Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

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Texto completo

(1)

Yoel E. Guti´

errez T.

1.

Introducci´

on

Definici´on 1.1 Una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden es de la forma

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y =g(x), (1.1)

o m´as brevemente

a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y =g(x), (1.2)

donde a2, a1, a0 yg dependen s´olo de x y no de y

1.1.

Problemas de valor inicial y de valor en la frontera

Para una ecuaci´on diferencial lineal, un problema de valor inicial de segundo

orden es

an2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y=g(x)

y(x0) =y0, y′(x0) = y1. (1.3)

Recu´erdese que, para un problema como ´este, se busca una funci´on definida en alg´un

intervaloI que contenga ax0, y satisfaga la ecuaci´on diferencial y las 2 condiciones iniciales

especificadas en x0: y(x0) =y0, y′(x0) = y1.

Teorema 1.1 (Teorema de existencia y unicidad) Seana2(x), a1(x), a0(x)yg(x)

fun-ciones continuas en un intervalo I, y sea a2(x) ̸= 0 para cada x del intervalo. Si x0 es

cualquier punto en I y si y0, y1 son n´umeros arbitrarios, el PVI (1.3) tiene una y s´olo una

soluci´on y(x) en el intervalo I.

Otro tipo de problema es resolver una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden en

la que la variable dependiente y, o sus derivadas, est´an especificadas en puntos distintos.

Un problema como

a2(x)d 2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y=g(x) y(a) =y0, y(b) =y1,

se llama problemas de valores en la frontera. Los valores y(a) = y0 y y(b) = y1,

se denominan condiciones de la frontera. Una soluci´on del problema anterior es una

(2)

funci´on que satisface la ecuaci´on diferencial en alg´un intervalo I que contiene aa y b, cuya

representaci´on gr´afica pasa por los puntos (a, y0) y (b, y1).

Para una ecuaci´on diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera

podr´ıan ser

y′(a) =y0, y(b) = y1

y(a) =y0, y(b) =y1

y′(a) =y0, y′(b) =y1,

en donde y0 y y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones s´olo

son casos especiales de las condiciones generales en la frontera:

α1y(a) +β1y′(a) = λ1

α2y(b) +β2y′(b) =λ2.

Aun cuando se satisfagan las condiciones del Teorema (1.1), un problema de valor en la frontera puede tener muchas soluciones, una o ninguna.

1.2.

Ecuaciones homog´

eneas

Una ecuaci´on lineal de segundo orden de la forma

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y= 0 (1.4)

se llama homog´enea, mientras que

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y=g(x) (1.5)

donde g(x) nos es id´enticamente cero, se llama no homog´enea.

Al estudiar la ecuaci´on no homog´enea (1.5), es necesario considerar a la par la ecuaci´on

homog´enea (1.4). Bajo estas condiciones se habla de (1.5) como una ecuaci´on completa y

de (1.4) como la ecuaci´on reducida asociada a ella.

En el siguiente teorema veremos que la suma o superposici´on de dos o m´as soluciones

de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea tambi´en es una soluci´on.

Teorema 1.2 (Principio de superposici´on, ecuaciones homog´eneas) Si y1, y2, . . . ,

yk son k soluciones de la EDO lineal homog´enea de segundo orden (1.4) en un intervalo I,

la combinaci´on lineal

y(x) = c1y1(x) +c2y2(x) +. . .+ckyk(x)

en dondec1, c2, . . . , ck son constantes arbitrarias, tambi´en es una soluci´on cuandoxest´a en

el intervalo.

N´otese que:

1. Un m´ultiplo constante y(x) = c1y1(x) de una soluci´on y1(x) de una EDO lineal

homog´enea tambi´en es una soluci´on.

(3)

2.

Dependencia e independencia lineal

Definici´on 2.1 Un conjunto de dos funciones f1(x), f2(x) se dice que son linealmente dependientes en un intervalo I si existen dos constantes c1, c2 no todas cero, tales que

para toda x en I

c1f1(x) +c2f2(x) = 0.

En caso contrario se dice que el conjunto es linealmente independiente.

En otras palabras, dos funciones son linealmente independientes en un intervalo si las ´

unicas constantes para las que se cumple

c1f1(x) +c2f2(x) = 0

para toda x en el intervalo sonc1 =c2 = 0.

N´otese que si las dos funciones f1(x) y f2(x), son linealmente dependientes en un

in-tervalo, existen constantes, c1 y c1, que no son cero a la vez, tales que, para toda x en el

intervalo, c1f1(x) +c2f2(x) = 0; por consiguiente, si suponemos que c1 ̸= 0, entonces

f1(x) =

c2

c1

f2(x);

esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es m´ultiplo

constante de la otra. Al rev´es, si f1(x) = c2f2(x) para alguna constante c2, entonces

(1)f1(x) +c2f2(x) = 0

para toda x en alg´un intervalo. As´ı, las funciones son linealmente dependientes porque al

menos unas de las constantes no es cero. Llegamos a la conclusi´on de que dos funciones

son linealmente independientes cuando ninguna es m´ultiplo constante de la

otra en un intervalo. Esto es, el cociente f1(n)

f2(x) no es constante en un intervalo en quef1(x)

y f2(x) son linealmente independientes.

Teorema 2.1 Sean y1, y2 2 soluciones de la ecuaci´on diferencial homog´enea de segundo

orden (1.4), donde a2, a1 y a0 son continuas en alg´un intervalo dado I y a2(x) ̸= 0 para

toda x en I.

1. y1, y2 son linealmente dependientes en I si y s´olo si el Wronskiano dey1, y2 dado por

W(y1, y2) =

y1 y2

y1 y′2

es id´enticamente nulo en el intervalo.

2. y1, y2 son linealmente independientes en I si y s´olo si W(y1, y2) ̸= 0 para cada x en

I.

De acuerdo con el teorema anterior, cuandoy1, y2 son 2 soluciones de la ecuaci´on (1.4)

(4)

Teorema 2.2 (Soluci´on general, ecuaciones homog´eneas) Si y1, y2 son 2soluciones

linealmente independientes de la ecuaci´on (1.4), en un intervalo I, entonces

y =c1y1+c2y2 (2.6)

es una soluci´on de (1.4) para cualesquiera constantes c1, c2, . . . , cn. Rec´ıprocamente, toda

soluci´on de (1.4) tiene la forma (2.6) para selecciones apropiadas de las constantes c1, c2.

Teorema 2.3 (Soluci´on general, ecuaciones no homog´eneas) Si y1, y2 son 2

solu-ciones linealmente independientes de la ecuaci´on (1.4) y yp es una soluci´on particular de

(1.5), donde g es continua en I, entonces

y=c1y1+c2y2+yp (2.7)

es una soluci´on de (1.5) para cualesquiera constantesc1, c2. Rec´ıprocamente, toda soluci´on

de (1.5) tiene la forma (2.7) para selecciones apropiadas de las constantes c1, c2.

Teorema 2.4 (Principio de superposici´on, ecuaciones no homog´eneas) Siypi

rep-resenta una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea de segundo orden

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y=gi(x),

en donde i= 1,2, . . . , k. Entonces

yp =yp1 +yp2 +. . .+ypk

es una soluci´on particular de

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y =g1(x) +g2(x). . .+gk(x).

3.

Uso de una soluci´

on conocida para hallar otra

Al estudiar ecuaciones diferenciales lineales homog´eneas de segundo orden, podemos

formar una segunda soluci´on y2, de

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y= 0 (3.8)

en un intervaloI a partir de una soluci´ony1 no trivial. Buscamos una segunda soluci´ony2,

de la ecuaci´on (3.8) tal quey1 yy2 sean linealmente independientes enI. Recordemos que si

y1yy2son linealmente independientes, su relaci´onyy21 es no constante enI, esto es yy21 =u(x)

o y2 =u(x)y1(x). La idea es determinar la funci´onu(x) sustituyendo y2 =u(x)y1(x) en la

ecuaci´on diferencial dada

Podemos escribir la ecuaci´on diferencial (3.8) de la forma

(5)

donde P y Q son continuas en alg´un intervalo I. Supongamos que y1 es una soluci´on no

nula de (3.9) conocida. La idea b´asica hallar una funci´on u de modo que y2 = uy1 sea

soluci´on de (3.9), as´ı que

y′′2 +P(x)y2 +Q(x)y2 = 0. (3.10)

Sustituyendo

y2 =uy1, y′2 =uy′1+u′y1 e y2′′=uy′′1 + 2u′y1 +u′′y1

en (3.10) y redondeando queda

u(y1′′+P(x)y′1+Q(x)y1) +u′′y1+u′(2y1 +P(x)y1) = 0.

Puesto que y1 es soluci´on de (3.9), eso se reduce a

u′′y1+u′(2y′1+P(x)y1) = 0,

o sea

u′′ u′ =2

y1 y1

P(x).

Integrando obtenemos

lnu′ =2 lny1

P(x)dx,

luego

u′ = 1

y2 1

exp

(

P(x)dx

)

y

u=

1

y2 1

exp

(

P(x)dx

)

dx. (3.11)

S´olo resta mostrar que y1 e y2 = uy1, donde u viene dada por (3.11) son linealmente

independientes.

4.

Ecuaciones lineales homog´

eneas con coeficientes

con-stantes

4.1.

Ecuaciones de segundo orden

Consideremos la ecuaci´on homog´enea

ay′′+by′+cy = 0 (4.12)

en el caso especial en que a, b y cson constantes reales.

Nuestro punto de partida es la propiedad de la funci´on exponencial emx de que sus

derivadas son todas m´ultiplos de la propia funci´on, lo que nos conduce a considerar

(6)

como una posible soluci´on de (4.12) si la constante m se escoge adecuadamente. Como

y′ =memx e y′′=m2emx, sustituyendo en (4.12) vemos que

(am2+bm+c)emx = 0, (4.14)

y puesto que emx nunca se anula cuando x tiene valor real, (4.14) se cumple si y s´olo m

satisface la ecuaci´on

am2+bm+c= 0, (4.15)

llamadaecuaci´on auxiliaroecuaci´on caracter´ıstica de la EDO (4.12). Examinaremos

tres casos: Las soluciones de la ecuaci´on caracter´ıstica que corresponden a ra´ıces reales

distintas, ra´ıces reales e iguales y ra´ıces complejas conjugadas.

Caso 1: Ra´ıces reales distintas.

Si la ecuaci´on (4.15) tiene dos ra´ıces reales distintas,m1 ym2, llegamos a las soluciones

y1 = em1x y y2 = em2x. Estas funciones son linealmente independientes en (−∞,∞), en

consecuencia, la soluci´on general de la ecuaci´on (4.12) en ese intervalo es

y=c1em1x+c2em2x.

Caso 2: Ra´ıces reales e iguales.

Es evidente que las ra´ıces m1 y m2 son iguale si y s´olo si b2 4ac = 0. Ahora s´olo

obtenemos la soluci´ony1 =em1x con m1 =2ba. Sin embargo, es f´acil dar con otra soluci´on

linealmente independiente con el m´etodo de la secci´on anterior. Se tiene que

v =

1

y2 1

exp

(

b adx

)

dx=x.

Luego y2 =xem1x. en esta caso (4.12) tiene a

y=c1em1x+c2xem1x

como su soluci´on general.

Caso 3: Ra´ıces complejas conjugadas.

Si m1 y m2 son complejas se pueden escribir de la forma m1 =α+ y m2 =α−iβ,

don α y β son n´umeros reales; por ello,

y=c1e(α+)x+c2e(α−iβ)x. (4.16)

Sin embargo, en la pr´actica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales

complejas. Con este objeto se usa la f´ormula de Euler:

eiθ = cosθ+isenθ,

en que θ es un n´umero real.

Como (4.16) es una soluci´on de (4.12) para cualquier elecci´on de las constantesc1 y c2,

si c1 =c2 = 1, obtenemos la soluci´on

(7)

y si c1 = 1 yc2 =1, obtenemos la soluci´on

y2 =e(α+)x−e(α−iβ)x =eαx(eiβx−e−iβx) = 2ieαxsen(βx).

En consecuencia,

1

2y1 =e

αxcos(βx) y 1

2iy2 =e

αxsen(βx)

son soluciones de la ecuaci´on (4.12). Adem´as, esas soluciones son linealmente

independi-entes en (−∞,∞); por tanto, la soluci´on general es

y=eαx(c1cos(βx) +c2sen(βx)).

5.

Coeficientes indeterminados, m´

etodo de la

super-posici´

on

En esta secci´on se desarrolla el m´etodo de los coeficientes indeterminados a partir del

principio de superposici´on para ecuaciones diferenciales no homog´eneas.

Para encontrar la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea de

segundo orden

a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y=g(x) (5.17)

debemos pasar por dos etapas:

1. Determinar la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada, yc.

2. Establecer cualquier soluci´on particular, yp, de la ecuaci´on no homog´enea.

Entonces, la soluci´on general de (5.17) en un intervalo esy =yc+yp.

Hay muchos m´etodos por medio de los cuales se pueden obtener soluciones particulares.

Un m´etodo a menudo usado en F´ısica e Ingenier´ıa es el m´etodo de los coeficientes

indeterminados. La idea b´asica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la

forma de yp originada por los tipos de funciones que forman el dato g(x). El m´etodo

es b´asicamente directo, pero est´a limitado a ecuaciones lineales no homog´eneas, como la

ecuaci´on (5.17), en que:

1. Los coeficientes a2, a1, a0 son constantes.

2. g(x) es una funci´on polinomial, una funci´on exponencial erx donde r es constante,

una funci´on seno o coseno como senrx, cosrx, o sumas y productos finitos de estas

funciones.

A continuaci´on mostramos la forma de yp originada por los tipos de funciones que

forman el dato g(x):

(8)

2. Para t´erminos senrx, cosrx, o sumas o diferencias de tales t´erminos, asumaAsenrx+

Bcosrx.

3. Para t´erminos como erx, asuma Aerx.

4. Si algunos de los t´erminos asumidos ocurre en la soluci´on complementaria, debemos

multiplicar estos t´erminos asumidos por una potencia de x suficientemente alta de

modo que ninguno de los t´erminos asumidos aparezca en la soluci´on complementaria.

En el caso de que el lado derecho de la ecuaci´on (5.17) contenga productos de t´erminos

como senrx, cosrx, erx y polinomios, se puede a´un usar el m´etodo de los coeficientes

indeterminados, pero ´este puede llegar a ser dif´ıcil de manejar y perder su atractivo. Para

este caso, La forma de yp es una combinaci´on lineal de todas las funciones linealmente

independientes generadas por diferenciaciones repetidas de g(x).

6.

Variaci´

on de par´

ametros

La t´ecnica usada en la secci´on anterior para determinar una soluci´on particular de la

ecuaci´on

a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y =g(x), (6.18)

tiene dos serias limitaciones: puede usarse s´olo cuando los coeficientes a2, a1 y a0 son

constantes, e incluso entonces s´olo funciona si el t´ermino de la derecha g(x) tiene una

forma particularmente sencilla. Dentro de estas limitaciones, ese m´etodo suele ser el m´as

simple de aplicar.

Ahora desarrollaremos otro m´etodo m´as potente que funciona siempre, sean cuales sean

a2, a1 y a0 y g(x), y supuesto s´olo que la soluci´on general de la correspondiente ecuaci´on

homog´enea

a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y = 0, (6.19)

se conoce de antemano. Para aplicar el m´etodo de variaci´on de par´ametros a la EDO (6.18),

la escribimos de la forma

y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x) (6.20)

Las ecuaciones (6.18) y (6.20) son an´alogas. Suponemos queP(x), Q(x) y f(x) son

contin-uas en alg´un intervaloI, y que se ha encontrado de alg´un modo la soluci´on general

y=c1y1(x) +c2y2(x) (6.21)

de (6.19), la cual es an´aloga a la soluci´on general de la EDO homog´enea

y′′+P(x)y′+Q(x)y= 0 (6.22)

A fin de hallar una soluci´on particular,yp, de la EDO (6.20), sustituimos las constantes

c1 y c2 en (6.21)por funciones desconocidas v1(x) y v2(x) e intentamos hallar v1 y v2 de

manera tal que

(9)

sea soluci´on de (6.20). Para encontrar las dos funciones desconocidas, empecemos

calcu-lando la derivada de yp, obtenemos:

y′p = (v1y1 +v2y2) + (v1′y1+v2′y2). (6.24)

Otra derivaci´on introducir´ıa segundas derivadas de las inc´ognitas v1 y v2. Evitamos esa

complicaci´on exigiendo que

v′1y1+v′2y2 = 0. (6.25)

Esto da

yp =v1y1 +v2y2′. (6.26)

As´ı que

y′′p =v1y′′1 +v1′y1 +v2y′′2 +v2′y′2. (6.27)

Sustituyendo (6.23), (6.26) y (6.27) en (6.20) y reordenando se llega a

v1[y1′′+P y′1+Qy1] +v2[y′′2 +P y′2+Qy2] +v1′y′1+v2′y′2 =f(x). (6.28)

Comoy1 ey2 son soluciones de (6.22), las dos expresiones entre par´entesis son cero, y (6.28)

queda de la forma

v1′y′1+v′2y′2 =f(x). (6.29)

Teniendo en cuenta (6.25) y(6.29) conjuntamente tenemos dos ecuaciones con dos inc´

ogni-tas v1 y v2

v1′y1 + v′2y2 = 0

v1′y′1 + v2′y2 = f(x),

cuya soluci´on es

v1 = y2f(x)

W(y1, y2)

y v2 = y1f(x)

W(y1, y2)

. (6.30)

Hay que hacer notar que estas f´ormulas son leg´ıtimas, ya que el Wronskiano de los

denom-inadores es no nulos por la independencia lineal de y1 y y2. Lo queda por hacer es integrar

(6.30) para hallar v1 y v2.

v1 =

y2f(x)

W(y1, y2)

dx y v2 =

y1f(x)

W(y1, y2)

dx. (6.31)

Resumiendo toda la informaci´on podemos afirmar que

yp =y1

(

y2f(x)

W(y1, y2)

dx

)

+y2

y1f(x)

W(y1, y2)

dx (6.32)

(10)

7.

Ecuaci´

on de Euler de segundo orden

Son ecuaciones diferenciales lineales de la forma

ax2d

2y

dx2 +bx

dy

dx +cy=g(x),

donde los coeficientes a, b y cson constantes.

Esta ecuaciones pueden ser resueltas por la transformaci´on x= ez. Para ver esto

con-sideremos la ecuaci´on homog´enea asociada de segundo orden

ax2d

2y

dx2 +bx

dy

dx +cy= 0. (7.33)

Una vez determinada la funci´on complementaria yc(x) (soluci´on de la EDO homog´enea)

tambi´en podemos resolver la ecuaci´on no homog´enea ax2d2y

dx +bx dy

dx +cy = g(x) con el

m´etodo de variaci´on de par´ametros.

N´otese que, si en (7.33) consideramos la transformaci´onx=ez, resulta que

dy dx = dy dz dz dx = dy dz dx dz

=e−zdy

dz

y

d2y dx2 =

d x (dy dx ) = d dz (

e−zdy dz

)dz

dx =e

2z(d2y

dz2

dy dz ) as´ı que xdy dx = dy dz (7.34) y

x2d

2y

dx2 =

d2y dz2

dy

dz (7.35)

Finalmente, aplicando (7.34) y (7.35), la EDO (7.33) se puede escribir como

ad

2y

dz2 + (b−a)

dy

dz +cy = 0

Figure

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