APUNTES Números Compleos 2

NÚMEROS COMPLEJOS

1. ¿Qué es un número complejo? Definiciones.

• La ecuación x2 +1=0 no tiene solución en el campo real, puesto que si intentamos resolverla tendremos que x =± −1 y sabemos que no podemos calcular raíces de números negativos en R. Para resolver este problema introduciremos el valor i= −1, que llamaremos unidad imaginaria.

• Las expresiones del tipo a+bi, siendo a y b números reales, reciben el nombre de números complejos. (Por ejemplo, 2 , i 3+4i, i

3 2

− ,...).

• Todo número complejo es de la forma a+bi. Se dice que el número complejo está escrito en forma binómica.

– El número a se llama parte real del número complejo z=a+bi.

– El número b se llama parte imaginaria del número complejo z=a+bi. • Un número real es aquel que no tiene parte imaginaria, es decir, b=0. • Un número imaginario puro es aquel que no tiene parte real, es decir, a =0. • Dos números complejos son iguales si tienen iguales su parte real y su parte

imaginaria, es decir, a+bi=c+di⇔a=cyb=d. Ejemplos:

Calcular las raíces siguientes:

a) −36 = 36·

( )

b) −100 = 100·

( )

Ejercicios:

Calcular las raíces siguientes: a) -25

a) 5i

b) 4i

Ejemplo:

Expresa en forma binómica el número complejo 5+ −81 5+ − = +81 5 81 · ( 1)− = +5 81 · − = +1 5 9i

Ejercicio:

Expresa en forma binómica los siguientes números complejos: a) 3− −100

b) 2+ −7 Solución:

a) 3−10i

b) 2+ 7i

2. Operaciones con números complejos.

–

Suma y diferencia de números complejos.

Ejemplos:

Calcula las siguientes sumas:

a) (2 5i) (3 4i)+ + + = + + + = +2 5i 3 4i 5 9i b) (1 i) (1 i) 1 i 1 i+ + − = + + − =2

Ejercicios:

Calcula las siguientes sumas: a) (1 3i) (1 i)+ + +

Solución:

a) 2+4i b) 2−4i

• El opuesto del número complejo a+bies − −a bi. Ejemplos:

Escribe los opuestos de los siguientes números complejos:

a) 3 4i+ Opuesto: − −3 4i

b) 1 i− Opuesto: − +1 i

Ejercicios:

Escribe los opuestos de los siguientes números complejos: a) − +3 i

b) − −2 5i

Solución:

a) 3−i

b) 2+5i

Ejemplos:

Calcula las siguientes diferencias: (2 5i) (3 4i)+ − + = + − − = − +2 5i 3 4i 1 i Ejercicios:

Calcula las siguientes diferencias: a) (1 i) (1 i)+ − −

b) (1 3i) (1 i)+ − +

a) 2 i b) 2 i c) −2+6i

–

Producto de números complejos.

• Tendremos en cuenta que

( )

2 2

i = −1 = −1.

Ejemplo:

Calcula los siguientes productos:

2

(2 5i) · (3 4i)+ + = + +6 8i 15i+20i = + +6 8i 15i+20 ( 1)− = + +6 8i 15i 20− = − +14 23i

Ejercicios:

Calcular los siguientes productos: a) (1 i) · ( 1 i)+ − −

b) (1 3i) · (1 i)+ +

c) i · (2 5i)− Solución:

a) −2i b) −2+4i c) 5+2i

Ejemplo:

Calcula los siguientes productos:

2 2 2

(2 5i) · (2 5i)+ − =2 −(5i) = −4 25i = −4 25 ( 1)− = +4 25=29 Ejercicios:

a) (1 i) · (1 i)+ −

b) (1 3i) · (1 3i)+ −

c) ( 2 5i) · ( 2 5i)− − − +

Solución:

a) 2

b) 10

c) 29

Ejercicio:

Determinar el número x sabiendo que (1 xi) · (2 3i)+ − es un número real. Solución:

2 3 x=−

Ejemplo:

Siendo z₁ = +2 miy z₂ = +n 3i, hallar m y n de modo que la suma de z y ₁ z ₂ sea 2 i− .

1 2

z +z = − → +2 i 2 mi+ + = − → +n 3i 2 i (2 n) (m 3) i+ + = −2 i Luego:

2 n+ = → = − =2 n 2 2 0 m 3+ = − →1 m= − − = −1 3 4

Ejercicio:

Calcular:

a) (2 3i) (1 i) (3 i)+ + − − −

b) i (3 2i) (2 i)+ − − + c) (1 i) · (1 3i)+ −

Solución:

a) 3i

b) 1−2i c) 4−2i d) 1−6i

–

División de números complejos.

• Dado un número complejo z= +a bise llama complejo conjugado de z al complejo z= −a bi.

Ejemplo:

Escribe los conjugados de los siguientes números complejos:

a) 3 4i+ Conjugado: 3 4i−

b) 1 i− Conjugado: 1 i+ Ejercicio:

Escribe los conjugados de los siguientes números complejos: a) − +3 i

b) − −2 5i

Solución:

a) −3−i

b) −2+5i

• La división de números complejos se hace multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.

Ejemplo:

2

2 2

2 5i (2 5i) (3 4i) 6 8i 15i 20i 6 8i 15i 20 ( 1) (2 5i) : (3 4i)

3 4i (3 4i) (3 4i) 3 (4i) 9 16 ( 1)

+ + − − + − − + − −

+ + = = = = =

+ + − − − −

6 8i 15i 20 ( 1) 6 8i 15i 20 26 7i 26 7 i

9 16 ( 1) 9 16 25 25 25

− + − − − + + +

= = = = +

− − +

2 2

2 5i (2 5i) · ( i) 2i 5i 2i 5 ( 1) 2i 5

(2 5i) : i 5 2i

i i · ( i) i ( 1) 1

− − − − + − + − − −

− = = = = = = − −

− − − −

Ejercicios:

Calcula las siguientes divisiones: a) (1 i) : (1 i)+ −

b) (1 3i) : (1 i)+ +

c) (2 3i) : 2i−

Solución:

a) i

b) 2+i

c) i 2 3

− −

• El inverso del número complejo z= +a bi es z 1 1 a bi

− ₌ +

Ejemplo:

Calcular el inverso del número complejo 1 i+

2 2

1 1 · (1 i) 1 i 1 i 1 i 1 1

i

1 i (1 i) · (1 i) 1 i 1 ( 1) 2 2 2

− − − −

= = = = = −

+ + − − − −

Ejercicio:

Calcula el inverso de los siguientes números complejos: a) 1 i−

b) 2 3i+

Solución:

a) i 2 1 2 1₊

b) i

13 3 13

2 −

c) i

5 1 5 2₋ −

–

Cálculo de las potencias de la unidad imaginaria:

i= −1

( )

2

i = −1 = −1

3 2

i =i · i= −( 1) · i= −i

4 3 2

i =i · i= −( i) · i= − = − − =i ( 1) 1 Ejemplo: Calcula i2355

Si dividimos 2355 entre 4 obtenemos cociente 588 y resto 3, luego

( )

( )

i2355 = 588·4+3 = 4 588 3 = 588 3 = − =− .

Utilizando este razonamiento, podemos escribir simplemente que i2355 =i3 =−i. Ejercicio:

Calcula las siguientes potencias: a) i125

b) i723 c) i2344 d) i27

Solución:

a) i

c) 1

d) −i

–

Potencia de números complejos dados en forma binómica.

Ejemplos:

Calcula la siguiente potencia:

Utilizando el binomio de Newton, tenemos que:

4 4 0 4 4 1 3 4 2 2 4 3 1 4 4 0

(2 3i) · 2 · (3i) · 2 · (3i) · 2 · (3i) · 2 · (3i) · 2 · (3i)

0 1 2 3 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 4 3 3 2 2 2 3 4

4 4 4 4 4

·1 · 3 i · 2 · 3 i · 2 · 3 i · 2 · 3i · 2 ·1

0 1 2 3 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 4 4 4 4

·1 · 81 ·1 · 2 · 27 · ( i) · 4 · 9 · ( 1) · 8 · 3i ·16 ·1

0 1 2 3 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} − +_{⎜ ⎟} − +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 4 4 4 4

· 81 · 54i · 36 · 24i ·16

0 1 2 3 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=_{⎜ ⎟} −_{⎜ ⎟} −_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Triángulo de Tartaglia: 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Luego:

4

(2 3i)+ =1· 81 4 · 54i 6 · 36 4 · 24i 1·16− − + + =81 216i 216 96i 16− − + + = −119 120i−

Ejercicios:

b) (3 i)+ 3 c) ( 1 i)− − 7 d) (3 2i)− 4 Solución:

a) 41+38i b) 18+26i

c) −8+8i

d) −119−120i

Identidades notables:

2 2 2

(a+b) =a +b +2ab

2 2 2

(a−b) =a +b −2ab

2 2

(a+b) · (a−b)=a −b Ejercicio:

Calcula las siguientes operaciones con números complejos: a) (1 i) : (4 i)+ 2 +

b) (2 i) : (1 i)+ + 2 Solución:

a) i

17 8 17

2 +

b) i 2 1₋

3. Módulo y argumento de un número complejo.

–

Representación en el plano de los números complejos.

En este sistema de coordenadas los números complejos se representan haciendo corresponder al número complejo a+biel punto de coordenadas

(

)

A a , b , que se llama afijo del número complejo a+bi. De esta forma, a cada número complejo le hacemos corresponder un punto del plano y recíprocamente.

Si unimos el origen O con el punto A obtenemos un segmento orientado que llamamos vector y representamos por OAJJJG. Así pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un vector.

Ejemplo:

Representar el número complejo 2 3i+ .

El afijo del número complejo 2 3i+ es

(

)

Ejercicios:

Representa los siguientes números complejos: a) 3 2i−

b) − +4 i

Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados: a) 3 4i+

b) 1 i− c) − +3 i d) 2 5i−

–

Módulo de un número complejo.

Definición:

1. Calcula el módulo de los siguientes números complejos: a) z= +4 3i

2 2

z = 4 +3 = 16 9+ = 25=5

b) z= − −2 i

2 2

z = ( 2)− + −( 1) = 4 1+ = 5

Ejercicios: a) z= −3 4i b) z= +4 6i c) z= − −1 i Solución: a) z =5

b) z =2 13 c) z = 2

–

Argumento de un número complejo.

Se llama argumento del número complejo z= +a bial ángulo que forma con el semieje positivo de abscisas. Se le representa por arg(z)= α.

+

Ejemplos:

Calcular el argumento de los números complejos siguientes:

z = 3 z = 4i

Ejercicio:

Calcular el argumento de los siguientes números complejos: a) z=4i

b) z= −2 c) z=4 d) z= −6i

Solución:

a) α=90º b) α=180º c) α=0º d) α=270º

+

Si z=a+bi entonces ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =

α

a b arctg )

z arg(

Ejemplos:

Calcular el argumento de los siguientes números complejos: a) z= +2 2i

2

arctg arctg1 2

α = = , y como α está en el primer cuadrante, α =45º

3

arctg arctg 3

1 −

α = =

− , y como α está en el tercer cuadrante, α =240º

c) z=2 3−2i

2 3

arctg arctg

3 2 3

⎛ ⎞

−

α = = ⎜_⎜− ⎟_⎟

⎝ ⎠, y como α está en el cuarto cuadrante,

330º α =

d) z= − +3 3i

3

arctg arctg( 1) 3

α = = −

− , y como α está en el segundo cuadrante, α =135º Ejercicios:

Calcular el argumento de los números complejos:

a) z=−3 3−3i

b) z=4 3+4i

c) ₂ i

d) z=−1−i

e) z=4+4 3i f) z=1−i

g) z=−2 3+2i

h) z= 2+ 2i

i) z=−3−3 3i j) z=−1+i

k) z=4−4 3i

l) z=6 3−6i Solución:

a) α=210º

b) α=30º

c) α=120º

d) α=225º

e) α=60º

f) α=315º

g) α=150º

h) α=45º

i) α=225º

j) α=135º

k) α=300º

4. Forma trigonométrica y polar de un número complejo.

Forma binómica Forma trigonométrica Forma polar

a+bi _{r cos}

(

)

donde r es el módulo del número complejo a+bi y α es el argumento. Ejemplo:

Escribe de todas las formas posibles los siguientes complejos: a) 4+4 3i

Módulo: r= 42 +22 ·3=8 Argumento: α=60º

Por tanto, 4+4 3i=8

(

)

b) i.

Módulo: 1r= . Argumento: α=90º.

Por tanto, i = 1 (cos90º + i sen90º) = 190º i=1

(

)

(

)

225º

2 2

6 6 cos 225º isen225º 6 . i 3 2 3 2 i

2 2

⎛ ⎛ ⎞⎞

= + = ⎜_⎜ + −⎜_⎜ ⎟_⎟⎟_⎟= − −

⎝ ⎠

⎝ ⎠

Ejercicio:

Escribe de todas las formas posibles los siguientes complejos: a) −3 3−3i

b) 3_30º c) 4 3+4i

d) 2

(

)

e) i

2 3 2 1

f) 4330º

g) −1−i h) 5300º

i) 4+4 3i j) 1−i

k) 6

(

)

l) −2 3+2i m) 6_135º n) 2+ 2i o) 9_240º p) −3−3 3i q) −1+i

r) 4

(

)

s) 4−4 3i t) 6 3−6i Solución:

a) −3 3−3i=6_210º =6(cos210º+isen210º)

b) i

2 3 2 3 3 ) º 30 sen i º 30 (cos 3

3_30º = + = +

c) 4 3+4i=8_30º =8(cos30º+isen30º)

d) 2(cos30º+isen30º)=2_30º = 3+i

e) i 1 cos120º isen120º 2

3 2 1

º

120 = +

= + −

f) 4_330º =4(cos330º+isen330º)=2 3−2i

g) −1−i= 2225º = 2(cos225º+isen225º)

h) i

2 3 5 2 5 ) º 300 sen i º 300 (cos 5

5300º = + = −

i) 4+4 3i=860º =8(cos60º+isen60º)

j) 1−i= 2315º= 2(cos315º+isen315º) k)6

(

)

l) −2 3+2i=4_150º =4(cos150º+isen150º)

m) 6_135º =6(cos135º+isen135º)=−3 2+3 2i

n) 2+ 2i=2_45º =2(cos45º+isen45º)

o) i

2 2 9 2 9 ) º 240 sen i º 240 (cos 9

9_240º = + =− −

p) −3−3 3i=6_225º =6(cos225º+isen225º)

r) 4

(

)

s) 4−4 3i=8_300º =8(cos300º+isen300º)

t) 6 3−6i=12330º =12(cos330º+isen330º)

5. Producto y cociente de números complejos en forma polar.

El producto de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos.

' ' r·r'

' r ·

r_{α α} = _α+α Ejemplo:

(

)

80 º

100 ·6 2·6 12

2 = ₊ =

Ejercicio:

Calcular los siguientes productos:

a) 4_120º ·3_60º b) 5_30º ·6_270º c) 5_15º ·6_35º ·2_200º Solución:

a) 12_180º b) 30_300º c) 60_250º

El cociente de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos. ' ' ' r r ' r : r α − α α α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Ejemplo: º 20 º 80 º 100 º 80 º 100 3 1 6 2 6 : 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − Ejercicio:

Calcular los siguientes cocientes:

a) 4120º :260º b) 6300º :3270º c) 760º :745º

Calcular los siguientes cocientes:

a) 2_60º b) 2_30º c) 1_15º

6. Potenciación y radicación de números complejos en forma polar.

La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo, que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento n veces el argumento del complejo dado:

( )

( )

n n

r r

Ejemplo:

(

)

( )

( )

(

)

2 3 2 1 256 º 240 isen º 240 cos 256 256

4 4

i 3 2

2 4·60º 240º

4 4 º 60 4

− − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − = +

= =

= =

+

Ejercicio:

Calcular:

a)

(

)

( )

c)

(

)

(

)

e)

(

)

(

)

g)

(

)

( )

i)

(

)

(

)

l)

(

)

m)

(

)

(

)

(

)

a) 7776_330º b) 729_180º c) 51290º

d)

( )

( )

( )

( )

h)

( )

j) 1296_180º k)1024_90º l) 10º

m)

( )

o)

( )

12

Las raíces n-ésimas de un número complejo son n números complejos que tienen de módulo la raíz n - ésima del módulo y por argumento

n º 360 · k + α

Ejemplo:

Halla las raíces cúbicas del complejo z=8i. 8

z = , ºα=argz=90 .

Las raíces cúbicas son tres números complejos zn con n∈

{

}

2 8

z 3

n = = y 30º

3 º 360 · 0 º 90 z

arg 0 =

+

= , 150º

3 º 360 · 1 º 90 z

arg 1 =

+

= y

º 270 3 º 360 · 2 º 90 z

arg ₃ = + = , luego:

(

)

2 1 2 3 2 º 30 isen º 30 cos 2 2

z0 30º ⎟⎟= +

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = = ,

(

)

2 1 2 3 2 º 150 isen º 150 cos 2 2

z_{1 150º ⎟⎟}=− +

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = + = = ,

(

) (

)

2

z₀ = _270º = + = + − =− .

Ejercicios:

Calcula las siguientes raíces:

a) 3 -1 b) 4 1 + i _{c) -36} d) 3 -27 e) 6 729i

d) º 300 2 º 180 1 º 60 0 3 z , 3 z , 3 z = = = e) , 3 z , 3 z , 3 z , 3 z , 3 z , 3 z 4 7 5 12 17 4 12 13 3 4 3 2 12 5 1 12 0 π π π π π π = = = = = =

Ejercicios de números complejos.

1. Efectúa las siguientes operaciones con números complejos, dando la parte real y la parte imaginaria del resultado:

a) i 3 i+

b) 7 21 1 i 1 i + − c)

1 3i i·(2 i) 1 3i

+ − −

+

d)

(

) (

) (

)

e) 2 i 2 i − + f) 21 62 14 5 30 23 i i i i i i + − + − g)

2 i 3 i : 3 i 2 i

− −

+ +

Solución:

a) i

10 3 10

b) 1

c) i

10 1 10

3 +

d) 10i

e) i

3 2 2 3 1

+

f) −2+i g)

2 1

2. Calcula (en forma binómica) las siguientes potencias:

a)

(

)

3

1 2i+

b)

(

)

3 5

2 i+

Solución:

a) −11−2i b) 2+11i

3. Determinar el valor de m para que el número complejo z=(3−6i)·(2−mi)sea: a) Un número real.

b) Un número imaginario puro.

Solución:

a) m=−4 b) m=−1

4. Determinar el valor de x para que (3 + 2i) · (1 - i)_{3 + xi} sea igual a 7₅ - 4₅ i