, b, m con m > 0, se dice que a es congruente con b módulo m, y escribimos a∼ = b(mod m) Si m|(a − b). El número m se llama módulo de la congruencia. Si m - (a − b) escribimos a b(mod m) y decimos que a y b son incongruentes modulo m. Teorema 1.4. La congruencia es una relación de equivalencia. Es decir se cumple: 1. a ∼ = a(mod m) 2. si a ∼ = b(mod m) entonces b ∼ = a(mod m) ∼ ∼ 3. si a = b(mod m) y b = c(mod m) entonces a ∼ = c(mod m) Teorema 1.5 (Ley de simplificación). Si ac ∼ = bc(mod m) y d = (m, c) entonces m mod a∼ b = d En particular, un factor común se puede simplificar si es primo relativo con el modulo.. Clases de Restos y Sistemas Residuales Completos Definición 1.8. Dado un módulo fijo m > 0, definimos el conjunto b a de clases de restos de a modulo m como b a = {x ∈ Z : x ∼ = a(mod m)} Observación 1.3. Note que b a 6= ∅ como consecuencia del Teorema 1.4. También como consecuencia del Teorema 1.4 se tienen las siguientes propiedades. Teorema 1.6. Dado un módulo m se cumple: 1. b a = bb si y sólo si, a ∼ = b(mod m). 2. Dos enteros x e y pertenecen a la misma clase de restos si, y sólo si x ∼ = y(mod m). b b 3. Las m clases de restos 1, 2,. . ., m b son disjuntas y su unión es el conjunto de todos los enteros. Teorema 1.7. Si a ∼ = b(mod m) entonces (a, m) = (b, m)..

(17) 1. preliminares 9. Definición 1.9. Un conjunto de m representantes, uno de cada una de las clases de restos b 1, b 2,. . ., m b se llama sistema residual completo de restos modulo m. Ejemplo 1.3. Todo conjunto formado de m enteros incongruentes mod m es un sistema residual completo de restos modulo m. Teorema 1.8. Si {a1 , a2 , · · · , am } es un sistema residual completo de restos modulo m y k ∈ Z tal que (k, m) = 1, entonces {ka1 , ka2 , · · · , kam } también lo es. Demostración. Si suponemos que existen i, j distintos tales que kai ∼ = kaj (mod m) ∼ por Teorema 1.5, ai = aj (mod m), lo cual contradice que sea un sistema residual completo. Por tanto los elementos del conjunto {ka1 , ka2 , · · · , kam } son incongruentes modulo m, luego forman un sistema residual completo mod m.. Sistemas Residuales Reducidos Definición 1.10. Un sistema residual reducido modulo m es todo conjunto de ϕ(m) enteros, incongruentes modulo m, cada uno de ellos primo relativo con m. Teorema 1.9. Si {a1 , a2 , . . . , aϕ(m) } es un sistema residual reducido modulo m y si (k, m) = 1, entonces {ka1 , ka2 , . . . , kaϕ(m) } es también un sistema residual reducido modulo m. Demostración. Del Teorema 1.8 los elementos del conjunto {ka1 , ka2 , . . . , kaϕ(m) } son incongruentes modulo m. Veamos que cada elemento también es primo relativo con m, en efecto, ya que para cada i entre 1 y ϕ(m) se cumple que (ai , m) = 1 y (k, m) = 1 por Teorema 1.2 1 = xai + ym. (1.1). 1 = zk + wm. (1.2). Multiplicando 1.1 por z y reemplazando en 1.2 1 = ai k(xz) + m(kyz + w) Por tanto (ai k, m) = 1. Teorema 1.10. Sea Sk un sistema residual reducido modulo k, y sea d un divisor de k. Entonces Sk es la unión de ϕ(k)/ϕ(d) conjuntos disjuntos y cada uno de ellos es un sistema residual reducido modulo d. Demostración. Ver [1, pág. 484].

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(19) 2. grupos y sus caracteres 11. 2. Grupos y sus Caracteres. Para poder comenzar con el estudio de caracteres es necesario tener unas bases en teorı́a de grupos que es donde se definen dichos caracteres, en este capı́tulo comenzaremos resaltando importantes caracterı́sticas de los grupos para después poder continuar con el estudio de sus caracteres.. 2.1 Algunos Hechos de la teorı́a de grupos Los conceptos básicos de la teorı́a de grupos nos ayudaran a otorgarle estructura a los elementos que ya hemos visto como los sistemas de residuos y otros que más adelante veremos.. 2.1.1 Definiciones Definición 2.1 (Axiomas de grupo). Un grupo G es un conjunto no vacı́o provisto de una operación binaria, que designaremos por ·, que verifica los siguientes axiomas: 1. Cerradura. Para cada a y b de G, a · b también pertenece a G. 2. Asociatividad. Para cada a, b, c de G, se cumple (a · b) · c = a · (b · c). 3. Existencia de identidad. Existe un único elemento e en G, llamado identidad, tal que a · e = e · a = a para cada a ∈ G. 4. Existencia de Inversos. Para cada a ∈ G existe un único elemento b ∈ G tal que a · b = b · a = e. Este b se designa a−1 y se llama inverso de a. Observación 2.1.. Usualmente omitiremos el punto y escribimos ab para indicar a · b..

(20) 12 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Definición 2.2 (Grupo abeliano). Un grupo G se llama abeliano si cada par de elementos conmuta; es decir, si ab = ba para todo a y b de G. Definición 2.3 (Grupo finito). Un grupo G es finito si G es un conjunto finito. En este caso el número de elementos de G se llama orden de G y se designa por |G|. Definición 2.4 (Subgrupo). Un subconjunto no vacı́o G0 de un grupo G, se llama subgrupo de G si por sı́ mismo es grupo con la misma operación.. 2.1.2 Ejemplos Ejemplo 2.1 (Subgrupos triviales). Cada grupo G tiene por lo menos dos subgrupos, el mismo grupo G y el conjunto {e} formado únicamente por el elemento identidad. Ejemplo 2.2 (Enteros con la suma). El conjunto de todos los enteros es un grupo abeliano con la suma, su elemento identidad es el cero y el inverso de n es −n. Ejemplo 2.3 (El grupo Zn ). Un sistema residual completo de restos modulo n es un grupo abeliano finito con la operación de suma de clases, definida como b a + bb = a[ +b c = −b Su elemento identidad es b 0 la clase del 0, y el inverso de b a es −a a. Como grupo se denota por Zn . Ejemplo 2.4 (El grupo Z∗n ). Un sistema residual reducido modulo n es un grupo abeliano finito de orden ϕ(n) con la operación de producto de clases, definida como b b a · bb = ab Su elemento identidad es b 1 la clase del 1, y el inverso de b a es la clase de x tal que ax ∼ = 1(modn) Como grupo recibe el nombre de unidades de Zn y se denota por Z∗n . Ejemplo 2.5 (El grupo multiplicativo T). El conjunto de números complejos de norma uno forman un grupo con la multiplicación usual de los complejos, su elemento identidad es el 1 y el inverso de z es 1/z. Además es subgrupo de los complejos. Ejemplo 2.6 (Las raı́ces enésimas de la unidad). El conjunto {1, ε, ε2 , . . . , εn−1 } en donde ε = e2πi/n es un subgrupo del conjunto de T y de los complejos con la multiplicación usual de complejos..

(21) 2. grupos y sus caracteres 13. 2.1.3 Propiedades de los grupos Teorema 2.1 (Regla de simplificación). ac = bc. ó. Si los elementos a, b, c de G satisfacen ca = cb. entonces a = b. Teorema 2.2 (Propiedades de los inversos). En todo grupo G tenemos: 1. 2. 3. 4.. e−1 = e. Para cada a ∈ G, (a−1 )−1 = a. Para todo a y b de G, (ab)−1 = b−1 a−1 . Para todo a y b de G la ecuación ax = b admite la solución única x = a−1 b; la ecuación ya = b admite la solución única y = ba−1 .. Definición 2.5 (Potencias de un elemento). Si a ∈ G definimos an para todo entero n mediante las relaciones: a0 = e,. a−n = (a−1 )n. an = aan−1 ,. para n > 0.. Teorema 2.3. Si a ∈ G, dos potencias cualesquiera de a conmutan, y para todo par de enteros m y n tenemos am an = am+n = an am. y. (am )n = amn = (an )m .. Además, si a y b conmutan tenemos an bn = (ab)n . Teorema 2.4 (Criterio de subgrupo). Si G0 es un subconjunto no vacı́o de un grupo G, entonces G0 es un subgrupo si, y sólo si, G0 satisface los axiomas (1) y (4) de los grupos.. 2.1.4 Propiedades de los subgrupos Dado un grupo G es posible construir un subgrupo G0 a partir de un elemento a de G haciendo el conjunto de todas las potencias de a, este conjunto se llama subgrupo cı́clico generado por a y se designa por hai. Si an = e para algún entero n positivo, existirá un m > 0 mı́nimo con esta propiedad y el subgrupo hai será un grupo finito de orden m; El entero m se llama orden del elemento a y se nota por σ(a)..

(22) 14 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Teorema 2.5. Si G es finito y a ∈ G, entonces existe un entero positivo n ≤ |G| tal que an = e. También, cuando G es un grupo finito y G0 un subgrupo propio de G es posible construir otro subgrupo G00 de G tal que G00 ⊆ G0 a partir de la idea de que como G 6= G0 existe a ∈ G tal que no está en G0 pero por Teorema 2.5 an = e si está en G0 y por el Principio de buena ordenación (ver [2, pág. 16]) existe un entero positivo mı́nimo h tal que ah ∈ G0 . Definición 2.6 (Indicador). Sea G0 un subgrupo de un grupo G y a ∈ G, el mı́nimo entero positivo h tal que ah ∈ G0 es llamado el indicador de a en G0 . Teorema 2.6. Sea G0 un subgrupo de un grupo finito abeliano G, con G0 6= G, a un elemento de G tal que a ∈ / G0 y h el indicador de a en G0 . Entonces el conjunto G00 = {xak : x ∈ G0. y. k = 0, 1, 2, . . . , h − 1}. es un subgrupo de G que contiene a G0 . Además sus órdenes cumplen: |G00 | = h|G0 | Demostración. Ver [2, pág. 167]. 2.2 Caracteres 2.2.1 Definición y ejemplos Definición 2.7 (Carácter). Sea G un grupo abeliano arbitrario. Un carácter f de G es un homomorfismo de grupos de G sobre el grupo multiplicativo T, es decir f (ab) = f (a)f (b). (2.1). para todo a,b de G. Observación 2.2. Para e, el elemento identidad de G, f (e) = 1 puesto que para a ∈ G se cumple ae = a al evaluar f resulta f (a)f (e) = f (a) y como f (a) 6= 0 se tiene f (e) = 1. Además si G es finito, por Teorema 2.5, an = e y ası́ f (a)n = f (an ) = 1 por tanto f (a) es una raı́z de la unidad..

(23) 2. grupos y sus caracteres 15. Ejemplo 2.7. La función f : G → T que envı́a cada elemento de G en 1 cumple claramente con (2.1) por tanto es un carácter de G, este es llamado el carácter principal y se nota por f1 . Ejemplo 2.8 (Caracteres de grupos cı́clicos finitos). Un grupo cı́clico finito y por ende abeliano es un grupo G tal que se puede escribir como el generado de algún elemento g de G, es decir, hgi = G además |G| = σ(g). Por ser G finito, su elemento identidad es g |G| , luego para cualquier carácter f de G f (g)|G| = 1 y por tanto f (g) = e. 2πin |G|. para algún n con 0 ≤ n < |G|. Como para cualquier h ∈ G existe un entero k con 0 ≤ n < |G| tal que h = g k , entonces el valor de f en h seria: f (h) = e. 2πink |G|. En conclusión el valor de cualquier carácter de un grupo cı́clico finito está determinado por el valor de su generador. Como ejemplo calculemos todos los caracteres de Z4 y de Z∗7 Ejemplo 2.9 (Caracteres de Z4 ). De acuerdo con el resultado anterior cada carácter de Z4 está determinado por su valor en 1, para el cual solo hay 4 valores posibles, que son las raı́ces cuartas de la unidad, 1, i, −1, −i y los valores de los restantes serán potencias del valor elegido; la siguiente tabla muestra entonces explı́citamente cada carácter. f1 f2 f3 f4. 0 1 1 1 1. 1 1 i −1 −i. 2 1 −1 1 −1. 3 1 −i −1 i. Cuadro 2.1: Caracteres de Z4 ..

(24) 16 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Ejemplo 2.10 (Caracteres de Z∗7 .). Podemos darnos cuenta que Z∗7 es generado por la clase del 3, entonces a partir de la siguiente tabla de potencias de 3 mod 7 y el hecho de que hay 6 opciones para el valor de un carácter evaluado en 3, que son las raı́ces sextas de la unidad ya que σ(3) = 6 k 3 (mod 7) k. 1 3. 2 2. 3 6. 4 4. 5 5. 6 1. Cuadro 2.2: Potencias de 3 mod 7.. Podemos calcular los caracteres del grupo con su respectivo valor para cada elemento con ayuda de las propiedades de los caracteres y la siguiente tabla de potencias de eπi/3 ; para las próximas tablas sea ω = eπi/3 . k ωk. 1 ω. 2 ω2. 3 −1. 4 −ω. 5 −ω 2. 6 1. Cuadro 2.3: Potencias de ω.. f1 f2 f3 f4 f5 f6. 1 1 1 1 1 1 1. 2 1 ω2 −ω 1 −ω ω2. 3 1 ω ω2 −1 −ω 2 −ω. 4 1 −ω ω2 1 ω2 −ω. 5 1 −ω 2 −ω −1 ω ω2. 6 1 −1 1 −1 −1 1. Cuadro 2.4: Caracteres de Z∗7 .. Observación 2.3. Se puede ver en cada una de las tablas de los caracteres que las columnas de los generadores del grupo recorren todas las raı́ces de la unidad, mientras que los elementos restantes por el contrario no toman todos los valores pero si los que son un subgrupo de las raı́ces. Algo parecido sucede en las filas, más adelante veremos que el conjunto de caracteres forman un grupo y poseen propiedades interesantes..

(25) 2. grupos y sus caracteres 17. Cuando calculamos la cantidad de caracteres de los ejemplos anteriores, sabı́amos de antemano cuantos eran por el hecho de ser cı́clicos y finitos, el siguiente teorema extiende este resultado para grupos abelianos finitos. Teorema 2.7. Un grupo abeliano G finito de orden n admite exactamente n caracteres distintos. Demostración. La demostración de este teorema se hará por inducción sobre los subgrupos de G de la forma del Teorema 2.6, partiendo del subgrupo G1 = {e} si G 6= G1 existe un elemento a1 de G, tal que a1 ∈ / G1 , luego el conjunto G2 = hG1 ; a1 i = {xak : x ∈ G1. y. 0≤k<h. con h el Indicador de a1 en G1 }. es un subgrupo de G el cual contiene a G1 ; si G2 6= G realizamos el procedimiento anterior obteniendo a3 y G3 y volviendo a hacer el procedimiento si G 6= G3 , como G es finito este algoritmo debe acabar en un número finito de pasos con el siguiente resultado: un conjunto de elementos de G, a1 , a2 , . . . , at y un conjunto de subgrupos G1 , G2 , . . . , Gt+1 tales que: Gα+1 = hGα ; aα i 1 ≤ α ≤ t y G1 ⊂ G2 ⊂ · · · ⊂ Gt+1 = G. Ahora como primer paso de inducción es claro que el único carácter que admite G1 = {e} es el carácter principal f1 . Suponemos que Gα tiene orden m y admite exactamente m caracteres distintos, probaremos entonces que cada carácter de Gα se puede extender de h formas distintas hacia Gα+1 para generar un carácter de este, y que cada carácter de Gα+1 es una extensión de alguno de Gα , por ende Gα+1 admitirá mh caracteres distintos y ya que |Gα+1 | = mh quedara demostrado el teorema. En primer lugar, suponiendo que un carácter f de Gα se puede extender a Gα+1 y notándolo por fe y evaluando un elemento de Gα+1 tenemos por la propiedad del homomorfismo fe(xakα ) = fe(x)fe(aα )k Ya que x ∈ Gα , fe(x) = f (x) y por lo tanto fe(xakα ) = f (x)fe(aα )k. (2.2). como f (x) ya es conocido falta determinar los valores posibles para fe(aα ), pero sabemos que ahα ∈ Gα , luego fe(ahα ) = fe(aα )h = f (ahα ). (2.3).

(26) 18 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet y de este modo fe(aα ) es una raı́z h-ésima de f (ahα ), por lo cual hay h maneras distintas para extender a f . Probaremos que fe es realmente un homomorfismo, sean xakα y yajα dos elementos de Gα+1 , evaluando fe de su producto fe(xakα · yajα ) =fe(xy · ak+j α ) =fe(xy · abh+c ) α. c e =f (xyabh α )f (aα ). conmutatividad de G con 0 ≤ c < h por (2.2). =f (x)f (y)f (ahα )b fe(aα )c =f (x)f (y)fe(aα )bh+c. f es homomorfismo. =fe(xakα )fe(yajα ). conmutatividad de T y (2.2). por (2.3). Y ası́ fe es un carácter de Gα+1 . Si dos extensiones fe y ge fuesen idénticas, las funciones f y g de donde provienen serian iguales en Gα por consiguiente cada uno de los m caracteres de Gα se puede extender de h formas diferentes para obtener un carácter de Gα+1 . Por ultimo si ψ es un carácter cualesquiera de Gα+1 , para todo x, y en Gα+1 se cumple ψ(xy) = ψ(x)ψ(y) en particular para Gα , luego el proceso de extensión produce todos los caracteres de Gα+1 . Con esto se concluye la demostración.. 2.2.2 El grupo de los caracteres Para esta sección G designara un grupo abeliano de orden n. Teorema 2.8. Si definimos el producto de caracteres por medio de la relación (f g)(a) = f (a)g(a). (2.4). para cada a de G, entonces el conjunto de caracteres de G forma un grupo abeliano de b orden n. Este grupo lo designamos G. b tiene n elementos y es abeliano por ser abeliano Demostración. Por Teorema 2.7, G b y a, b T, probemos entonces las propiedades de grupo. Sean f , g, h elementos de G elementos de G.

(27) 2. grupos y sus caracteres 19. Cerradura Del producto f g tal como en (2.4), como cada uno es carácter su imagen está en T y por el hecho de ser grupo la imagen de f g es elemento de T. La propiedad de homomorfismo (2.1) es inmediata de la de las dos y que T es abeliano (f g)(ab) = f (ab)g(ab) = f (a)g(a)f (b)g(b) = (f g)(a)(f g)(b) Asociatividad De (2.4) y la asociatividad en T (f (gh))(a) = f (a)(gh)(a) = f (a)g(a)h(a) = (f g)(a)h(a) = ((f g)h)(a) b abeliano solo es necesario probar el producto hacia un lado, un Identidad Por ser G elemento g es identidad si para todo f se cumple (f g)(a) = f (a) como f (a) 6= 0, g(a) debe ser igual a 1 para todo a, luego el elemento identidad b es f1 . de G Inversos f y g son inversos si para todo a ∈ G f (a)g(a) = 1 luego g(a) = (f (a))−1 = f (a−1 ), como f (a) es un complejo de norma 1 (f (a))−1 también se puede escribir como f (a), donde la barra significa el complejo conjugado de f (a). Note que la función f definida por f (a) = f (a) es un carácter de G.. Relaciones de ortogonalidad para caracteres Los caracteres f1 , f2 , . . . , fn de un grupo abeliano finito G = {a1 , a2 , . . . , an } cumplen con ciertas relaciones de ortogonalidad que a partir de la matriz A = A(G) de tamaño n × n con elemento aij = fi (aj ) mencionaremos a continuación..

(28) 20 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Teorema 2.9. La suma de los elementos de la i−ésima fila de A viene dada por n X. fi (ar ) =. r=1. n si i = 1 0 en otro caso. Demostración. Denotemos por S a esta suma, en el caso de i = 1, S es la suma de n veces uno. Para i 6= 1 existe b ∈ G tal que fi (b) 6= 1, al efectuar el producto ai b obtenemos el mismo grupo G ya que si dos fuesen iguales ai b = aj b por Teorema 2.1 llegamos a que los elementos ai , aj eran iguales, entonces si a S lo multiplicamos por fi (b) obtendremos fi (b)S = fi (b). n X r=1. fi (ar ) =. n X. fi (bar ) = S. r=1. que es lo mismo que S(fi (b) − 1) = 0, ya que fi (b) 6= 1 concluimos que S = 0. En seguida se demostrara que la matriz A es invertible. Teorema 2.10. Denotemos por A∗ la matriz transpuesta conjugada de A. Entonces se cumple AA∗ = nI Donde I es la matriz identidad de tamaño n. Y por lo tanto la matriz inversa de A es: A−1 = n−1 A∗ Demostración. Sea B = AA∗ el elemento bij de B está dado por bij = =. n X. fi (ar )f j (ar ). r=1 n X. por el producto de caracteres. (fi /fj )(ar ). r=1. Como (fi /fj ) es un carácter de G y además es el carácter principal si i = j por el Teorema 2.9 n si i = j bij = 0 si i 6= j Con lo cual B = nI..

(29) 2. grupos y sus caracteres 21. Teorema 2.11 (Relaciones de ortogonalidad para caracteres). Bajo las hipótesis que se han trabajado se cumple que: n X. f r (ai )fr (aj ) =. r=1. n si ai = aj 0 si ai 6= aj. Demostración. Ya que AA∗ = nI se tiene también que A∗ A = nI, el elemento de la i-ésima fila, j-ésima columna de la matriz A∗ A está dado por la parte izquierda de la igualdad en el Teorema, que es igual a: n X. fr (a−1 i aj ). (2.5). r=1. Lo cual termina la demostración. Si en la ecuación (2.5) ai es la identidad en G obtenemos la relación de la suma de las columnas de la matriz A. Teorema 2.12. La suma de los elementos de la j-ésima columna de A viene dada por n X r=1. fr (aj ) =. n si aj = e 0 en otro caso.

(30)

(31) 3. caracteres de dirichlet 23. 3. Caracteres de Dirichlet. En esta sección se establecerá la definición de Carácter de Dirichlet el cual se define a partir del grupo Z∗k y sus caracteres visto en el capı́tulo 1, además se darán a conocer algunos teoremas referentes a este. Por comodidad G denotara el grupo de las clases reducidas de restos modulo un entero positivo k fijo.. 3.1 Definición A partir de los visto en el capı́tulo anterior podemos construir lo que es un carácter de Dirichlet y establecer propiedades que hereda a partir de los caracteres de G. Definición 3.1 (Carácter de Dirichlet). El carácter de Dirichlet ligado a un carácter f de G es la función aritmética χ = χf definida como sigue f (b n) si (n, k) = 1 χ(n) = 0 si (n, k) > 1 La función χ se llama carácter de Dirichlet modulo k. Observación 3.1. El carácter principal de Dirichlet módulo k, χ1 es el que verifica las propiedades 1 si (n, k) = 1 χ1 (n) = 0 si (n, k) > 1 El siguiente teorema establece la cantidad de Caracteres de Dirichlet modulo k y algunas propiedades como funciones aritméticas. Teorema 3.1. Existen ϕ(k) caracteres de Dirichlet modulo k, cada uno de los cuales es completamente multiplicativo y periódico de periodo k. Es decir, se verifica χ(mn) = χ(m)χ(n).

(32) 24 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet y χ(n + k) = χ(n) para todo m,n entero. Recı́procamente, si χ es completamente multiplicativa y periódica de periodo k, y si χ(n) = 0 si (n, k) > 1, entonces χ es uno de los caracteres de Dirichlet modulo k. Demostración. Por el Teorema 2.7 existen ϕ(k) caracteres f de G y cada uno de ellos define un carácter de Dirichlet χf modulo k distintos. Para probar la propiedad multiplicativa primero supóngase que (mn, k) > 1 por tanto χ(mn) = 0 y existe un entero a 6= 1 tal que a|mn y a|k, de esto último se tiene que o a|m o a|n y en cualquiera de los dos casos χ(m)χ(n) = 0; por otro lado si (mn, k) = 1 entonces (m, k) = 1 y (n, k) = 1 ası́ por ser f multiplicativa χ también lo es χ(mn) = f (mn) c = f (mb b n) = f (m)f b (b n) = χ(m)χ(n) Para probar la propiedad de la periodicidad partiendo del hecho que (n + k) ∼ = [ n(modk) por el Teorema 1.6 n + k = n b, luego χ(n + k) = f (n[ + k) = f (b n) = χ(n) Para probar el reciproco tomamos una función aritmética χ completamente multiplic∗ cativa, periódica de periodo k y que χ(n) = 0 si (n, k) > 1 debemos encontrar f ∈ Z k tal que χ este definido a partir de f , sea f definida como f (b n) = χ(n) si (n, k) = 1 Veamos que f es un carácter de G y por tanto χ es un carácter de Dirichlet modulo k. En efecto, de la propiedad multiplicativa de χ, χ(1) = χ(1)χ(1) como (1, k) = 1 se cumple que χ(1) = 1, además del Teorema de Euler-Fermat ( [2, pág. 113]) para un entero a con (a, k) = 1 se tiene que aϕ(k) ∼ = 1(modk) y por lo tanto ϕ(k) ) = χ(aϕ(k) ) f (ad f (b 1) = χ(a)ϕ(k) √ ϕ(k) 1 = χ(a).

(33) 3. caracteres de dirichlet 25. De este modo χ(a) ∈ T y por lo tanto f (a) también, por último la propiedad multiplicativa de f se deduce de la de χ y con esto queda demostrado que f es un carácter de Z∗k . Ejemplo 3.1. Retomando la Tabla 2.4 de caracteres de Z∗7 podemos escoger cualquiera de ellos y formar un Carácter de Dirichlet mod 7, por ejemplo χ2 y χ4 ligados a f2 y f4 respectivamente, son dados por n χ2 (n) χ4 (n). 1 1 1. 2 ω2 1. 3 ω −1. 4 −ω 1. 5 −ω 2 −1. 6 −1 −1. 7 0 0. Cuadro 3.1: Caracteres de Dirichlet χ2 y χ4 mod 7. Los cuales son periódicos de perı́odo 7.. 3.1.1 Relación de ortogonalidad en los Caracteres de Dirichlet Como hemos visto un carácter de Dirichlet depende de un carácter de G, por tanto hereda propiedades de ortogonalidad. Teorema 3.2. Sean χ1 , χ2 , . . . , χϕ(k) los ϕ(k) caracteres de Dirichlet módulo k. Sean m y n dos enteros, con (n, k) = 1. Entonces tenemos ϕ(k) X. χr (m)χr (n) =. r=1. ϕ(k) si m ∼ = n (mod k) 0 si m n (mod k). Demostración. En el caso que (m, k) > 1 cada sumando es igual a cero y por lo tanto su suma, además por Teorema 1.7 m n (mod k), por otro lado si m ∼ = n (mod k) por el mismo teorema (m, k) = 1 = (n, k) y la sumatoria aplicando la definición de Carácter de Dirichlet queda ϕ(k) X. fr (m)f b r (m) b. r=1. y por el Teorema 2.11 queda demostrado el Teorema..

(34) 26 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet. 3.2 Módulos Inducidos y Caracteres Primitivos 3.2.1 Módulos Inducidos Definición 3.2 (Módulo Inducido). Sea χ un carácter de Dirichlet mod k y sea d un divisor positivo de k. El numero d se llama módulo inducido por χ si se tiene χ(a) = 1 siempre que (a, k) = 1 y a ∼ = 1(mod d) Observación 3.2. Obsérvese que 1 no es un módulo inducido para cualquier carácter de Dirichlet mod k ya que si bien para los números que son primos relativos con k se cumple a ∼ = 1( mod 1) no siempre se tiene que χ(a) = 1. Teorema 3.3. Sea χ un carácter de Dirichlet mod k. Entonces 1 es un módulo inducido por χ si, y solo si, χ = χ1 . Demostración. Si χ = χ1 entonces para todo a primo relativo con k, χ(a) = 1 y como a ∼ = 1(mod 1) el número 1 es un módulo inducido por χ. Recı́procamente, si 1 es un módulo inducido, entonces χ(a) = 1 cuando (a, k) = 1, luego χ = chi1 ya que χ se anula en los valores que no son primos relativos con k. Observación 3.3. Note que k es un módulo inducido por χ ya que si (a, k) = 1 y a∼ = 1( mod k) se tendrá que χ(a) = 1. Definición 3.3 (Carácter primitivo). Un carácter de Dirichlet χ mod k es primitivo mod k si no existe ningún módulo inducido d < k. En otras palabras, χ es primitivo mod k si, y solo si, para cada divisor d de k, 0 < d < k, existe un entero a ∼ = 1( mod d), (a, k) = 1, tal que χ(a) 6= 1. Teorema 3.4. Cada carácter no principal χ módulo un primo p es un carácter primitivo mod p. Demostración. El único divisor de p menor a él es el 1, si 1 fuese un módulo inducido por χ este último debe ser un carácter principal lo cual contradice la hipótesis, por tanto χ no tiene módulos inducidos menores a p. Luego χ es primitivo. Ejemplo 3.2. En este ejemplo estudiaremos los caracteres de Dirichlet módulo 12 determinando sus módulos inducidos y verificando si alguno es primitivo, los caracteres de Dirichlet mod 12 son:.

(35) 3. caracteres de dirichlet 27. n χ1 (n) χ2 (n) χ3 (n) χ4 (n). 1 1 1 1 1. 2 0 0 0 0. 3 0 0 0 0. 4 0 0 0 0. 5 1 1 −1 −1. 6 0 0 0 0. 7 1 −1 1 −1. 8 0 0 0 0. 9 0 0 0 0. 10 0 0 0 0. 11 1 −1 −1 1. 12 0 0 0 0. Cuadro 3.2: Caracteres de Dirichlet módulo 12.. Módulos inducidos: Para χ1 . Cada uno de los divisores de 12 es modulo inducido por χ1 . Para χ2 . 4 y 12 son módulos inducidos por χ2 . Para χ3 . 3, 6 y 12 son módulos inducidos por χ3 . Para χ4 . 12 es el único modulo inducido por χ4 ; por lo tanto χ4 es un carácter primitivo mod 12.. 3.2.2 Propiedades de módulos inducidos Los siguientes teoremas sirven para identificar módulos inducidos por un carácter de Dirichlet. Teorema 3.5. Sea χ un carácter de Dirichlet mod k y supongamos que d > 0 y d|k, entonces d es un módulo inducido por χ si, y solo si, χ(a) = χ(b) siempre que (a, k) = (b, k) = 1 y a ∼ = b(mod d). (3.1). Demostración. Si (3.1) se cumple escogemos b = 1 lo cual se reduce a la definición de módulo inducido y por tanto d lo es. Para el reciproco escogemos a y b tales que (a, k) = (b, k) = 1. (3.2). a∼ = b(mod d). (3.3).

(36) 28 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet El inverso de a existe en el sistema residual reducido por (3.2), de esta manera (a−1 , k) = 1 y aa−1 ∼ = 1(mod d), como d es módulo inducido = 1(mod k), como d|k, aa−1 ∼ −1 χ(aa ) = 1, por (3.3) ba−1 ∼ 1(mod d), luego χ(ba−1 ) = 1 ası́ = χ(a)χ(a−1 ) = χ(b)χ(a−1 ) χ(a−1 ) 6= 0 porque (a−1 , k) = 1 y como resultado simplificando χ(a) = χ(b) terminando la demostración. La ecuación (3.1) nos dice que χ es periódico mod d sobre los enteros primos con k. Luego χ actúa perfectamente como un carácter mod d. Ejemplo 3.3. La tabla que sigue describe uno de los caracteres χ mod 9. n χ(n). 1 1. 2 −1. 3 0. 4 1. 5 −1. 6 0. 7 1. 8 −1. 9 0. Esta tabla es periódica módulo 3, luego 3 es un módulo inducido por χ. En efecto, χ actúa como el siguiente carácter ψ módulo 3: n ψ(n). 1 1. 2 −1. 3 0. Observación 3.4. Como χ(n) = ψ(n) para todo n, llamamos a χ extensión de ψ. Además si χ es una extensión de un carácter ψ módulo d, entonces d es un módulo inducido por χ. La siguiente proposición es de necesidad para la demostración del teorema que le sigue el cual relaciona módulos inducidos con caracteres de este mismo. Proposición 3.1. Sean n, a, d enteros dados con (a, d) = 1. Sea m = a + qd, en donde q es el producto de todos los primos que dividen a n, pero no dividen a a. Entonces m∼ = a (mod d). y. (m, n) = 1. Teorema 3.6. Sea χ un carácter de Dirichlet módulo k y sea d|k, d < k. Son equivalentes las afirmaciones: 1. d es un módulo inducido por χ..

(37) 3. caracteres de dirichlet 29. 2. Existe un carácter ψ módulo d tal que χ(n) = ψ(n)χ1 (n). para todo n. (3.4). en donde χ1 es el carácter principal módulo k. Demostración. Si (2) se verifica escogemos n tal que (n, k) = 1 y n ∼ = 1 (mod d). Por tanto ψ(n) = 1 y por (3.4) χ(n) = 1, luego d es un módulo inducido. Ası́ (2) implica (1). Si (1) se verifica mostraremos un carácter ψ módulo d para el cual (3.4) se cumple. Ahora definimos ψ(n) como sigue: Si (n, d) > 1, sea ψ(n) = 0, como d|k igualmente (n, k) > 1 y por lo tanto (3.4) se anula a ambos lados en este caso. Ahora suponemos que (n, d) = 1, por la proposición anterior existe m tal que m ∼ =n (mod d) y (m, k) = 1, a partir de este m, ψ queda definido como: ψ(n) = χ(m) De esta manera probemos que ψ es un carácter de Dirichlet módulo d. En efecto ψ es periódico de periodo d ya que como (n, d) = 1 se tiene (n + d, d) = 1, por lo tanto existe un m0 tal que m0 ∼ = n (mod d) y (m0 , k) = 1 de este modo m ∼ = m0 (mod d) y por Teorema 3.5 χ(m) = χ(m0 ) ası́ ψ(n + d) = χ(m0 ) = χ(m) = ψ(n) Para probar que ψ es completamente multiplicativo tomemos a, b con (a, d) = 1 = (b, d)1 por tanto existen m, m0 tales que m ∼ = a (mod d), (m, k) = 1 y m0 ∼ = b (mod 0 d) y (m , k) = 1, además (ab, d) = 1 e igualmente existe m00 tal que m00 ∼ = ab (mod 00 0 ∼ 00 d) y (m , k) = 1; a partir de las congruencias resulta que mm = m (mod d) y por Teorema 3.5 χ(m00 ) = χ(mm0 ) ası́ ψ(ab) = χ(m00 ) = χ(mm0 ) = χ(m)χ(m0 ) = ψ(a)ψ(b) Por lo tanto cumple (3.4) ya que χ1 (n) = 1 para los n con (n, k) = 1. Ejemplo 3.4. En el cuadro 3.2 se dijo que 4 es un módulo inducido por χ2 veamos cual es el carácter ψ módulo 4 que nos deja ver el Teorema 3.6. ψ(1) = 1 ya que es un carácter. ψ(2) = 0 ya que (2, 4) 6= 1. 1. En el caso que al menos uno de los ellos fuera distinto de 1 se reduce a cero y cumple la propiedad..

(38) 30 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Para hallar ψ(3) primero calculamos el producto de los primos que dividen a 12 pero no a 3 es decir q = 2 entonces m = 3 + 2 ∗ 4 = 11 y ası́ ψ(3) = χ2 (11) = −1. ψ(4) = 0 ya que (4, 4) 6= 1. Entonces los valores de ψ son: n ψ(n). 1 1. 2 0. 3 −1. 4 0. Y se verifica n ψ(n) χ1 (n) χ2 (n) = ψ(n)χ1 (n). 1 1 1 1. 2 0 0 0. 3 −1 0 0. 4 0 0 0. 5 1 1 1. 6 0 0 0. 7 −1 1 −1. 8 0 0 0. 9 1 0 0. 10 0 0 0. 11 −1 1 −1. 12 0 0 0. 3.3 El conductor de un carácter Definición 3.4. Sea χ un carácter de Dirichlet mod k. El menor módulo inducido d por χ se llama conductor de χ. Teorema 3.7. Cada carácter de Dirichlet χ mod k se puede expresar como un producto χ(n) = ψ(n)χ1 (n) para todo n, (3.5) en donde χ1 es el carácter principal mod k y ψ es un carácter primitivo módulo el conductor de ψ. Demostración. Sea d el conductor de χ, como es un módulo inducido por el Teorema 3.6 χ se puede escribir como: χ(n) = ψ(n)χ1 (n) con ψ(n) un carácter mod d, ahora supongamos que ψ no es primitivo por tanto existe q < d que divide a d y a la vez a k tal que q es módulo inducido por ψ, ahora sea n tal.

(39) 3. caracteres de dirichlet 31. que (n, k) = 1 y n ∼ = 1 (mod k), como d|k se tiene también que (n, d) = 1 y n ∼ =1 (mod d) por tanto ψ(n) = 1 y de este modo χ(n) = 1 en conclusión q es módulo inducido por χ lo cual contradice el hecho que d sea el conductor de χ, luego ψ debe ser primitivo..

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(41) 4. series finitas de fourier 33. 4. Series Finitas de Fourier. El objeto de este capı́tulo es primero mostrar la existencia de series finitas de Fourier para funciones aritméticas periódicas como herramienta para una posterior representación de los caracteres de Dirichlet antes vistos, al igual definir el concepto de Suma de Gauss asociados a Caracteres de Dirichlet y algunas de sus propiedades.. 4.1 Funciones Periódicas Módulo k En capı́tulos anteriores ya hemos visto este tipo de funciones acá veremos la definición formal. Definición 4.1. ca de periodo k si. Sea k un entero positivo. Una función aritmética f se llama periódif (n + k) = f (n). para todo n. Si k es un perı́odo también lo son sus múltiplos mk con m entero positivo. El menor perı́odo positivo de f se llama el perı́odo fundamental. Ejemplo 4.1. La función exponencial f (n) = e2πimn/k con m y k fijos es periódica de periodo k al igual que toda combinación lineal finita de estas funciones cambiando m X c(m)e2πimn/k m. con c(m) coeficientes arbitrarios..

(42) 34 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Estas sumas se llaman Series finitas de Fourier, se demostrara que cada función aritmética periódica mod k se puede expresar como una serie de este tipo. Teorema 4.1 (Suma geométrica). Para k > 1 fijo, sea g(n) =. k−1 X. e2πimn/k. m=0. Entonces g(n) =. 0 si k - n k si k|n. Demostración. g(n) se puede escribir como g(n) =. k−1 X. xm. m=0. con x = e2πin/k , por tanto es una suma de términos de una progresión geométrica por lo tanto ( k x −1 si x 6= 1 x−1 g(n) = k si x = 1 Ahora si k|n el valor que toma x es 1 y ası́ g(n) = k, por otro lado si k - n, x 6= 1, además xk = 1 y por lo tanto g(n) = 0. 4.2 Existencia de Series Finitas de Fourier Para Funciones Aritméticas Periódicas Teorema 4.2 (Teorema de interpolación de Lagrange). Sean z0 , z1 , . . . , zk−1 , k números complejos distintos, y sean w0 , w1 , . . . , wk−1 , k números complejos no necesariamente distintos. Entonces existe un único polinomio P (z) de grado menor o igual a k − 1 tal que P (zm ) = wm para m = 0, 1, 2, k − 1. Para este teorema se hará la construcción del polinomio para tres puntos z1 , z2 y z3 ya que para k puntos es análogo y la demostración es constructiva. Sea A(z) el polinomio A(z) = (z − z1 )(z − z2 )(z − z3 ).

(43) 4. series finitas de fourier 35. y Am (z) =. A(z) z − zm. es decir A1 (z) = (z − z2 )(z − z3 ) A2 (z) = (z − z1 )(z − z3 ) A3 (z) = (z − z1 )(z − z2 ) Note que cada Am (z) es un polinomio de grado k − 1, en este caso 2, además Am (zm ) 6= 0 y cada Am (z) se anula en los puntos zj con j 6= m. Por lo tanto cada Am (z)/Am (zm ) es un polinomio de grado k − 1 que se anula en cada zj para j 6= m (z − z2 )(z − z3 ) A1 (z)/A1 (z1 ) = (z1 − z2 )(z1 − z3 ) A2 (z)/A2 (z2 ) =. (z − z1 )(z − z3 ) (z2 − z1 )(z2 − z3 ). A3 (z)/A3 (z3 ) =. (z − z1 )(z − z2 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 ). también cada Am (z)/Am (zm ) es igual a 1 en zm . La importancia de que los zm sean distintos se ve en que este bien definido cada Am (z)/Am (zm ). Por consiguiente la combinación lineal P (z) =. k−1 X m=0. wm. Am (z) Am (zm ). es un polinomio de grado a lo sumo k − 1 con P (zj ) = wj , para cada j. En nuestro caso: (z − z2 )(z − z3 ) (z − z1 )(z − z3 ) (z − z1 )(z − z2 ) + w2 + w3 (z − z2 )(z1 − z3 ) (z2 − z1 )(z2 − z3 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 ) 1 w2 w3 w1 2 + + = z (z1 − z2 )(z1 − z3 ) (z2 − z1 )(z2 − z3 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 ) w1 (z2 + z3 ) w2 (z1 + z3 ) w3 (z1 + z2 ) −z + + (z1 − z2 )(z1 − z3 ) (z2 − z1 )(z2 − z3 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 ) w1 z2 z3 w2 z1 z3 w3 z1 z2 + + + (z1 − z2 )(z1 − z3 ) (z2 − z1 )(z2 − z3 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 ). P (z) = w1.

(44) 36 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet P (z) es el polinomio buscado y esta únicamente determinado por los puntos zm y wm . Si escogemos los números zm como las k raı́ces k-ésimas de la unidad se obtiene el siguiente resultado: Teorema 4.3. Dados k números complejos w0 , w1 , . . . , wk−1 , existen k números complejos unı́vocamente determinados a0 , a1 , . . . , ak−1 tales que wm =. k−1 X. an e2πimn/k. n=0. para m = 0, 1, 2, . . . , k − 1. Además, los coeficientes an vienen expresados por la formula an =. k−1 1X wm e−2πimn/k k m=0. para n = 0, 1, . . . , k − 1. Demostración. Sea zm = e2πim/k , para la primera parte del teorema hacemos uso del Teorema de interpolación de Lagrange ya que las k raı́ces son distintas existe un único polinomio P (z) tal que k−1 X P (z) = an z n n=0. donde an están unı́vocamente determinados como se vio en el ejemplo anterior y P (zm ) = wm . Para la segunda parte partiendo de la fórmula de wn multiplicamos por e−2πimr/k con m y r enteros no negativos menores que k −2πimr/k. wm e. −2πimr/k. =e. k−1 X. an e. 2πimn/k. =. n=0. k−1 X. an e2πim(n−r)/k. n=0. y sumando sobre m k−1 X. −2πimr/k. wm e. =. m=0. =. k−1 X k−1 X. an e2πim(n−r)/k. m=0 n=0 k−1 k−1 X X. an. n=0. e2πim(n−r)/k. m=0. El intercambio de las sumatorias se puede hacer ya que las sumas son finitas. Por el Teorema 4.1 la suma de la derecha sobre m se anula a menos que k|(n − r) pero.

(45) 4. series finitas de fourier 37. 0 < n ≤ k − 1 < k y 0 < r ≤ k − 1 < k, de este modo −k < n − r < k entonces k|(n − r) solo en el caso que n = r y la ecuación queda k−1 X. wm e−2πimr/k = kar. m=0. que es lo que querı́amos demostrar. Teorema 4.4. Sea f una función aritmética periódica mod k. Entonces existe una función aritmética g unı́vocamente determinada, también periódica mod k, tal que f (m) =. k−1 X. g(n)e2πimn/k. n=0. De hecho g viene expresada por la fórmula k−1 1X g(n) = f (m)e−2πimn/k k m=0. Demostración. A partir del Teorema anterior tomamos wm = f (m) y definimos la función g como g(m) = am para m = 0, 1, 2, . . . , k − 1 y extendemos la función para todos los enteros por periodicidad mod k. La suma de f (n) se llama desarrollo finito de Fourier de f y los números g(n) se llaman coeficientes de Fourier de f ..

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(47) 5. sumas de gauss 39. 5. Sumas de Gauss. Las sumas de Gauss pueden tener varias definiciones y representaciones, en este caso veremos las sumas de Gauss asociadas a caracteres de Dirichlet y algunas de sus propiedades.. 5.1 Asociadas a Caracteres de Dirichlet Definición 5.1.. Para todo carácter de Dirichlet χ mod k, la suma G(n, χ) =. k X. χ(m)e2πimn/k. m=1. se llama suma de Gauss asociada a χ. Observación 5.1. Como tanto la función exponencial como el carácter de Dirichlet son periódicas de periodo k la suma se puede hacer sobre cualquier sistema residual completo mod k. Teorema 5.1. Si χ es un carácter de Dirichlet mod k, entonces G(n, χ) = χ(n)G(1, χ). si (n, k) = 1.. Demostración. Partiendo de la identidad χ(r) = χ(n)χ(n)χ(r) = χ(n)χ(nr) con n y r enteros. La suma de Gauss asociada a χ se puede escribir como X G(n, χ) = χ(r)e2πinr/k r mod k X = χ(n) χ(nr)e2πinr/k r mod k.

(48) 40 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Por Teorema 1.8 el conjunto de números nr es un sistema residual completo mod k, luego la igualdad anterior queda: X = χ(n) χ(m)e2πim/k m mod k = χ(n)G(1, χ) Lo cual termina la demostración. Definición 5.2.. La suma de Gauss G(n, χ) se dice que es separable si G(n, χ) = χ(n)G(1, χ). (5.1). El anterior teorema nos dice que G(n, χ) es separable si n es primo relativo con k. Para los enteros n que no son primos con k se tiene: Teorema 5.2. Si χ es un carácter mod k, la suma de Gauss G(n, χ) es separable para cada n si, solo si, G(n, χ) = 0 si (n, k) > 1 Demostración. Si (n, k) = 1 se cumple (5.1) y para n con (n, k) > 1 se tendrá que χ(n) = 0 y la parte derecha de (5.1) se anula, ası́ que para que G(n, χ) sea separable se debe cumplir G(n, k) = 0. Teorema 5.3. Si G(n, χ) es separable para cada n, entonces |G(1, χ)|2 = k Demostración. A partir de |G(1, χ)| |G(1, χ)|2 = G(1, χ)G(1, χ) = G(1, χ). k X. χ(m)e−2πim/k. Propiedades numeros complejos. Definición suma de Gauss.. m=1. =. =. =. k X. G(m, χ)e−2πim/k. m=1 k X k X. χ(r)e2πimr/k e−2πim/k. m=1 r=1 k X. k X. r=1. m=1. χ(r). = kχ(1) = k. e2πim(r−1)/k. Separabilidad de G(n, χ).. Definición suma de Gauss.. Intercambio sumas por ser finitas. Teorema 4.1..

(49) 5. sumas de gauss 41. 5.2 Caracteres de Dirichlet con sumas de Gauss no nulas En la sección anterior vimos que la separabilidad de G(n, χ) conlleva a la anulación de este para los n que cumplen (n, k) > 1. El teorema que sigue da una condición necesaria para que G(n, χ) no se anule para (n, k) > 1. Teorema 5.4. Sea χ un carácter de Dirichlet mod k y supongamos que G(n, χ) 6= 0 para un n con la propiedad (n, k) > 1. Entonces existe un divisor d de k, d < k, tal que χ(a) = 1. si. (a, k) = 1. y. a∼ = 1(mod d). Demostración. Sea q = (n, k) mayor a 1 y sea d = k/q, entonces d|k y d < k. Elegimos un a que satisfaga (a, k) = 1 y a ∼ = 1(mod d). Probaremos que χ(a) = 1. Como ya hemos visto antes como (a, k) = 1 por el Teorema 1.8 la suma de Gauss se puede escribir como X G(n, χ) = χ(a) χ(m)e2πinam/k m mod k Como a ∼ = 1(mod d), d|(a − 1) luego a se puede escribir como a = db + 1, con b un entero, además d = k/q, por tanto a=. kb +1 q. Reemplazando esto último para la función exponencial nm kb anm = 1+ k k q nm bnm + = k q Ya que q|n, bnm/q es un número entero por lo tanto e2πinam/k = e2πinm/k e2πibnm/q = e2πinm/k y la suma queda G(n, χ) = χ(a). X. χ(m)e2πinm/k = χ(a)G(n, χ). m mod k por hipótesis G(n, χ) 6= 0 lo cual implica que χ(a) = 1..

(50) 42 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Para el ultimo teorema recordando el Capı́tulo 3 se puede escribir que si G(n, χ) 6= 0 para un n con (n, k) > 1 entonces existe un módulo inducido d por χ, el siguiente teorema es sobre los Caracteres primitivos. Teorema 5.5. Sea χ un carácter primitivo de Dirichlet mod k. Entonces tenemos: a) G(n, χ) = 0 para cada n con (n, k) > 1. b) G(n, χ) es separable para cada n. c) |G(n, χ)|2 = k. Demostración. Para cada item: a) Por contradicción si existiera un n con (n, k) > 1 tal que G(n, χ) 6= 0 por Teorema 5.4 existirı́a un módulo inducido por χ lo cual contradice que χ sea primitivo. b) Por parte a) y Teorema 5.2. c) Por parte a) y Teorema 5.3.. El Teorema que sigue complementa la parte b) del Teorema anterior. Teorema 5.6. Sea χ un carácter mod k. Entonces χ es primitivo mod k si, y sólo si, la suma de Gauss X G(n, χ) = χ(m)e2πimn/k m mod k es separable para cada n. Demostración. Si χ es primitivo, por teorema anterior G(n, χ) es separable para cada n. Probaremos el reciproco, la manera de hacerlo será suponer que χ no es primitivo y llegar a que G(n, χ) no es separable, es decir existe r con (r, k) > 1 tal que G(r, χ) 6= 0. Si χ no es primitivo existe un conductor d < k. Sea r = k/d, por tanto r 6= 1 y (k, r) > 1 por el Teorema 3.7 χ se puede escribir como χ(n) = ψ(n)χ1 (n). para todo n. donde ψ es un carácter primitivo modulo d, entonces en la suma de Gauss evaluada en r se tiene X G(r, χ) = ψ(m)χ1 (m)e2πirm/k m mod k.

(51) 5. sumas de gauss 43. como χ1 (m) = 0 para los valores de m que no son primos relativos con k y reemplazando r = k/d X G(r, χ) = ψ(m)e2πim/d m mod k (m,k)=1. Note que la ultima sumatoria es sobre un sistema residual reducido modulo k ası́ que usando el Teorema 1.10 esta suma será ϕ(k)/ϕ(d) veces la suma sobre un sistema residual reducido modulo d. G(r, χ) =. ϕ(k) ϕ(d). X. ψ(m)e2πim/d. m mod d (m,d)=1. =. ϕ(k) G(1, ψ) ϕ(d). Como ψ es primitivo modulo d por Teorema 5.3 |G(1, ψ)|2 = d, luego G(r, χ) 6= 0 lo que indica que χ no es separable.. 5.3 La serie finita de Fourier de los caracteres de Dirichlet Como ya hemos visto un carácter de Dirichlet es una función aritmética periódica por lo tanto admite un desarrollo finito de Fourier, por el Teorema 4.4 χ un carácter de Dirichlet mod k se puede escribir como χ(m) =. k X. ak (n)e2πimn/k. n=1. donde k 1X ak (n) = χ(m)e−2πimn/k k m=1. Note que la ultima suma es una suma de Gauss G(−n, χ) por tanto los coeficientes de Fourier se pueden escribir ak (n) =. 1 G(−n, k) k. En particular si χ es primitivo se tiene el siguiente resultado..

(52) 44 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Teorema 5.7. El desarrollo finito de Fourier de un carácter de Dirichlet primitivo mod k tiene la forma k τk (χ) X χ(m) = √ χ(n)e−2πimn/k k n=1 en donde τk (χ) =. k G(1, χ) 1 X √ χ(m)e2πim/k =√ k k m=1. y los números τ (χ) tienen valor absoluto 1. Demostración. Ya que χ es primitivo, G(−n, χ) = χ(−n)G(1, χ), con lo cual los coeficientes son de la forma ak (n) =. χ(−n)G(1, χ) k. y el desarrollo de χ queda χ(m) =. X. n mod k G(1, χ) = k. χ(−n)G(1, χ) 2πimn/k e k X. χ(−n)e2πimn/k. n mod k Como la suma es sobre un sistema residual mod k en particular es válido para el periodo entre −k a −1 k. G(1, χ) X χ(m) = χ(n)e−2πimn/k k n=1 Usando los Teoremas 5.3 y 5.5 χ es separable y por tanto |G(1, χ)|2 = k, por ende |τ (χ)| = 1, lo cual termina la demostración..

(53) 6. sumas de gauss de orden superior 45. 6. Sumas de Gauss de orden Superior. En el capı́tulo anterior vimos las sumas de Gauss que están asociadas a los caracteres de Dirichlet, pero como habı́amos dicho hay distintas definiciones de estas, en este capı́tulo veremos sumas de la forma X k e2πin /p G (k) = n. que también son llamadas sumas de Gauss, en donde k es un entero positivo mayor a 1, p un primo tal que p ∼ = 1(mod k) y la suma es sobre un sistema residual completo modulo p. Aunque esta última está relacionada con la que ya vimos X χ(n)e2πin/p G(1, χ) = n. donde χ es un carácter de Dirichlet mod p de orden k, y su relación se da por las ecuaciones. p k−1 X X G (k) = e2πin/p [1 + χ(n) + . . . + χk−1 (n)] = G(1, χj ) (6.1) n=1. j=1. Otorgando facilidad a la hora de calcular estas sumas ya que quita la potencia en el exponente y solo se debe buscar el carácter que hace cumplir la igualdad. Observación 6.1. La importancia de que p tenga la condición que p ∼ = 1(mod k) y que χ sea un carácter de Dirichlet mod p de orden k se ve en el hecho de que el grupo de todos los caracteres de Dirichlet de orden p tiene ϕ(p) = p − 1 elementos ası́ que para un elemento de este grupo su orden debe dividir a p − 1, por ende al ser χ de orden k se tendrá p ∼ = 1(mod k). Veamos ejemplos donde (6.1) se verifica..

(54) 46 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet. 6.1 Ejemplos Ejemplo 1 Escogiendo p = 7 y k = 3 debemos verificar 7 X. e. 2πin3 /7. n=1. =. 7 X. e2πin/7 [1 + χ(n) + χ2 (n)]. n=1. donde χ es un carácter de Dirichlet mod 7 de orden 3. Haciendo uso de las Tablas 2.3 de las potencias de w = eπi/3 y 2.4 de los Caracteres de Z∗7 sabiendo que cada uno de ellos define un carácter de Dirichlet mod 7 podemos calcular el orden de cada uno de estos. χ1 χ2 χ3 χ4 χ5 χ6. 1 1 1 1 1 1 1. 2 1 ω2 −ω 1 −ω ω2. 3 1 ω ω2 −1 −ω 2 −ω. 4 1 −ω ω2 1 ω2 −ω. 5 1 −ω 2 −ω −1 ω ω2. 6 1 −1 1 −1 −1 1. 7 0 0 0 0 0 0. orden 1 6 3 2 6 3. Cuadro 6.1: Caracteres de Dirichlet mod 7.. Por tanto existen 2 caracteres de Dirichlet mod 7 de orden 3. Cada una de ellas al calcularlas por separado nos resulta: 7 X 3π 2πin3 /7 e = 1 + 6 sin 14 n=1 Para χ1 7 X n=1. e. 2πin/7. [1 + χ1 (n) +. χ21 (n)]. =3. 7 X. e2πin/7 = 0. n=1. Para χ2 7 X n=1. e2πin/7 [1 + χ2 (n) + χ22 (n)] ≈ −1.069663952 − 0.1524875i.

(55) 6. sumas de gauss de orden superior 47. Para χ3 7 X. 2πin/7. e. [1 + χ3 (n) +. χ23 (n)]. = 1 + 6 sin. n=1. 3π 14. . Para χ4 7 X. e2πin/7 [1 + χ4 (n) + χ24 (n)] =. n=1. 7 X. e2πin/7 [2 + χ4 (n)] ≈ 2.645751311i. n=1. Para χ5 7 X. e2πin/7 [1 + χ5 (n) + χ25 (n)] ≈ 4.810602763 + 2.197725083i. n=1. Para χ6 7 X. 2πin/7. e. [1 + χ6 (n) +. χ26 (n)]. = 1 + 6 sin. n=1. 3π 14. . Lo cual verifica que solo χ3 y χ6 cumplen con (6.1). Observación 6.2. Además se puede comprobar que χ3 y χ6 son inversos lo que podrı́a indicar que si un carácter cumple con (6.1) también lo hará su elemento inverso.. Ejemplo 2, Suma cuadrática de Gauss El ejemplo que sigue es importante ya que funciona para cualquier primo impar además que el carácter que surge tiene nombre propio. Si en la Suma de Gauss tomamos k = 2 cualquier p primo impar cumple la condición p∼ = 1(mod 2), luego debemos encontrar entre los p − 1 caracteres de Dirichlet mod p alguno de orden 2.. Recordemos que en el Capı́tulo 2 observamos que para los generadores del grupo los caracteres recorren todas las raı́ces de la unidad, en este caso son p − 1 raı́ces es decir un numero par, por lo tanto si Z∗p tiene al menos un generador digamos a existe un carácter de Dirichlet χ tal que χ(a) = −1 (dado que −1 es una raı́z par de la unidad), y los demás valores serán 1 o −1 exactamente (p − 1)/2 elementos tomaran el valor de 1 y los (p − 1)/2 restantes tomaran el valor de −1..

(56) 48 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Este carácter efectivamente es de orden 2 pues al multiplicarlo por sı́ mismo resulta el carácter principal mod p, en el Ejemplo 1 se puede observar que χ4 es este carácter, es de orden 2 y está formado solo por 1 y −1. La duda sobre la existencia de un generador en Z∗p se puede resolver haciendo referencia a [2] Capitulo 10 que habla sobre raı́ces primitivas las cuales son elementos Z∗n que tienen el mismo orden que el orden del grupo, en otras palabras que genera al grupo, en el cual está el siguiente Teorema. Teorema 6.1. [2, pág. 207] Sea p un primo impar y sea d un divisor positivo de p−1. Entonces en todo sistema residual reducido mod p existen exactamente ϕ(p − 1) números a tales que σ(a) = d. Por lo cual este teorema nos da la existencia de al menos un generador en Z∗p y en consecuencia la del carácter χ que como habı́amos dicho tiene nombre propio y es el de Sı́mbolo de Legendre. Observación 6.3. Otra consecuencia del Teorema 6.1 es la existencia de al menos un carácter de Dirichlet de orden k entre los caracteres mod p, puesto que p ∼ = 1(mod k). Definición 6.1 (Sı́mbolo de Legendre). Sea p un primo impar y a un entero. El sı́mbolo de Legendre ( ap ) se define de la siguiente manera:   0 si p|a a = 1 si existe x ∈ Z tal que x2 ∼ = a(mod p) y p - a  p −1 en otro caso Con esta definición podemos escribir la suma cuadrática de Gauss como: G (2) =. p X n=1. 2πin2 /p. e. =. p X n n=1. p. 2πin/p. e. n = G 1, p. Estas sumas se pueden generalizar a sumas de la forma G (2, m) =. p X. 2 /p. e2πimn. n=1. tal que p - m de otra manera el resultado de la suma es p, y en este caso estará asociado con la ecuación: p X n n 2πimn/p e = G m, G (2, m) = p p n=1.

(57) 6. sumas de gauss de orden superior 49. Dado que np es un carácter modulo un primo este es primitivo y por tanto la suma de Gauss es separable, obteniendo m G (2, m) = G (2) p Con lo cual se reduce al estudio de la suma G (2).. 6.2 Calculo suma cuadrática de Gauss. En esta última sección mostraremos el valor exacto para las sumas cuadráticas de Gauss: √ p si p ∼ = 1(mod 4) G (2) = √ i p si p ∼ = 3(mod 4) Y más general para un módulo compuesto:. n−1 X. e2πiν. 2 /n. ν=0.  √ n    0 √ =  i n  √  (1 + i) n. si n ∼ = 1(mod 4) ∼ si n = 2(mod 4) si n ∼ = 3(mod 4) ∼ si n = 0(mod 4). (6.2). Esto con ayuda de herramientas de la variable compleja, especı́ficamente del libro [6] y las siguientes proposiciones. b → D una Teorema 6.2 (Regla de Transformación). [6, pág. 180] Sea g : D 0 b y función holomorfa (Diferenciable) con derivada continua g , sea γ b un camino de D γ =g◦γ b la imagen de γ b en D, entonces Z Z f (z)dz = f (g(ζ))g 0 (ζ)dζ γ. γ b. para toda función f continua sobre γ. Lema 6.1. [6, pág. 382] Suponga g y h holomorfas en una vecindad de c ∈ C, g(c) 6= 0, h(c) = 0 y h0 (c) = 0. Entonces f = g/h tiene un polo simple en c y resc f =. g(c) h0 (c).

(58) 50 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Teorema 6.3 (Teorema del residuo para caminos cerrados). γ ⊂ D un Dominio, es simple, cerrado y homologo al cero entonces Z X 1 f (ζ)dζ = resc f 2πi γ c ∈ int γ. [6, pág. 384] Si. Para toda función f holomorfa. Teorema 6.4 (Invariancia traslacional de la Integral error). a ∈ C y b un real positivo, entonces r Z ∞ Z ∞ 1 2 2 e−b(x+a) dx = e−x dx b −∞ −∞. [6, pág. 368] Sea. El primer paso para llegar a (6.2) será estimar una función la cual nos ayudara más adelante.. Estimación de. ez ez −1. Sea ϕ(z) = (ez − 1)−1 , entonces ez − 1 = 0 cuando ez = e0 e0+2πik. con k ∈ Z. es decir, cuando z es de la forma z = 2πk, por lo tanto ϕ(z) tiene un polo de orden 1 en cada múltiplo de 2π del eje imaginario.. En cada polo se coloca un disco cerrado Br (2πik) de radio menor a 1, y designamos Z como el complemento de la unión de todas los discos abiertos. [ Z =C− Br (2πik) k∈Z. Proposición 6.1. La función ez ϕ(z) es acotada en Z . Demostración. Por propiedades de la norma en los complejos y haciendo z = x + iy tenemos |ez ϕ(z)| = |ex ||eiy ||ϕ(z)| = ex |ϕ(z)|.

(59) 6. sumas de gauss de orden superior 51. Esta última es periódica de periodo 2πi por lo tanto solo basta establecer si es acotada en un periodo, es decir en el conjunto S = {z ∈ C : |Im(z)| ≤ π, |z| ≥ r} Los complejos que pertenecen a S y su parte real esta entre −1 y 1 forman un. Figura 6.1: Distribución entre S y S conjunto compacto de C y ya que la función es continua, ez ϕ(z) es acotada en ese conjunto. Por otro lado 1 1 1 |ϕ(z)| = z ≤ z = x |e − 1| |e | − 1 e −1 Ası́ para x > 1 se tiene ex > 2 −1/2 < −e−x 1/2 <1 − e−x −x. x. 1/2 <e (e − 1) 1 < 2e−x x e −1. Sumando un 1 Factorizando Por ultimo.

(60) 52 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet y para x < −1, ex − 1 es negativo para todo x por lo tanto 1/(ex − 1) < 1/(1 − ex ) que es positivo, en particular 1 1 < ex − 1 1 − e−1 Juntando los dos resultados 2 si x > 1 z |e ϕ(z)| ≤ 1 si x < −1 Que es lo que querı́amos demostrar. Ahora, con base en la suma de Gauss se introduce la función entera1 Gn (z) =. n−1 X. 2 2πi/n. e(ν+z). ν=0. y consideremos la función Mn (z) =. Gn (z) 2πiz e −1. la cual tiene un polo simple en cada entero del eje real, estudiaremos a Mn (z) alrededor del paralelogramo P formado por los vértices 1 1 1 1 − − cr, − + cr, − cr, + cr 2 2 2 2 con r real positivo y c = eiπ/4 .. De este modo en P solo hay un polo de Mn en el punto (0, 0) y por el Lema 6.1 el residuo de Mn (z) en z = 0 es resz=0 Mn (z) =. Gn (0) Gn (0) = 2πi(0) 2πie 2πi. Además, por el Teorema 6.3 se tiene Z Mn (ζ)dζ = Gn (0) ∂P. que es la suma cuadrática de Gauss, por tanto solo hace falta hallar el valor de esa integral. El siguiente Teorema nos dará el valor de la integral sobre γ2 y γ4 1. Holomorfa sobre todo el plano complejo.

(61) 6. sumas de gauss de orden superior 53. Figura 6.2: Paralelogramo P con r = 2 Teorema 6.5. Sea Z. Z Mn (z)dz −. I(r) = γ2. Mn (z)dz γ4. entonces n. r. lı́m I(r) = c(1 + (−i) ). r→∞. n 2π. Z. ∞. 2. e−t dt. −∞. Demostración. Primero usando la regla de transformación (Teorema 6.2) con g : C→C z 7→ z + 1. se puede ver que g es holomorfa con g 0 (z) = 1 y g(γ4 ) = γ2 , por lo cual Z. Z Mn (z)dz =. γ2. Mn (z + 1)dz γ4. Reemplazando en I(r) Z Mn (z + 1) − Mn (z)dz. I(r) = γ4. (6.3).

(62) 54 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet Ahora observemos que Gn (z + 1) − Gn (z) = =. n−1 X ν=0 n X. 2. e2πi/n(v+1+z) − 2 2πi/n. e(v+z). ν=1 (n+z)2 2πi/n. =e. −e. −. 2. e. ν=0 z 2 2πi/n. (e(2nz+n. z 2 2πi/n. (e4πiz − 1). =e. e2πi/n(v+z). ν=0 n−1 X (v+z)2 2πi/n. z 2 2πi/n. =e. n−1 X. 2 )2πi/n. − 1). Esto para Mn (z) significa Gn (z + 1) − Gn (z) e2πiz − 1 2 ez 2πi/n (e2πiz − 1)(e2πiz + 1) = e2πiz − 1 2 = ez 2πi/n (e2πiz + 1). Mn (z + 1) − Mn (z) =. y reemplazando en (6.3) Z I(r) =. ez. 2 2πi/n+2πiz. + ez. 2 2πi/n. dz. γ4. que es lo mismo que n. Z. I(r) = (−i). e. (z+n/2)2 2πi/n. Z. ez. dz +. γ4. 2 2πi/n. dz. γ4. γ4 se puede parametrizar como α(t) = −1/2 + ct con t ∈ [−r, r], α0 (t) = c y la integral queda Z r Z r 2 n (ct−1/2+n/2)2 2πi/n e(ct−1/2) 2πi/n dz I(r) = c(−i) e dz + c −r. −r. 2. ya que c = i, es equivalente a escribir Z r Z n−1 2 − 2π t+ n ( ) 2c I(r) = c(−i) e n dt + c −r. r. 2π. 1. 2. e− n (t− 2c ) dt. −r. Usando el Teorema 6.4 de la invariancia traslacional de la integral error cuando r tiende a infinito r Z ∞ r Z ∞ n n 2 −t2 n e dt + e−t dt lı́m I(r) = c(−i) r→∞ 2π −∞ 2π −∞ r Z ∞ n 2 = c(1 + (−i)n ) e−t dt 2π −∞.

(63) 6. sumas de gauss de orden superior 55. Faltarı́a solo el valor de la integral sobre γ1 y γ3 , que nos lo proporciona el siguiente teorema. Teorema 6.6. Z lı́m. r→∞. Z Mn (z)dz = lı́m. r→∞. γ1. Mn (z)dz = 0 γ3. Demostración. Como γ1 y −γ3 se pueden parametrizar como α1 : t 7→ t − cr. α3 : t 7→ t + cr. t ∈ [−1/2, 1/2]. respectivamente, los lı́mites de integración no dependen de r entonces si probamos que lı́mr→∞ |Mn (t ± cr)|[−1/2,1/2] = 0 quedara demostrado el teorema. Observación 6.4. Antes de continuar veamos las funciones ϕ(z) = (ez − 1)−1 y ϕ(2πiz) = (e2πiz − 1)−1 , las siguientes representaciones de las funciones se hacen con ayuda de la herramienta cloud.sagemath.com, son gráficas en las que el brillo representa el módulo de la función en el punto, con 0 cuando en negro y aumentando hasta llegar al blanco que serı́an polos de la función, el argumento es representado por los colores rojo, amarillo, verde, azul y violeta, de 0 a 2π radianes.. Figura 6.3: Gráfica de ϕ(z).

(64) 56 series finitas de fourier y caracteres de dirichlet. Figura 6.4: Gráfica de ϕ(2πiz) En cada una de las gráficas se pueden ver como habı́amos dicho que ϕ(z) tiene un polo en cada múltiplo de 2πi, además de ser periódica de periodo 2πi y la función ϕ(2πiz) tiene un polo en cada entero del eje real y periódica de periodo 1. Además se nota que ϕ(2πiz) es una rotación de π/2 radianes en el sentido de las manecillas del reloj y una contracción de 2π con respecto a ϕ(z), por tanto usando la proposición 6.1 ϕ(2πiz) está acotado en Z en particular para γ1 y γ3 para r ≥ 1 De este modo la norma de Mn será |Mn (t ± cr)| = |ϕ(2πiz)|. n−1 X. 2 2πi n. e(t±cr+v). ν=0. ya que la suma es finita hay un sumando tal que la norma de él es mayor que las demás, ası́ la parte derecha de la igualdad será menor a n veces este, como |ez | = eRe(z) y para b, x, y ∈ R, Re(bi ∗ z) = −bIm(z) y Im((x ± iy)2 ) = ±2xy.

(65) 6. sumas de gauss de orden superior 57. para cualquier sumando se tiene 2π 2πi 2 = − (t ± cr + v) Re n n. √. 2 ±2 t + v ± r 2 √ 2π 2 2 2π = − r ∓ r(t + v) n n. !. √ !! 2 r 2. y por tanto e. 2πi (t±cr+v)2 n. = e. − 2π r2 ∓ 2 n. ≤ e. − 2π r2 n. e. √. 2π r(t+v) n. máx e. √ ∓ 2 n2π r(t+v). !. t∈[− 12 , 12 ]. De este modo cuando r tiene a infinito esta norma tiende a cero ya que el exponente de mayor grado es negativo terminando la demostración. Ya que tenemos el valor de la integral para cada uno de los caminos que forman al paralelogramo el valor de Gn en cero es √ √ ! r Z ∞ 2 2 n 2 n Gn (0) = +i (1 + (−i) ) e−t dt 2 2 2π −∞ Para n = 1 la suma cuadrática de Gauss vale 1, reemplazando en la ecuación anterior para hallar el valor de la integral error r Z ∞ √ 2 1 2 (1 + i)(1 − i) e−t dt 1 = 2 2π −∞ r Z ∞ √ 1 2 e−t dt 1 = 2 2π −∞ Z ∞ √ 2 π = e−t dt −∞. Entonces la formula general para la suma cuadrática de Gauss queda √ n−1 X 2πi 2 n 1 + (−i)n √ v en = (1 + i)(1 + (−i)n ) = n 2 1−i ν=0 que es equivalente a (6.2). Observación 6.5. Una demostración de la igualdad contrar en [6, pág. 413].. √. π =. R∞ −∞. 2. e−t dt se puede en-.

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(67) 7. conclusiones. 7. 59. Conclusiones. Aunque en este trabajo no se distingue la verdadera importancia de los caracteres de Dirichlet ya que junto con las sumas de Gauss y otros conceptos de la teorı́a analı́tica de números resultan ser herramientas para el estudio de ecuaciones Diofanticas a las cuales se les restringe el dominio a cuerpos numéricos haciendo sistemas modulares con módulos primos y potencias de estos podemos concluir que estas funciones son de gran importancia ya que nos puede mostrar el comportamiento particular de las funciones que intervienen en las ecuaciones Diofanticas en un entero especifico ya que los caracteres de Dirichlet serı́an base para otras funciones.. También el hecho de la existencia de series finitas de Fourier para funciones aritméticas periódicas es de gran ayuda para expresar los caracteres de Dirichlet como manera de ecuación con ayuda de las sumas de Gauss.. Por último los caracteres de Dirichlet son una herramienta eficaz para el cálculo de las sumas de Gauss de potencias ya que para cualquier potencia la reduce a uno y el objetivo es buscar el carácter que funciona para llegar al resultado..

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