Fig.1
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Sistema diédrico
Introducción. Convencionalism os para el dibujo. Alfabeto del punto. Alfabeto o representación de la recta. Planos bisectores. Trazas de la recta. Alfabeto del plano.
TEMPO RALIZACIÓN: 8 horas
La geometría descriptiva es la rama de la geometría que tiene por objeto la representa-ción de todo tipo de cuerpos sobre un plano, por medio de proyecciones.
Estudiaremos aquí el sistema de dos proyecciones, llamado sistema diédrico o de Monge, por deberse a este geómetra francés del siglo XVIII, el descubrimiento de la geometría descriptiva.
Los elementos fundamentales de este sistema son dos planos de proyección (diedros), perpendiculares entre si. Estos planos de proyección reciben el nombre de plano horizontal (H o pH) y plano vertical (V o pV). Ocasionalmente usaremos un tercer plano de proyección, perpendicular a los otros dos, llamado plano de perfil (W o pP).
La intersección de los dos planos, horizontal y vertical es una recta llamada, línea de tierra, que se representa con dos rayitas
gruesas bajo los extremos, que indican la parte anterior del plano horizontal. Los planos horizontal y vertical de proyección se consideran opacos e
infinitos y dividen el espacio en cuatro partes o cuadrantes (o diédros). Estos cuadrantes se numeran con números romanos, I, II, III y IV, en sentido contra-rio a las agujas del reloj, según puede verse en la Fig.1
Para poder representar los distintos cuerpos sobre el papel del dibujo, se
Para ello suponemos el plano vertical la superficie del papel sobre la que dibujamos y tomando como eje la línea de tierra giramos 90° el plano horizontal, de forma que el horizontal posterior coincida con el vertical superior y el horizontal anterior lo haga con el vertical inferior.
Una vez abatido es fácil ver que todo lo situado por encima de la LT, pertenece al plano vertical, mientras que lo situado por debajo pertenece al plano horizontal.
Convencionalismos para el dibujo
Para poder distinguir más fácilmente los distintos elementos que intervienen en el sistema diédrico, hemos adoptado una serie de notaciones, que son:
- Los puntos en el espacio se representan con letras mayúsculas, así como las rectas. Los planos con letras griegas (los planos podrían nombrarse, también con letras del alfabeto latino).
- Las proyecciones sobre el horizontal y el vertical se nombran con la misma letra que el elemento del espacio que representan acompañado del subíndice 1 o 2 según sea la proyección en el horizontal o en el vertical, respectivamente. Así, las proyecciones
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del punto A del espacio serán A y A , y las de la recta R serán R y R .
- A los planos de proyección se les designa por su inicial con mayúsculas; así el plano horizontal se representa por la letra H o pH y el vertical por V o pV, mientras que el de perfil se representa por W o pP.
En cuanto a las trazas del plano (contacto del plano con los de proyección) estas se nombran con letras griegas minúsculas seguidas por los subíndices 1 o 2.
- Para indicar que un punto del espacio coincide con su proyección utilizaremos la
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A LFA BETO O REPRESENTA CIÓN DEL PUNTO
- Las líneas auxiliares de proyección se representan por líneas discontinuas o por una recta fina, aunque a veces sólo se dibujan los extremos de estas líneas, según se avance en la complejidad de los problemas.
- La intersección o contacto de una recta o un plano con los de proyección, llamados trazas de la recta o del plano, se designa por las letras H o V según sea el plano sobre
r s
el que se proyectan y un subíndice que corresponde al nombre de la recta. Así, H y V serán las trazas horizontal de la recta R y la vertical de la recta S, respectivamente. - La línea de tierra la representaremos con línea continua fina, con dos trazos en sus extremos.
- Los datos con trazo continuo.
- Las proyecciones del resultado, con trazo continuo grueso. - Las líneas de referencia, de puntos finos.
- Las partes ocultas, de trazos.
Es conveniente acostumbrarse a nombrar inmediatamente lo que se dibuja para evitar confusiones.
Para poder representar un punto debemos proyectar perpendicularmente sobre los planos horizontal y vertical.
La posición completamente definida del punto requiere conocer 3 magnitudes como en todo sistema coordenado: la longitud OM o distancia al centro de coordenadas, la cota y el alejamiento. Fig.7.3
Desplazamiento lateral es la longitud OM o distancia al centro de coordenadas. La posición del punto O es arbitraria, fijándose a priori. La distancia al origen puede ser positiva (a la derecha de O) y negativa (izquierda de O).
Cota es la distancia del punto al plano horizontal.
Fig.3
Así, un punto se representará en el siguiente orden: desplazamiento lateral, alejamiento y cota. Ej: A(3, 5, 2) es decir P(x, y, z)
La línea ficticia que une ambas proyecciones se denomina línea de referencia del punto.
Punto situado, en el espacio del primer cuadrante, de igual cota que alejamiento. Fig.4
Este punto tiene la misma cota que alejamiento, pues existe la misma distancia del punto al plano vertical como al horizontal.
Punto situado, en el espacio del primer cuadrante, con más cota que alejamiento. Fig.5
Punto situado, en el espacio del primer cuadrante, con más alejamiento que cota. Fig.6
Caso contrario al anterior. Tiene más alejamiento que cota al existir más distancia al plano vertical que al horizontal.
Al estar en el plano horizontal, el punto tiene alejamiento pero no tiene cota.
Punto situado, en el primer cuadrante, y en el plano vertical. Fig.8
Al estar en el plano vertical el punto tiene cota pero no tiene alejamiento.
Punto situado en la LT. Fig.9
A LFA BETO O REPRESENTA CIÓN DE LA RECTA
(Punt os not ables de la rect a)
Posiciones del punto en el primer cuadrante y primer bisector. Fig.7.10
Para hallar la representación de una recta bastará con conocer bien las distintas posiciones del punto, puesto que, la proyección de una recta no es más que la proyección de todos sus puntos.
Recta oblicua al pH y oblicua al pV. Fig.7.11
1 2
2 1
R es oblicua al pH, porque las cotas de todos sus puntos son distintas y R lo es al pV porque todos los alejamientos son diferentes.
Recta paralela al pH y oblicua al pV. (Recta horizontal del plano). Fig.7.12
2
La proyección R es paralela al pH por tener las cotas de todos sus puntos iguales,
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mientras que la proyección R es oblicua al pV por tener distintos alejamientos. Se llaman rectas horizontales del plano a las rectas paralelas al pH.
Recta paralela al pV y oblicua al pH. (Recta frontal del plano). Fig.7.13
Se llaman rectas frontales del plano a las rectas paralelas al pV.
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Recta paralela a la LT. (recta paralela al pH y al pV). Fig.14
Se caracteriza por estar en un sólo cuadrante. Es a la vez horizontal y frontal.
Recta situada en la LT. Fig.7.15
Las proyecciones de los puntos de la recta coinciden en la LT.
Recta situada en el pV, paralela al pH. Fig.17
Recta situada en el pH, oblicua al pV. Fig.18
Recta perpendicular al pH y paralela al pV (Recta vertical). Fig.20
Las rectas perpendiculares al pH y al pV se llaman rectas de punta. Como la perpendicular al pH es vertical, para evitar confusiones llamaremos verticales a estas rectas y rectas de punta, a las normales al pV.
A LFA BETO DEL PLA NO
- Una recta pertenece a un plano cuando las trazas de la recta están contenidas en las trazas del plano.
- Para que un punto pertenezca a un plano es preciso que ese punto pertenezca a una recta del mismo plano.
Tipos de plano. Fig.7.24
Se llama plano proyectante a aquel que es perpendicular a uno de los planos de proyección. Los planos paralelos a los de proyección son también proyectantes puesto que son perpendiculares al otro plano del sistema.
El plano proyectante vertical se llama también de canto.
El plano paralelo al vertical también se llama frontal.
Dado que por la LT pueden pasar infinitos planos, para poder representar un plano que atraviese dicha línea de tierra tomamos un punto cualquiera del plano y lo representa-mos con sus proyecciones. Y para distinguir que el punto pertenece al plano que pasa por la LT dibujamos debajo de la línea y a ambos lados de la proyección dos pequeños trazos.
Elementos del plano.
Se llaman trazas de un plano las rectas de intersección de éste con cada uno de los planos de proyección. Un plano tiene, pues, dos trazas, la horizontal y la vertical.
La condición que deben reunir las trazas de un plano es que sean concurrentes en un punto de la LT, puesto que todo plano corta a un diedro según dos rectas concurrentes en un punto.
Un plano se nombra con una letra mayúscula, normalmente griega, mientras que las trazas se nombran con la misma letra seguida de los subíndices 1 o 2, según se refiera a la traza horizontal o vertical.
RECTA S SITUA DA S EN EL PLA NO
Fig.26
En la figuras anteriores se han representado algunos ejemplos de rectas situadas en cada uno de los planos. Fig.26 y 27
Recordamos que una recta está situada en un plano cuando las trazas de la recta están situadas sobre las trazas del plano.
Si se quisiera situar un punto en un plano, bastaría situar primeramente una recta
1 2 1 2
TRAZAS DE LA RECTA
Se da este nombre a los puntos de intersección de la recta con los planos horizontal y vertical, y con los bisectores.
Trazas de una recta oblicua al pH y oblicua al pV. Fig.28
Caso general.
a) Para obtener la traza horizontal de una recta prolongamos su proyección vertical hasta la LT, y desde este punto trazamos una perpendicular a dicha LT que corte a la prolongación de la proyección horizontal de la recta. El punto de intersección de la perpendicular a la LT con la prolongación de la proyección horizontal de la recta
R
será la traza horizontal H .
b) Para obtener la traza vertical de una recta prolongamos su proyección horizontal hasta la LT, y desde este punto trazamos una perpendicular a dicha LT que corte a la prolongación de la proyección vertical de la recta. El punto de intersección de la perpendicular a la LT con la prolongación de la proyección vertical será la traza
R
INTERSECCIÓN DE PLANOS
Los 8 tipos de plano
Caso 1-1: Plano oblicuo con plano oblicuo
Como caso general el proceso para determinar las proyecciones de la recta intersección consiste en llevar, desde donde se cortan las trazas verticales de los planos, una perpendicular a la LT y desde ésta unimos con el punto donde se cortan las trazas horizontales de los planos; obtenemos así la proyección horizontal de la recta intersección.
Para obtener la proyección vertical de la recta intersección llevamos, desde el punto de corte de las trazas horizontales de los planos, perpendicular a la LT y desde ésta unimos con el punto de corte de las trazas verticales de los planos, que será la proyección buscada.
En el caso 1-2 (intersección de plano oblicuo con plano proyectante horizontal), cuando las traza horizontal del plano oblicuo y la horizontal del plano proyectante son paralelas, la intersección de ambos planos se explica teniendo en cuenta que las trazas horizontales al ser paralelas se cortan en el infinito; y por tanto la proyección vertical de la recta intersección será paralela a la LT.
