En el siguiente documento se encuentra una posible clasificación personal de los ejercicios que nos podemos encontrar en la parte de Probabilidad en los exámenes de selectividad. Para cualquier otro profesor puede existir otra clasificación distinta e incluso no existir ninguna.
TIPO 1: “APLICACIÓN DIRECTA DE FORMULITAS”
Veamos la teoría necesaria para la resolución de cualquier tipo de problema, esto es, las formulitas que vamos a utilizar. Toda la teoría que vamos a desarrollar está hecha para un espacio muestral con sólo dos sucesos
A,B . Para tres sucesos está desarrollado en los apuntes de teoría.
A B
P A B
P B A P A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A B P A P B A P B y A B P B A P B A P B A P B y A B A P B P A P B A P A P A P C C C C C C C C C C dos" los de uno sólo " ocurra que de ad Probabilid A ocurra sólo que de ad Probabilid B no y A ocurra que de ad Probabilid B" y A " ocurra que de ad Probabilid B y A sucesos ambos" " o mente" simultánea " ocurra que de ad Probabilid B" ó A " ocurra que de ad Probabilid B y A dados dos de suceso un" menos al " ocurra que de ad Probabilid 1 1 M organ de Leyes son. lo también arios complement los ntes independie son y Si si ntes independie son B" sucedido ha que sabiendo " A ocurra que de ad Probabilid ó B" ocurre si " A ocurra que de ad Probabilid / 0 si les incompatib son 1
1. Sean A y B dos sucesos tales que
C C B B A P B P A
P( )0.4, ( )0.7 y ( )0.6,donde es el suceso contrario de B.
a) ¿Son independientes A y B ? ¿y AC y BC ? Calculamos
3 . 0 ) (B
P
AB
P(A)P(B)P(AB)0.40.30.60.1ahora podemos comprobar
12 . 0 1 . 0
? 3 . 0 4 . 0 1 . 0 ¿
B P A P B A P
NO SON INDEPENDIENTES
Ahora bien, si A y B son independientes todos sus complementarios y combinaciones entre ellos lo son.
b) CalculeP(A/B)
25 . 0 4 . 0
1 . 0 ) ( )
/
(
B P
B A P B A
P
c) Calcule P(ABc)
AB
P
A P AB
0.30.10.2P C
d) Calcule P(AcBc)
1
1 0.6 0.4)
(A B P AB P AB
P c c C
e) Calcule P(AcBc)
1
1 0.1 0.9)
(A B P AB P AB
P c c C
f) Calcule P(B/Ac)
5 . 0 4 . 0
1 . 0 3 . 0 )
( 1
) ( )
( )
/
(
A P
A B P B P A
P A B P A B
P C
C c
Ejercicio que no tiene más complicación que aplicar las formulitas. No hay que decir que si no sabemos las formulitas no sabremos hacer ningún ejercicio de estos.
2. De los 39 alumnos de una clase, 16 escogieron francés y 27 inglés. Nueve alumnos eligieron ambos, y el resto no escogió ninguno de ellos. Si se elige al azar un alumno de dicha clase, halla las siguientes probabilidades.
a) Escogió francés.
39 16 ) (F
P
b) Escogió inglés.
39 27 ) (I
P
c) Escogió ambos idiomas.
39 9 ) (FI
P
d) Escogió francés o inglés.
39 35 39
9 39 27 39 16 ) ( ) ( ) ( )
(FI P F P I P F I
P
39 7 ) ( ) ( )
(FI P F P FI
P C
f) No escogió ni inglés ni francés.
39 4 39 35 1 ) ( 1 )
(F I P FI P C C
TIPO 2: “PROBABILIDAD TOTAL Y BAYES”
Este tipo de ejercicio lo podemos identificar porque en las preguntas del problema siempre se sigue el mismo esquema, la primera pregunta va encaminada a calcular la probabilidad total de un suceso y la segunda pregunta es la aplicación del teorema de Bayes (probabilidades a posteriori). La resolución de estos ejercicios se puede llevar a cabo de dos maneras distintas:
a) Mediante un diagrama de árbol dependiendo del contexto, por ejemplo
Desarrollemos el primer diagrama. El primer esquema es el más común en selectividad, siempre nos exponen un experimento aleatorio que da lugar a dos casos (A1, A2), cada uno con su probabilidad, y después nos dicen que en cada caso aparecen dos sucesos S y C (cuando son dos nada más, son complementarios, eso facilita las cuentas) y estos, a su vez, tienen otras probabilidades asociadas para cada caso. Trabajaremos después el primer esquema mediante una tabla de contingencia.
) ( 1
6 2 4 1 ) 2 / ( ) 2 ( ) 1 / ( ) 1 ( ) (
5 2 3 1 ) 2 / ( ) 2 ( ) 1 / ( ) 1 ( ) (
S P
p p p p A C P A P A C P A P C P
p p p p A S P A P A S P A P S P
El siguiente apartado siempre es la probabilidad de Bayes, por ejemplo, calcular sabiendo que ha ocurrido el suceso C (condición en la segunda parte del diagrama), qué probabilidad hay de que provenga del caso A2. Pues nada más que escribir la formulita (es una condicionada normal) y dejarse llevar sustituyendo siempre de la siguiente manera o según nos convenga.
6 2 4 1
6 2 )
(
) 2 / ( ) 2 ( )
( ) 2 ( ) / 2 (
p p p p
p p C
P
A C P A P C
P C A P C A P
b) Mediante una tabla de contingencia (desarrollada en la teoría mediante un ejemplo)
S C
A1 P
A1S
p1 x p3 P
A1C
p1 x p4 P(A1) = p1 A2 P
A2C
p2 x p5 P
A2C
p2 x p6 P(A2) = p2P(S) =
p1 x p3+ p2 x p5 = 1 - P(C)
P(C) =
p1 x p4+ p2 x p6 = 1 - P(S)
1
Aquí la probabilidad de Bayes se puede obtener de la misma forma que en el caso anterior. Advierte que Bayes es una probabilidad condicionada y cuando tenemos la tabla de contingencia, la probabilidad condicionada es un numerito entre otro, observa:
) (
) 2 / ( ) 2 ( )
( ) 2 ( ) / 2 (
C P
A C P A P C
P C A P C A
P
1. Un médico ha observado que el 40% de sus pacientes fuma y de estos, el 75% son hombres. Entre los que no fuman, el 60% son mujeres. Calcula la probabilidad de:
a) Un paciente no fumador sea hombre.
Esto aunque no viene precedido “de sabiendo que” o va entre comas, se trata de una condicionada. Es distinto “no fumador sea hombre” que por ejemplo “sea hombre no fumador”. Esto es más bien una cuestión de Lengua Castellana. Bueno resolvamos ya sin más dilaciones:
4 . 0 ) / (H FC
P directamente en el árbol.
b) Un paciente sea hombre fumador.
Al igual que antes y por la distinción que hemos hecho en el razonamiento anterior, ahora se trata de una intersección y no una condicionada.
3 . 0 75 . 0 4 . 0 ) / ( ) ( )
(FH P F P H F
P
c) Un paciente sea mujer
Esto es claramente y mirando a nuestro árbol, probabilidad total.
46 . 0
6 . 0 6 . 0 25 . 0 4 . 0
) / ( ) ( ) / ( ) ( ) (
C C
F H P F P F M P F P M P
d) Sabiendo que el paciente ha sido hombre, qué probabilidad hay de que sea
fumador.
Y ya para rizar el rizo y claramente condicionando al suceso posterior, tocamos un poquito de teorema de Bayes.
Para empezar la P(H)1P(M)0.54 ya la tenemos calculada.
Ahora 0.5
54 . 0
3 . 0 )
(
) / ( ) ( )
( ) (
) /
(
H P
F H P F P H
P H F P H F
Si resolviéramos el ejercicio con tabla todo quedaría reflejado en ella. Veámoslo:
H M
F P
FH
0.40.750.3 P
FM
0.40.250.1 0.4 FC P
FC H
0.60.750.45 P
FC M
0.60.250.15 0.675 . 0 45 . 0 3 . 0 )
(H
P P(M)0.10.150.25 1
Y ahora para calcular todas las probabilidades pedidas nada más que repetir los cálculos.
2. Se realiza una encuesta sobre las preferencias de vivir en la ciudad o en urbanizaciones cercanas. Del total de la población encuestada el 60% son mujeres, de las cuales prefieren vivir en la ciudad un 73%. Se sabe que la probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad es 0.62.
“la probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad es 0.62” significa:
62 . 0 ) (C
P pero si esto lo expresamos con su fórmula tenemos:
455 . 0
62 . 0 4 . 0 73 . 0 6 . 0
62 . 0 ) / ( ) ( ) / ( ) ( 62
. 0 ) (
x x
H C P H P M C P M P C
P
a) Calcule la probabilidad de que elegido un hombre al azar, prefiera vivir en la ciudad.
Curiosamente la acabamos de calcular.
b) Supuesto que una persona, elegida al azar, desee vivir en la ciudad, calcule la probabilidad de que sea mujer.
706 . 0 62 . 0
73 . 0 6 . 0 ) (
) (
) /
(
C P
C M P C M
P
Si resolviéramos el ejercicio con tabla todo quedaría reflejado en ella. Veámoslo:
C CC
M P
MC
0.60.730.438 0.60.4380.162 0.6H 0.182 0.218 0.4
0.62 0.38 1
Y ahora para calcular todas las probabilidades pedidas nada más que repetir los cálculos.
TIPO 3: “PROBABILIDAD COMPUESTA”
La teoría es muy poca o casi nada. Lo único que hay que saber son dos formulitas:
NTES INDEPENDIE NO
) 2 1 / 3 ( ) 1 / 2 ( ) 1 (
NTES INDEPENDIE )
3 ( ) 2 ( ) 1 ( 3
2 1
A A A P A A P A P
A P A P A P A
A A P
A continuación, con el primer ejemplo, veremos muchísimos de los casos que se nos pueden presentar en los ejercicios de tipo 3. ¿Cómo los identifico? Muy fácil, no son ni tipo 1 ni tipo 2. ¿Por qué? Porque no son mecánicos, en ellos, hemos de pensar un poquito, hay que valorar todas las posibilidades, etc.
1. Se tiene una urna llena de bolas con la siguiente composición: 2 ROJAS, 3 VERDES, 5 AZULES. Se extraen sin reemplazamiento 3 bolas. Se piden las siguientes probabilidades:
a) Describe el espacio muestral y asigna probabilidades a cada suceso
Para no equivocarnos al describir el espacio muestral y puesto que se tienen 33 -1 elementos (hay dos rojas = una posibilidad menos), o sea, 26, vamos a
AAA AAV AAR AVA AVV AVR ARA ARV ARR VAA VAV VAR VVA VVV VVR VRA VRV VRR RAA RAV RAR RVA RVV RVR RRA RRV , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,Los sucesos no son equiprobables por tanto no podremos calcular probabilidades aplicando la regla de Laplace. No os escribo las probabilidades porque es un tanto engorroso, y además, con el desarrollo del ejercicio se van calculando muchas de ellas.
b) Calcular la probabilidad de que la primera sea roja, la segunda verde y la
tercera azul.
8 5 9 3 10 2 3 21V A R
P se trata de una posibilidad concreta, luego no
barajamos otras opciones
c) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja.
8 8 9 2 10 8 8 8 9 1 10 2 1 / 2 1 1 / 2 1 2 R X P R R R X P R R R X
X
P C C
X es cualquiera de las bolas.
d) Calcula la probabilidad de que sólo la tercera bola sea azul.
8 5 9 4 10 5 8 4 9 5 10 5 8 4 9 5 10 5 8 3 9 4 10 5 2 1 / 3 1 / 2 1 2 1 / 3 1 / 2 1 2 1 / 3 1 / 2 1 2 1 / 3 1 / 2 1 3 C C C C C C C C C C A A A A A A P A A A A A A P A A A A A A P A A A A A A P A X X PEl problema que se plantea aquí es el siguiente, como hay dependencia, y se trata de la última bola, hemos de estudiar todos los casos que nos condicionan el suceso en cuestión.
e) Calcula la probabilidad de que no salga ninguna bola verde
8 5 9 6 10 7 3 21C V C V C V
P
f) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola verde.
La probabilidad de “al menos una bola verde” es lo mismo que “lo contrario de ninguna bola verde” y esto se traduce en:
8 5 9 6 10 7 1 3 2 1 1 3 21V V PV C V C V C V
P
g) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola roja.
8 6 9 7 10 8 1 3 2 1 1 3 21R R P R C R C R C R
P
h) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas rojas.
8 0 9 1 10 2 8 1 9 8 10 2 8 1 9 2 10 8 8 8 9 1 10 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 R R R P R R R P R R R P R R R P C C Ci) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas azules
8 3 9 4 10 5 8 4 9 5 10 5 8 4 9 5 10 5 8 5 9 4 10 5 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 A A A P A A A P A A A P A A A P C C CVamos a repetir el ejercicio pero ahora con reemplazamiento, es un poquito más fácil.
2. Se tiene una urna llena de bolas con la siguiente composición: 2 ROJAS, 3 VERDES, 5 AZULES. Se extraen con reemplazamiento 3 bolas. Se piden las siguientes probabilidades:
a) Describe el espacio muestral y asigna probabilidades a cada suceso
elemental.
Para no equivocarnos al describir el espacio muestral y puesto que se tienen 33 -1 elementos (hay dos rojas = una posibilidad menos), o sea, 26, vamos a
AAA AAV AAR AVA AVV AVR ARA ARV ARR VAA VAV VAR VVA VVV VVR VRA VRV VRR RAA RAV RAR RVA RVV RVR RRA RRV , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,Los sucesos no son equiprobables por tanto no podremos calcular probabilidades aplicando la regla de Laplace. No os escribo las probabilidades porque es un tanto engorroso, y además, con el desarrollo del ejercicio se van calculando muchas de ellas.
b) Calcular la probabilidad de que la primera sea roja, la segunda verde y la
tercera azul.
10 5 10 3 10 2 3 21V A R
P se trata de una posibilidad concreta, luego no
c) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja.
10 10 10
2 10 10 2
R X
X P
X es cualquiera de las bolas.
d) Calcula la probabilidad de que sólo la tercera bola sea azul.
10 5 10 10 10 10 3
X A X
P aquí no hay dependencia.
e) Calcula la probabilidad de que no salga ninguna bola verde
10 7 10
7 10
7 3 2
1C V C V C V
P
f) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola verde.
La probabilidad de “al menos una bola verde” es lo mismo que “lo contrario de ninguna bola verde” y esto se traduce en:
10 7 10
7 10
7 1 3 2
1 1
3 2
1V V PV C V C V C V
P
g) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola roja.
Igual que el apartado anterior
10 8 10
8 10
8 1 3 2
1 1
3 2
1R R P R C R C R C R
P
h) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas rojas.
10 2 10
2 10
2 10
8 10
2 10
2 3 3 2 1
3 2
1
3 2 1
3 2 1
R R R P
R R
R P
R R R P
R R R P
C C
C
i) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas azules
10 5 10
5 10
5 10
5 10
5 10
5 3 3 2 1
3 2
1
3 2 1
3 2 1
A A A P
A A
A P
A A A P
A A A P
C C
C
3. Un avión tiene cinco bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad de
destruirlo de un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se destruya el puente si se lanzan las cinco bombas?
5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 1
5 4
3 2
1 1
5 4 3 2 1
C C C C C
D D
D D
D P D
D D D D P
4. Se escuchan tres discos y se vuelven a guardar, al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los discos haya sido guardado en el envoltorio que le correspondía?
Si hay tres discos y tres envoltorios, la probabilidad de que uno de los discos elegido al azar se meta en su envoltorio original es 1/3, este razonamiento todos lo podemos hacer. Ahora bien aunque parezca un ejercicio para realizar con formulita igual que el anterior porque con el “al menos uno de los discos” nos vamos directamente a la unión y es realmente complicado. Así pues vemos con un razonamiento lógico cómo obtener la probabilidad.
5. Se elige al azar un número entero entre 0 y 999. Halla la probabilidad de que el número elegido:
a) No tenga ninguna cifra repetida.
A partir del 100 incluido hay 900 números aquí hay que calcular la probabilidad de que salga un número (del 1 al 9) después otro diferente (al primero, pero del 0 al 9) y el tercero diferente de los otros dos anteriores (diferente al segundo y al
primero, y del 0 al 9) entonces sería
10 8 10
9 9 9
Del 10 al 99, hay 90 números y hay que quitar (11, 22, 33, …, 99) 9 números que sale 81, o también, verlo como primera cifra del 1 al 9 y segunda cifra como
distinta a la primera pero del 0 al 9, es decir, 10
9 9 9
que son 81 de 90.
Del 0 al 9 van todos no se repite ninguno. Así pues, nos quedan 648 +81+9 de 1000 números, es decir, 738/1000.
b) Sea capicúa.
De nuevo hacemos la distinción pero ahora sólo hay posibilidad de capicúa a partir de 100 y hasta 999. Podemos sacarlo a ojo o podemos usar razonamientos de probabilidad compuesta como en el apartado anterior.
Buscamos el caso “xyx”, entonces el primero puede ser cualquiera y el segundo
también.
9 1 10
9 9 1
por los 9 casos que hay para la primera y la tercera cifra. De
esta forma nos queda 9/90 o lo que es lo mismo, para verlo a ojo, serían 90 de 900 (para el que no lo vea, que piense que son 10-1 casos de capicúa para cada centena y hay 9 centenas)
(*) “xxx” no lo consideramos capicúa.
6. Se tienen cinco pares de guantes de distinto color. Entremezclamos bien los dos
guantes. Extraemos dos de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos formen pareja?
La probabilidad de que los dos extraídos formen pareja es que el segundo sea del mismo color que el primero, y hay cinco colores, luego cinco posibilidades.
9 1 10
2 ) 1 1 ( ) " Color Igual
(" P C C
P , esto por los 5 colores que hay nos da
9 1 9 1 10
![ejercicios resueltos tema 6[1].pdf](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)