Yoel E. Guti´
errez T.
1.
Introducci´
on
Definici´on 1.1 Una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden es de la forma
a2(x)
d2y
dx2 +a1(x)
dy
dx +a0(x)y =g(x), (1.1)
o m´as brevemente
a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y =g(x), (1.2)
donde a2, a1, a0 yg dependen s´olo de x y no de y
1.1.
Problemas de valor inicial y de valor en la frontera
Para una ecuaci´on diferencial lineal, un problema de valor inicial de segundo
orden es
an2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y=g(x)
y(x0) =y0, y′(x0) = y1. (1.3)
Recu´erdese que, para un problema como ´este, se busca una funci´on definida en alg´un
intervaloI que contenga ax0, y satisfaga la ecuaci´on diferencial y las 2 condiciones iniciales
especificadas en x0: y(x0) =y0, y′(x0) = y1.
Teorema 1.1 (Teorema de existencia y unicidad) Seana2(x), a1(x), a0(x)yg(x)
fun-ciones continuas en un intervalo I, y sea a2(x) ̸= 0 para cada x del intervalo. Si x0 es
cualquier punto en I y si y0, y1 son n´umeros arbitrarios, el PVI (1.3) tiene una y s´olo una
soluci´on y(x) en el intervalo I.
Otro tipo de problema es resolver una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden en
la que la variable dependiente y, o sus derivadas, est´an especificadas en puntos distintos.
Un problema como
a2(x)d 2y
dx2 +a1(x)
dy
dx +a0(x)y=g(x) y(a) =y0, y(b) =y1,
se llama problemas de valores en la frontera. Los valores y(a) = y0 y y(b) = y1,
se denominan condiciones de la frontera. Una soluci´on del problema anterior es una
funci´on que satisface la ecuaci´on diferencial en alg´un intervalo I que contiene aa y b, cuya
representaci´on gr´afica pasa por los puntos (a, y0) y (b, y1).
Para una ecuaci´on diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera
podr´ıan ser
y′(a) =y0, y(b) = y1
y(a) =y0, y(b) =y1
y′(a) =y0, y′(b) =y1,
en donde y0 y y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones s´olo
son casos especiales de las condiciones generales en la frontera:
α1y(a) +β1y′(a) = λ1
α2y(b) +β2y′(b) =λ2.
Aun cuando se satisfagan las condiciones del Teorema (1.1), un problema de valor en la frontera puede tener muchas soluciones, una o ninguna.
1.2.
Ecuaciones homog´
eneas
Una ecuaci´on lineal de segundo orden de la forma
a2(x)
d2y
dx2 +a1(x)
dy
dx +a0(x)y= 0 (1.4)
se llama homog´enea, mientras que
a2(x)
d2y
dx2 +a1(x)
dy
dx +a0(x)y=g(x) (1.5)
donde g(x) nos es id´enticamente cero, se llama no homog´enea.
Al estudiar la ecuaci´on no homog´enea (1.5), es necesario considerar a la par la ecuaci´on
homog´enea (1.4). Bajo estas condiciones se habla de (1.5) como una ecuaci´on completa y
de (1.4) como la ecuaci´on reducida asociada a ella.
En el siguiente teorema veremos que la suma o superposici´on de dos o m´as soluciones
de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea tambi´en es una soluci´on.
Teorema 1.2 (Principio de superposici´on, ecuaciones homog´eneas) Si y1, y2, . . . ,
yk son k soluciones de la EDO lineal homog´enea de segundo orden (1.4) en un intervalo I,
la combinaci´on lineal
y(x) = c1y1(x) +c2y2(x) +. . .+ckyk(x)
en dondec1, c2, . . . , ck son constantes arbitrarias, tambi´en es una soluci´on cuandoxest´a en
el intervalo.
N´otese que:
1. Un m´ultiplo constante y(x) = c1y1(x) de una soluci´on y1(x) de una EDO lineal
homog´enea tambi´en es una soluci´on.
2.
Dependencia e independencia lineal
Definici´on 2.1 Un conjunto de dos funciones f1(x), f2(x) se dice que son linealmente dependientes en un intervalo I si existen dos constantes c1, c2 no todas cero, tales que
para toda x en I
c1f1(x) +c2f2(x) = 0.
En caso contrario se dice que el conjunto es linealmente independiente.
En otras palabras, dos funciones son linealmente independientes en un intervalo si las ´
unicas constantes para las que se cumple
c1f1(x) +c2f2(x) = 0
para toda x en el intervalo sonc1 =c2 = 0.
N´otese que si las dos funciones f1(x) y f2(x), son linealmente dependientes en un
in-tervalo, existen constantes, c1 y c1, que no son cero a la vez, tales que, para toda x en el
intervalo, c1f1(x) +c2f2(x) = 0; por consiguiente, si suponemos que c1 ̸= 0, entonces
f1(x) =−
c2
c1
f2(x);
esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es m´ultiplo
constante de la otra. Al rev´es, si f1(x) = c2f2(x) para alguna constante c2, entonces
(−1)f1(x) +c2f2(x) = 0
para toda x en alg´un intervalo. As´ı, las funciones son linealmente dependientes porque al
menos unas de las constantes no es cero. Llegamos a la conclusi´on de que dos funciones
son linealmente independientes cuando ninguna es m´ultiplo constante de la
otra en un intervalo. Esto es, el cociente f1(n)
f2(x) no es constante en un intervalo en quef1(x)
y f2(x) son linealmente independientes.
Teorema 2.1 Sean y1, y2 2 soluciones de la ecuaci´on diferencial homog´enea de segundo
orden (1.4), donde a2, a1 y a0 son continuas en alg´un intervalo dado I y a2(x) ̸= 0 para
toda x en I.
1. y1, y2 son linealmente dependientes en I si y s´olo si el Wronskiano dey1, y2 dado por
W(y1, y2) =
y1 y2
y1′ y′2
es id´enticamente nulo en el intervalo.
2. y1, y2 son linealmente independientes en I si y s´olo si W(y1, y2) ̸= 0 para cada x en
I.
De acuerdo con el teorema anterior, cuandoy1, y2 son 2 soluciones de la ecuaci´on (1.4)
Teorema 2.2 (Soluci´on general, ecuaciones homog´eneas) Si y1, y2 son 2soluciones
linealmente independientes de la ecuaci´on (1.4), en un intervalo I, entonces
y =c1y1+c2y2 (2.6)
es una soluci´on de (1.4) para cualesquiera constantes c1, c2, . . . , cn. Rec´ıprocamente, toda
soluci´on de (1.4) tiene la forma (2.6) para selecciones apropiadas de las constantes c1, c2.
Teorema 2.3 (Soluci´on general, ecuaciones no homog´eneas) Si y1, y2 son 2
solu-ciones linealmente independientes de la ecuaci´on (1.4) y yp es una soluci´on particular de
(1.5), donde g es continua en I, entonces
y=c1y1+c2y2+yp (2.7)
es una soluci´on de (1.5) para cualesquiera constantesc1, c2. Rec´ıprocamente, toda soluci´on
de (1.5) tiene la forma (2.7) para selecciones apropiadas de las constantes c1, c2.
Teorema 2.4 (Principio de superposici´on, ecuaciones no homog´eneas) Siypi
rep-resenta una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea de segundo orden
a2(x)
d2y
dx2 +a1(x)
dy
dx +a0(x)y=gi(x),
en donde i= 1,2, . . . , k. Entonces
yp =yp1 +yp2 +. . .+ypk
es una soluci´on particular de
a2(x)
d2y
dx2 +a1(x)
dy
dx +a0(x)y =g1(x) +g2(x). . .+gk(x).
3.
Uso de una soluci´
on conocida para hallar otra
Al estudiar ecuaciones diferenciales lineales homog´eneas de segundo orden, podemos
formar una segunda soluci´on y2, de
a2(x)
d2y
dx2 +a1(x)
dy
dx +a0(x)y= 0 (3.8)
en un intervaloI a partir de una soluci´ony1 no trivial. Buscamos una segunda soluci´ony2,
de la ecuaci´on (3.8) tal quey1 yy2 sean linealmente independientes enI. Recordemos que si
y1yy2son linealmente independientes, su relaci´onyy21 es no constante enI, esto es yy21 =u(x)
o y2 =u(x)y1(x). La idea es determinar la funci´onu(x) sustituyendo y2 =u(x)y1(x) en la
ecuaci´on diferencial dada
Podemos escribir la ecuaci´on diferencial (3.8) de la forma
donde P y Q son continuas en alg´un intervalo I. Supongamos que y1 es una soluci´on no
nula de (3.9) conocida. La idea b´asica hallar una funci´on u de modo que y2 = uy1 sea
soluci´on de (3.9), as´ı que
y′′2 +P(x)y2′ +Q(x)y2 = 0. (3.10)
Sustituyendo
y2 =uy1, y′2 =uy′1+u′y1 e y2′′=uy′′1 + 2u′y1′ +u′′y1
en (3.10) y redondeando queda
u(y1′′+P(x)y′1+Q(x)y1) +u′′y1+u′(2y1′ +P(x)y1) = 0.
Puesto que y1 es soluci´on de (3.9), eso se reduce a
u′′y1+u′(2y′1+P(x)y1) = 0,
o sea
u′′ u′ =−2
y1′ y1 −
P(x).
Integrando obtenemos
lnu′ =−2 lny1−
∫
P(x)dx,
luego
u′ = 1
y2 1
exp
(
−
∫
P(x)dx
)
y
u=
∫
1
y2 1
exp
(
−
∫
P(x)dx
)
dx. (3.11)
S´olo resta mostrar que y1 e y2 = uy1, donde u viene dada por (3.11) son linealmente
independientes.
4.
Ecuaciones lineales homog´
eneas con coeficientes
con-stantes
4.1.
Ecuaciones de segundo orden
Consideremos la ecuaci´on homog´enea
ay′′+by′+cy = 0 (4.12)
en el caso especial en que a, b y cson constantes reales.
Nuestro punto de partida es la propiedad de la funci´on exponencial emx de que sus
derivadas son todas m´ultiplos de la propia funci´on, lo que nos conduce a considerar
como una posible soluci´on de (4.12) si la constante m se escoge adecuadamente. Como
y′ =memx e y′′=m2emx, sustituyendo en (4.12) vemos que
(am2+bm+c)emx = 0, (4.14)
y puesto que emx nunca se anula cuando x tiene valor real, (4.14) se cumple si y s´olo m
satisface la ecuaci´on
am2+bm+c= 0, (4.15)
llamadaecuaci´on auxiliaroecuaci´on caracter´ıstica de la EDO (4.12). Examinaremos
tres casos: Las soluciones de la ecuaci´on caracter´ıstica que corresponden a ra´ıces reales
distintas, ra´ıces reales e iguales y ra´ıces complejas conjugadas.
Caso 1: Ra´ıces reales distintas.
Si la ecuaci´on (4.15) tiene dos ra´ıces reales distintas,m1 ym2, llegamos a las soluciones
y1 = em1x y y2 = em2x. Estas funciones son linealmente independientes en (−∞,∞), en
consecuencia, la soluci´on general de la ecuaci´on (4.12) en ese intervalo es
y=c1em1x+c2em2x.
Caso 2: Ra´ıces reales e iguales.
Es evidente que las ra´ıces m1 y m2 son iguale si y s´olo si b2 −4ac = 0. Ahora s´olo
obtenemos la soluci´ony1 =em1x con m1 =−2ba. Sin embargo, es f´acil dar con otra soluci´on
linealmente independiente con el m´etodo de la secci´on anterior. Se tiene que
v =
∫
1
y2 1
exp
(
−
∫
b adx
)
dx=x.
Luego y2 =xem1x. en esta caso (4.12) tiene a
y=c1em1x+c2xem1x
como su soluci´on general.
Caso 3: Ra´ıces complejas conjugadas.
Si m1 y m2 son complejas se pueden escribir de la forma m1 =α+iβ y m2 =α−iβ,
don α y β son n´umeros reales; por ello,
y=c1e(α+iβ)x+c2e(α−iβ)x. (4.16)
Sin embargo, en la pr´actica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales
complejas. Con este objeto se usa la f´ormula de Euler:
eiθ = cosθ+isenθ,
en que θ es un n´umero real.
Como (4.16) es una soluci´on de (4.12) para cualquier elecci´on de las constantesc1 y c2,
si c1 =c2 = 1, obtenemos la soluci´on
y si c1 = 1 yc2 =−1, obtenemos la soluci´on
y2 =e(α+iβ)x−e(α−iβ)x =eαx(eiβx−e−iβx) = 2ieαxsen(βx).
En consecuencia,
1
2y1 =e
αxcos(βx) y 1
2iy2 =e
αxsen(βx)
son soluciones de la ecuaci´on (4.12). Adem´as, esas soluciones son linealmente
independi-entes en (−∞,∞); por tanto, la soluci´on general es
y=eαx(c1cos(βx) +c2sen(βx)).
5.
Coeficientes indeterminados, m´
etodo de la
super-posici´
on
En esta secci´on se desarrolla el m´etodo de los coeficientes indeterminados a partir del
principio de superposici´on para ecuaciones diferenciales no homog´eneas.
Para encontrar la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea de
segundo orden
a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y=g(x) (5.17)
debemos pasar por dos etapas:
1. Determinar la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada, yc.
2. Establecer cualquier soluci´on particular, yp, de la ecuaci´on no homog´enea.
Entonces, la soluci´on general de (5.17) en un intervalo esy =yc+yp.
Hay muchos m´etodos por medio de los cuales se pueden obtener soluciones particulares.
Un m´etodo a menudo usado en F´ısica e Ingenier´ıa es el m´etodo de los coeficientes
indeterminados. La idea b´asica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la
forma de yp originada por los tipos de funciones que forman el dato g(x). El m´etodo
es b´asicamente directo, pero est´a limitado a ecuaciones lineales no homog´eneas, como la
ecuaci´on (5.17), en que:
1. Los coeficientes a2, a1, a0 son constantes.
2. g(x) es una funci´on polinomial, una funci´on exponencial erx donde r es constante,
una funci´on seno o coseno como senrx, cosrx, o sumas y productos finitos de estas
funciones.
A continuaci´on mostramos la forma de yp originada por los tipos de funciones que
forman el dato g(x):
2. Para t´erminos senrx, cosrx, o sumas o diferencias de tales t´erminos, asumaAsenrx+
Bcosrx.
3. Para t´erminos como erx, asuma Aerx.
4. Si algunos de los t´erminos asumidos ocurre en la soluci´on complementaria, debemos
multiplicar estos t´erminos asumidos por una potencia de x suficientemente alta de
modo que ninguno de los t´erminos asumidos aparezca en la soluci´on complementaria.
En el caso de que el lado derecho de la ecuaci´on (5.17) contenga productos de t´erminos
como senrx, cosrx, erx y polinomios, se puede a´un usar el m´etodo de los coeficientes
indeterminados, pero ´este puede llegar a ser dif´ıcil de manejar y perder su atractivo. Para
este caso, La forma de yp es una combinaci´on lineal de todas las funciones linealmente
independientes generadas por diferenciaciones repetidas de g(x).
6.
Variaci´
on de par´
ametros
La t´ecnica usada en la secci´on anterior para determinar una soluci´on particular de la
ecuaci´on
a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y =g(x), (6.18)
tiene dos serias limitaciones: puede usarse s´olo cuando los coeficientes a2, a1 y a0 son
constantes, e incluso entonces s´olo funciona si el t´ermino de la derecha g(x) tiene una
forma particularmente sencilla. Dentro de estas limitaciones, ese m´etodo suele ser el m´as
simple de aplicar.
Ahora desarrollaremos otro m´etodo m´as potente que funciona siempre, sean cuales sean
a2, a1 y a0 y g(x), y supuesto s´olo que la soluci´on general de la correspondiente ecuaci´on
homog´enea
a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y = 0, (6.19)
se conoce de antemano. Para aplicar el m´etodo de variaci´on de par´ametros a la EDO (6.18),
la escribimos de la forma
y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x) (6.20)
Las ecuaciones (6.18) y (6.20) son an´alogas. Suponemos queP(x), Q(x) y f(x) son
contin-uas en alg´un intervaloI, y que se ha encontrado de alg´un modo la soluci´on general
y=c1y1(x) +c2y2(x) (6.21)
de (6.19), la cual es an´aloga a la soluci´on general de la EDO homog´enea
y′′+P(x)y′+Q(x)y= 0 (6.22)
A fin de hallar una soluci´on particular,yp, de la EDO (6.20), sustituimos las constantes
c1 y c2 en (6.21)por funciones desconocidas v1(x) y v2(x) e intentamos hallar v1 y v2 de
manera tal que
sea soluci´on de (6.20). Para encontrar las dos funciones desconocidas, empecemos
calcu-lando la derivada de yp, obtenemos:
y′p = (v1y1′ +v2y2′) + (v1′y1+v2′y2). (6.24)
Otra derivaci´on introducir´ıa segundas derivadas de las inc´ognitas v1 y v2. Evitamos esa
complicaci´on exigiendo que
v′1y1+v′2y2 = 0. (6.25)
Esto da
yp′ =v1y1′ +v2y2′. (6.26)
As´ı que
y′′p =v1y′′1 +v1′y1′ +v2y′′2 +v2′y′2. (6.27)
Sustituyendo (6.23), (6.26) y (6.27) en (6.20) y reordenando se llega a
v1[y1′′+P y′1+Qy1] +v2[y′′2 +P y′2+Qy2] +v1′y′1+v2′y′2 =f(x). (6.28)
Comoy1 ey2 son soluciones de (6.22), las dos expresiones entre par´entesis son cero, y (6.28)
queda de la forma
v1′y′1+v′2y′2 =f(x). (6.29)
Teniendo en cuenta (6.25) y(6.29) conjuntamente tenemos dos ecuaciones con dos inc´
ogni-tas v1′ y v2′
v1′y1 + v′2y2 = 0
v1′y′1 + v2′y2′ = f(x),
cuya soluci´on es
v1′ =− y2f(x)
W(y1, y2)
y v2′ = y1f(x)
W(y1, y2)
. (6.30)
Hay que hacer notar que estas f´ormulas son leg´ıtimas, ya que el Wronskiano de los
denom-inadores es no nulos por la independencia lineal de y1 y y2. Lo queda por hacer es integrar
(6.30) para hallar v1 y v2.
v1 =−
∫
y2f(x)
W(y1, y2)
dx y v2 =
∫
y1f(x)
W(y1, y2)
dx. (6.31)
Resumiendo toda la informaci´on podemos afirmar que
yp =y1
(
−
∫
y2f(x)
W(y1, y2)
dx
)
+y2
∫
y1f(x)
W(y1, y2)
dx (6.32)
7.
Ecuaci´
on de Euler de segundo orden
Son ecuaciones diferenciales lineales de la forma
ax2d
2y
dx2 +bx
dy
dx +cy=g(x),
donde los coeficientes a, b y cson constantes.
Esta ecuaciones pueden ser resueltas por la transformaci´on x= ez. Para ver esto
con-sideremos la ecuaci´on homog´enea asociada de segundo orden
ax2d
2y
dx2 +bx
dy
dx +cy= 0. (7.33)
Una vez determinada la funci´on complementaria yc(x) (soluci´on de la EDO homog´enea)
tambi´en podemos resolver la ecuaci´on no homog´enea ax2d2y
dx +bx dy
dx +cy = g(x) con el
m´etodo de variaci´on de par´ametros.
N´otese que, si en (7.33) consideramos la transformaci´onx=ez, resulta que
dy dx = dy dz dz dx = dy dz dx dz
=e−zdy
dz
y
d2y dx2 =
d x (dy dx ) = d dz (
e−zdy dz
)dz
dx =e
−2z(d2y
dz2 −
dy dz ) as´ı que xdy dx = dy dz (7.34) y
x2d
2y
dx2 =
d2y dz2 −
dy
dz (7.35)
Finalmente, aplicando (7.34) y (7.35), la EDO (7.33) se puede escribir como
ad
2y
dz2 + (b−a)
dy
dz +cy = 0
