2. Determine la carga del capacitor en un circuito en serie LRC cuando L = 0.25 h, R = 20Ω, C = 1/300 f, E(t) = 0 V, q(0) = 4C e i(0) = 0 A. ¿En algún momento la carga en el capacitor es cero? - Sistemas masa resorte (1)

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Sistemas masa resorte. Movimiento libre no amortiguado.

1. Se fija un contrapeso de 4 lb a un resorte cuya constante es 26 lb/pie. ¿Cuál es el período del movimiento armónico simple?

2. Se fija una masa de 20 kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico simple es 2/ oscilaciones por segundo, ¿cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se reemplaza con una de 80 kg?

3. Al fijar un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte, lo estira 4 pulg.

(a) Deduzca la ecuación del movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte del reposo desde un punto que está 3 pulg arriba de la posición de equilibrio.

(b) Formule la ecuación del movimiento si el contrapeso parte de la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 2 pies/s hacia abajo.

4. Un contrapeso de 20 lb estira 6 pulg. a un resorte. En ese sistema el contrapeso se suelta, partiendo del reposo, a 6 pulg debajo de la posición de equilibrio.

(a)Calcule la posición del contrapeso cuando segundos. (b) ¿Cuál es la velocidad del contrapeso cuando t = 3/16 s? ¿Hacia dónde se dirige

el contrapeso en ese instante?

(c)¿Cuándo pasa el contrapeso por la posición de equilibrio?

5. Una fuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Después, al extremo de ese resorte se fija una masa de 50 kg y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba. Deduzca la ecuación de movimiento.

6. Un contrapeso de 32 lb estira 2 pies a un resorte. Determine la amplitud y el período del movimiento si el contrapeso parte de 1 pie arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad inicial de 2 pies/s hacia arriba. ¿Cuántas vibraciones completas habrá hecho el contrapeso hasta 4 segundos?

7. Un contrapeso de 8 lb, fijo a un resorte, tiene movimiento armónico simple. Deduzca la ecuación de movimiento si la constante del resorte es 1 lb/pie y el contrapeso parte de 6 pulg abajo del punto de equilibrio, con una velocidad de 3/2 pies/s hacia abajo. Exprese la solución en la forma del ángulo de fase.

8. Una masa pesa 10 lb y estira pie un resorte. Se quita esa masa y se reemplaza con una masa de 1.6 slug que parte de pie sobre la posición de equilibrio con una velocidad de pie/s hacia abajo. Exprese la solución en la forma del ángulo de fase. ¿En qué momento llega la masa a un desplazamiento numéricamente igual a de la amplitud debajo de la posición de equilibrio?

9. Un contrapeso de 64 lb está unido al extremo de un resorte y lo estira 0.32 pies. Si parte de una posición 8 pulg sobre la posición de equilibrio, con una velocidad de 5 pies/s hacia abajo.

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(b) ¿Cuáles son la amplitud y el período del movimiento?

(c)¿Cuántas oscilaciones completas habrá hecho el contrapeso a los 3 segundos? (d) ¿En qué momento pasa el contrapeso por la posición de equilibrio al ir hacia

abajo por segunda vez?

(e)¿En que momento alcanza el contrapeso su desplazamiento extremo en ambos lados de la posición de equilibrio?

(f)¿Cuál es la posición del contrapeso cuando t = 3 s? (g)¿Cuál es su velocidad instantánea cuando t = 3 s? (h) ¿Cuál es cu aceleración cuando t = 3 s?

(i)¿Cuál es la velocidad instantánea al pasar por la posición de equilibrio? (j)¿En qué momentos está a 5 pulg debajo de la posición de equilibrio?

(k) ¿En qué momentos está 5 pulg debajo de la posición de equilibrio y se mueve hacia arriba?

Movimiento libre amortiguado

1. Un contrapeso de 4 lb se une a un resorte cuya constante es 2 lb/pie. El medio presenta una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el contrapeso se suelta en un punto a 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad de 8 pies/s hacia abajo, calcule el tiempo en que pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el momento en que el contrapeso llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante?

2. Un resorte 4 pies alcanza 8 pies al colgarle un contrapeso de 8 lb. El medio a través del cual se mueve ofrece una resistencia numéricamente igual a veces su velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 pies/s hacia abajo. Calcule el tiempo en que llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante?

3. Una masa de 1 kg está unida a un resorte cuya constante es N/m y todo el sistema se sumerge en un líquido que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 10 veces la velocidad instantánea. Formule las ecuaciones del movimiento si (a)El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1m debajo de la posición de

equilibrio.

(b) El contrapeso se suelta 1 m debajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 12 m/s hacia arriba.

(c)Determine en los incisos (a) y (b) si el contrapeso pasa por la posición de equilibrio. En cada caso calcule el momento en que llega a desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición del contrapeso en ese instante?

4. Una fuerza de 2 lb estira 1 pie un resorte. A ese resorte se le une un contrapeso de 3.2 lb y el sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguamiento únicamente igual a 0.4 la velocidad instantánea.

(a)Deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso parte del reposo 1 pie arriba de la posición de equilibrio.

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(c)Calcule el primer momento en que el contrapeso pasa por la posición de equilibrio dirigiéndose hacia arriba.

5. Después de unir un contrapeso de 10 lb a un resorte de 5 pies, éste mide 7 pies. Se quita el contrapeso y se reemplaza con otro de 8 lb y el sistema se coloca en un medio que ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea. (a)Deduzca la ecuación de movimiento, si se suelta el contrapeso a pie debajo de la

posición de equilibrio a una velocidad de 1 pie/s hacia abajo.

(b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma en que interviene el ángulo de fase.

(c)Calcule los tiempos en que el contrapeso pasa por la posición de equilibrio al dirigirse hacia abajo.

(d) Grafique la ecuación de movimiento. Movimiento Forzado

1. Un contrapeso de 16 lb estira pie un resorte. Al principio, el contrapeso parte del reposo a 2 pies debajo de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la mitad de la velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso está impulsado por una fuerza externa igual a .

2. Se une una masa de 1 slug a un resorte cuya constante es 5 lb/pie. Se suelta la masa a 1 pie debajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 pies/s hacia abajo; el movimiento se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es numéricamente igual al doble de la velocidad instantánea.

(a)Deduzca la ecuación del movimiento si una fuerza externa igual a f(t) = 12 cos 2t + 3 sen 2t actúa sobre la masa.

(b) Grafique las soluciones transitoria y de estado estable en el mismo conjunto de ejes coordenados.

(c)Grafique la ecuación de movimiento.

3. Cuando una masa de 1 slug se cuelga de un resorte, lo estira 2 pies y llega al reposo en su posición de equilibrio. A partir de t = 0 se aplica al sistema una fuerza externa al sistema igual a f(t) = 8 sen 4t.

(a)Formule la ecuación del movimiento si el medio presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea.

(b) Deduzca la ecuación del movimiento si la fuerza externa es . Analice los desplazamientos cuando t  .

4. Cuando una masa de 2 kg se cuelga a un resorte cuya constante es 32 N/m, llega a la posición de equilibrio. A partir de t = 0 se aplica al sistema una fuerza igual a . Deduzca la ecuación de movimiento cuando no hay amortiguamiento.

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(a)Cuando no hay amortiguamiento, determine la ecuación de movimiento si la masa parte del reposo desde la posición de equilibrio.

(b) ¿En qué momentos pasa la masa por la posición de equilibrio? (c)¿En qué momentos la masa llega a sus desplazamientos extremos? (d) ¿Cuáles son los desplazamientos máximo y mínimo?

(e) Grafique la ecuación del movimiento. Circuitos en serie

1. Determine la carga del capacitor en un circuito en serie LRC cuando t = 0.01 s, L = 0.05 h, R = 2Ω, C = 0.01f, E(t) = 0 V, q(0) = 5C e i(0) = 0 A. Encuentre el primer momento en que la carga en el capacitor es cero.

2. Determine la carga del capacitor en un circuito en serie LRC cuando L = 0.25 h, R = 20Ω, C = 1/300 f, E(t) = 0 V, q(0) = 4C e i(0) = 0 A. ¿En algún momento la carga en el capacitor es cero?

En los problemas 3 y 4 determine la carga en el capacitor y la corriente en el circuito en serie LRC. Calcule la carga máxima en el capacitor.

3. L = 5/3 h, R = 10Ω, C = 1/30 f, E(t) = 300 V, q(0) = 0C e i(0) = 0 A.

4. L = 1 h, R = 100Ω, C = 0.0004 f, E(t) = 30 V, q(0) = 0C e i(0) = 2 A.

5. Un circuito tiene L = 10 h, R = 90Ω, C = 0.005 f, E(t) = 500sen t V. En t =0 q(0) = 0C e i(0) = 0.5 A, hallar la carga del condensador.

Caída libre y leyes del movimiento

1. Hallar el tiempo necesario para que un cuerpo caiga a la Tierra desde una altura de 400 000km si la altura se mide desde el centro de la Tierra y sabiendo que su radio es 64oo km aproximadamente.

2. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ley:

Si esa partícula empieza su movimiento en x = 0, con una velocidad inicial de 6 m/s hacia la izquierda, hallar:

a. x en función de t , es decir x(t) la ecuación de su trayectoria. b. Los tiempos en que su velocidad es cero.

3. Un cuerpo de masa m cae desde cierta altura con una velocidad v. Durante la caída el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. a. Hallar la ecuación del movimiento.

b. Si m = 4 kg, g = 9.8 m/s2 , k = 3.673, hallar la velocidad al cabo de 2 segundos.

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