Instituto Tecnologico de Tijuana
Departamento de sistemas y computación
Ingeniería en tecnologías de la información y comunicación
Semestre Agosto-Diciembre 2013
Materia: Álgebra Lineal SERIE: 6TI3
Unidad: Il
Nombre de la tarea: Investigación Unidad ll
Matrices y determinantes
Alumno:
Arias Medina Juan Carlos
10211209
Índice:
Definición de matriz………. 3
Operaciones con matrices Suma………..3
Multiplicación……….4
Propiedades del producto de matrices………...5
Cálculo por el método de Gauss (Inversa)…...…………..6
Clasificación de matrices………..9
Transformaciones elementales por renglón………...13
Calculo de la matriz inversa……….14
Definición de determinantes de una matriz………15
Propiedades de los Determinantes……….17
Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta…19 Aplicación de matrices y determinantes………..21
Matrices:
Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería. [1]
Operaciones con matrices:
Suma y resta
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(ai j) y B=(bi j), se define la matriz suma como: A+B=(ai j+bi j). Es decir,
aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición
Multiplicación
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
Propiedades del producto de matrices
Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
A · A-1 = A-1 · A = I
Propiedades
(A · B)-1 = B-1 · A-1 (A-1)-1 = A
Cálculo por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria
La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
F2 - F1
F3 + F2
F1 + F2
(-1) F2 La matriz inversa es:
Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.
Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
El rango de una matriz A se simboliza: rang (A) o r(A).
Cálculo por el método de Gauss
• Podemos descartar una línea si: • Todos sus coeficientes son ceros.
• Hay dos líneas iguales.
• Una línea es proporcional a otra.
F3 = 2F1
F4 es nula
F5 = 2F2 + F1
r(A) = 2.
En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.
F2 = F2 - 3F1
F3= F3 - 2F1
Por tanto r(A) = 3.
Clasificación de matrices
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A· At = I.
Transformacio
La idea que se persigue convertir una matriz con concreto, siempre será sentido que definimos a
Sea A una matriz y F un números de F coinciden PIVOTE de F al primer izquierda a derecha.
Una MATRIZ ESCALO propiedades:
Todas las filas nulas (ca de la matriz.
El pivote de cada fila no derecha que el pivote d
Por ejemplo, entre las m
A no es escalonada, mi
Dada una matriz escalo representamos por rg (E
En los ejemplos B y C d embargo no podemos d escalonada. Otro ejem matriz identidad de orde
iones elementales por renglón
ue con las transformaciones elemental oncreta en otra matriz más fácil de estu á posible conseguir una matriz escalon
a continuación.
una fila de A. Diremos que F es nula si en con el cero. Si F es no nula, llamam
r número distinto de cero de F contand
ONADA es aquella que verifica las sigu
caso de existir) se encuentran en la pa
no nula se encuentra estrictamente ma de la fila de encima.
matrices:
ientras que B y C si lo son.
lonada E se define el RANGO de E, qu (E), como el numero de filas no nulas
de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, s decir que rg(A) = 3 ya que A no es mplo, las matrices nulas tienen rango c
den n cumple rg (In) = n
ales es studiar. En onada, en el
si todos los amos
ndo de
iguientes
parte inferior
as a la
que s de E.
sin stá
Cálculo de la m
Dada una matriz cuadra representa por Adj(A), a
Si tenemos una matriz t
Esto es fácil probarlo pu productos de los eleme determinante, y que la s fila por los adjuntos de de un determinante que de ellas)
matriz inversa usando determina
rada A, se llama matriz adjunta de A, y , a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (A
z tal que det (A) ¹ 0, se verifica:
puesto que sabemos que la suma de lo entos de una fila por sus adjuntos es e
suma de los productos de los elemen e otra fila diferente es 0 (esto sería el d ue tiene dos filas iguales por los adjunt
nantes
, y se (Aij).
los
el valor del ntos de una l desarrollo
Método de Gauss-Jorda
El método de Gauss - J dada se basa en una tri la matriz a la cual se le
Para aplicar el método s máximo. Sabemos que comprobaremos que la método de Gauss para aplicar el método de Ga
línea de cer
Definición de determ
El determinante de una definición exacta es bas primero el determinante métodos y técnicas par se puede calcular el de
dan para el cálculo de la matriz inversa
Jordan para calcular la matriz inversa triangularización superior y luego otra i le quiere calcular la inversa.
o se necesita una matriz cuadrada de r e no siempre una matriz tiene inversa, la matriz tenga rango máximo al aplicar
a realizar la triangularización superior. auss (triangularización inferior) se obt eros, la matriz no tiene inversa.
erminantes de una matriz
a matriz cuadrada es un número real c astante complicada. Por ello, definirem te de matrices pequeñas, y estudiarem ara calcular determinantes en general.
eterminante a matrices cuadradas. sa
a de una a inferior de
rango
a, por lo cual ar el
En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.
El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para
determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.
• El determinante de una matriz es un número.
• Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular.
• Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.
Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que
coinciden en los mismos puntos de graficación.
[6]
Propiedades de los Determinantes
1.|At|= |A|
2. |A|=0 Si:
Posee dos líneas iguales
Todos los elementos de una línea son nulos.
Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.
F3 = F1 + F2
3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.
5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del
6. Si se multiplica un de multiplicado por dicho n
7. Si todos los elemento dos sumandos, dicho d determinantes.
8. |A·B| =|A|·|B|
El determinante de un p determinantes.
Inversa de una m
Sea A una matriz de (nx Si detA≠0, entonces
determinante por un número real, qued número cualquier línea, pero sólo una
tos de una fila o columna están formad determinante se descompone en la su
producto es igual al producto de los
matriz cuadrada a través de la adju
nxn). Entonces A es invertible si y solo da a.
ados por uma de dos
[7]
junta.
Si detA≠0, entonces se
A multiplicándola por A
Si AB=I, entonces B=A
-se demuestra que (1/detA)(adjA) es la A y obteniendo la matriz identidad:
-1. Así, (1/detA)adjA=A-1
Aplicació
Las matrices se utilizan que sirven para clasifica o variables.
Ejemplo: Un importador (N) y fresa (F). Todos e unidades, que se vende siguiente:
Sabiendo que en un añ
Resumir la información respectivo 2x3 y 3x2 qu precios (B).
Nos piden que organice tamaño concreto. Si nos
ión de matrices y determinantes.
n en el contexto de las ciencias como car valores numéricos atendiendo a do
or de globos los importa de dos colores ellos se envasan en paquetes de 2, 5 den al precio (en euros) indicado por la
ño se venden el siguiente número de p
n anterior en 2 matrices A y B, de tama que recojan las ventas en un año (A) y
cemos la información anterior en dos m os fijamos en las tablas, es sencillo ob
o elementos dos criterios
Estas matrices se deno recogen los datos numé
Otras matrices son las l ciertos elementos están existencia de relación s de dicha relación se exp
ominan matrices de información, y sim éricos del problema en cuestión.
s llamadas matrices de relación, que in án o no relacionados entre sí. En gene se expresa con un 1 en la matriz y la a
xpresa con un 0.
implemente
indican si eral, la
ausencia
Bibliografía
1. Definición de matrices [http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal ]
2. Operaciones con matrices
[http://www.vitutor.com/algebra/matrices/las_matrices.html]
3. Clasificación de matrices [http://www.vitutor.net/1/matrices.html]
4. Trasformaciones elementales por renglón
[http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/24-transformaciones-elementales-por.html]
5. Cálculo de la matriz inversa usando determinantes
[http://html.rincondelvago.com/calculo-de-la-matriz-inversa.html]
6. Definición de determinantes de una matriz
[http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/26-definicion-de-determinante-de-una.html]
7. Propiedades de los determinantes
[http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html]
8. Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta
[http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/28-inversa-de-una-matriz-cuadrada.html]
9. Aplicación de matrices y determinantes
