Agujeros Negros
Historia de los Agujeros Negros
Historia de los Agujeros Negros
“Si el semidiámetro de una esfera de la misma densidad que el Sol
superara al del propio sol en una proporción de 500 a 1, un cuerpo que cayera desde una altura infinita hacia él adquiriría en su superficie una velocidad mayor que la de la luz y, en consecuencia, suponiendo que la luz fuera atraída por la misma fuerza en proporción a su vis inertiae,
Historia de los Agujeros Negros
Michell expresaba así, en un lenguaje un tanto alambicado, la
posibilidad de que existieran “estrellas oscuras” tales que la enorme magnitud de su masa las llevara a engullir su propia luz. Se sustentaba para ello en una hipótesis que enunciara Isaac Newton más de un siglo antes en su obra Opticks: la luz está compuesta por corpúsculos,
Historia de los Agujeros Negros
Historia de los Agujeros Negros
Historia de los Agujeros Negros
Las dos primeras ediciones de la Exposición del sistema del mundo de Laplace recogían la idea de las “estrellas oscuras” elaborada antes por Michell, con análogos argumentos. En las ediciones sucesivas, esta
hipótesis desapareció del texto. Posiblemente, su censura tuvo que ver con el descrédito creciente de la teoría corpuscular de la luz que se
Determinación Clásica
• Suponiendo una equivalencia plena clásica (Newtoniana) entre la masa inercial definida con la fórmula (1) y la masa gravitacional
definida mediante la ley de Newton para la atracción universal que establece una fuerza gravitacional como se relaciona en (2)
Ԧ
𝐹𝑖 = 𝑚 Ԧ𝑎 (1)
𝐹𝑔 = −𝐺 𝑀𝑚
Determinación Clásica
Al igualar las dos ecuaciones se tiene que:
Como 𝑑 Ԧ𝑟
Determinación Clásica
Al evaluar todas las posiciones en las que estaría el cuerpo y sus respectivas velocidades:
Puesto que para la velocidad de escape estamos buscando las siguientes
condiciones (para un tiempo infinitamente grande a una distancia infinitamente grande la velocidad del cuerpo debe ser igual a cero):
La Solución de Schwarzschild.
• La solución original encontrada por Schwarzschild solo describe lo
que ocurre en la región exterior del horizonte de evento. Pero no nos dice nada sobre lo que ocurre en el interior.
La Solución de Schwarzschild.
• ds² = (1 + 2GM/rc²) c²dt² - (1 + 2GM/rc²) -1 dr² - r²(dθ² + sen²θ dφ²)
• ds² = c²dt² - dr² - r²dθ² - r²sen²θ dφ²
• ds² = c²dt² - (dr² + r²dθ² + r²sen²θ dφ²)
• Para la conversión de coordenadas esféricas a coordenadas Cartesianas rectangulares tenemos lo siguiente:
• x = r sen θ cos φ
• y = r sen θ sen φ
• z = r cos θ
• (dx)² + (dy)² + (dz)² = (dr)² + r²(dθ)² + r²sen²θ(dφ)²
• Con esto tenemos entonces lo siguiente:
La Solución de Schwarzschild.
La Solución de Schwarzschild.
•
Podemos ver claramente que conforme r se aproxima a
2GM, dt/dr empieza a crecer aumentando hasta el
Determinación Clásica mediante energías
𝐸
𝑐= 𝐸
𝑝𝑔1
2 𝑚𝑣
2 = 𝐺𝑀𝑒𝑚
𝑟𝑒
𝑚𝑣
2=
2𝐺𝑀
𝑒𝑚
𝑟
𝑒𝒗 =
𝟐𝑮𝑴
𝒆Determinación del Radio de Schwarzschild
mediante energías
𝐸
𝑐= 𝐸
𝑝𝑔1
2 𝑚𝑣
2 = 𝐺𝑀𝑒𝑚
𝑟𝑒
𝑚𝑣
2=
2𝐺𝑀
𝑒𝑚
𝑟
𝑒𝒗 =
𝟐𝑮𝑴
𝒆𝒓
𝒆𝐸
𝑐= 𝐸
𝑝𝑔 1 2 𝑚𝑐2 = 𝐺𝑀𝑒𝑚
𝑟𝑒
𝑚𝑐
2=
2𝐺𝑀
𝑒𝑚
𝑟
𝑒𝑟
𝑒
=
2𝐺𝑀
𝑒
𝑐
2
𝑟
𝑒
=
2𝐺𝑀
𝑒
Determinación del Radio de Schwarzschild
mediante energías
𝒗 =
𝟐𝑮𝑴
𝒆𝒓
𝒆𝑟
𝑠
=
2𝐺𝑀
𝑒
𝑐
2
𝑟
𝑒
=
2𝐺𝑀
𝑒
𝑣
2
𝒄 =
𝟐𝑮𝑴
𝒆𝒓
𝒔Determinación del Radio de Schwarzschild
𝑟
𝑒
=
2𝐺𝑀
𝑒
𝑐
2
𝒄 =
𝟐𝑮𝑴
𝒆𝒓
𝒔Suponiendo la ley de gravitación universal de Newton como válida, y siendo la velocidad de escape de un cuerpo de la superficie de la Tierra igual a 11.2
kilómetros/seg, ¿cuál sería la velocidad de escape si de alguna manera pudiésemos comprimir a la Tierra a la mitad de su tamaño actual?
𝒗 =
𝟐𝑮𝑴
𝒆𝒓
𝒆Constante de Gravitación Universal = G = 6.674215·10-11 m3/kg-seg² Radio medio de la Tierra = R = 6,400 kilómetros
𝒗 = 𝟏𝟓, 𝟖 𝐊𝐦/𝐬
Manteniendo la masa M constante y comprimiendo de alguna manera un cuerpo esférico disminuyendo su radio, aumentará entonces la velocidad de escape requerida
Suponiendo la ley de gravitación universal de Newton como válida, ¿cuál tendría que ser el radio de un cuerpo esférico con una masa igual a la masa de la Tierra
para que la velocidad de escape requerida sea igual a la velocidad de la luz?
Tomando la velocidad de la luz del orden de 300’000,000 m/s
𝒓 = 𝟎, 𝟗 𝒄𝒎
¿Qué es un Agujero Negro?
¿Qué es un Agujero Negro?
• A pesar de que los agujeros negros no son luminosos, su campo
¿Qué es un Agujero Negro?
¿Qué es un Agujero Negro?
• Hasta la fecha la física en el interior de un agujero negro no se
conoce; ya que para entender lo que pasa ahí dentro es necesario
¿Qué se requiere para
que nuestra estrella
De acuerdo con la métrica de Schwarzschild, ¿cuál
tendría que ser el radio de una estrella como el Sol
para que la luz pueda escapar de su superficie?
Tomaremos el siguiente dato como válido: Masa del Sol
𝑀⊙ = 1,99 ∗ 1030𝐾𝑔
Constante de Gravitación Universal
𝐺 = 6,674215 ∗ 10−11 𝑚
3
𝐾𝑔 ∗ 𝑠2
𝑟
𝑠=
2𝐺𝑀
𝑒𝑐
2⇒ 𝑟
𝑠
= 3 ∗ 10
3
𝑚
Suponiendo que de alguna manera podamos comprimir al
Sol para que tenga un radio de 3 kilómetros, ¿cuál será su
densidad?
𝑀⊙ = 1,99 ∗ 1030𝐾𝑔
Como la densidad “ρ” idealizada, la podemos asumir como la razón de la masa sobre el volumen
𝜌 = 𝑚
𝑉 de la misma forma el volumen de una esfera 𝑉 = 4
3 𝜋𝑟 3
𝜌
⊙=
1,99 ∗ 10
30
𝐾𝑔
1,13 ∗ 10
11𝑚
3𝑉
⊙
=
4
3
𝜋𝑟
𝑠
⇒ 𝑟
𝑠= 3 ∗ 10
3
𝑚
∴ 𝑉
⊙= 1,13 ∗ 10
11𝑚
3Para el caso de una estrella
• Al momento de perder el equilibrio entre la fuerza de gravedad y la presión hidrostática, se genera un colapso por esta perdida, es así que al sintetizar Hierro (Fe) en el núcleo de la estrella por la estabilidad
del mismo.
• Si la densidad de la estrella no es muy elevada, cuando es
relativamente joven, esta colección de átomos y iones se comporta en cierta manera como un gas ideal cuya presión P y cuya temperatura T están relacionadas mediante la ley del gas ideal:
Para el caso de una estrella
• Al continuar compactándose la estrella aumentando su densidad, se va alejando de su comportamiento como un gas ideal pero entra en acción otro efecto repulsivo de naturaleza puramente cuántica (como en Mecánica Cuántica). Los electrones del gas de la estrella obedecen el principio de exclusión de Pauli que nos dice que “dos electrones no pueden ocupar el mismo estado con todos sus números cuánticos
Para el caso de una estrella
• Como consecuencia de este efecto existe una presión-repulsión adicional que se opone al colapso gravitacional de la estrella, una
presión adicional ejercida por los electrones que se vuelve importante al ir aumentando la densidad de la estrella, a la cual se le conoce
Para el caso de una estrella
• Se requiere de una densidad en torno a los 106 g/cm³ (1000 kg/cm³). Si la densidad de la materia en una estrella se vuelve aproximadamente unos cinco millones de veces más grande que la densidad del agua, los
electrones contribuyen con una presión adicional que es aproximadamente igual a:
𝑃 ≈ ℎ𝑐𝑛43
• Siendo h la constante de Planck, c la velocidad de la luz y n el número de electrones por unidad de volumen (a densidades más bajas la presión se vuelve proporcional a n5/3). Esta presión, siendo de naturaleza cuántica, no
Para el caso de una estrella
𝑃 ≈ ℎ𝑐𝑛43
• Siendo h la constante de Planck, c la velocidad de la luz y n el número de electrones por unidad de volumen (a densidades más bajas la
presión se vuelve proporcional a n5/3). Esta presión, siendo de
Para el caso de una estrella
Para que una estrella pueda sostenerse en un estado de equilibrio resistiéndose a su colapso gravitacional, el requerimiento esencial de equilibrio hidrostático es que a cada radio r -medido desde el centro de la estrella- la fuerza de atracción
gravitacional Newtoniana que tiende a compactarla sea contrabalanceada por una presión causada por el gas del que está formada la estrella, con la ecuación de
Para el caso de una estrella
Sin embargo, para una masa mayor a 1.3 veces la masa de nuestro Sol pero no mayor de cierto límite, al ser insuficiente la presión de degeneración de los electrones se vuelve cada vez más probable que las estrellas
eventualmente continúen con su proceso de colapso de gravitacional hasta que la atracción de la gravedad hace que se contraigan a una estrella
Para el caso de una estrella
Sin embargo, existe un límite para una enana blanca, conocido como el límite de Chandrasekhar, el cual equivale a aproximadamente unas 1.44 masas solares, siendo esta la máxima masa posible de una estrella fría estable con la cual la degeneración de electrones en su interior (flechas
Para el caso de una estrella
Para el caso de una estrella
Cuando una estrella explota convirtiéndose en una supernova
Para el caso de una estrella
Tenemos nuevamente una situación inicial de equilibrio hidrostático. Sin embargo, la intensidad del campo gravitacional impide que podamos
analizar este tipo de estrella bajo la mecánica clásica Newtoniana. Es
necesario recurrir a las ecuaciones de campo de la Relatividad General para poder determinar lo que va a ocurrir de aquí en adelante.
Para el caso de una estrella
Para el caso de una estrella
El límite de Chandrasekhar, que es la masa máxima con la cual una estrella puede sostenerse en equilibrio en contra de su colapso gravitacional, podemos esperar que en la expresión relativista para el equilibrio hidroestático habrá también otro límite. Ese límite existe y es conocido como el límite Oppenheimer-Volkoff.
Para poder encuadrar mejor la teoría con las observaciones se modifica la ecuación de tal forma que:
𝑑𝑃(𝑟)
𝑑𝑟 = −
𝐺
𝑟2 𝜌 𝑟 +
𝑃(𝑟)
𝑐2 𝑀 𝑟 + 4𝜋𝑟
3 𝑃(𝑟)
𝑐2 1 −
2𝐺𝑀(𝑟) 𝑐2𝑟
¿Qué se requiere para que nuestra estrella
madre sea un Agujero Negro?
• Hasta la fecha la física en el interior de un agujero negro no se
conoce; ya que para entender lo que pasa ahí dentro es necesario
