Elementos básicos
Elementos básicos
de cálculo integral y series
Primera edición, marzo de 2006
Todos los derechos reservados. No se permite la reproducción, archivo o transmisión total o parcial de este texto mediante ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico, de fotorreproducción, memoria o cualquier otro sin permiso de los editores Ude@.
Impreso en Medellín, Colombia.
Imagen de la portada
Fotografía de la escultura Candelaria al fresco en Ambalema
Martha Lucía Villafañe es una artista colombiana nacida en Roldanillo, Valle del Cauca, residenciada en Medellín y Maestra en Artes Plásticas de la Universidad de Antioquia. Sus obras, en ocasiones de tinte político y de crítica social, siempre poseen el sello del trópico y muestran la exploración de una amplia diversidad de técnicas y materiales, tanto en el dibujo como en la escultura.
Autor
Acerca del
autor
Jesús del Valle Sierra
Jesús del Valle Sierra
Matemático de la Universidad de Antioquia 1977, especialista en Matemá-ticas Avanzadas de la Universidad Nacional de Colombia (sede Bogotá, 1987) Actualmente se desempeña como Coordinador de Cursos de Servicio del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas y Natura-les de la Universidad de Antioquia.
Como estudiante del programa Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendizaje mediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, la disciplina, la creatividad y el trabajo en equipo son características que le ayudarán en su formación, para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo al método de la ingeniería.
La Universidad de Antioquia, a tra-vés del programa Ude@, ha puesto a su disposición contenidos acadé-micos en diferentes medios con el fin de facilitarle el aprendizaje me-diante las tecnologías de informáti-ca y telecomuniinformáti-caciones clásiinformáti-cas y modernas: Radio Televisión Impresos Web Multimedia Videoconferencias
En el modelo Ude@ los conocimientos son aportados por cada medio en igualdad de importancia y con las fortalezas propias de cada uno de ellos, pero el texto desempeña un papel fundamental en el aprendizaje ya que es el que más diversidad ofrece en términos de funcionalidad y cantidad de contenidos. El texto Ude@ no sólo permite analizar con más detalle y profundidad los contenidos de cada curso, sino que facilita en mayor medida la realización de ejercicios, tareas y autoevaluaciones.
La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cual hace más fácil la transmisión del contenido de una manera lógica.
La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos (sesiones de clase). Al empezar cada capítulo se encuentra un “Contenido breve” en la columna externa, que incluye una lista del número y el título de los módulos que componen el capítulo. Por su parte cada módulo contiene, en su primera página, un índice temático del contenido, objetivos específicos, preguntas básicas y una introducción, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particular de cada sesión de clase.
El texto Ude@
Estructura del texto Ude@
El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivo primordial el autoestudio. Por tanto, la producción de los contenidos se desarrolla en los diferentes formatos (radio, televisión, web, multimedia, videoconferencias), con enlaces entre los mismos. La esencia de este enlace está dada por los iconos Ude@.
Los iconos, como representaciones gráficas de la realidad, serán los elementos gráficos que le ayudarán a guiarse en su navegación por los diferentes medios. El espacio gráfico de cada página del texto está dividido en dos columnas: en la interior, más ancha, podrá observar todo lo relaciona-do con el desarrollo del contenirelaciona-do y las correspondientes figuras (gráficas, fotos, etc.), mientras que en la exterior encontrará las llamadas a otros medios. Estas llamadas permiten que haya interrelación y retroalimentación entre los mismos.
Los iconos de radio, televisión, multimedia, mapa conceptual, videoconferencia o web le indicarán la ruta a seguir. Por ello es importante que sepa que sobre el tema que está estudiando en el módulo impreso, también hay material disponible en otros medios, y que ese material representa valor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos no se repite sino que se complementa.
Los iconos y la interrelación de medios
El mapa conceptual
Es importante que durante su proceso de aprendizaje se pregunte cons-tantemente si de verdad comprendió el significado de los términos y su
uso. Una buena manera de comprobarlo es explicándole el concepto a otra persona. No dude en solicitar ayuda a su tutor.
Antes de iniciar el estudio de un capítulo lea el contenido breve y la presentación.
Las preguntas básicas de cada módulo le ayudarán a valorar la comprensión de los nuevos conceptos presentados y de la temática tratada a lo largo del mismo.
El estudio de los ejemplos intercalados en los bloques de texto y la solución de los ejercicios incrementarán sus habilidades en la solución de problemas reales.
Tome apuntes, plantéese preguntas y trate de resolverlas.
Sugerencias para el estudiante Ude@
Al comienzo del texto Ude@ usted encontrará un mapa conceptual del curso, que lo orientará en el universo temático de la disciplina. Esta herra-mienta pedagógica hace posible la integración conceptual, jerárquica y funcional, en forma gráfica y espacial, de todos los contenidos.
Contenido
Capítulo 1: Integral indefinida
Módulo 1
Función primitiva o antiderivada 23
Módulo 2
Integral indefinida 27
Módulo 3
Regla de sustitución o cambio de variable 31
Módulo 4
Algunas aplicaciones de la integral indefinida 35
Ejercicios
Capítulo 1, módulos 1 al 4 43
Capítulo 2: Métodos de integración
Módulo 5
Tabla preliminar de integrales indefinidas 49
Módulo 6
Integración por partes 53
Módulo 7
Integración por sustitución 63
Módulo 8
Sustituciones trigonométricas 73
Módulo 9
Integración por descomposición en fracciones simples 87
Módulo 10
Integración de funciones racionales propias 93
Módulo 11
Sustituciones diversas 101
Ejercicios
Tabla de contenido
Capítulo 3: Integral definida
Módulo 12
Notación sigma ( )∑ y partición de un intervalo 117
Módulo 13
Integral según Riemann 127
Módulo 14
Propiedades de la integral definida 141
Módulo 15
Teorema del valor medio (TVM
)
para integrales 149Módulo 16
Los teoremas fundamentales del cálculo 155
Módulo 17
Integrales impropias 173
Ejercicios
Capítulo 3, módulos 12 al 17 187
Capítulo 4: Aplicaciones de la integral definida
Módulo 18
Área de una región plana 203
Módulo 19
Volúmenes de sólidos por secciones transversales 219
Módulo 20
Volúmenes de sólidos de revolución 225
Módulo 21
Longitud de arco de una curva plana y área de superficie de revolución 243
Módulo 22
Momentos y centros de masa 263
Módulo 23
Los teoremas de Pappus 285
Módulo 24
Elementos básicos de cálculo integral y series
Módulo 25
Presión de líquidos 299
Ejercicios
Capítulo 4, módulos 18 al 25 303
Capítulo 5: Series numéricas
Módulo 26
Sucesiones de números reales 319
Módulo 27
Series de términos constantes 331
Módulo 28
Criterios de convergencia y divergencia de series 339
Módulo 29
Convergencia absoluta y convergencia condicional 359
Ejercicios
Capítulo 5, módulos 26 al 29 372
Capítulo 6: Series de potencia
Módulo 30
Intervalo de convergencia y radio de convergencia
de una serie de potencias 379
Módulo 31
Representación de funciones por medio de series de potencias 395
Ejercicios
Capítulo 6, módulos 30 y 31 415
Apéndice I
Métodos de aproximación en el cálculo 419
Apéndice II
Otros sistemas de coordenadas 439
Apéndice III
Prólogo
Como es de manifiesto conocimiento, los conceptos funda-mentales del cálculo son el límite, la continuidad, la deriva-da y la integral de una función.
En el primer texto, Elementos básicos de cálculo diferen-cial, he presentado los tres primeros, los cuales conforman en su conjunto lo que es en nuestro Departamento de Mate-máticas el curso actual de Cálculo I que se ofrece para la Facultad de Ingeniería, y en este segundo texto de la serie presento el último concepto (integral de una función) y las series numéricas, que constituyen el de Cálculo II que, igual-mente, se dicta para los estudiantes de dicha Facultad.
En lo que respecta al orden de los capítulos, he recibido e incluido algunas sugerencias de los docentes del área de cálculo para que el curso se desarrolle de una manera más ágil. Por esta razón, presento el capítulo de «métodos de integración» inmediatamente después de la «primitivación», buscando con ello que el estudiante adquiera mayor habili-dad para manipular y resolver integrales antes de las aplica-ciones.
Igual que en el primer texto, éste también está escrito en el lenguaje normal de nuestros cursos de cálculo. Las defini-ciones y teoremas están seguidas de observadefini-ciones y ejem-plos gráficos que ayudan a su comprensión. Durante el de-sarrollo de los temas, éstos se ilustran con muchos ejemplos que le dan pautas al estudiante para resolver los más de 600 ejercicios propuestos al final de los capítulos.
Las preguntas básicas en cada uno de los módulos pueden responderse después de estudiado el módulo correspon-diente. Con ellas se busca no sólo medir el grado de apren-dizaje de los mismos por parte del estudiante sino empezar a prepararlo para las pruebas tipo ECAES que debe presentar para la cualificación profesional respectiva.
He adjuntado al final del texto tres apéndices que completan cualquier curso de cálculo. El primero de ellos, «Métodos de aproximación en el cálculo», será de gran utilidad para aquellos estudiantes que en sus cursos avanzados precisan del análisis numérico. El segundo corresponde a «Otros sis-temas de coordenadas», que serán de gran utilidad en el desarrollo de las integrales múltiples en el próximo curso. Y el tercero es una tabla sencilla de integrales que no puede faltar en cualquier texto de cálculo integral. La tabla ha sido
tomada del libro Cálculo y geometría analítica de Howard Anton que aparece reseñado en la bibliografía.
Agradezco los comentarios positivos que ayuden a mejorar una futura edición. Todos serán bien recibidos en la direc-ción: [email protected].
Elementos básicos de cálculo integral y series
Objetivos generales
Objetivos específicos
1. Facilitarle al estudiante, mediante el desarrollo teórico de los temas, la comprensión de la integral indefini-da, la integral definida y las series numéricas.
2. Presentar la integración como «operación inversa» de la diferenciación. Esto es, dada una función f se precisa hallar otra función F cuya derivada sea igual a f.
3. Desarrollar en el estudiante, mediante modelos pro-pios de la ingeniería, la capacidad de plantear y resol-ver problemas relacionados con las aplicaciones de la integral: áreas, volúmenes, momentos y centros de masa, etc.
4. Indicar las diferentes etapas y estrategias que puedan emplearse cuando se analiza una situación problemá-tica y se busca llegar a su solución. Evidenciar la necesidad de distinguir con claridad cuáles son los datos y cuáles son los resultados pedidos; así mis-mo, diferenciar claramente, en los teoremas, las hipótesis y las tesis.
5. Diseñar situaciones problema integrales que facili-ten la intervención del mayor número posible de elementos teóricos básicos, mostrando la necesidad de establecer relaciones adecuadas entre ellos para su utilización óptima.
6. Proponer situaciones problema que involucren pro-piedades interesantes del cálculo y que estimulen el espíritu investigativo.
7. Mostrar en el desarrollo temático del curso cómo se articula la teoría, introduciendo las definiciones co-rrectas que surgen de manera natural para designar relaciones y demostrar los teoremas más importantes.
8. Presentar las series numéricas, juntamente con los criterios de convergencia y divergencia de las mismas.
9. Presentar las series de potencias y los correspondien-tes intervalos de convergencia absoluta y convergen-cia.
10. Establecer los fundamentos y nexos requeridos con los proyectos de aula que tiene este curso como prerrequisito o correquisito, especialmente con Cál-culo III, Ecuaciones diferenciales y Álgebra Lineal.
1. Presentar el concepto más importante de la integral indefinida, la primitiva o antiderivada, y sus nexos con la derivación de funciones.
2. Presentar las propiedades de la integral indefinida o fórmulas de integración y su demostración simple con base en las fórmulas de derivación correspon-dientes y mostrar cómo usarlas en la solución de ejercicios.
3. Mostrar algunas aplicaciones de la integral indefini-da a las ecuaciones diferenciales ordinarias y a la física (movimiento rectilíneo).
4. Construir, con base en las reglas de derivación y las reglas diferenciales, una primera tabla de integrales.
5. Ampliar la tabla del objetivo anterior con la ayuda de los métodos o técnicas de integración.
6. Establecer las «técnicas o métodos de integración» como el estudio de métodos sistemáticos para hallar primitivas o antiderivadas.
8. Presentar todos los tipos de integrales de potencias de funciones trigonométricas y sus correspondien-tes combinaciones.
9. Establecer las sustituciones trigonométricas como método para calcularalgunas integrales de las
for-mas
2
(a con r∈Q.
10. Establecer y demostrar el método de integración por partes y dar algunas observaciones con respec-to a su uso.
11. Estudiar la técnica de integración por descompo-sición en fracciones simples para calcular la integral de funciones racionales.
12. Presentar las sustituciones diversas como técnicas adicionales para calcular integrales que presentan una forma particular; en especial, conocer las inte-grales de los binomios diferenciales.
13. Comprender el sentido de la notación sigma ( )∑ y la integral definida, y aplicar estos conceptos en la solución de algunos problemas básicos y afines a la integración.
14. Introducir, por medio de la idea intuitiva de área y de las sumas aproximantes, la integral definida según Riemann.
15. Destacar la relación existente entre la continuidad e integrabilidad mediante un teorema que proporciona una gran familia de funciones integrables.
16. Enunciar y demostrar las propiedades más importan-tes de la integral definida.
17. Presentar los teoremas fundamentales del cálculo y la relación de los mismos con la derivación y con la primitivación.
18. Usar la integración en aplicaciones geométricas: cál-culo de áreas entre curvas, volúmenes de sólidos de revolución, longitud de un arco de curva plana y superficie de revolución.
19. Usar la integración en aplicaciones a la física: momen-tos y centros de masa, trabajo mecánico y presión de un fluido.
20. Extender la noción de integral para funciones no acotadas y que no están definidas en todos los pun-tos del intervalo de integración mediante las llama-das integrales impropias.
21. Dar sentido a integrales de la forma
( ) , b ( ) , ( ) ,
a f x dx f x dx f x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
∫
∫
∫
e integrales de la forma
( ) ,
b
a f x dx
∫
donde f presenta discontinuidad infinita en algún punto del intervalo [ , ].a b
22. Presentar las sucesiones de números reales, su clasi-ficación y el cálculo de límites de sucesiones.
23. Presentar las series numéricas como una sucesión de sumas parciales, y los criterios de convergencia y divergencia de las mismas.
