Asignatura Troncal, Cuarto Curso Facultad de Matem´aticas Universidad de Sevilla

(1)

Apuntes Te´oricos de

C´

alculo Num´

erico III

Asignatura Troncal, Cuarto Curso

Facultad de Matem´aticas

Universidad de Sevilla

Profesores

Anna Doubova(http://www.personal.us.es/doubova)

Francisco Guill´en Gonz´alez(http://www.personal.us.es/guillen)

(2)

´Indice general

1 Interpolaci´on polinomial 3

1.1 Interpolaci´on global de Lagrange . . . 3

1.1.1 Existencia y unicidad . . . 3

1.1.2 Expresi´on del error . . . 4

1.1.3 Algoritmos de construcci´on del p.i. . . 5

1.2 Minimizaci´on de la norma uniforme del polinomio soporte . . . 6

1.2.1 C´alculo de ||wS||∞,[a,b] en soportes equidistantes de pocos puntos . . . 6

1.2.2 Soporte con norma m´ınima . . . 7

1.2.3 Polinomios de interpolaci´on y convergencia uniforme . . . 8

1.3 Interpolaci´on de Hermite . . . 9

1.3.1 Existencia y unicidad . . . 10

1.3.2 Expresi´on del error . . . 10

1.3.3 Algoritmos de construcci´on del p.i.H. . . 11

1.3.4 Extensi´on a la interpolaci´on de Hermite general . . . 12

1.4 Interpolaci´on a trozos y convergencia uniforme . . . 12

1.5 Splines . . . 14

1.5.1 Splines cuadr´aticos . . . 14

1.5.2 Splines c´ubicos . . . 14

1.5.3 Minimizaci´on curvatura de splines c´ubicos . . . 16

1.5.4 Estimaciones de error de splines c´ubicos . . . 17

2 Mejor Aproximaci´on (m.a.) 19 2.1 Mejor aproximaci´on en norma uniforme (m.a.u.) . . . 20

2.1.1 Caso particular: f ∈IPn+1[x] . . . 20

2.1.2 Caso general: f ∈C0_([_{a, b}_{]) . . . 21}

2.2 M.a. en normas hilbertianas (m´ınimos cuadrados) . . . 21

2.2.1 Resoluci´on de ecuaciones normales . . . 23

2.3 M.a. en seminormas hilbertianas (caso discreto) . . . 25

3 Integración Numérica 27 3.1 Fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio (f.c.t.i.) . . . 28

3.1.1 Error en una f.c. respecto a la longitud del intervalo . . . 29

3.1.2 An´alisis del error en las f.c.t.i. . . 30

3.2 F´ormulas de cuadratura de Newton-Cˆotes . . . 32

3.2.1 F´ormulas de cuadratura de Newton-Cˆotes cerradas . . . 32

3.2.2 F´ormulas de cuadratura de Newton-Cˆotes abiertas . . . 33

3.3 Integraci´on Num´erica a trozos. F.c. compuestas . . . 34

3.3.1 Error en las f.c. de Newton-Cˆotes compuestas. Convergencia . . . 35

3.4 F´ormulas de cuadratura de Gauss . . . 36

(3)

4 Resoluci´on Num´erica del Problema de Cauchy para Ecuaciones Diferenciales

Or-dinarias (EDO) 40

4.1 Introducci´on. Algunos resultados te´oricos . . . 40

4.1.1 Descripci´on de algunos algoritmos. Distintas interpretaciones . . . 41

4.2 El m´etodo de Euler . . . 42

4.2.1 Consistencia y orden . . . 43

4.2.2 Estabilidad . . . 44

4.2.3 Convergencia, orden de convergencia y estimaciones del error . . . 45

4.2.4 El m´etodo de Euler impl´ıcito . . . 46

4.3 M´etodos generales de un paso . . . 47

4.3.1 Consistencia y orden . . . 48

4.3.2 Estabilidad . . . 48

4.3.3 Convergencia, orden de convergencia y estimaci´on del error . . . 49

4.4 M´etodos de Taylor . . . 49

4.5 M´etodos de Runge-Kutta (expl´ıcitos) . . . 50

5 Resolución Numérica de Problemas de Contorno para EDO lineales 51 5.1 El método de disparo . . . 51

5.1.1 El caso lineal . . . 52

5.2 M´etodo de las diferencias finitas . . . 53

5.2.1 Caso sin t´ermino eny0 . . . 53

5.2.2 Caso con t´ermino en y0 _{. . . 54}

(4)

Tema 1

Interpolaci´

on polinomial

1.1 Interpolaci´

on global de Lagrange

Problema 1.1 (Interpolaci´on global de Lagrange) Dadaf ∈C0_([_{a, b}_])_{y un soporte}_S₌_{_x 0 <

x1<· · ·< xn} ⊂[a, b]den+1puntos distintos, consideramos el siguiente problema de interpolaci´on:

½

Hallar p∈IP_n[x]tal que

p(xi) =f(xi), i= 0,1, . . . , n. (1.1)

Definici´on 1.2 Sipverifica(1.1), diremos quepes el polinomio de interpolaci´on de Lagrange (p.i.)1

de la funci´on f en los puntosxi, i= 0, . . . , n.

En relación con este problema, se plantean las siguientes cuestiones: • Demostrar que el Problema 1.1 tiene una única solución.

• Obtener una expresión del error de interpolación. Más concretamente, probaremos que si

f ∈Cn+1_([_{a, b}_{]), entonces para todo}_x_∈_[_{a, b}_{], existe} _ξ

x∈(a, b) tal que

f(x)−p(x) = fn+1)(ξx)

(n+ 1)! wS(x), donde wS(x) = (x−x0)(x−x1)· · ·(x−xn). Diremos que wS es el polinomio soporteasociado a S.

• Deducir algoritmos para el c´alculo efectivo del p.i.

1.1.1 Existencia y unicidad

Teorema 1.3 Fijados un soporte den+ 1puntos distintosS = (x_i)n

i=0 y unos valores reales(yi)ni=0

cualesquiera, existe un ´unico p.i. de los valores (xi, yi)ni=0, es decir existe un ´unicop∈IPn[x]tal que p(xi) =yi, i= 0, . . . , n.

Demostraci´on: Se divide en tres etapas.

Etapa 1: Reducci´on del problema de interpolaci´on a un sistema lineal algebraico. Se buscap∈IPn[x]

de la forma

p(x) =a0+a1x+· · ·+anxn (1.2)

con ai ∈ R, i = 0, . . . , n a determinar. Las condiciones de interpolaci´on p(xi) = yi, i = 0, . . . , n,

conducen al siguiente sistema lineal cuadrado con la matriz de Vandermonde:



   

1 x0 · · · xn0 1 x₁ · · · xn

1 ..

. ... . .. ... 1 x_n · · · xn

n



   



   

a0

a₁

.. .

a_n



  

=



   

y0

y₁

.. .

y_n



  

. (1.3)

1_{A veces, tambi´en usaremos la notaci´on}_p

(5)

Etapa 2: Unicidad. Supongamos que existen p, q∈IPn[x] tales que p(x_i) =q(x_i) =y_i, i= 0, . . . , n.

Sear =p−q. Luego, r∈IPn[x] y verifica

r(xi) = 0, i= 0, . . . , n.

Al ser r un polinomio de grado a lo m´as nconn+ 1 ra´ıces distintas, deducimos quer ≡0.

Etapa 3: Existencia. La existencia se obtiene, como consecuencia de las dos etapas anteriores.

Nota 1.4 Obsérvese que el determinante de la matriz de Vandermonde es distinto de cero, pues los (xi)ni=0 son distintos entre s´ı. Luego, para el problema de interpolación de Lagrange, ser´ıa suficiente realizar tan sólo la etapa 1 para concluir la demostración del Teorema 1.3. No obstante, se realizan también las etapas 2 y 3, con el objetivo de generalizar el argumento para probar la existencia y unicidad de otros problemas de interpolación (por ejemplo, para la interpolación de tipo Hermite o interpolaciones que usan derivadas).

1.1.2 Expresi´on del error

Teorema 1.5 Sea f ∈ Cn+1_([_{a, b}_])_{. Fijados un soporte de} _n_{+ 1} _{puntos distintos} _S _{= (}_x

i)ni=0 del

intervalo[a, b], los valores asociados(f(x_i))n

i=0 y el p.i. p∈IPn[x]tal quep(xi) =f(xi), i= 0, . . . , n,

entonces se tiene que para todo x∈[a, b]existe ξx∈(a, b) tal que

f(x)−p(x) = fn+1)(ξx)

(n+ 1)! wS(x), (1.4)

donde w_S(x) = (x−x0)(x−x1)· · ·(x−xn).

Demostraci´on: 2

• Six=xi para alg´un i, el resultado del Teorema 1.5 es evidente.

• Supongamos quex6=xi para todo i= 0, . . . , n. Consideramos la funci´on auxiliar

φ(t) =f(t)−p(t)−λw_S(t), t∈R

conλ∈Rtal queφ(x) = 0. Luego,

φ(t) =f(t)−p(t)−f(x)−p(x)

wS(x) wS(t).

Se verifica que φ(xi) = 0,i= 0, . . . , nyφ(x) = 0,x6=xi. Comoφ∈Cn+1([a, b]) y se anula enn+ 2

puntos distintos, por el Teorema de Rolle, deducimos queφ0 _∈_Cn_([_{a, b}_{]) se anula (al menos) en}_n_{+ 1}

puntos distintos del intervalo (a, b). Aplicando el Teorema de Rolle sucesivamente, llegamos a que

φn+1)_∈_C0_([_{a, b}_{]) y se anula (al menos) en un punto de (}_{a, b}_{). Sea}_ξ

x∈(a, b) tal que φn+1)(ξx) = 0.

Se tiene que

0 =φn+1)(ξx)≡fn+1)(ξx)−f(x_w)−p(x)

S(x) (n+ 1)!,

de donde se deduce la igualdad (1.4). Esto termina la demostraci´on del teorema.

(6)

1.1. INTERPOLACI ´ON GLOBAL DE LAGRANGE 5

1.1.3 Algoritmos de construcci´on del p.i.

Un primer algoritmo posible para construir el p.i. es el que proporciona la etapa 1 de la demostraci´on del Teorema 1.3. Se trata de calcular los coeficientesai,i= 0, . . . , nen la expresi´on (1.2) resolviendo

el sistema lineal (1.3) con matriz de Vandermonde. Es un método costoso computacionalmente. Además, la matriz de Vandermonde está mal condicionada si el número de puntos es grande. Luego, en la práctica, este método no se utiliza.

Algoritmo de Newton

Fijados un soporte de n+ 1 puntos distintos S = (xi)in=0 y unos valores reales (yi)ni=0 cualesquiera, el algoritmo de Newton de construcci´on del p.i. consiste en buscar el p.i. p_n∈IP_n[x] de la forma:

pn(x) =c0+c1(x−x0) +c2(x−x0)(x−x1) +· · ·+cn(x−x0)(x−x1)· · ·(x−xn−1). (1.5) Se trata de ir calculando los coeficientes (ci)ni=0, de forma iterativa. M´as precisamente, tomamos

• p0(x) =y0 yc0 =y0.

• p₁(x) = p₀(x) +c₁(x−x₀) con c₁ ∈ R tal que p₁(x₁) = y₁, es decir c₁ = y1−y0 (x1−x0)

. Por construcci´on,p₁(x₀) =y₀.

• . . .

• pn(x) =pn−1(x) +cn(x−x0)(x−x1)· · ·(x−xn−1) con cn ∈Rtal que pn(xn) = yn, es decir cn = ₍_x yn−pn−1(xn)

n−x0)(xn−x1)· · ·(xn−xn−1). Por construcci´on, pn(xj) =pn−1(xj) =yj para cada

j= 0, . . . , n−1.

Entonces, pn obtenido en la ´ultima etapa de este m´etodo es el p.i. buscado.

Nota 1.6 Una ventaja del algoritmo de Newton es que si añadimos nuevos puntos, nos sirven los cálculos anteriores. Por ejemplo, al añadir un nuevo par de datos (xn+1, yn+1), tan sólo hay que realizar una etapa más del método de Newton.

Algoritmo de Lagrange

Fijados un soporte de n+ 1 puntos distintos S = (xi)_in₌₀ y unos valores reales (yi)n_i₌₀ cualesquiera,

el algoritmo de Lagrange de construcci´on del p.i. consiste en buscar el p.i. pn∈IPn[x] de la forma: p_n(x) =y₀L₀(x) +y₁L₁(x) +· · ·+y_nL_n(x), (1.6)

dondeLi∈IPn[x], Li(xi) = 1 y Li(xj) = 0 para cadaj 6=i. No es dif´ıcil ver queLi son de la forma:

Li(x) = ₍_x(x−x0). . .(x−xi−1)(x−xi+1). . .(x−xn) i−x0). . .(xi−xi−1)(xi−xi+1). . .(xi−xn)

, i= 0, . . . , n. (1.7)

El conjunto de polinomios{L0, L1, . . . , Ln}se llama labase de Lagrangeasociada a los puntos (xi)ni=0, es decir, una base del espacio vectorial de p.i. asociados a dicho soporte. Identificando el p.i. con los valores (yi)n_i₌₀, la base de Lagrange son los p.i. correspondientes a la base can´onica de Rn+1.

(7)

Adem´as, si el soporteS es equidistante, los polinomios Li de la base de Lagrange s´olo dependen

del n´umero de puntos del soporte. En efecto, basta hacer el cambio de variablet∈[0, n]↔x∈[a, b] para llegar a

L_k(x)≡l_k(t) =

n

Y

j=0,j6=k t−j k−j =

(−1)n−k n!

µ

n k

¶ _Y_n

j=0,j6=k

(t−j), k= 0, . . . , n. (1.8)

1.2 Minimizaci´

on de la norma uniforme del polinomio soporte

En lo que sigue, denotaremos por||·||_∞_,_[_a,b_]la norma uniforme de una funci´on continua en el intervalo [a, b], es decir

||f||_∞_,_[_a,b_]= m´ax

x∈[a,b]|f(x)| ∀f ∈C

0_([_{a, b}_])_.

Observemos que, a partir de la expresi´on del error de interpolaci´on (1.4), obtenemos una primera cota del la norma uniforme de dicho error:

||f−p||_∞_,_[_a,b_]≤ Mn+1

(n+ 1)!||wS||∞,[a,b], donde Mn+1=||f

n+1)_||

∞,[a,b]. (1.9) En esta secci´on, nos ocuparemos del siguiente problema:

Problema 1.8 Minimizar la cota del error de interpolaci´on en norma uniforme.

Gracias a la desigualdad (1.9), este problema es equivalente al siguiente:

Problema 1.9 Minimizar la norma uniforme ||wS||∞,[a,b] del polinomio soporte wS.

1.2.1 C´alculo de ||wS||∞,[a,b] en soportes equidistantes de pocos puntos

FijemosSn={a=x0 <· · ·< xn=b}una partici´on uniforme del intervalo [a, b], es decirxk =a+kh, i= 0, . . . , n conh= b−_na. Se tiene el siguiente resultado:

Teorema 1.10 En las condiciones anteriores, se verifica: 1. ||w1||∞,[a,b]=

1 4h

2_,_siendo _w

1(x) = (x−x0)(x−x1).

2. ||w2||∞,[a,b]= 2 3√3h

3_,_siendo _w

2(x) = (x−x0)(x−x1)(x−x2).

3. ||w3||∞,[a,b]=h4, siendo w2(x) = (x−x0)(x−x1)(x−x2)(x−x3).

Demostraci´on: Para cada n ∈ N, sea wn(x) ≡ wSn(x) = (x−x0)· · ·(x−xn). Consideramos el

cambio de variable x ∈ [a, b] ↔ t ∈ [0, n] definido por x = a+th. Entonces, wn(x) = hn+1t(t−

1). . .(t−n) y

||wn||∞,[a,b]=hn+1||t(t−1). . .(t−n)||∞,[0,n]. (1.10)

1. Para n= 1, el resultado del teorema es evidente, pues ||t(t−1)||_∞_,_[0_,_1]= 1 4.

2. Para n = 2, por simplicidad, vamos a simetrizar en torno a 0 el intervalo [0,2], haciendo el cambio de variablet∈[0,2]↔s∈[−1,1], siendo t=s+ 1. Luego,

||t(t−1)(t−2)||_∞_,_[0_,_2] =||(s+ 1)s(s−1)||_∞_,_[₋₁_,_1] = 2 3√3,

donde el m´aximo de (s+ 1)s(s−1) =s(s2₋_{1) en [−1}_,_{1] se alcanza en sus 2 puntos cr´ıticos} ± 2

(8)

1.2. MINIMIZACI ´ON DE LA NORMA UNIFORME DEL POLINOMIO SOPORTE 7

3. Para n = 3, basta simetrizar en torno a 0 el intervalo [0,3], haciendo el cambio de variable

t∈[0,3]↔s∈[−3₂,3₂], siendo t=s+3₂ y usar que

||t(t−1)(t−2)(t−3)||_∞_,_[0_,_3]=||(s2−9 4)(s

2₋1

4)||∞,[−3

2,32]= 1.

1.2.2 Soporte con norma m´ınima

El objetivo de esta secci´on es minimizar ||w_S||_∞_,_[_a,b_] al variar S en los soportes de n+ 1 puntos distintos de [a, b]. M´as precisamente, se trata del siguiente problema:

Problema 1.11 Determinar un soporte Sb={xb0<· · ·<xbn} ⊂[a, b]tal que

||w_S_b||_∞_,_[_a,b_]≤ ||wS||∞,[a,b] para todo S={x0 <· · ·< xn} ⊂[a, b].

Como los polinomios soporte wS son oscilantes en [a, b], la idea principal para abordar el

Prob-lema 1.11 es encontrar un polinomio w_S_b tal que todos sus m´ınimos y máximos relativos (los puntos cr´ıticos y los extremos) coincidan en módulo, es decir sean, de hecho m´ınimos y máximos absolutos. Veremos que esto es posible para ciertas funciones trigonométricas que coinciden con los llamados

polinomios de Chebychev en el intervalo [−1,1]. Por ello, vamos a resolver primero el problema en [−1,1]. El problema general en el intervalo [a, b], se resuelve mediante cambio de variable.

Definimos la siguiente sucesi´on de polinomios mediante una ley de recurrencia a dos pasos.

Definición 1.12 (Polinomios de Chebychev) Llamaremos la sucesión de polinomios de Cheby-chev a la sucesión {Tn}n≥0 definida por recurrencia como sigue:

½

T0 = 1, T1(x) =x,

Tn+1(x) = 2x Tn(x)−Tn−1(x) ∀n≥1. (1.11)

Lema 1.13 (Propiedades de los polinomios de Chebychev) Sea {Tn}n≥0 la sucesi´on de

poli-nomios de Chebychev. Entonces se tiene

a) Tn∈IPn[x], con coeficiente l´ıder 2n−1, para cada n≥1.

b) Para cada x∈[−1,1], Tn(x) = cos(narccosx).

c) T_n tiene nra´ıces reales y distintas en (−1,1)que son de la forma:

b

xk= cos(2k₂+ 1)_n π, k= 0, . . . , n−1. (1.12)

d) Tntienen−1puntos cr´ıticos en(−1,1)de la formaexk= cos kπ

n ,k= 1, . . . , n−1y, los extremos

del intervalo corresponden a k= 0 y k=n. Adem´as, para cada k= 0, . . . , n, Tn(xek) = (−1)k

y ||T_n||_∞_,_[₋₁_,_1]= 1 para todo n≥0.

Demostración: Los apartados a) y b) se comprueban fácilmente por inducción. Por otra parte, usando que Tn(x) = cos(narccosx), deducimos que las soluciones de Tn(x) = 0 son de la forma

b

xk = cos(2k₂+1)_n π, k ∈ Z. Para k = 0, . . . , n−1, los valores (2k₂+1)_n π son ´angulos distintos en [0, π],

luego los cosenos tambi´en son distintos, lo que implica que Tn tiene n ra´ıces distintas en (−1,1).

Como Tn∈IPn[x], los dem´as n´umeros que se obtienen para otros valores dek se tienen que repetir.

(9)

ConsideramosT0

n(x) = 0, de donde se deduce los puntos cr´ıticos deTn son de la formaxek= coskπ_n, k∈Z. Parak= 1, . . . , n−1, exk son n−1 ra´ıces reales distintas deTn0 ∈Pn−1[x], luego son puntos cr´ıticos de T_n en (−1,1). Los extremos del intervalo (−1,1) corresponden a k= 0 y k=n, es decir

e

xn=−1 yxe0= 1.

Por otra parte, es f´acil comprobar queTn(xek) = (−1)k parak= 0, . . . , ny que ||Tn||∞,[−1,1] = 1. Esto termina la demostraci´on del teorema.

En relaci´on con el Problema 1.11, el resultado que sigue prueba que un soporte que minimiza ||wS||∞,[−1,1] es Sb= (xbk)n_k₌₀, el formado por lasn+ 1 ra´ıces del polinomio de Chebychev de grado n+ 1.

Teorema 1.14 (Minimizaci´on de ||wS||∞,[−1,1]) Sean Tn+1 el polinomio de Chebychev de grado

n+ 1 y Sb={bx₀ <· · ·<xb_n} ⊂(−1,1)el soporte formado por sus ra´ıces, es decir bx_k = cos(2₂₍k_n+1)₊₁₎π,

k= 0, . . . , n. Entonces, se tiene que

||w_S_b||_∞_,_[₋₁_,_1]≤ ||w_S||_∞_,_[₋₁_,_1] ∀S={x₀ <· · ·< x_n} ∈[−1,1]. (1.13)

Adem´as, ||w_S_b||_∞_,_[₋₁_,_1] = 2−n_.

Demostraci´on: Sea Tn+1 el polinomio de Chebychev de grado n+ 1, cuyas ra´ıces son bxk, k =

0, . . . , n. Gracias al Lema 1.13, el polinomio 2−n_T

n+1∈Pn+1[x] es m´onico, luego

w(x)_S_b≡(x−bx0)· · ·(x−bxn) = 2−nTn+1(x).

Usando de nuevo el Lema 1.13, tenemos||Tn+1||∞,[−1,1] = 1, de donde||wSb||∞,[−1,1]= 2−n.

Veamos ahora que se tiene (1.13). Por reducci´on al absurdo, supongamos que existeS ={x0 < · · ·< xn} ⊂[−1,1] tal que

||wS||∞,[−1,1]<||wSb||∞,[−1,1]. (1.14) Definimos d(x) = w_S_b(x)−wS(x). Se verifica que d ∈ IPn[x], pues wSb, wS ∈ IPn+1[x] y ambos son m´onicos. Por otra parte, de (1.14) y del apartado d) del Lema 1.13, se deduce que

signod(xek) = signowSb(exk) =

½

>0 sik es par,

<0 sik es impar,

siendoxek⊂[−1,1],k= 0, . . . , n+ 1 los extremos absolutos dew_S_b. Aplicando el teorema de Bolzano,

deducimos que d ∈ P_n[x] tiene (al menos) n+ 1 ra´ıces distintas en [−1,1], luego necesariamente

d(x)≡0, de dondew_S_b(x) =wS(x) , que es absurdo.

Nota 1.15 Mediante un cambio de variable (af´ın) [a, b] ↔ [−1,1], se tiene que un soporte que minimiza ||w_S||_∞_,_[_a,b_]es el soporte trasladado a [a, b] de Sb, es decir es de la forma:

b

xk= a+₂ b+b−₂acos(2₂₍k_n+ 1)_{+ 1)}π, k= 0, . . . , n.

1.2.3 Polinomios de interpolaci´on y convergencia uniforme

Sean f ∈C0_([_{a, b}_{]) y} _{_S

n}n≥0 una sucesi´on de soportes contenidos en [a, b] tales queSn tienen+ 1

puntos distintos. Sea pn el p.i. asociado a f ySn. Se plantea la siguiente cuesti´on:

Problema 1.16 ¿ Existe l´ım

(10)

1.3. INTERPOLACI ´ON DE HERMITE 9

La respuesta, en general es negativa. Un ejemplo importante debido a Runge (v´ease, por ejemplo [Isaacson & Keller]) muestra que para la funci´on f(x) = 1

1 +x2 en [−5,5] y el soporte equidis-tanteSnden+1 puntos distintos, se tiene que l´ım

n→∞||f−pn||∞=∞. Se observan grandes oscilaciones

del error cerca de los extremos. Estas oscilaciones son conocidas como el fenómeno de Runge. Más aún, se tiene (véase [Crouzeix & Mignot], pág. 20) que para cada elección de (Sn)⊂[a, b],

existef ∈C0_([_{a, b}_{]) tal que l´ım}

n→∞||f −pSn||∞6→0, siendo pSn el p.i. asociado a Sn yf.

Obsérvese que no hay contradicción con el teorema de Weierstrass (que afirma la densidad de polinomios enC0_([_{a, b}_{]) con la norma del máximo), sino que se muestra que una función continua no} puede aproximarse, en general, de manera arbitrariamente precisa mediante el p.i. relativo al soporte equidistante.

De hecho, puede probarse (v´ease [Crouzeix & Mignot]) que si f ∈ C1_([_{a, b}_{]) y} _p b

Sn es el p.i.

asociado al soporteSbn⊂[a, b] formado por los nodos de Chebychev, entonces l´ım_n_→∞||f−pSbn||∞→0.

En la figura 1.1 se observa que tomando como soporte los nodos de Chebychev se consigue evitar el fenómeno de Runge. Más concretamente, para la función f(x) = 1

1 + 12x2 en [−1,1], en la figura 1.1 están dibujados: la función f, el p.i. asociado a 11 nodos equidistantes (se observan grandes oscilaciones cerca de los extremos del intervalo) y el p.i. asociado a 11 nodos Chebychev. Es claro que el error de interpolación en el caso del p.i. asociado a los nodos Chebychev es mucho menor que el error de interpolación asociado al p.i. soportado en los nodos equidistantes.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.5

0 0.5 1 1.5

f(x)=1/(1+12x2)

Figura 1.1: Fen´omeno de Runge y nodos de Chebychev

1.3 Interpolaci´

on de Hermite

Problema 1.17 (Interpolaci´on global de Hermite) Dadaf ∈C1_([_{a, b}_])_{y un soporte}_S₌_{_x 0 <

x1 <· · ·< xn} ⊂[a, b]den+1puntos distintos, consideramos el siguiente problema de interpolaci´on:

½

Hallarp∈IP2n+1[x] tal que

p(x_i) =f(x_i), p0₍_x

i) =f0(xi), i= 0,1, . . . , n. (1.15)

(11)

De forma análoga a la interpolación de Lagrange (véase Sección 1.1), se plantean las siguientes cuestiones:

• Demostrar que el Problema1.17 tiene una ´unica soluci´on.

• Obtener una expresi´on del error.

• Deducir algoritmos para el c´alculo efectivo del p.i.H.

1.3.1 Existencia y unicidad

Teorema 1.19 Fijados un soporte de n+ 1 puntos distintos S = (xi)ni=0 y unos valores reales (y_i)n

i=0 y (zi)ni=0 cualesquiera, existe un ´unico p.i.H. de los valores (xi, yi, zi)ni=0, es decir existe un

´unico p∈IP2n+1[x]tal que p(xi) =yi y p0(xi) =zi, i= 0, . . . , n.

Demostración: Se razona de forma análoga (en tres etapas) a la demostración del Teorema 1.3.

Etapa 1: Reducci´on del problema de interpolaci´on a un sistema lineal algebraico. Buscamos p ∈ IP2n+1[x] de la forma

p(x) =a0+a1x+· · ·+a2n+1x2n+1

con ai ∈R,i= 0, . . . ,2n+ 1 a determinar. No es dif´ıcil ver que (1.15) es equivalente a un sistema

lineal cuadrado de 2n+ 2 ecuaciones con 2n+ 2 inc´ognitas.

Etapa 2: Unicidad. Supongamos que existen p, q∈IP2n+1[x] tales que

p(xi) =q(xi) =yi, p0(xi) =q0(xi) =zi, i= 0, . . . , n.

Sear =p−q. Luego, r∈IP2n+1[x] y verifica

r(xi) = 0, r0(xi) = 0, i= 0, . . . , n.

Tenemos que r0 _∈ _IP

2n[x]. Usando el teorema de Rolle, deducimos que r0 tiene (al menos) 2n+ 1

ra´ıces distintas. Por tanto, necesariamente r0 ≡0. Luego,r ∈IP0[x] tal que r(xi) = 0, i= 0, . . . , n,

de donder ≡0.

Etapa 3: Existencia. La existencia se obtiene, como consecuencia de las dos etapas anteriores.

1.3.2 Expresi´on del error

Teorema 1.20 Sea f ∈ C2n+2_([_{a, b}_])_{. Fijados un soporte de} _n_{+ 1} _{puntos distintos} _S _{= (}_x

i)ni=0 de [a, b], los valores asociados (f(xi))in=0, (f0(xi))ni=0 y el p.i.H. p ∈ IP2n+1[x] tal que p(xi) = f(xi) y p0₍_x

i) =f0(xi), i= 0, . . . , n, entonces se tiene que para todo x∈[a, b]existe ξx∈(a, b) tal que f(x)−p(x) = f2n+2)(ξx)

(2n+ 2)! wS(x)

2_, _(1.16)

donde w_S(x) = (x−x₀)(x−x₁)· · ·(x−x_n).

Demostración: Basta razonar como en la demostración del Teorema 1.5 de expresión del error para la interpolación de Lagrange, tomando ahora la función auxiliar φ(t) = f(t)−p(t)−λw_S(t)2 _con

λ∈Rtal queφ(x) = 0.

Nota 1.21 (Cotas ´optimas de error) De (1.16), obtenemos la siguiente cota de la norma uni-forme del error de interpolaci´on de Hermite:

||f(x)−p(x)||_∞_,_[_a,b_]≤ M2n+2

(2n+ 2)!||wS|| 2

(12)

1.3. INTERPOLACI ´ON DE HERMITE 11

Adem´as, siSn es el soporte equidistante den+ 1 puntos, entonces usando el teorema 1.10 deducimos

que:

||w1||2_∞_,_[_a,b_]=

µ

h2 4

¶₂

= h4

16, ||w2|| 2

∞,[a,b]=

µ

2h3 3√3

¶₂

= 4h6

27 , ||w3|| 2

∞,[a,b]=

¡

h4¢2=h8,

siendown(x) = (x−x0). . .(x−xn),n= 1,2,3.

1.3.3 Algoritmos de construcci´on del p.i.H.

Un primer algoritmo posible es la resolución del sistema lineal cuadrado de dimensión 2n+ 2, con incógnitas los coeficientes del p.i.H. respecto de potencias de x. Se trata de un método costoso computacionalmente y con matriz mal condicionada si el número de puntos es grande.

Algoritmo de tipo Newton

Se trata de ir calculando los coeficientes del p.i.H. de forma iterativa en potencias dew1(x) = (x−x0),

w2(x) = (x−x0)2,w3(x) = (x−x0)2(x−x1),w4(x) = (x−x0)2(x−x1)2, ...,w2n+1(x) = (x−x0)2(x−

x1)2· · ·(x−xn−1)2(x−xn). Tomamos

• p0(x) =y0

• p1(x) =p0(x) +c1w1(x) conc1 ∈Rtal quep01(x0) =z0.. Tambi´en, p1(x0) =y0.

• p2(x) = p1(x) +c2w2(x) con c2 ∈ R tal que p2(x1) = y1. Tambi´en, p2(x0) = p1(x0) y

p0

2(x0) = p01(x0).

• p3(x) = p2(x) + c3w3(x) con c3 ∈ R tal que p03(x1) = z1. Tambi´en, p3(x0) = p2(x0),

p0

3(x0) = p02(x0) yp3(x1) = p2(x1). • . . .

• p2n(x) =p2n−1(x) +c2nw2n(x) conc2n∈R tal quep2n(xn) =yn

• p₂_n₊₁(x) =p₂_n(x) +c₂_n₊₁w₂_n₊₁(x) con c₂_n₊₁ ∈Rtal quep0

2n+1(xn) =zn.

Entonces, p2n+1 es el p.i.H.

Algoritmo de tipo Lagrange

Fijados un soporte de n+ 1 puntos distintos S = (xi)ni=0 y unos valores reales (yi)ni=0 y (zi)ni=0 cualesquiera, se trata de buscar el p.i.H.p∈IP2n+1[x] de la forma:

p(x) =y0A0(x) +y1A1(x) +· · ·+ynAn(x) +z0B0(x) +z1B1(x) +· · ·+znBn(x), (1.17)

donde{A0, A1, . . . , An}y{B0, B1, . . . , Bn} es la base de Hermite asociada, es decir, es una base del

espacio vectorial de p.i.H. asociados a dicho soporte, correspondientes a la base can´onica de valores (yi)∈Rn+1y (zi)∈Rn+1respectivamente. M´as concretamente,{A0, A1, . . . , An}y{B0, B1, . . . , Bn}

se construyen teniendo en cuenta lo siguiente:

• A_i ∈IP₂_n₊₁[x],A_i(x_i) = 1,A_i(x_j) = 0 para cadaj6=iy A0

i(xj) = 0 para todo j;

• Bi∈IP2n+1[x], Bi(xj) = 0 para todo j,Bi0(xi) = 1 y Bi0(xj) = 0 para cadaj6=i.

No es dif´ıcil demostrar que, para cada k = 0, . . . , n, los polinomios de la base de Hermite vienen dados por

Ak(x) = (1−2Lk0(xk))L2k(x), Bk(x) = (x−xk)L2k(x),

dondeLk son los polinomios de la base de Lagrange dados en (1.7), es decir

L_k(x) =

n

Y

j=0,j6=k

(x−xj) xk−xj

y L0_k(x) =

n

X

j=0,j6=k

1

(13)

1.3.4 Extensi´on a la interpolaci´on de Hermite general

Problema 1.22 (Interpolaci´on global de Hermite general) Sea S ={x0 < x1 <· · ·< xn} ⊂

[a, b], consideramos el siguiente problema de interpolaci´on:

     

    

Hallar p∈IPn+k0+k1+...kn[x] (p.i.H. general) tal que

p(x0) =f(x0), p0(x0) =f0(x0), . . . , pk0)(x0) =fk0)(x0)

p(x1) =f(x1), p0(x1) =f0(x1), . . . , pk1)(x1) =fk1)(x1)

. . .

p(xn) =f(xn), p0(xn) =f0(xn), . . . , pkn)(xn) =fkn)(xn).

(1.18)

Nota 1.23 1. Se puede probar un resultado del mismo tipo que el del Teorema 1.19 sobre la existencia y unicidad del p.i.H. general. Por otra parte, para obtener una expresi´on del error an´aloga a (1.16), se usa el polinomio auxiliar:

w(x) = (x−x0)k0(x−x1)k1. . .(x−xn)kn.

2. En el problema (1.18) es fundamental que en cada nodoxise interpolef y todas sus derivadas hasta fki)_{. De lo contrario, no se puede garantizar la existencia de soluci´on del problema de interpolaci´on.}

Por ejemplo, no existe soluci´on del siguiente problema de interpolaci´on:

Hallar p∈IP2[x] tal que p(0) = 0, p(1) = 1, p0(1/2) = 2.

1.4 Interpolaci´

on a trozos y convergencia uniforme

Ya hemos visto que, dada f ∈ C0_([_{a, b}_{]), aproximar} _f _{en norma uniforme por polinomios} _p

n de

interpolaci´on global den+ 1 puntos conngrande, tiene los siguientes inconvenientes: 1. No siempre se tiene convergencia.

2. El c´alculo y manejo de pn es costoso parangrande.

3. El problema de interpolación global, en general es inestable. En otras palabras, una pequeña perturbación en el valor asociado a un nodo o bien la introducción de un nodo más, tiene un efecto global, es decir puede repercutir de forma considerable en todo el intervalo [a, b]. Se usa entonces la interpolación a trozos. Veamos primero la idea general de una interpolación a trozos. Se fija una partición P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} del intervalo [a, b] y se usa la

interpolaci´on en cada subintervalo Ii = [xi−1, xi], i= 1, . . . , n por polinomios de grado ≤m conm

pequeño, m < n (en la práctica m= 1,2,3). Si llamamosh = máx1≤i≤n(xi−xi−1) (el diámetro de

la partición), se trata de aproximar f en [a, b] haciendo h→0 (en particular n→+∞). Más concretamente, el problema de interpolación a trozos se formula como sigue:

Problema 1.24 (Interpolaci´on a trozos) Dada f ∈ C0_([_{a, b}_]) _{y una partici´on} _P ₌ _{_x

0 < x1 < · · ·< xn} ⊂[a, b]. Dado m∈N, m << n, en cada Ii = [xi−1, xi], elegimos un soporte Smi de m+ 1

puntos distintos (por simplicidad considerando sus extremos):

S_mi ={x_i₋₁< ξ_i,₁< . . . ξ_i,m₋₁< x_i}.

El problema de interpolaci´on a trozos consiste en

 



Hallar ph ∈Vh con

Vh={qh ∈C0([a, b]) : qh|Ii ∈IPm[x]} tal que

p_h(xi) =f(xi), i= 0, . . . , n y ph(ξi,j) =f(ξi,j), j= 1, . . . , m−1.

(14)

1.4. INTERPOLACI ´ON A TROZOS Y CONVERGENCIA UNIFORME 13

Definición 1.25 Si ph verifica (1.19), diremos que ph es la función de interpolación polinómica a

trozos.

Es claro que, gracias a la existencia y unicidad del p.i. de la funci´onf enSi

m ⊂Ii,i= 0, . . . , n(v´ease

el Teorema 1.3), se tiene la existencia y unicidad del p.i. a trozos ph. Notemos que, en cada Ii, la

funci´on ph es un polinomio de grado≤m y que, en principio,ph es s´olo continua en los extremos de

los subintervalos.

Teorema 1.26 (Estimaciones de error en norma uniforme) Si f ∈Cm+1([a, b]), entonces

||f−ph||∞,[a,b]≤

Mm+1 (m+ 1)!h

m+1_, _donde _M

m+1 =||fm+1)||∞,[a,b].

En consecuencia, l´ım

h→0||f−ph||∞,[a,b]= 0 con orden de convergenciam+ 1.

Demostraci´on: Dado x ∈[a, b], existei= 1, . . . , n tal que x ∈Ii. Luego, para cadai = 1, . . . , n, ph(x) =pim(x), siendopim el p.i. asociado al soporteSmi ⊂Ii. Comof ∈Cm+1([a, b]), podemos usar

el Teorema 1.5 sobre el error de interpolaci´on de Lagrange en cada subintervalo Ii, i= 1, . . . , n y

afirmar que

||f −p_h||∞,Ii ≤

Mm+1

(m+ 1)!||wSim||∞,Ii. (1.20)

Usando que||w_Si

m||∞,Ii ≤hm+1 concluimos la demostraci´on del teorema.

Nota 1.27 (Cotas ´optimas en casos particulares) 1. En el caso de soportes Si

m equidistantes

es posible probar la siguiente estimaci´on del polinomio soporte:

||w_Si

m||∞,Ii ≤

m! 4

µ

h m

¶_m₊₁

.

En consecuencia, de (1.20) se deduce que

||f−ph||∞,Ii ≤

Mm+1 4(m+ 1)

µ

h m

¶_m₊₁

.

2. En particular, param= 1,2,3, gracias al Teorema 1.10 tenemos

||w_Si

1||∞,Ii =

1 4h

2_, _||_w

Si

2||∞,Ii =

2 3√3

µ

h

2

¶₃

, ||w_Si

3||∞,Ii =

µ

h

3

¶₄

.

Nota 1.28 (Interpolación a trozos de Hermite) El problema (1.19) es de interpolación a trozos de Lagrange. De forma análoga, es posible plantear el problema de interpolación a trozos de Hermite: Hallar p_h ∈ V_h = {q_h ∈ C1_([_{a, b}_{]) :} _q

h|Ii ∈ IP2m+1[x]} tal que ph(xi) = f(xi), ph(ξi,j) = f(ξi,j),

p0

h(xi) =f0(xi), p0h(ξi,j) =f0(ξi,j),i= 0, . . . , n,j= 1, m−1.

Adem´as, si f ∈ C2m+2_([_{a, b}_{]) entonces} _||_f ₋_p

h||∞,[a,b] ≤

M₂_m₊₂

(2m+ 2)!h

2m+2_{. En consecuencia,} l´ım

(15)

1.5 Splines

Hemos visto en la sección anterior que el proceso de interpolación a trozos es un procedimiento que conduce a la convergencia uniforme del polinomio de interpolación a trozos hacia la función dada. No obstante, el inconveniente que puede tener es que si se interpola sólo valores asociados a los nodos, el polinomio de interpolación a trozos es sólo continuo globalmente. Por otra parte, si se quiere conseguir mayor regularidad global usando la interpolación a trozos de Hermite, se necesita interpolar derivadas de la función en los nodos, que no se suelen conocer en muchas situaciones reales. La idea de interpolación con splines es la siguiente: se fijan una particiónP ={a=x0 < x1 < · · · < xn =b} del intervalo [a, b] y unos valores (yi)ni=0, se trata de construir funciones polinómicas a trozos (en cada subintervalo Ii = [xi−1, xi] ,i= 1, . . . , n) que interpolan los valores yi en los nodos xi (se obtienen as´ı funciones continuas globalmente) y además se les impone más regularidad global.

Definición 1.29 (Función spline) Sean P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} una partición del

intervalo [a, b], (yi)ni=0 unos valores cualesquiera y k ∈ Z. Diremos que Sh : [a, b] 7→ R es una

funci´on spline de grado k que interpola (y_i)n

i=0 en (xi)in=0, siSh ∈Vh con Vh ={qh ∈Ck−1([a, b]) : qh|[_xi−1,xi] ∈IPk[x], i= 1, . . . , n}

tal que S_h(xi) =yi, i= 1, . . . , n.

Cuando k= 1 se habla de un spline lineal (que coincide con la interpolante a trozos de Lagrange), para k= 2 se refiere a un spline cuadr´atico yk= 3 corresponde a un spline c´ubico.

1.5.1 Splines cuadr´aticos

Sean f ∈ C0_([_{a, b}_]), _P ₌ _{_a ₌ _x

0 < x1 < · · · < xn = b} una partici´on del intervalo [a, b] e I_i = [x_i, x_i₊₁],i= 0, . . . , n−1.El problema de determinar un spline cuadr´aticoS_h consiste en hallar

Sh ∈Vh ={qh ∈C1([a, b]) : qh|Ii ∈IP2[x], i= 0, . . . , n−1} tal queSh(xi) =f(xi).

Para cadai= 1, . . . , n,S_h_|_I_i ∈IP2[x] viene determinado por 3 coeficientes y, como hayn subinter-valos, tenemos 3ninc´ognitas a determinar. Por otra parte, de entre los grados de libertad disponibles, hay n+ 1 condiciones de interpolaci´on y 2(n−1) condiciones al exigir la regularidad globalC1_{. En} total son 3n−1 grados de libertad.

En consecuencia, sobra una incógnita, que se puede fijar por ejemplo con una condición sobre la derivada en uno de los extremos. Veremos que en los splines cúbicos, se puede fijar una condición sobre cada extremo.

El cálculo efectivo se verá en el caso de los splines cúbicos, tan sólo diremos que para splines cuadráticos se usa un razonamiento parecido.

1.5.2 Splines c´ubicos

Sean f ∈C0_([_{a, b}_{]) y} _P ₌_{_a₌_x

0 < x1 <· · ·< xn =b} una partici´on del intervalo [a, b]. Vamos a

denotar s´olo para esta secci´on

Ii= [xi, xi+1], i= 0, . . . , n−1.

Se trata de determinar

s_h ∈V_h conV_h={q_h ∈C2_([_{a, b}_{]) :} _q

h|Ii ∈IP3[x], i= 0, . . . , n−1} tal quesh(xi) =f(xi) .

Un polinomio cúbico, en general involucra cuatro constantes, as´ı que hay suficiente flexibilidad en el procedimiento de la construcción del spline cúbico para garantizar que la interpolante global no sólo sea continuamente diferenciable sino que además tenga una segunda derivada continua.

En efecto, para cada i = 1, . . . , n, sh|Ii ∈ IP3[x] viene determinado por 4 coeficientes. Luego,

(16)

1.5. SPLINES 15

• n+ 1 condiciones de interpolaci´on:

s_h(x_i) =f(x_i), i= 0, . . . , n. (1.21)

• 3(n−1) condiciones al exigir ash la regularidad global C2:

sh|Ii+1(xi+1) =sh|Ii(xi+1), i= 0, . . . , n−2, (1.22)

s0_h_|_I_i₊₁(xi+1) =s0h|Ii(xi+1), i= 0, . . . , n−2, (1.23)

s00

h|Ii+1(xi+1) =s 00

h|Ii(xi+1), i= 0, . . . , n−2. (1.24)

Tenemos pues de 4n−2 ecuaciones para determinar 4n inc´ognitas. En consecuencia, sobran dos inc´ognitas, que pueden encontrarse, por ejemplo, imponiendo una de las siguientes dos condiciones sobre los extremos del intervalo:

a) s00

h(a) = 0 y s00h(b) = 0 (condiciones defrontera libre),

o bien b) s0

h(a) =f0(a) ys0h(b) =f0(b), suponiendo est´an definidosf0(a) y f0(b) (condiciones de frontera

sujeta).

Si se impone el tipo a) de condiciones, se obtiene el spline cúbiconatural, y el tipo b) corresponde al spline cúbico llamadosujeto. Es posible también considerar otras condiciones de frontera, obteniendo otros tipos de splines, véase [Mathews & Fink].

C´alculo efectivo

Vamos a dar una idea del cálculo efectivo del spline cúbico. Un análisis más detallado puede encon-trarse en [Burden & Faires] (pág. 134–142).

Buscamos el spline c´ubico s_h ∈ {q_h∈C2_([_{a, b}_{]) :} _q

h|Ii ∈IP3[x], i= 0, . . . , n−1}de la forma

s_h(x) =

      

s_h_|_I₀(x), I₀ = [x₀, x₁], s_h_|_I₁(x), I1 = [x1, x2],

. . .

sh|In−1(x), In−1= [xn−1, xn],

(1.25)

donde para cada i= 0, . . . , n−1

s_h_|_I_i(x) =a_i+b_i(x−x_i) +c_i(x−x_i)2+d_i(x−x_i)3. (1.26) Pongamoshi=xi+1−xi.Imponiendo las condiciones (1.21), obtenemos

ai=f(xi), i= 0, . . . , n. (1.27)

Usando (1.22)–(1.24) se despejan losbi, di en funci´on deci obteniendo

di= ci+1₃_h−ci i

, bi = ai+1_h−ai i

−2ci+ci+1

3 hi, i= 0, . . . , n−1.

Tras haber realizado ciertas operaciones algebraicas, llegamos a un sistema lineal Ac = b cuyas inc´ognitas son (c_i)n

i=0. Veamos c´omo se escribe este sistema en el caso de los splines natural y sujeto. • En el caso del spline natural, se imponens00

h(a) = 0 =s00h(b) (con c0= 0),

A=         

2(h0+h1) h1 0 . .. 0

h1 2(h1+h2) h2 0 0

. .. . .. . .. ... 0

. .. . .. . .. ... hn−2

. . . . . . . . . hn−2 2(hn−2+hn−1)

        

, c=

        c1 c2 .. . .. .

cn−1

(17)

b=            

3(a2−a1)

h1 −

3(a1−a0)

h0 .. . .. . .. . 3(an−an−1)

hn−1 −

3(an−1−an−2)

hn−2

            .

• Para el spline sujeto, imponemoss0

h(a) =f0(a) y s0h(b) =f0(b),

A=            

2h0 h0 0 . .. ... . .. 0

h₀ 2(h₀+h₁) h₁ 0 . .. . .. 0

0 h1 2(h1+h2) h2 0. .. 0

. .. . .. . .. . .. ... . .. 0

. .. . .. . .. . .. hn−2 2(hn−2+hn−1) hn−1

. . . . . . . . . . . . 0 hn−1 2hn−1

           

, c=

             c₀ c1 .. . .. . .. .

c_n₋₁ cn              , b=                    

3(a1−a0)

h0 −3f

0₍_a₎

3(a2−a1)

h₁ −

3(a1−a0)

h₀ .. . .. . .. . 3(an−an−1)

hn−1

−3(an−1−an−2)

hn−2 3f0(b)−3(an−an−1)

hn−1

                    .

En ambos casos, la matriz del sistema Aes tridiagonal, simétrica y de diagonal estrictamente dom-inante. Por tanto A es regular y definida positiva. En consecuencia, podemos afirmar la existencia y unicidad del spline cúbico tanto natural como sujeto. Además, el cálculo de losc_i se puede hacer por un método directo, bien por un método iterativo bien adoptado a este tipo de matrices.

1.5.3 Minimizaci´on curvatura de splines c´ubicos

Teorema 1.30 Sea s el spline c´ubico (sujeto o natural) asociado a f ∈C2([a, b]) y al soporte S = {a=x0 <· · ·< xn=b}. Entonces, se tiene que

Z _b

a

(f00(x)−s00(x))2dx=

Z _b

a

f00(x)2dx−

Z _b

a

s00(x)2dx, (1.28)

Z _b

a

s00(x)2dx≤

Z _b

a

f00(x)2dx (1.29)

y _Z

b

a

(f00(x)−s00(x))2dx≤

Z _b

a

(18)

1.5. SPLINES 17

Demostraci´on: Las desigualdades (1.28) y (1.29) se obtienen de (1.30). Vamos a demostrar (1.30). Denotando el error e(x) =f(x)−s(x) para todo x∈[a, b], tenemos

Z _b

a

f00(x)2dx=

Z _b

a

(e00(x) +s00(x))2dx=

Z _b

a

(e00(x))2dx+

Z _b

a

(s00(x))2dx+ 2

Z _b

a

e00(x)s00(x)dx.

Para probar (1.30), basta demostrar que

Z _b

a

e00(x)s00(x)dx= 0. Integrando por partes, tenemos

Z _b

a

e00(x)s00(x)dx =

n

X

i=1

Z _x_i

xi−1

e00(x)s00(x)dx

=

n

X

i=1

Ã

e0(x)s00(x)¯¯x=xi

x=xi−1−

Z _x_i

xi−1

e0(x)s000(x)dx

!

= e0(xn)s00(xn)−e0(x0)s00(x0)−

n

X

i=1

(s_|_I_i)000(x)dx

Z _x_i

xi−1

e0(x)dx= 0.

Aqu´ı, hemos usado que e0(xn) = e0(x0) = 0 para el spline sujeto y s00(xn) = s00(x0) = 0 para el spline natural y, que

Z _x_i

xi−1

e0(x)dx=e(xi)−e(xi−1) = 0, pues e(xi) ≡f(xi)−s(xi) = 0 para todo i= 0, . . . , n.

1.5.4 Estimaciones de error de splines c´ubicos

Vamos a usar la siguiente notaci´on:

||g||₂_,_[_a,b_]=

µZ _b

a

g2(x)dx

¶1/2

, ||g||∞= m´ax

x∈[a,b]|g(x)| ∀g∈C

0_([_{a, b}_])_.

Teorema 1.31 (Estimaciones de error en norma || · ||2) Sean s el spline c´ubico (sujeto o

nat-ural) asociado a f ∈ C2_([_{a, b}_]) _{y al soporte} _S ₌_{_a₌ _x

0 < · · · < xn = b} y h = m´ax

1≤i≤n(xi −xi−1).

Entonces, se verifica

||f0−s0||₂_,_[_a,b_] ≤ h||f00||₂_,_[_a,b_], (1.31) ||f −s||₂_,_[_a,b_] ≤ h2||f00||₂_,_[_a,b_]. (1.32)

Demostraci´on: Sea e(x) = f(x)−s(x), x ∈ [a, b]. Como e(x_i) = 0 para todo i = 0, . . . , n, por el teorema de Rolle, existe ξi ∈ (xi−1, xi) tal que e0(ξi) = 0. Luego, usando la desigualdad de

Cauchy-Schwartz tenemos

e0(x) =

Z _x

ξi

e00(t)dt≤ ||e00||2,Ii|x−ξi|1/2≤h1/2||e00||2,Ii ∀x∈Ii= [xi−1, xi]. (1.33)

Elevando al cuadrado esta desigualdad e integrando en Ii, se tiene

Z _x_i

ξi−1

(e0(x))2dx≤h||e00||2₂_,I_i

Z _x_i

ξi−1

dx=h2||e00||2₂_,I_i.

Sumando en i, obtenemos

||e0||₂_,_[_a,b_]≤h||e00||₂_,_[_a,b_],

(19)

Por otra parte, teniendo en cuenta quee(xi) = 0, tenemos

e(x) =

Z _x

xi−1

e0(x)dx≤ ||e0||₂_,I_i|x−x_i₋₁|1/2 ≤h1/2||e00||₂_,I_i ∀x∈I_i = [x_i₋₁, x_i]. (1.34)

Luego, razonando como antes llegamos a ||e||2 ≤h||e0||2, de donde usando (1.31) se deduce (1.32).

Corolario 1.32 (Estimaciones de error en norma || · ||_∞) . En las condiciones del teorema an-terior, se verifica:

||f0−s0||_∞_,_[_a,b_] ≤ h1/2||f00||₂_,_[_a,b_], (1.35) ||f −s||_∞_,_[_a,b_] ≤ h3/2||f00||₂_,_[_a,b_]. (1.36)

Demostraci´on: Tomando m´aximo enx∈[a, b] en la desigualdad (1.33) llegamos a

||e0||_∞_,_[_a,b_]≤h1/2||e00||₂_,_[_a,b_],

de donde usando (1.30) deducimos (1.35).

Por otra parte, tomando m´aximo enx∈[a, b] en la desigualdad (1.34) obtenemos

||e||_∞_,_[_a,b_]≤h1/2||e00||₂_,_[_a,b_],

(20)

Tema 2

Mejor Aproximaci´

on (m.a.)

Trataremos en este tema el problema de aproximación de funciones con un enfoque distinto de la interpolación. Más concretamente, plantearemos el problema general de aproximación de funciones (o ajuste de curvas) como sigue:

Problema 2.1 Dada f ∈C0_([_{a, b}_])_{, hallar una funci´on “f´acil de calcular”} _g 1 _{que se “ajuste” bien}

a f en [a, b], es decir, que dist (f, g)≤ε, para una cierta distancia entre funciones.

Vimos en el Tema 1 que la interpolación global no resulta un proceso conveniente para la aproximación (no es natural forzar a la función de ajuste ga coincidir exactamente con f en unos puntos fijados a priori).

Definición 2.2 (Mejor aproximación (m.a.)) Sean(V,||·||)espacio vectorial normado yU ⊂V. Dado f ∈V, decimos queu¯∈ U es mejor aproximación (m.a.) a f en U si se verifica que

||v−u¯|| ≤ ||v−u|| ∀u∈ U.

Claramente el concepto de m.a. depende de la norma (y en consecuencia de la distancia) considerada (incluso cuando la dimensi´on de V sea finita). De hecho, para V yU fijos, se pueden tener diversas situaciones como muestran los siguientes ejemplos:

Ejemplo 2.3 1. No existencia de m.a.: Sean (V,|| · ||) ≡ (R,| · |), U = (0,1) y f = 0. En este caso, existe ´ınfimo pero no m´ınimo.

2. Existencia y unicidad de m.a.: Sean V =C0_([0_,_1]),_U ₌_{_c_: _c_∈_R_}_y_f ₌_f₍_x_{) =}_ex_.

(a) Para la norma||f||1 =

Z ₁

0

|f(x)|dx, la m.a. es ¯u=e1/2_.

(b) Para la norma||f||2 =

µZ ₁

0

|f(x)|2dx

¶1/2

, la m.a. es ¯u=e−1.

(c) Para la norma||f||∞= m´ax

x∈[0,1]|f(x)|, la m.a. es ¯u= (e+ 1)/2 .

Para los apartados (a) y (b), las soluciones se calculan “a mano”, considerandoh(c) =||f−c|| y estudiando el m´ınimo de h| : R7→ R+. El apartado (c) es m´as dif´ıcil a priori, pero f´acil de comprobar una vez que se nos da la m.a.

3. Existencia de ∞ m.a.: Sean (V,|| · ||)≡(R2_,_{|| · ||}

1), donde ||(x, y)||1 =|x|+|y|,U = {(x, y) : ||(x, y)||₁ ≤1} (el rombo de centro (0,0) y v´ertices (1,0), (0,1), (−1,0) y (0,−1)) yv= (1,1). Entonces, m.a. son todos los puntos del segmento entre (1,0) y (0,1).