5
95
Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
5.1 Matrices
1. Escriba un ejemplo de cada una de las clases de matrices:
a) Matriz fila
b) Matriz columna
c) Matriz rectangular
d) Matriz Cuadrada
e) Matriz triangular superior
f) Matriz triangular inferior
g) Matriz nula
h) Matriz diagonal
i) Matriz escalar
2. Si
3
4
2
8
5
7
6
10
5
A
−
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
−
⎥
⎣
⎦
,
9
7
0
1 10
4
5
15
21
B
⎡
⎤
⎢
⎥
= −
⎢
⎥
⎢
−
⎥
⎣
⎦
Determina:
a)
A
+
2
B
b)
3
A
−
2
B
c)
1
(
2
)
2
T T
B
−
A
d) T T
B
+
A
5
97 3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su
respuesta, en caso de ser falso escriba un contraejemplo.
a) Para cualquier par de matrices
A
yB
de dimensiónn n
×
se cumple queAB
=
BA
.b) Para cualquier par de matrices
A
yB
de dimensiónn n
×
se cumple que(
)
2 2 22
A
+
B
=
A
+
AB
+
B
c) Existe una matriz
A
de orden n×n para todas las matricesB
de ordenn n
×
,talque
A B
+ =
A
.d) Si
A
es de orden3 5
×
yB
es de orden5 3
×
, entonces es posible realizar TA B
+
.e) Si
A
yB
son dos matrices definidas como en el literal anterior, entonces es posible realizarAB
.4. Sean
4
1
8
6
M
= ⎜
⎛
⎞
⎟
⎝
⎠
yp
P
q
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
5. Realizar las siguientes multiplicaciones entre matrices
a)
5
2
1
3
5
4
1
2
3
7
6
3
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
−
⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
b)
1
4
6
2
3
5
2
3
5
1
0
6
1
0
4
2
3
1
−
⎛
⎞⎛
⎞
⎜
−
⎟⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
c)
1
3
5
0 1
2
3
7
2 3
⎛
⎞⎛
⎞
⎜
−
⎟⎜
⎟
5
99 d)
3
2
1
2
(
1 4
0
2
)
6
4
0
3
T
−
⎛
⎞
⎜
−
⎟
⎝
⎠
6. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta, en caso de ser falso escriba un contraejemplo.
a) Para todas las matrices
A
yB
invertibles se cumple que(
AB
)
−1=
B A
−1 −1b) Si
AB
=
C
yA
es invertible entonces 1B
=
A C
−c) Para la matriz
B
definida comolog 2
log 4
log 8
2
2
2
log 16
log 32
log 64
2
2
2
log 128 log 256
log 512
2
2
2
B
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
existe una
d) Existen matrices diagonales que no tienen inversa.
7. Dadas las matrices
2
10
5
3
0
1
4
9
12
A
−
⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
−
⎟
⎝
⎠
1
3
8
0
4
7
6
5
9
C
−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
7
9
10
4 12
6
5
8
D
⎛
⎞
⎜
⎟
= −
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
3
2
6
9
10
5
E
−
⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Utilizando el método de Gauss Jordan calcular
a) 1
A
−5
101 c)
(
A C
+
)
−1
8. Resolver las siguientes ecuaciones:
a)
3
0
12
9
6
X
= ⎜
⎛
−
⎞
⎟
⎝
⎠
b)
2
2
3
3
6
3
0
T
x
y
y
z
+
+
⎛
⎞ ⎛
=
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
c)
2
7
1
1
14
5
3
6
4
2
6
10
8
5
10
5
12
8
9
X
X
⎛
−
− ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+ −
⎜
− =
⎟
⎜
−
⎜
⎟
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎜
−
⎟
⎟
d)
5
2
2
7
9
30
5
4
6
2
T
X
=
⎛
⎜
⎞
⎟
−
⎛
⎜
⎞
⎟
−
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
e)
4
3
10 11
3
4
11 10
x
y
y
x
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
=
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
f)
2
1 3
11
10
23
7 10
9
20
108 121
3
1
4
15
22
40
X
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
−
⎟
=
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
−
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
5
103 g)
4
5
1
2
3
2
1
4
5
6
3
4
7
8
9
X
X
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
+
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
5.2 Determinantes
9. Calcular los siguientes determinantes
a)
2
5
5
3
−
−
−
b)
0
1
2
3
3
1
x
x
x
x
−
−
c)
5
7
4
3
1
0
8
6
9
d)
2
3
5
4
7
11
7
3
10
−
−
−
−
e)
1
3
7
0
5
6
0
2
8
0
9
1
0
2
4
5
−
−
−
−
10.Dada la matriz
a
b
c
A
d
e
f
g
h
i
⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
cuyo determinante es
6
. Calcular el determinante5
105 a)
4
4
4
a
b
c
d
e
f
g
h
i
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
b)a
b
c
g
h
i
d
e
f
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
c)3
3
3
a
d
b
e
c
e
d
e
f
g
h
i
+
+
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
d)0
0
0
a
c
d
f
g
i
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
e)6
6
6
a
mb
c
kd
kme
kf
g
mh
i
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
11.Calcular el valor de
a
para que las siguientes matrices no tengan inversa.a)
2
4
b)
3
5
7
15
B
a
⎛
⎞
= ⎜
+
⎟
⎝
⎠
c)
2
4
7
1
5
4
3
3
C
a
⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
d)
4
2
7
15
5
1
4
9
D
a
a
−
⎛
⎞
⎜
⎟
=
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
e)
1
2
3
5
2
7
2
9
E
a
a
a
⎛
⎞
⎜
⎟
=
⎜
+
⎟
⎜
⎟
5
107 12.Resolver el ejercicio 7 utilizando la expresión 1
1
( )
TA
A
A
13.Resolver las siguientes ecuaciones
a)
2
3
3
5
5
4
m
m
m
+
−
=
−
+
−
b)
2
2
0
7
2
4
1
0
1
6
x
x
x
−
=
−
c)
2
10
3
1 1
1
2
2
x
x
− =
−
−
d)
3
2
60
0
99
0
0
1
x
x
x
x
=
5
109
5.3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
14.Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta.
a) Todo sistema de ecuaciones lineales tiene por lo menos una solución.
b) Si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a
0
entonces el sistema es inconsistente.c) Si una de las ecuaciones en un sistema de ecuaciones es un múltiplo de otra ecuación entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
d) Si la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones es invertible entonces el sistema de ecuaciones tiene única solución.
e) El número de operaciones realizadas con el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones es mayor al número de operaciones realizadas con el método de Gauss Jordan.
15.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
a)
7
4
5
4
6
3
18
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+ − =
⎧
⎪
− +
=
⎨
b)
4
5
6
1
2
5
12
2
7
x
y
z
x
y
z
x
y
−
−
= −
⎧
⎪ − − = −
⎨
⎪
− =
⎩
c)
7
4
5
4
6
3
20
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+ − =
⎧
⎪
− +
=
⎨
⎪ + + =
⎩
d)
3
2
8
5
7
9
10
8
16
3
14
x
y
z
x
y
z
x
y
z
−
+
=
⎧
⎪− + + =
⎨
⎪
−
−
=
⎩
5
111 e)
3
2
4
5
4
4
3
22
x
z
x
y
y
z
+
=
⎧
⎪
− = −
⎨
⎪
+
=
⎩
16.Determine la condición que debe cumplir
a
para que el sistema de ecuacioneslineales
2
3
1
2
0
x
y
z
x
y
z
x
y
az
−
+ =
⎧
⎪− + − = −
⎨
⎪− + + =
⎩
sea consistente
17.Hallar el valor de
k
para que el sistema de ecuaciones lineales0
3
2
4
0
2
3
0
x
y
kz
x
y
kz
x
y
z
+ +
=
⎧
⎪ + + =
⎨
⎪ + + =
⎩
18.Para el sistema de ecuaciones:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
1
2
3
3
4
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
− +
=
⎧
⎪ + + =
⎨
⎪
− +
=
⎩
es verdad que:
a) El sistema es inconsistente.
b) El sistema tiene infinitas soluciones. c) El sistema es homogéneo.
d) El sistema tiene solución única
{
x
1,
x
2,
x
3}
yx
1+ +
x
2x
3=
2
.e) El sistema tiene solución única
{
x
1,
x
2,
x
3}
yx
1+ +
x
2x
3=
0
.19.Si el sistema de ecuaciones lineales
3
2
2
4
5
2
1
x
y
z
x
ky
x
y
z
−
+
=
⎧
⎪
+
=
⎨
⎪ − + =
⎩
es inconsistente, entonces es
VERDAD que:
a)
k
=
0
b)
k
= −
16
c)
k
= −
32
d)
k
=
24
5
113 20.Una fábrica de muebles ha fabricado tres tipos de muebles: taburetes, sillas y
mesas. Para la fabricación de estos muebles, necesitó utilizar determinadas unidades de madera de pino, roble y guayacán, tal y como se indica en la siguiente tabla.
Pino Roble Guayacán
Taburete 1 1 2
Silla 1 1 3
Mesa 1 2 5
La fábrica tenía en existencia 400 unidades de madera de pino, 600 unidades de roble y 1500 unidades de guayacán; si utilizó todo su inventario ¿cuántos taburetes, sillas y mesas fabricó?
21.El gerente de una empresa acaba de regresar de su viaje por Europa. El contador de la empresa le ha pedido un informe de su viaje, el gerente dice no recordar con exactitud los días de permanencia en cada país, y envía la siguiente tabla con el costo diario de: hospedaje, comida y misceláneos, en cada país. Además ha informado los gastos totales en cada rubro.
Italia Austria Alemania Total
Hospedaje
30 20
20 340
Comida
20 30
20 320
Misceláneos
10 10
10 140
22.La siguiente tabla muestra la producción mundial de acero, en millones de toneladas métricas, desde 1990.
Año Producción de Acero
1990
773
1995
686
2000
739
a) Ajuste una función cuadrática
( )
2f x
=
ax
+
bx c
+
a los datos. (Se puede decir que el año 1990 es el año1
y así trabajar con valores más pequeños parax
,lo mismo se puede hacer para los otros valores)