Integraci´ on de ecuaciones diferenciales mediante simetr´ıas

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UNIVERSIDAD DE SALAMANCA GRADO EN MATEM ´ ATICAS

Integraci´ on de ecuaciones diferenciales mediante simetr´ıas

Autor: Javier Fern´ andez Ros´ on

Tutor: Prof. D. Jes´ us Rodr´ıguez Lombardero

2021

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UNIVERSIDAD DE SALAMANCA GRADO EN MATEM ´ ATICAS

Integraci´ on de ecuaciones diferenciales mediante simetr´ıas

Autor

Javier Fern´ andez Ros´ on

Tutor

Prof. D. Jes´ us Rodr´ıguez Lombardero

2021

RODRIGUEZ LOMBARDE RO JESUS - DNI

10053935Z

Firmado digitalmente por RODRIGUEZ LOMBARDERO JESUS - DNI 10053935Z Fecha: 2021.07.07 10:22:02 +02'00'

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´ Indice general

Introducci´on 1

1. Conceptos b´asicos 4

1.1. Grupos uniparam´etricos . . . 4

1.2. Acciones de grupos de Lie . . . 6

2. Espacios de jets de curvas planas 12 2.1. Prolongaci´on de curvas . . . 13

2.2. Prolongaci´on de automorfismos diferenciables . . . 15

2.2.1. C´alculo en coordenadas . . . 15

2.3. Prolongaci´on de campos tangentes . . . 17

3. Simetr´ıas de Lie 21 3.1. Definici´on y propiedades b´asicas . . . 21

3.2. C´omo encontrarlas . . . 23

3.2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden . . . 24

3.2.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden . . . 25

3.2.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior . . . 27

3.3. C´omo usarlas . . . 27

3.3.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten una simetr´ıa . . . . 28

3.3.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten un grupo bipa- ram´etrico de simetr´ıas . . . 36

3.3.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten un grupo r-param´etrico de simetr´ıas . . . 41

4. λ-Simetr´ıas 45 4.1. Definici´on y propiedades b´asicas . . . 45

4.2. Reducci´on de orden . . . 47

5. Conclusiones 50

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Introducci´ on

El campo de las ecuaciones diferenciales es tan interesante como extenso. A lo largo de la historia, numerosos matemáticos y f´ısicos han ido desarrollando métodos para resolver dichas ecuaciones, dándonos en la actualidad una gran capacidad para abordar y resolver problemas de todo tipo. Sin embargo, dado el gran espectro de métodos de resolución, muy diferentes en apariencia dependiendo del orden de la ecuación o la forma en la que esté expresada, podr´ıa parecer que las ecuaciones diferenciales se clasifican en distintos tipos sin relación entre s´ı, cada uno de ellos con su propio método de resolución.

El objetivo de este trabajo es introducir las simetr´ıas como método de resolución de ecuaciones diferenciales. Por definición, una simetr´ıa de una ecuación es un automorfismo de una variedad que tiene la propiedad de transformar soluciones en soluciones. Las simetr´ıas tienen la capacidad de transformar ecuaciones diferenciales que no pueden inte- grarse mediante los métodos de resolución conocidos, en otras ecuaciones más sencillas y de orden menor. También explican muchos de los métodos clásicos de resolución.

Las simetr´ıas fueron introducidas en el estudio de las ecuaciones diferenciales por el matemático noruego Sophus Lie (1842-1899) a finales del siglo XIX. El principal est´ımulo de Lie en la creación de esta teor´ıa fue su deseo de desarrollar un método que resolviera ecuaciones diferenciales por cuadraturas, análogo a la teor´ıa de Galois, que resolv´ıa ecuaciones algebraicas por radicales. Por aquella época, en torno a 1800, uno de los problemas importantes que se trataba era la búsqueda de una fórmula que expresara las ra´ıces de un polinomio de grado 5 en función de los coeficientes del mismo. Galois indicó que el estudio de las ra´ıces de un polinomio debe efectuarse a través de las permutaciones del conjunto de ra´ıces. El conjunto de tales permutaciones se llama grupo de Galois. En relación con la búsqueda de una fórmula para las ra´ıces de un polinomio (de grado arbitrario), Galois probó que tal fórmula existe si, y sólo si, el grupo de Galois del polinomio es un grupo resoluble.

Volviendo a la teor´ıa de Lie, su motivación inicial para considerar los grupos de Lie fue imaginar que estos grupos desempeñar´ıan un papel análogo al de los grupos de Galois, pero para soluciones de ecuaciones diferenciales. En efecto, Lie consideró sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de primer orden y determinó bajo qué condiciones sus soluciones pueden calcularse a partir de los coeficientes por medio de operaciones ele- mentales, exponenciación y cálculo de primitivas. Concretamente, pensemos cada solución del sistema como una curva en un espacio vectorial adecuado. Lie asoció a cada sistema un grupo, llamado el “grupo de Lie de la ecuación”, formado por los difeomorfismos del espacio vectorial que transforman una curva solución del sistema en otra curva solución.

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Entonces probó que las soluciones pueden calcularse a partir de los coeficientes del modo indicado si, y sólo si, el grupo de Lie de la ecuación es resoluble de dimensión no dema- siado pequeña respecto del sistema. Nótese la semejanza entre los resultados de Galois y Lie.

Sin embargo, aunque Lie asoció a cada ecuación diferencial un grupo de transformaciones, su método —que le permit´ıa resolver una ecuación diferencial por cuadraturas—, part´ıa de un grupo, para el que encontraba todas las ecuaciones diferenciables que “se resolv´ıan con el grupo”, al contrario de lo que se hace en la teor´ıa de Galois, donde se parte de la ecuación algebraica y a ella se le asocia un grupo.

Antes de meternos en materia, es necesario exponer una serie de conceptos y resultados que nos ayudarán a entender mejor cómo funcionan las simetr´ıas. En el primer cap´ıtulo introduciremos el concepto de grupo uniparamétrico y generador infinitesimal.

También definiremos los grupos y álgebras de Lie, y dejaremos claro lo que es una acción y un grupo de transformaciones de una variedad. En la elaboración de este cap´ıtulo nos hemos basado en (Lee, 2013) y (Nomizu, 1956).

El segundo cap´ıtulo lo dedicaremos a calcular las prolongaciones de transformaciones finitas e infinitesimales mediante el cálculo en coordenadas para el espacio de jets de curvas planas, que definiremos previamente. El método de resolución de ecuaciones mediante simetr´ıas que Sophus Lie desarrolló, se apoya en la importancia de prolongar la acción de un grupo al espacio de las derivadas de las variables dependientes de la ecuación. La fórmula de prolongación para un generador infinitesimal de un grupo de transformaciones (Olver, 1993, p. 110) proporciona la base para la determinación sistemática de grupos de simetr´ıas de ecuaciones diferenciales.

El tercer cap´ıtulo lo dedicaremos enteramente a las simetr´ıas de Lie. Las definiremos, veremos cómo encontrarlas y, por último, cómo usarlas. A la hora de buscar las simetr´ıas, haremos distinción entre las ecuaciones de primer orden, segundo orden y orden superior.

También haremos una distinción a la hora de ver cómo se usan, en función del número de simetr´ıas que tenga la ecuación. Definiremos qué son las álgebras de Lie resolubles y veremos el important´ısimo papel que juegan a la hora de resolver ecuaciones que admiten más de una simetr´ıa. Los resultados y aportaciones de Peter John Olver y Hans Stephani a las simetr´ıas son en gran medida lo que nos ha permitido elaborar este cap´ıtulo; ver (Olver, 1993) y (Stephani, 1989).

Por último, en el cuarto cap´ıtulo hablaremos de unas simetr´ıas distintas a las de Lie, las λ-simetr´ıas. Estas simetr´ıas satisfarán una nueva fórmula de prolongación y nos ayudarán a reducir el orden de ecuaciones diferenciales que carecen de simetr´ıas de Lie.

Este cap´ıtulo est´a enteramente basado en el art´ıculo (Muriel, Romero, 2001).

Todo el estudio irá acompañado de varios ejemplos espec´ıficos para facilitar una mejor comprensión del contenido. Por no recargar la exposición y tener que estar especi-

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fic´andolo continuamente a lo largo del trabajo, todos los resultados que se van a obtener son locales.

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1 Conceptos b´ asicos

Antes de empezar con el estudio de este nuevo método de resolución de ecuaciones, ne- cesitamos tener claros ciertos conceptos sin los cuales no podr´ıamos realizar un correcto estudio de las simetr´ıas. Las nociones de grupo uniparamétrico y generador infinitesimal van a aparecer continuamente en esta exposición, y por ello hay que definirlos cuidadosa- mente, acompañándolos de algún ejemplo en el caso de que fuese necesario.

Por otro lado, dado que vamos a dedicar el tercer cap´ıtulo a las simetr´ıas de Lie, es lógico definir detalladamente los grupos y álgebras introducidos por este pretigioso matemático en el siglo XIX. Un grupo de Lie es una variedad diferenciable dotado de estructura de grupo de modo que la operación de multiplicación y la aplicación de paso al inverso son diferenciables. Si tenemos un grupo de Lie actuando sobre una variedad decimos que es un grupo de transformaciones y en este contexto, un álgebra de Lie de un grupo de Lie puede entenderse como un espacio vectorial de campos tangentes al grupo de Lie invariantes por traslaciones a la izquierda.

En este primer cap´ıtulo las demostraciones de algunos detalles se omiten, pudiendo encontrarlas en (Lee, 2013) o (Nomizu, 1956).

1.1. Grupos uniparam´ etricos

Cuando tratamos con ecuaciones diferenciales ordinarias, se intenta muy a menudo sim- plificar la ecuaci´on con un cambio apropiado de variables, mediante una transformaci´on de la variable independiente x y de la variable dependiente y,

˜

x = ˜x(x, y), y = ˜˜ y(x, y),

Llamamos a esto una transformaci´on puntual. En el contexto de las simetr´ıas tenemos que considerar transformaciones puntuales que dependan al menos de un par´ametro arbitrario

,

˜

x = ˜x(x, y; ), y = ˜˜ y(x, y; ),

Definici´on 1.1. Un grupo uniparam´etrico de automorfismos diferenciables en una varie- 4

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1.1. GRUPOS UNIPARAM ´ETRICOS 5

dad diferenciable V , es una acci´on de G = (R, +) en V , es decir, es una aplicaci´on ϕ : R × V −→ V

(t, x) 7−→ ϕ(t, x) = τ_t(x) diferenciable y es una acci´on en el sentido de que:

1. τ0 = Id 2. τ_s· τ_t= τ_s+t

siendo τt: V −→ V un difeomorfismo. El grupo lo denotaremos {τt}_t∈R.

Definici´on 1.2. El generador infinitesimal de {τ_t} es el campo tangente X en V , X : C^∞(V ) −→

C^∞(V ) cuyo valor en cada p ∈ V es el vector X_p definido como:

X_pf = l´ım

t→0

f (τ_tp) − f (p)

t = df (τ_tp) dt

t=0

Veamos un par de ejemplos para ver c´omo se calculan estos generadores:

Ejemplos 1.3.

1) Traslaciones: τt(x, y) = (x + t, y). Tomamos un punto p arbitrario y escribimos la f´ormula genaral del generador infinitesimal

p = (a, b), X_p = X_p(x) ∂

∂x

p

+ X_p(y) ∂

∂y

p

La ´orbita del punto p es

τ_tp = (a + t, b) Entonces,

Xpx = l´ım

t→0

x(a + t, b) − x(a, b)

t = l´ım

t→0

a + t − a

t = 1

Xpy = l´ım

t→0

y(a + t, b) − y(a, b)

t = l´ım

t→0

b − b t = 0 Y por lo tanto el generador infinitesimal nos quedar´ıa

X = ∂

∂x

2) Homotecias (de centro origen):. τ_t(x, y) = (e^tx, e^ty). Tomando el mismo p como

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6 1. CONCEPTOS B ´ASICOS

punto arbitrario y procediendo de manera an´aloga al ejemplo anterior, tendr´ıamos τ_t(a, b) = (e^ta, e^tb)

X_px = l´ım

t→0

e^ta − a

t = a = x(p) X_py = l´ım

t→0

e^tb − b

t = b = y(p) Y por consiguiente el generador infinitesimal ser´a

X = x ∂

∂x + y ∂

∂y

Hemos visto que podemos asociar a cada grupo uniparam´etrico de automorfismos un campo tangente, a saber, su generador infinitesimal.

{τ_t}_t∈R−→ X

Pero, ¿qué ocurre al revés? ¿todo campo tangente en una variedad es el generador infinitesimal de algún grupo uniparamétrico de automorfismos?

X −→ {τ_t}_t∈R

La respuesta a esta cuesti´on es que si la variedad diferenciable V es compacta, existe una correspondencia biun´ıvoca entre los grupos uniparam´etricos y los campos tangentes a V .

{grupos uniparam´etricos} ←→X (V )

Si V no es compacta y X es un campo tangente en V , existe una funci´on diferenciable h ∈ C^∞(V ), h ≥ 0 tal que h · D es el generador diferencial de un grupo uniparam´etrico.

V´ease (Mu˜noz, 1982).

1.2. Acciones de grupos de Lie

Definici´on 1.4. Un grupo de Lie es una variedad diferenciable G dotada de una estructura de grupo de modo que la aplicaci´on

G × G −→ G

(g, h) 7−→ g · h⁻¹ es diferenciable.

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1.2. ACCIONES DE GRUPOS DE LIE 7

De aqu´ı se deduce, tomando g = e como el elemento neutro de G, que la aplicaci´on

G −→ G

h 7−→ h⁻¹

es diferenciable, y de aqu´ı, junto con la definición, se deduce que la operación de multi- plicación

G × G −→ G

(g, h) 7−→ g · h tambi´en es diferenciable.

Ejemplos 1.5.

1) (R, +). La suma y el paso al opuesto son operaciones diferenciables.

2) El grupo de automorfismos lineales de Rⁿ, Gl(n, R), es el conjunto de matrices n × n invertibles con valores reales. Es un grupo bajo la multiplicaci´on de matrices. La multiplicaci´on es diferenciable porque los valores de una matriz producto AB son polinomios en los valores de A y B.

Definición 1.6. Sea V una variedad diferenciable, una acción de un grupo de Lie G en V por la izquierda es una aplicación diferenciable

ϕ : G × V −→ V

(g, x) 7−→ ϕ(g, x) = g · x que verifica las siguientes condiciones:

1. e · x = x ∀x ∈ V

2. g(h · x) = (g · h)x ∀x ∈ V, ∀g, h ∈ G

Por otro lado, si un grupo de Lie G act´ua sobre V , se dice que G es un grupo de transformaciones de V .

De la definci´on se deduce que para cada g ∈ G, la aplicaci´on τ_g: V −→ V

x 7−→ g · x

es un automorfismo diferenciable de V . Si denotamos Aut(V ) al grupo de los automorfismos diferenciables de V , la aplicaci´on

φ : G −→ Aut(V ) g 7−→ τ_g

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es un morfismo de grupos. Análogamente a la definición anterior, una acción de un grupo de Lie G en una variedad diferenciable V por la derecha es una aplicación diferenciable

ϕ : V × G −→ V

(x, g) 7−→ ϕ(x, g) = x · g que verifica las siguientes condiciones:

1. x · e = x ∀x ∈ V

2. (x · g)h = x(g · h) ∀x ∈ V, ∀g, h ∈ G

En lo sucesivo consideraremos acciones por la izquierda.

Definición 1.7. Si ϕ es una acción de G en V y x ∈ V , la órbita de x está definida por Orb(x) = {g · x | g ∈ G} ⊂ V

y es el conjunto de todas las im´agenes de x bajo la acci´on de elementos de G.

Definici´on 1.8. Si ϕ es una acci´on de G en V y x ∈ V , el grupo de isotrop´ıa de ϕ en x es el conjunto de elementos de G que dejan fijo el x.

G_x: = {g ∈ G | g · x = x} ⊂ G

Una acci´on de G en V puede ser:

Transitiva: Si la ´unica ´orbita que hay es todo V o equivalentemente, si para todo par de puntos x, y ∈ V , existe un g ∈ G tal que g · x = y.

Fiel: Si el n´ucleo de la acci´on es trivial, es decir, si el elemento neutro de G es el

´

unico que act´ua trivialmente sobre todo punto de V . Esto es equivalente a que el homomorfismo g −→ τg sea inyectivo.

Libre: Si el único elemento de G que deja fijo algún elemento de V es la identidad, es decir, si g · x = x para algún x ∈ V entonces g = e , o equivalentemente, si todo grupo de isotrop´ıa es trivial, G_x = {e} ∀x ∈ X.

Ejemplos 1.9.

1) El grupo de rotaciones SO(3) actúa sobre R³ mediante (A, x) 7−→ Ax. Esta acción deja invariante la esfera S², as´ı que la misma fórmula define una acción de SO(3) en S².

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2) Si G es un grupo de Lie y V es una variedad diferenciable, la acción trivial de G en V está definida por g · p = p ∀g ∈ G, ∀p ∈ V . Es una acción diferenciable para la cual cada órbita es un solo punto y cada grupo de isotrop´ıa es todo G.

3) La acción natural de Gl(n, R) en Rⁿ es una acción por la izquierda con el producto de matrices (A, x) 7−→ Ax, considerando x ∈ Rⁿ como una matriz columna. Esto es una acción porque Inx = x y el producto de matrices es asociativo: (AB)x = A(Bx).

Es diferenciable porque los componentes de Ax dependen polinómicamente de los valores de la matriz A y de los componentes de x. Debido a que cualquier vector distinto de cero puede llevarse a cualquier otro mediante alguna transformación lineal invertible, hay exactamente dos órbitas: {0} y Rⁿr {0}.

4) Todo grupo de Lie G act´ua sobre s´ı mismo por conjugaci´on: g · h = ghg⁻¹.

Definición 1.10. Sea V una variedad diferenciable y G un grupo de Lie de dimensión r. Un grupo r-paramétrico de automorfismos de V , con G como grupo de parámetros, es una acción de G en V tal que el grupo

{g ∈ G | τ_g = Id}

es un subgrupo discreto de G.

Sea G un grupo de Lie; para cada elemento g ∈ G se definen las operaciones de traslaci´on a la izquierda (L_g) y traslaci´on a la derecha (R_g) en G como

L_g: G −→ G h 7−→ g · h R_g: G −→ G

h 7−→ h · g

Para cada vector tangente A_e ∈ T_eG se define un campo tangente A en G cuyo valor en cada punto g ∈ G es

A_g = L⁰_gA_e

donde L⁰_g: T_eG −→ T_gG es la aplicaci´on lineal tangente a L_g. Se puede probar que el campo A es diferenciable (Lee, 2013) y adem´as es invariante por traslaciones a la izquierda ya que

(L⁰_hA)_g = L⁰_hA_h⁻¹_g = L⁰_h◦ L⁰_h−1gA_e = L⁰_gA_e= A_g

Obviamente, todo campo tangente en G invariante por traslaciones a la izquierda se obtiene de este modo, luego el espacio vectorial de los campos tangentes en G invariantes por traslaciones a la izquierda es isomorfo a T_eG.

Definici´on 1.11. Sean X e Y dos campos vectoriales. Llamaremos par´entesis o corchete de Lie al operador [X, Y ] : C^∞(V ) −→ C^∞(V ) definido por

[X, Y ]f = XY f − Y Xf

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Proposición 1.12 (Propiedades del paréntesis de Lie). El paréntesis de Lie satisface las siguientes propiedades para todo X, Y, Z ∈X (V ):

1) Bilinealidad: Para a, b ∈ R,

[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z]

[Z, aX + bY ] = a[Z, X] + b[Z, Y ] 2) Antisimetr´ıa:

[X, Y ] = −[Y, X]

3) Identidad de Jacobi:

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0

Demostraci´on: (Lee, 2013, p. 188)

Si A y B son campos tangentes invariantes por traslaciones a la izquierda, tambi´en lo es [A, B], puesto que los automorfismos de V dejan estable el par´entesis de Lie.

Definición 1.13. Un espacio vectorial dotado de un “producto”que verifica las tres propiedades de la proposición anterior es lo que se llama un álgebra de Lie.

Ejemplos 1.14.

1) El espacio X (V ) de todos los campos tangentes a V es un ´algebra de Lie con el par´entesis de Lie.

2) Si G es un grupo de Lie, el conjunto de todos los campos vectoriales diferenciables e invariantes por traslaciones a la izquierda es una sub´algebra de Lie del ´algebra de los campos tangentes en G.

3) El espacio vectorial de las matrices n×n, M (n, R) es un ´algebra de Lie n²-dimensional con el par´entesis:

[A, B] = AB − BA

La bilinealidad y la antisimetr´ıa son obvias, y la identidad de Jacobi se demuestra siguiendo un cálculo sencillo. Este álgebra de Lie es preciasamente el álgebra de Lie del grupo lineal Gl(n, R), as´ı que lo denotaremos gl(n, R).

Lo que hemos definido antes son las álgebras de Lie en general. Para este trabajo necesi- tamos una definición más, la de álgebra de Lie de un grupo de Lie. Estas álgebras serán las que usaremos en esta exposición y que definimos a continuación.

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Definición 1.15. El espacio vectorial de los campos tangentes a G invariantes por traslaciones a la izquierda, dotado del paréntesis de Lie como producto, se llama álgebra de Lie de G y se denota g.

Como ya sabemos, cada grupo uniparam´etrico de automorfismos de una variedad diferenciable V , determina un campo tangente en V , el generador infinitesimal del grupo.

Análogamente, cada grupo r-paramétrico de automorfismos de V determina un álgebra de Lie r-dimensional de campos tangentes en V del modo siguiente:

Para cada punto x ∈ V definimos la aplicaci´on ϕ_x: G −→ V

g 7−→ g · x

Esta aplicaci´on es diferenciable. Consideremos ahora la aplicaci´on lineal tangente en e ∈ G (ϕ_x)⁰_e: T_eG −→ T_xV

Para cada vector tangente A_e ∈ T_eG definimos Xx = (ϕx)⁰_eAe

El campo de vectores X, cuyo valor en cada punto x ∈ V es X_x, es diferenciable. De este modo, al variar x, asociamos al vector A_e un campo tangente X en V . Como T_eG es isomorfo al álgebra de Lie de G, hemos asociado a cada campo A ∈ g un campo tangente en V . Esta aplicación establece una biyección entre g y una subálgebra de Lie r-dimensional de X (V ).

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2 Espacios de jets de curvas pla- nas

El método de resolución de ecuaciones diferenciales que vamos a estudiar en esta expo- sición, se basa en entender una ecuación diferencial como una subvariedad de un espacio de jets, coordenado localmente por las variables independientes, las funciones incógnitas y las derivadas de éstas hasta cierto orden. Aunque existe una teor´ıa análoga para una variedad diferenciable V cualquiera, en este trabajo nos vamos a centrar en las curvas planas. As´ı que a partir de ahora, nuestros cálculos y resultados, as´ı como las proposiciones y los teoremas, van a estar restringidos a los jets de estas curvas.

Por otro lado, aqu´ı s´olo nos vamos a ocupar de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, esta teor´ıa se puede generalizar a jets de subvariedades de dimensi´on mayor, lo que nos permitir´ıa estudiar los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales.

Una simetr´ıa de una ecuaci´on diferencial ordinaria es un automorfismo de R² que transforma soluciones en soluciones. Estas simetr´ıas se pueden prolongar al espacio de los jets y dejan invariante la ecuaci´on. Sin embargo, es complicado calcular las simetr´ıas puntuales.

Lo que realmente da operatividad a la teor´ıa son las simetr´ıas infinitesimales, que son m´as f´aciles de calcular.

Definición 2.1. Dada la proyección regular π : V −→ W entre variedades, una sección de π es una aplicación diferenciable s : W −→ V tal que su composición con π es la identidad, π ◦ s = Id_W. En particular, dada la proyección

π : R² −→ R

(x, y) 7−→ π(x, y) = x

una secci´on de π es una aplicaci´on diferenciable s : R −→ R² tal que π ◦ s = Id_R, luego ha de ser de la forma

s : R −→ R²

x 7−→ s(x) = (x, ϕ(x)) donde ϕ : R −→ R es una aplicaci´on diferenciable.

Dadas dos secciones s₁ y s₂ de π, diremos que tienen el mismo jet de orden k en un 12

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2.1. PROLONGACI ´ON DE CURVAS 13

punto a ∈ R si sus desarrollos de Taylor de orden k en a coinciden. Si s1(x) = (x, ϕ(x)) y s₂ = (x, ψ(x)) esto se traduce en que

ϕ^(h)(a) = ψ^(h)(a) 0 ≤ h ≤ k

La relaci´on “tener el mismo jet de orden k en a” es de equivalencia y a la clase de equivalencia de s la llamamos jet de orden k de s en a y la denotamos j_a^ks.

A los jets de curvas planas los denotaremos

J^k(R²) = J^k(R²/R) ≡ {jets de orden k de curvas planas}

Estos jets son una variedad localmente isomorfa a R^k+2con coordenadas locales {x, y, y₁, . . . , y_k}.

Estas coordenadas se definen de la siguiente manera: Si tenemos una secci´on s de la forma s(x) = (x, ϕ(x)), entonces:

x(j_a^ks) = x(a), y(j_a^ks) = ϕ(a), y₁(j_a^ks) = ϕ⁰(a),

...

y_h(j_a^ks) = ϕ^(h)(a)

Es decir, a x le asociamos su valor en el punto a, a y le asociamos el valor de ϕ en a, y a cada y_k le asociamos el valor de la derivada h-´esima de ϕ en a ∀h = 1, . . . , k.

El estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la noción de solución y todos los demás conceptos se basa en la geometr´ıa de los espacios de jets.

2.1. Prolongaci´ on de curvas

Definición 2.2. Dada una sección s de π : R² −→ R, se define la extensión k-jet s, j^ks, como la aplicación que a cada punto a le asocia el jet de orden k de s en a:

j^ks : R −→ J^k(R²) a 7−→ j_a^ks

Si la secci´on s es de la forma s(x) = (x, ϕ(x)), entonces j^ks = (x, ϕ(x), ϕ⁰(x), . . . , ϕ^(k)(x)).

Por otro lado, si tenemos una curva L ≡ {y = ϕ(x)} que es la gr´afica de s, entonces su prolongaci´on

J^k(L) ≡ {y = ϕ(x), y1 = ϕ⁰(x), . . . , yk= ϕ^(k)(x)}

es la gr´afica de la aplicaci´on j^ks.

Definici´on 2.3. El sistema de contacto en J^k(R²), denotado Ω(J^k(R²)), es el sistema de Pfaff cuyas 1-formas se anulan sobre las prolongaciones de curvas j^ks.

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14 2. ESPACIOS DE JETS DE CURVAS PLANAS

Si tenemos la curva L ≡ {y = ϕ(x)}, su prolongaci´on ser´ıa:

J^k(L) = {y = ϕ(x), y1 = ϕ⁰(x), . . . , yk = ϕ^(k)(x)}

Un campo tangente a la prolongaci´on J^k(L) es el siguiente:

X = ∂

∂x + ϕ⁰(x) ∂

∂y₁ + . . . + ϕ^(k)(x) ∂

∂y_k−1 Por tanto las 1-formas

ω₀ = dy − y₁dx, ω₁ = dy₁− y₂dx,

...

ω_k−1 = dy_k−1− y_kdx

se anulan sobre J^k(L) y, como esto es cierto para todas las curvas, generan el sistema de contacto Ω(J^k(R²)).

La distribución de Cartan está formada por los campos incidentes con el sistema de contacto. En J^k(R²) está generado por:

∂^(k)= ∂

∂x + y₁ ∂

∂y + . . . + y_k ∂

∂y_k−1, ∂

∂y_k

∂^k = d^k

dx^k = derivada total

Se le llama derivada total porque si tenemos una curva L ≡ {y = ϕ(x)} y tenemos la prolongación J^k−1(L) = {y = ϕ(x), y₁ = ϕ⁰(x), . . . , y_k−1 = ϕ^(k−1)(x)}, entonces si se restringe una función f ∈ C^∞(J^k−1(R²)) a dicha prolongación y se deriva respecto de x, se obtiene la derivada total de f restringida a la prolongación de orden k de la curva, J^k(L). Esta derivada se calcula aplicando la regla de la cadena.

df |_Jk−1(L)

dx = ∂f

∂x + ϕ⁰(x)∂f

∂y₁ + . . . + ϕ^(k)(x) ∂f

∂y_k−1 = ∂^kf ) J^k(L)

Sea f ∈ C^∞(J^k−1(R²)); usando las 1-formas que generaban el sistema de contacto df = ∂f

∂xdx + ∂f

∂ydy + . . . + ∂f

∂yk−1

dy_k−1 = ∂f

∂xdx +∂f

∂y(ω₀+ y₁dx)+

+ . . . + ∂f

∂y_k−1(ω_k−1+ y_kdx) = ∂^(k)f · dx +

k−1

X

l=0

∂f

∂y_l · ω_l

(18)

2.2. PROLONGACI ´ON DE AUTOMORFISMOS DIFERENCIABLES 15

2.2. Prolongaci´ on de automorfismos diferenciables

Definici´on 2.4. Sea σ : R² −→ R² un automorfismo diferenciable. Se define su prolongaci´on de orden k la siguiente manera:

σ^(k): J^k(R²) −→ J^k(R²)

j_a^ks 7−→ σ^(k)(j_a^ks) = j_a^k(σ ◦ s) Se puede probar que esta definici´on no depende de la secci´on s elegida.

Proposición 2.5. Sea σ : R² −→ R² un automorfismo diferenciable. Entonces su prolon- gación de orden k es el único automorfismo diferenciable que verifica:

1. Se proyecta sobre σ, es decir, el siguiente diagrama es conmutativo.

J^k(R²) ^σ^(k) ^//

J^k(R²)

R² σ //R²

2. Deja estable el sistema de contacto: σ^(k)∗(Ω(J^k(R²))) ⊆ (Ω(J^k(R²))).

Demostración: Sea L una curva. Por como está definido, σ^(k) transforma la prolonga- ción de orden k de dicha curva en la prolongación de orden k de σ(L)

σ^(k)(J^k(L)) = J^k(σ(L))

es decir, σ^(k) transforma prolongaciones de curvas en prolongaciones de curvas. Por tanto, si tenemos una forma de contacto ω ∈ Ω, como ésta se anula sobre las prolongaciones de cualquier curva (por definición de sistema de contacto), entonces σ^(k)∗(ω) también se va a anular sobre dichas prolongaciones.

si ω ∈ Ω =⇒ σ^(k)∗(ω) ∈ Ω

De aqu´ı se concluye que σ^(k) deja estable el sistema de contacto.

2.2.1. C´ alculo en coordenadas

Tenemos un automorfismo diferenciable

σ : R² −→ R²

(19)

con σ^∗(¯x) = X(x, y) y σ^∗(¯y) = Y (x, y). Su prolongaci´on de primer orden ser´ıa:

σ⁽¹⁾: J^k(R²) −→ J^k(R²) con la condici´on de que deja estable el sistema de contacto.

σ^(1)∗(Ω) ⊆ Ω ⇒ σ^(1)∗(d¯y − ¯y1d¯x) = ρ(dy − y1dx)

Tenemos que calcular σ^(1)∗( ¯y₁) = Y₁(x, y, y₁). Si tomamos ω₀ = dy − y₁dx y f ∈ C^∞(R²) tenemos

df = ∂⁽¹⁾f · dx + ∂f

∂y · ω₀ donde

∂⁽¹⁾ = ∂

∂x + y1

∂

∂y Vamos a calcular Y₁:

σ^(1)∗(d¯y − ¯y₁d¯x) = dY − Y₁dX = ∂⁽¹⁾Y dx + ∂Y

∂yω₀− Y₁

∂⁽¹⁾Xdx + ∂X

∂y ω₀

=

= (∂⁽¹⁾Y − Y₁∂⁽¹⁾X)dx + ∂Y

∂y − Y₁∂X

∂y

ω₀ Por lo tanto,

σ^(1)∗(d¯y − ¯y1d¯x) = ρ · ω0 ⇐⇒ ∂⁽¹⁾Y − Y1∂⁽¹⁾X = 0 En consecuencia Y₁ nos quedar´ıa

Y1 = ∂⁽¹⁾Y

∂⁽¹⁾X

Procedemos de manera an´aloga para calcular Y₂. Tenemos

ω0 = dy − y1dx, ω1 = dy1− y2dx, ω¯0 = d¯y − ¯y1d¯x, ω¯1 = d ¯y1− ¯y2d¯x As´ı que

σ^(2)∗( ¯ω₀) = ρ₀· ω₀

σ^(2)∗( ¯ω₁) = ρ₁· ω₀+ ρ₂· ω₁

σ^(2)∗( ¯ω₁) = dY₁− Y₂dX = ∂⁽²⁾Y₁dx +∂Y₁

∂y ω₀+∂Y₁

∂y₁ω₁ − Y₂

∂⁽¹⁾Xdx + ∂X

∂y ω₀

=

= (∂⁽²⁾Y₁ − Y₂∂⁽¹⁾X)dx + ∂Y₁

∂y − Y₂∂X

∂y

ω₀+∂Y₁

∂y₁ω₁ Entonces,

σ^(2)∗( ¯ω₁) = ρ₁· ω₀+ ρ₂· ω₁ ⇐⇒ ∂⁽²⁾Y₁− Y₂∂⁽¹⁾X = 0

(20)

2.3. PROLONGACI ´ON DE CAMPOS TANGENTES 17

Despejando, Y₂ nos quedar´ıa de la forma

Y₂ = ∂⁽²⁾Y₁

∂⁽¹⁾X Un procedimiento an´alogo prueba que, en general,

Yk = ∂^(k)Y_k−1

∂⁽¹⁾X Ejemplos 2.6.

1) Traslaciones:

τ_t(x, y) = (x + t, y), X = x + t, Y = y τ_t⁽¹⁾(x, y) = (x + t, y, Y₁(x, y, t))

∂^(k) = ∂

∂x + y₁ ∂

∂y + y₂ ∂

∂y₁ + . . . + y_k ∂

∂y_k−1 Y1 = ∂⁽¹⁾y

∂⁽¹⁾X = y₁

1 = y1, Y2 = ∂⁽²⁾y₁

∂⁽¹⁾X = y₂ 1 = y2

τ_t^(k)(x, y, y₁, . . . , y_k) = (x + t, y, y₁, . . . , y_k)

2) Homotecias:

τ_t(x, y) = (e^tx, e^ty) Y1 = ∂⁽¹⁾(e^ty)

∂⁽¹⁾(e^tx) = ety₁

e^t = y1, Y2 = ∂⁽²⁾(y₁)

∂⁽¹⁾(e^tx) = y₂

e^t = e^−t· y2

Y₃ = ∂⁽³⁾(e^−ty₂)

∂⁽¹⁾(e^tx) = y₃e^−t

e^t = e^−2t· y₃ =⇒ Y_k = e^(1−k)ty_k τ_t^(k)(x, y, y₁, . . . , y_k) = (e^tx, e^ty, y₁, e^−ty₂, e^−2ty₃, . . . , e^(1−k)ty_k)

2.3. Prolongaci´ on de campos tangentes

Sea {τt} un grupo uniparamétrico de automorfismos de R² y X su generador infinitesimal. La prolongación de automorfismos diferenciables es compatible con la composición, es decir, la composición de dos automorfismos al prolongar da la composición de los automorfismos prolongados.

(τ_t◦ τ_s)^(k)= τ_t^(k)◦ τ_s^(k)

Entonces, cada automorfismo {τ_t} se puede prolongar a J^k(R²). Esta prolongaci´on, {τ_t^(k)}, forma un grupo uniparam´etrico de automorfismos de J^k(R²) y su generador infinitesimal,

(21)

X^(k), se llama prolongaci´on de X a J^k(R²). Como {τ_t^(k)} deja estable el sistema de contacto (τ_t^(k))^∗(Ω) ⊆ Ω

el generador infinitesimal por derivada de Lie, X^(k)L, tambi´en X^(k)L(Ω) ⊆ Ω

as´ı que X^(k) es el único campo tangente en J^k(R²) que se proyecta en X y tal que X^(k)L deja estable el sistema de contacto en J^k(R²). Esto se puede tomar como definición de prolongación de un campo aunque no sea el generador infinitesimal de un grupo unipa- ramétrico de automorfismos de R².

Proposici´on 2.7. Sea X un campo tangente en R². Entonces existe un ´unico campo tangente X^(k) a J^k(R²) que verifica:

1. X^(k) se proyecta en X.

2. X^(k) deja estable el sistema de contacto: X^(k)L(Ω) ⊆ Ω.

Este campo se llama prolongaci´on de X.

Demostraci´on: Consideremos el campo tangente a R² X = ξ ∂

∂x + η ∂

∂y y su prolongaci´on

X = ξ ∂

∂x + η ∂

∂y + η₁ ∂

∂y₁ + . . . + η_k ∂

∂y_k

Vamos a ver cómo, conociendo ξ y η, podemos calcular los demás coeficientes de la pro- longación {η₁, η₂, . . . , η_k}. Empezamos con el caso k = 1 y calculamos η₁.

ω₀ = dy − y₁dx X^(1)Lω₀ = ρ₀· ω₀

X^(1)L(dy − y₁dx) = dX⁽¹⁾y − X⁽¹⁾y₁dx − y₁dX⁽¹⁾x = dη + η₁dx − y₁dξ Teniendo en cuenta que

si f ∈ C^∞(R²) =⇒ df = ∂⁽¹⁾f dx + ∂f

∂yω₀ (2.1)

(22)

2.3. PROLONGACI ´ON DE CAMPOS TANGENTES 19

tenemos,

X^(1)L(dy − y₁dx) = ∂⁽¹⁾ηdx + ∂η

∂yω₀− η₁dx − y₁

∂⁽¹⁾ξdx + ∂ξ

∂yω₀

=

= ∂η

∂y − y₁∂ξ

∂y

ω₀+ (∂⁽¹⁾η − η₁− y₁∂⁽¹⁾ξ)dx

Por consiguiente,

X^(1)Lω₀ = ρ₀· ω₀ ⇐⇒ ∂⁽¹⁾η − η₁− y₁∂⁽¹⁾ξ = 0 y despejando η₁ nos quedar´ıa

η₁ = ∂⁽¹⁾η − y₁∂⁽¹⁾ξ

Repetimos el proceso para k = 2 y calculamos η₂. ω₀ = dy − y₁dx, ω₁ = dy₁− y₂dx

X^(2)Lω0 = ρ0· ω0, X^(2)Lω1 = ρ1· ω0+ ρ2· ω1

X^(2)Lω₁ = X^(2)L(dy₁− y₂dx) = dX⁽²⁾y₁− X⁽²⁾y₂dx − y₂dX⁽²⁾x = dη₁− η₂dx − y₂dξ Teniendo en cuenta que

dη₁ = ∂⁽²⁾η₁dx + ∂η₁

∂yω₀+ ∂η₁

∂y₁ω₁ y aplicando (2.1) a ξ como hemos hecho en el caso k = 1,

X^(2)L(dy₁− y₂dx) = ∂⁽²⁾η₁dx + ∂η₁

∂yω₀+ ∂η₁

∂y1

ω₁− η₂dx − y₂

∂⁽¹⁾ξdx + ∂ξ

∂yω₀

=

= (∂⁽²⁾η₁ − η₂− y₂∂⁽¹⁾ξ)dx + (∂η₁

∂y − y₂∂ξ

∂y)ω₀+∂η₁

∂y₁ω₁ Por tanto,

X^(2)Lω₁ = ρ₁· ω₀+ ρ₂· ω₁ ⇐⇒ ∂⁽²⁾η₁− η₂− y₂∂⁽¹⁾ξ = 0 y despejando η₂ nos quedar´ıa

η₂ = ∂⁽²⁾η₁− y₂∂⁽¹⁾ξ

De manera an´aloga llegamos a la f´ormula para el caso general k η_k= ∂^(k)η_k−1− y_k∂⁽¹⁾ξ

(23)

Ejemplos 2.8.

1) Homotecias:

X = x ∂

∂x + y ∂

∂y, ξ = x, η = y η₁ = ∂⁽¹⁾y − y₁∂⁽¹⁾x = y₁− y₁ = 0 η₂ = ∂⁽²⁾η₁− y₂∂⁽¹⁾x = −y₂ η₃ = ∂⁽³⁾(−y₂) − y₃∂⁽¹⁾x = −2y₃ ...

η_k= (1 − k)y_k 2) Giros:

X = −y ∂

∂x + x ∂

∂y, ξ = −y, η = x η₁ = ∂⁽¹⁾x − y₁∂⁽¹⁾(−y) = 1 + y²₁

η2 = ∂⁽²⁾(1 + y₁²) − y2∂⁽¹⁾(−y) = 3y1y2

η₃ = ∂⁽³⁾(3y₁y₂) − y₃∂⁽¹⁾(−y) = 3y²₂ + 4y₁y₃ ...

(24)

3 Simetr´ıas de Lie

Como ya se dijo en la introducción, en este cap´ıtulo nos centraremos en las simetr´ıas de Lie. El método clásico de las simetr´ıas fue introducido por Sophus Lie en el sigo XIX y se generalizó a lo largo del siglo XX. Este método consiste en considerar un sistema de ecuaciones diferenciales como una subvariedad de un espacio de jets y determinar los automorfismos del plano cuyas prolongaciones lo dejan invariante o, equivalentemente, en calcular los campos tangentes en el plano cuya prolongación es tangente a esta subvariedad (simetr´ıas infinitesimales). En el caso de una única ecuación diferencial ordinaria, la existencia de simetr´ıas infinitesimales permite reducir el orden de la ecuación o, bajo ciertas condiciones, integrarla por cuadraturas.

En este cap´ıtulo también se introduce el concepto de invariante diferencial de un grupo de transformaciones, que es una función de un espacio de jets invariante por la acción del grupo prolongado o, equivalentemente, una integral primera del álgebra de Lie inducida por la acción de dicha prolongación. Los invariantes diferenciales desempeñan un papel fundamental en la reducción del orden y la integración de ecuaciones diferenciales.

3.1. Definici´ on y propiedades b´ asicas

Notaci´on. ∂_x = _∂x^∂, ∂_y = _∂y^∂ , etc. ∂^(k) = ∂_x+ y₁∂_y + . . . + y_k∂_y_k−1

Una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden k se puede entender como una hipersuperficie del espacio de lo jets de orden k.

{F (x, y, y1, . . . , yk) = 0} ≡ R^k ⊂ J^k(R²)

Definición 3.1. Sea R^k ≡ {F (x, y, y₁, . . . , y_k) = 0} una ecuación diferencial ordinaria de orden k y sea L ≡ {y = ϕ(x)} una curva. Entonces L es solución en sentido clásico de F = 0 si la prolongación de la curva al espacio de los jets de orden k está contenida en la subvariedad R^k.

J^k(L) ≡ {y = ϕ(x), y₁ = ϕ⁰(x), . . . , y_k = ϕ^(k)(x)} ⊂ R^k 21

(25)

22 3. SIMETR´IAS DE LIE

Definici´on 3.2. Sea R^k⊂ J^kuna ecuaci´on diferencial ordinaria de orden k. Una simetr´ıa de R^k es una automorfismo σ de R² que transforma soluciones de R^k en soluciones de R^k.

Proposici´on 3.3. Sea R^k una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden k y sea σ : R² −→

R² un automorfismo diferenciable. Entonces,

σ es una simetr´ıa de R^k⇐⇒ σ^(k)(R^k) ⊂ R^k

Es decir, σ es una simetr´ıa si y s´olo si su prolongaci´on de orden k deja estable la hipersuperficie R^k ≡ {F (x, y, y₁, . . . , y_k) = 0}.

Demostraci´on:

⇐) Si L es una solución de R^k, entonces J^k(L) ⊂ R^k, y como σ^(k) deja invariante a R^k, σ^(k)(J^k(L)) ⊂ R^k. Por la definición (2.4) de prolongación de automorfismos diferenciables sabemos que σ^(k)(J^k(L)) = J^k(σ(L)) y por lo tanto J^k(σ(L)) ⊂ R^k =⇒ σ(L) es una solución.

⇒) Por el teorema de existencia y unicidad de solución del problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales ordinarias se deduce que por cada punto de R^k pasa una solu- ción (prolongación de una solución), J^k(L). Por hipótesis, σ es una simetr´ıa y por tanto si L es solución de R^k =⇒ σ(L) también es solución y entonces J^k(σ(L)) ⊂ R^k =⇒

σ^(k)(J^k(L)) ⊂ R^k.

De la proposici´on anterior se deduce que si {τ_t} es un grupo uniparam´etrico de simetr´ıas de R^k, entonces {τ_t^(k)} deja estable R^k, y por tanto su generador infinitesimal, X^(k), es tangente a R^k.

Definición 3.4. Sea {τ_t} un grupo uniparamétrico de automorfismos de R², X su generador infinitesimal, {τ_t^(k)} su prolongación de orden k y X^(k) el generador de dicha prolongación. Entonces, X es una simetr´ıa infinitesimal de la ecuación diferencial ordinaria de orden k, F (x, y, y⁰, . . . , y^k) = 0, si X^(k) es tangente a la hipersuperficie R^k ≡ {F (x, y, y1, . . . , yk) = 0} ⊂ J^k.

Esta definici´on se puede generalizar a cualquier campo tangente, aunque no sea el generador infinitesimal de un grupo uniparam´etrico de automorfismos del plano.

Como ya dijimos al inicio del cap´ıtulo 2, encontrar las simetr´ıas puntuales de una ecuación es una tarea bastante dif´ıcil. Es por esto por lo que trabajamos con las simetr´ıas infinitesimales, que requieren cálculos mas sencillos ya que se encuentran resolviendo ecuaciones en derivadas parciales lineales. Por otro lado, si la ecuación diferencial ordinaria está expresada en forma expl´ıcita

y^(k)= f (x, y, y⁰, . . . , y^k−1)

(26)

3.2. C ´OMO ENCONTRARLAS 23

entonces resolver esta ecuaci´on es lo mismo que encontrar las curvas tangentes al campo A = ∂x+ y1∂y + . . . + yk−1∂y_k−2 + f ∂y_k−1

Proposici´on 3.5. X es una simetr´ıa infinitesimal de la ecuaci´on y_k = f (x, y, y₁, . . . , y_k−1)

⇐⇒ [X^(k−1), A] = λA, donde λ = λ(x, y, . . . , y_k−1) es una funci´on diferenciable en J^k−1.

Demostraci´on: X^(k) es tangente a la subvariedad y_k = f (x, y, . . . , y_k−1) ⇐⇒

X^(k)(y_k− f ) ≡ 0 mod (y_k− f ) ⇐⇒ η_k− X^(k)f = η_k− X^(k−1)f ≡ 0 mod (y_k = f ) Como η_k = ∂^(k)η_k−1− y_k∂⁽¹⁾ξ, nos queda

X^(k)(y_k− f ) = ∂^(k)η_k−1− y_k∂⁽¹⁾ξ − X^(k−1)f ≡ Aη_k−1− f ∂⁽¹⁾ξ − X^(k−1)f La condici´on de tangencia es:

Aη_k−1− f ∂⁽¹⁾ξ − X^(k−1)f = 0 Por otra parte,

[X^(k−1), A]x = X^(k−1)(Ax) − A(X^(k−1)x) = X^(k−1)(1) − A(X^(k−1)x) =

= −A(ξ) = −(∂_xξ + y₁∂_yξ) = −∂⁽¹⁾ξ Para h = 0, . . . , k − 2 se tiene

[X^(k−1), A]y_h = X^(k−1)(Ay_h) − A(X^(k−1)y_h) = η_h+1− Aη_h = η_h+1− ∂^(h+1)η_h =

= −y_h+1∂⁽¹⁾ξ

donde y0 = y y ηh+1= ∂^(h+1)ηh− yh+1∂⁽¹⁾ξ. Por ´ultimo,

[X^(k−1), A]y_k−1 = X^(k−1)(Ay_k−1) − A(X^(k−1)y_k−1) = X^(k−1)f − Aη_k−1 Luego,

[X^(k−1), A] = −∂⁽¹⁾ξ(∂_x+ y₁∂_y + . . . + y_k−1∂_y_k−2) + (X^(k−1)f − Aη_k−1)∂_y_k−1

As´ı que, [X^(k−1), A] es proporcional a A ⇐⇒ X^(k−1)f − Aη_k−1 = −f ∂⁽¹⁾ξ que es precisa- mente la condici´on de tangencia que se menciona antes.

3.2. C´ omo encontrarlas

Encontrar una simetr´ıa de Lie de una ecuación diferencial ordinaria significa encontrar un campo tangente a R², cuya prolongación de orden k sea tangente a la ecuación. En otras

(27)

palabras, si tenemos una ecuaci´on diferencial ordinaria F (x, y, y1, . . . , yk) = 0

encontrar una simetr´ıa es encontrar la soluci´on o soluciones generales de la ecuaci´on X^(k)(F ) ≡ 0 mod F

Partiremos siempre de la expresi´on expl´ıcita de la ecuaci´on.

y_k = f (x, y, y₁, . . . , y_k−1)

3.2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Sea una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden y₁ = f (x, y)

La condición para que un campo X sea simetr´ıa de esta ecuación es que su prolongación de primer orden sea tangente a la ecuación F = y₁− f (x, y) = 0. En este caso,

X⁽¹⁾F ≡ 0 mod F =⇒ X⁽¹⁾(y₁− f (x, y)) ≡ 0 mod (y₁− f (x, y)) =⇒

η₁− Xf ≡ 0 mod (y₁ = f ) =⇒ η₁ ≡ Xf mod (y₁ = f )

Aplicando la fórmula de prolongación para campos tangentes, la condición de simetr´ıa nos quedar´ıa

∂η

∂x + f∂η

∂y − f∂ξ

∂x − f²∂ξ

∂y = Xf (3.1)

Fijada η ó ξ, ésta es una ecuación en derivadas parciales lineal de primer orden en la otra incógnita que siempre va a tener solución. Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden siempre tienen un número infinito de simetr´ıas y aunque no existe una manera sistemática de encontrarlas, existen casos simples donde se puede encontrar una solución para (3.1). A continuación se muestran algunos de ellos:

y₁ = −^y+2x_x , X = _y+2x¹ ∂_x

y₁ = f (y)g(x), X = _g(x)¹ ∂_x

y₁ = 1 +_x¹tan(x − y), X = _{x cos(x−y)}¹ ∂_y

(28)

3.2. C ´OMO ENCONTRARLAS 25

3.2.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Sea una ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden y2 = f (x, y, y1)

De acuerdo con la definición de simetr´ıa infinitesimal, para que un campo X sea simetr´ıa de esta ecuación, su prolongación de orden 2 tiene que ser tangente a la ecuación F = y₂− f (x, y, y₁) = 0. Procediendo de manera análoga al caso anterior:

X⁽²⁾F ≡ 0 mod F =⇒ X⁽²⁾(y₂− f ) ≡ 0 mod (y₂− f ) =⇒

η₂− X⁽²⁾f ≡ 0 mod (y₂ = f ) =⇒ η₂ ≡ X⁽¹⁾f mod (y₂ = f )

Por lo tanto, la condici´on de simetr´ıa para una ecuaci´on diferencial de orden dos nos quedar´ıa

∂η₁

∂x + y₁∂η₁

∂y + f∂η₁

∂y₁ − f ∂ξ

∂x + y₁∂ξ

∂y

= X⁽¹⁾f

´

o, con la expresión obtenida en la demostración de la proposición (3.5), Aη₁− f ∂⁽¹⁾ξ = X⁽¹⁾f

donde A = ∂_x+y₁∂_y+f ∂_y₁. Desarrollando esta condici´on, llegamos a la siguiente igualdad:

f ∂η

∂y − 2∂ξ

∂x − 3y₁∂ξ

∂y

− ξ∂f

∂x − η∂f

∂y − ∂f

∂y₁

∂η

∂x + y₁ ∂η

∂y − ∂ξ

∂x

− y₁²∂ξ

∂y

+ +∂²η

∂x² + y1

2 ∂²

∂x∂y − ∂²ξ

∂x²

+ y₁² ∂²η

∂y² − 2 ∂²ξ

∂x∂y

− y₁³∂²ξ

∂y² = 0 Ejemplo 3.6. Vamos a buscar las simetr´ıas de la ecuaci´on

y₂ = f (x, y, y₁) = xⁿy² (3.2) La condici´on de tangencia es la siguiente

η₂ = X⁽¹⁾f =⇒ η₂ ≡ nxⁿ⁻¹y²ξ + 2xⁿyη mod (y₂ = xⁿy²) Desarrollando esto, la condici´on de simetr´ıa queda

xⁿy² ∂η

∂y − 2∂ξ

∂x

− nxⁿ⁻¹y²ξ − 2yxⁿη + ∂²η

∂x² + y1

2 ∂²η

∂x∂y − ∂²ξ

∂x² − 3xⁿy²∂ξ

∂y

+ +y₁² ∂²η

∂y² − 2 ∂²ξ

∂x∂y

− y₁³∂²ξ

∂y² = 0

El primer miembro de la expresi´on es un polinomio en y1 cuyos coeficientes son funciones de x e y, por tanto ninguno de ellos va a depender de y₁. Entonces, para que la expresi´on sea igual 0, los coeficientes de y₁, y₁² y y³₁ tienen que ser 0. Igualando los coeficientes de

(29)

y³₁ y y²₁ a cero, nos quedan las siguientes ecuaciones

∂²ξ

∂y² = 0, ∂²η

∂y² = 2 ∂²ξ

∂x∂y Integrando estas ecuaciones obtenemos

ξ = yα(x) + β(x), η = y²α⁰(x) + yγ(x) + δ(x)

Del mismo modo, igualando el coeficiente de y1 a cero y sustituyendo ξ y η por sus expresiones llegamos a la siguiente ecuaci´on diferencial

−3xⁿy²α + 3yα⁰⁰+ 2γ⁰− β⁰⁰= 0 de la cual deducimos que α = 0 y 2γ⁰ = β⁰⁰, y entonces

ξ = β(x), η = y 1 2β⁰+ c

+ δ(x), c = constante

Sustituyendo estas nuevas expresiones para ξ y η en la condici´on de simetr´ıa tenemos

−y²

xⁿ 5

2β⁰ + c

+ nxⁿ⁻¹β

+ y 1

2β⁰⁰⁰ − 2xⁿδ

+ δ⁰⁰ = 0 esto es,

5

2xβ⁰+ nβ + cx = 0, δ = 1

4x⁻ⁿβ⁰⁰⁰, δ⁰⁰= 0

De la primera ecuación podemos determinar β, la segunda nos da δ, y la última ecuación es otra condición que tiene que satisfacer la solución β de la primera ecuación.

Al final llegamos a la conclusión de que la ecuación (3.2) admitirá distintas simetr´ıas dependiento del valor de n 6= 0 (Stephani, 1989, p. 30).

Aunque (2.2) las tiene, no todas las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden dos admiten una simetr´ıa. Por ejemplo, la ecuaci´on

y₂ = xy + e^y¹

no admite ninguna simetr´ıa infinitesimal. Por otro lado, el máximo número de simetr´ıas infinitesimales linealmente independientes que puede admitir una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden es ocho (Stephani, 1989, p. 33). La ecuación diferencial de la part´ıcula libre

y₂ = 0 admite ocho simetr´ıas de generadores

X₁ = ∂_x, X₂ = x∂_x, X₃ = y∂_x, X₄ = ∂_y, X₅ = x∂_y X₆ = y∂_y, X₇ = x²∂_x+ xy∂_y, X₈ = xy∂_x+ y²∂_y