• No se han encontrado resultados

Cap 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Share "Cap 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones"

Copied!
20
0
0

Texto completo

(1)

5

95 

Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones

5.1 Matrices

1. Escriba un ejemplo de cada una de las clases de matrices:

a) Matriz fila

b) Matriz columna

c) Matriz rectangular

d) Matriz Cuadrada

e) Matriz triangular superior

f) Matriz triangular inferior

g) Matriz nula

h) Matriz diagonal

i) Matriz escalar

(2)

2. Si

3

4

2

8

5

7

6

10

5

A

= ⎢

,

9

7

0

1 10

4

5

15

21

B

= −

Determina:

a)

A

+

2

B

b)

3

A

2

B

c)

1

(

2

)

2

T T

B

A

d) T T

B

+

A

(3)

5

97  3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su

respuesta, en caso de ser falso escriba un contraejemplo.

a) Para cualquier par de matrices

A

y

B

de dimensión

n n

×

se cumple que

AB

=

BA

.

b) Para cualquier par de matrices

A

y

B

de dimensión

n n

×

se cumple que

(

)

2 2 2

2

A

+

B

=

A

+

AB

+

B

c) Existe una matriz

A

de orden n×n para todas las matrices

B

de orden

n n

×

,

talque

A B

+ =

A

.

d) Si

A

es de orden

3 5

×

y

B

es de orden

5 3

×

, entonces es posible realizar T

A B

+

.

e) Si

A

y

B

son dos matrices definidas como en el literal anterior, entonces es posible realizar

AB

.

4. Sean

4

1

8

6

M

= ⎜

y

p

P

q

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

(4)

5. Realizar las siguientes multiplicaciones entre matrices  

a)

5

2

1

3

5

4

1

2

3

7

6

3

b)

1

4

6

2

3

5

2

3

5

1

0

6

1

0

4

2

3

1

⎞⎛

⎟⎜

⎟⎜

⎟⎜

⎠⎝

c)

1

3

5

0 1

2

3

7

2 3

⎞⎛

⎟⎜

(5)

5

99  d)

3

2

1

2

(

1 4

0

2

)

6

4

0

3

T

6. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta, en caso de ser falso escriba un contraejemplo.

a) Para todas las matrices

A

y

B

invertibles se cumple que

(

AB

)

−1

=

B A

−1 −1

b) Si

AB

=

C

y

A

es invertible entonces 1

B

=

A C

c) Para la matriz

B

definida como

log 2

log 4

log 8

2

2

2

log 16

log 32

log 64

2

2

2

log 128 log 256

log 512

2

2

2

B

=

existe una

(6)

d) Existen matrices diagonales que no tienen inversa.

7. Dadas las matrices  

2

10

5

3

0

1

4

9

12

A

= ⎜

         

1

3

8

0

4

7

6

5

9

C

= ⎜

     

1

7

9

10

4 12

6

5

8

D

= −

    

3

2

6

9

10

5

E

= ⎜

        

Utilizando el método de Gauss Jordan calcular

a) 1

A

−                                        

(7)

5

101  c)

(

A C

+

)

−1 

                                       

8. Resolver las siguientes ecuaciones:  

a)

3

0

12

9

6

X

= ⎜

b)

2

2

3

3

6

3

0

T

x

y

y

z

+

+

⎞ ⎛

=

⎟ ⎜

⎠ ⎝

c)

2

7

1

1

14

5

3

6

4

2

6

10

8

5

10

5

12

8

9

X

X

− ⎞

+ −

− =

(8)

d)

5

2

2

7

9

30

5

4

6

2

T

X

=

e)

4

3

10 11

3

4

11 10

x

y

y

x

⎞⎛

⎞ ⎛

=

⎟⎜

⎟ ⎜

⎠⎝

⎠ ⎝

f)

2

1 3

11

10

23

7 10

9

20

108 121

3

1

4

15

22

40

X

=

(9)

5

103  g)

4

5

1

2

3

2

1

4

5

6

3

4

7

8

9

X

X

+

=

           

5.2 Determinantes

9. Calcular los siguientes determinantes

a)

2

5

5

3

b)

0

1

2

3

3

1

x

x

x

x

c)

5

7

4

3

1

0

8

6

9

(10)

 

d)

2

3

5

4

7

11

7

3

10

    

 

 

 

   

e)

1

3

7

0

5

6

0

2

8

0

9

1

0

2

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.Dada la matriz

a

b

c

A

d

e

f

g

h

i

= ⎜

cuyo determinante es

6

. Calcular el determinante

(11)

5

105  a)

4

4

4

a

b

c

d

e

f

g

h

i

b)

a

b

c

g

h

i

d

e

f

c)

3

3

3

a

d

b

e

c

e

d

e

f

g

h

i

+

+

+

d)

0

0

0

a

c

d

f

g

i

e)

6

6

6

a

mb

c

kd

kme

kf

g

mh

i

                   

11.Calcular el valor de

a

para que las siguientes matrices no tengan inversa.  

a)

2

4

(12)

b)

3

5

7

15

B

a

= ⎜

+

c)

2

4

7

1

5

4

3

3

C

a

= ⎜

d)

4

2

7

15

5

1

4

9

D

a

a

=

e)

1

2

3

5

2

7

2

9

E

a

a

a

=

+

(13)

5

107  12.Resolver el ejercicio 7 utilizando la expresión 1

1

( )

T

A

A

A

(14)

13.Resolver las siguientes ecuaciones

a)

2

3

3

5

5

4

m

m

m

+

=

+

b)

2

2

0

7

2

4

1

0

1

6

x

x

x

=

c)

2

10

3

1 1

1

2

2

x

x

− =

d)

3

2

60

0

99

0

0

1

x

x

x

x

=

(15)

5

109 

5.3 Sistemas de Ecuaciones Lineales

14.Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta.

a) Todo sistema de ecuaciones lineales tiene por lo menos una solución.

b) Si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a

0

entonces el sistema es inconsistente.

c) Si una de las ecuaciones en un sistema de ecuaciones es un múltiplo de otra ecuación entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

d) Si la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones es invertible entonces el sistema de ecuaciones tiene única solución.

e) El número de operaciones realizadas con el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones es mayor al número de operaciones realizadas con el método de Gauss Jordan. 

15.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones  

a)

7

4

5

4

6

3

18

x

y

z

x

y

z

x

y

z

+ − =

− +

=

(16)

b)

4

5

6

1

2

5

12

2

7

x

y

z

x

y

z

x

y

= −

⎪ − − = −

− =

c)

7

4

5

4

6

3

20

x

y

z

x

y

z

x

y

z

+ − =

− +

=

⎪ + + =

 

d)

3

2

8

5

7

9

10

8

16

3

14

x

y

z

x

y

z

x

y

z

+

=

⎪− + + =

=

(17)

5

111  e)

3

2

4

5

4

4

3

22

x

z

x

y

y

z

+

=

− = −

+

=

16.Determine la condición que debe cumplir

a

para que el sistema de ecuaciones

lineales

2

3

1

2

0

x

y

z

x

y

z

x

y

az

+ =

⎪− + − = −

⎪− + + =

sea consistente

17.Hallar el valor de

k

para que el sistema de ecuaciones lineales

0

3

2

4

0

2

3

0

x

y

kz

x

y

kz

x

y

z

+ +

=

⎪ + + =

⎪ + + =

(18)

18.Para el sistema de ecuaciones:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

1

2

3

3

4

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

− +

=

⎪ + + =

− +

=

es verdad que:

a) El sistema es inconsistente.

b) El sistema tiene infinitas soluciones. c) El sistema es homogéneo.

d) El sistema tiene solución única

{

x

1

,

x

2

,

x

3

}

y

x

1

+ +

x

2

x

3

=

2

.

e) El sistema tiene solución única

{

x

1

,

x

2

,

x

3

}

y

x

1

+ +

x

2

x

3

=

0

.  

19.Si el sistema de ecuaciones lineales

3

2

2

4

5

2

1

x

y

z

x

ky

x

y

z

+

=

+

=

⎪ − + =

es inconsistente, entonces es

VERDAD que:

a)

k

=

0

b)

k

= −

16

c)

k

= −

32

d)

k

=

24

(19)

5

113  20.Una fábrica de muebles ha fabricado tres tipos de muebles: taburetes, sillas y

mesas. Para la fabricación de estos muebles, necesitó utilizar determinadas unidades de madera de pino, roble y guayacán, tal y como se indica en la siguiente tabla.

Pino Roble Guayacán

Taburete 1 1 2

Silla 1 1 3

Mesa 1 2 5

La fábrica tenía en existencia 400 unidades de madera de pino, 600 unidades de roble y 1500 unidades de guayacán; si utilizó todo su inventario ¿cuántos taburetes, sillas y mesas fabricó?

21.El gerente de una empresa acaba de regresar de su viaje por Europa. El contador de la empresa le ha pedido un informe de su viaje, el gerente dice no recordar con exactitud los días de permanencia en cada país, y envía la siguiente tabla con el costo diario de: hospedaje, comida y misceláneos, en cada país. Además ha informado los gastos totales en cada rubro.

Italia Austria Alemania Total

Hospedaje

30 20

20 340

Comida

20 30

20 320

Misceláneos

10 10

10 140

(20)

22.La siguiente tabla muestra la producción mundial de acero, en millones de toneladas métricas, desde 1990.

Año Producción de Acero

1990

773

1995

686

2000

739

a) Ajuste una función cuadrática

( )

2

f x

=

ax

+

bx c

+

a los datos. (Se puede decir que el año 1990 es el año

1

y así trabajar con valores más pequeños para

x

,

lo mismo se puede hacer para los otros valores)

Referencias

Documento similar

Abstract: This paper reviews the dialogue and controversies between the paratexts of a corpus of collections of short novels –and romances– publi- shed from 1624 to 1637:

o Si dispone en su establecimiento de alguna silla de ruedas Jazz S50 o 708D cuyo nº de serie figura en el anexo 1 de esta nota informativa, consulte la nota de aviso de la

Ciaurriz quien, durante su primer arlo de estancia en Loyola 40 , catalogó sus fondos siguiendo la división previa a la que nos hemos referido; y si esta labor fue de

Para denegación hegeliana del mal: «Así como no existe lo fal- so, no existe el mal, es objetada primero por Sade y luego por la subjetividad romántica: en la mé- dula de la

(29) Cfr. MUÑOZ MACHADO: Derecho público de las Comunidades Autóno- mas, cit., vol. Es necesario advertir que en la doctrina clásica este tipo de competencias suele reconducirse

Pliegue asimétrico mostrando una pizarrosidad de plano axial (martillo) en las pizarras del volcanismo ácido inicial del anticlinorio de Coto Vicario.. El martillo muestra la

__^ La linea del horizonte corresponde a la superfi-... Utri- llas a

b) El Tribunal Constitucional se encuadra dentro de una organiza- ción jurídico constitucional que asume la supremacía de los dere- chos fundamentales y que reconoce la separación