Capítulo 2: Deformaciones

Capítulo 2

Deformaciones

2 - 1 : INTRODUCCIÓN

Es bien conocido el hecho que un sólido sometido a un estado de cargas, efectos de temperatura, etc., sufre un estado de deformación que se puede visualizar por el corrimiento de sus partículas que pasan de un estado inicial (configuración inicial) a un estado final deformado (configuración final).

Se podrán entonces medir los desplazamientos de las partículas o también las deformaciones específicas que producen alargamientos o acortamientos de la distancia entre dos partículas próximas o bien el cambio de forma producido por la variación de ángulos entre la configuración final y la inicial.

Analizaremos en este capítulo el Estado de Deformación mediante un estudio geométrico de los desplazamientos, tratando de interpretarlas con el objeto de relacionarlas a posteriori con el Estado de Tensiones.

Denominaremos con la palabra "punto" a la posición en el espacio físico y geométrico y estará determinado por sus coordenadas, mientras que la palabra "partícula" se referirá a un pequeño elemento de volumen o "punto material" del sólido continuo.

En general las deformaciones se pueden tratar en dos campos:

a) Deformaciones finitas que conduce a tratamientos no lineales

b) Deformaciones infinitesimales, que por ser muy pequeñas se consideran como infinitésimos físicos permitiendo la linealización del planteo matemático, simplificando enormemente la solución de los problemas.

Trataremos en este capítulo el caso b) de deformaciones infinitesimales, en un medio continuo con deformaciones lentas representadas por funciones continuas.

2 - 2 : DEFORMACIONES EN TORNO DE UN PUNTO

Sea un sólido deformable, para el cual estudiamos los desplazamientos de una partícula P de coordenadas iniciales

(

x₁,x₂,x₃

)

y el desplazamiento de otra partícula Q de su entorno próximo.

La partícula P después de la deformación se traslada a P' con un desplazamiento:

[

u₁,u₂,u₃

]

' PP

P= =

δ

mientras que para Q se producirá un desplazamiento δQ=QQ'.

De la figura y considerando que PQ=dr es infinitesimal (muy pequeño) por ser muy próximas las partículas P y Q y que las funciones de deformación son continuas, con desplazamientos muy pequeños, tendremos las coordenadas:

[

^x₁^,x₂^,x₃

]

P= ^P=

[ ]

^x_i

x3

x₁

x₂ x1

x₂ x₃

P

Q P'

Q'

dr

dr' δP

δQ

u₁ u2

u₃

O

[

^x₁ ^dx₁^,x₂ ^dx₂^,x₃ ^dx₃

]

Q= + + + ^Q=

[

^x_i ^+dx_i

]

[

^dx₁^,dx₂^,dx₃

]

dr= ^dr=

[ ]

^dx_i

Los desplazamientos de P y Q serán:

[

u₁,u₂,u₃

]

P=

δ δP=

[ ]

u_i

[

u₁ du₁,u₂ du₂,u₃ du₃

]

Q= + + +

δ δQ=

[

u_i +du_i

]

Donde los desplazamientos (corrimientos)

[ ]

ui son funciones continuas que dependen de las coordenadas

[ ]

x_i de la posición de la partícula.

( )

( )

(

_{1 2 3}

)

3 3

3 2 1 2 2

3 2 1 1 1

x , x , x u u

x , x , x u u

x , x , x u u

=

=

=

ui =ui

( )

xj Se cumplirá que, despreciando infinitésimos de segundo orden:

3 3 2 3 2 1 3 1 3 3

3 3 2 2 2 1 2 1 2 2

3 3 2 1 2 1 1 1 1 1

dx x . dx u x . dx u x . du u

dx x . dx u x . dx u x . du u

dx x . dx u x . dx u x . du u

∂ +∂

∂ +∂

∂

=∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

j j , i j j i

i .dx u dx

x

du u =

∂

=∂

Matricialmente podemos escribir:

Cdr P Q=δ +

δ con:

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

3 3 2

3 1

3

3 2 2

2 1

2

3 1 2

1 1

1

x u x

u x

u

x u x

u x

u

x u x

u x

u

C y

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

3 2 1

dx dx dx

dr

Matriz que podemos descomponer en la suma de una matriz simétrica D y una antisimétrica R.

[ ] [ ] [ ]

C = D + R , con

2 C D C

+ T

= y

2 C R C

− T

=

Siendo:

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

∂

⎟⎟ ∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

⎟⎟ ∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

∂

⎟⎟ ∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

⎟⎟ ∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

∂

∂

=

3 3 3

2 2 3 3

1 1 3

2 3 3 2 2

2 2

1 1 2

1 3 3 1 1

2 2 1 1

1

x u x

u x u 2 1 x

u x u 2 1

x u x u 2 1 x

u x

u x u 2 1

x u x u 2 1 x

u x u 2 1 x

u

D P

Q

P'

Q' δQ Q''

matriz simétrica, cuyos componentes son infinitésimos de primer orden

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

⎟⎟ ∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

⎟⎟ ∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

⎟⎟ ∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

∂

=

x 0 u x u 2 1 x

u x u 2 1

x u x u 2 0 1

x u x u 2 1

x u x u 2 1 x

u x u 2 0 1

R

3 2 2 3 3

1 1 3

2 3 3 2 2

1 1 2

1 3 3 1 1

2 2 1

matriz antisimétrica, cuyos componentes son infinitésimos de primer orden.

De la figura se desprende:

(

Q P

)

dr '

dr = + δ −δ

Como teníamos anteriormente:

(

δQ−δP

)

=C.dr

dr . R dr . D dr .I dr . C dr .I Cdr dr '

dr = + = + = + +

Las matrices D; R; y C tienen carácter tensorial conociéndoselas con el nombre de:

D: Tensor o matriz de deformación lineal R: Tensor o matriz de rotación lineal

Analizaremos por separado los efectos de D y R en el proceso de desplazamiento o deformación, pero adelantamos que el vector dr está sometido a:

a) Un desplazamiento paralelo como si fuera un rígido definido por la matriz de transformación I (unidad)

b) Una rotación como si fuera un rígido definida por la matriz R

c) Una deformación (específica) con cambio de módulo y de dirección definido por la matriz D

como estudiaremos en 2-3 y 2-4

2 - 3 : INTERPRETACIÓN DE LA EXPRESIÓN ^{drr'= .Idrr+R.drr+D.drr}

Veamos ahora de tratar de comprender qué le pasa al elemento dr=PQ para alcanzar a convertirse en dr'=P'Q' después de la deformación.

Para ello partamos de la expresión final del tema (2-2): drr'= .Idrr+R.drr+D.drr y pensemos que el elemento dr llega al dr' mediante tres etapas sucesivas que en realidad se producen simultáneamente.

a) Traslación como un rígido en forma paralela a si mismo pasando de PQ a P'Q".

Siendo I la matriz unidad, este movimiento queda definido por la expresión PQ=drr= .Idrr=P'Q", no significando ni rotaciones ni deformaciones específicas.

P Q

P'

Q' δQ Q''

P Q

P' Q''

Rotación como un rígido pasando de b) P'Q" a P'Q"' mediante la rotación que produce una traslación Q'Q"' normal a P'Q", no significando tampoco deformaciones específicas, y está representada por la expresión:

Q"Q"'=R.dr.

Los desplazamientos a) y b) para pasar de PQ a P'Q"' son solo movimientos (desplazamientos) como un rígido que no cambian la longitud de dr, y veremos más adelante que no produce tensiones al ser nulas las deformaciones específicas, y están representadas por la expresión .Idrr+R.drr=

(

I+R

)

.drr

c) Desplazamiento debido a deformaciones específicas para pasar de P'Q"' a P'Q' . Este desplazamiento definido por la expresión D.dr produce debido a las deformaciones específicas

i i ii

ii x

u

2 ∂

=∂

= γ ε

i j j ij i

x u x u

∂ +∂

∂

= ∂ γ

cambio de dirección y de longitud del elemento dr y que más adelante relacionaremos con el tensor de tensiones.

2 - 4 : INTERPRETACIÓN DEL TENSOR DE DEFORMACIÓN LINEAL (D) De acuerdo con (2-2)

[

dx1,dx2,dx3

]

dr= ∴ dr² =dx₁² +dx₂² +dx₃²

[

dx₁ du₁,dx₂ du₂,dx₃ du₃

]

'

dr = + + + con ₃

3 2 i 2 1 i 1

i i .dx

x dx u x . dx u x . du u

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

2

3 3 3 2 2 3 1 1 3 3

2

3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2

3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 2

x dx dx u

x dx u x dx u

x dx dx u

x dx u x dx u x dx

dx u x dx u x dx u '

dr

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂ + ∂

∂ + ∂ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ +∂

∂ +∂

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ +∂

=

que desarrollada y considerando a los ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

j i

x

u como infinitesimales de primer orden y sus productos o cuadrados de segundo orden despreciables, obtendremos:

Ω

= d I dr .

dr R I ).

( + Q''

P' d Q''' I dr .

dr R I ).

(

P Q

P'

Q' Q''

Q''' D.dr

2 1 1 2 2 1 2

3 3 3 2

2 2 2 2

1 1

2 dx .dx

x u x 2 u x dx

2 u 1 x dx

2 u 1 x dx

2 u 1 '

dr 1 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

=

1 3 3 1 1 3 3

2 2 3 3

2 dx .dx

x u x 2 u dx . x dx u x 2 u

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

longitud al cuadrado deformada

(

dr'=P'Q'

)

en función de los desplazamientos u₁ ,u₂ ,u₃. Siendo los cosenos directores de dr:

dx dr n cosα₁ = ₁ = ¹

dx dr n

cosα₂ = ₂ = ² dx dr n

cosα₃ = ₃ = ³ y denominando con

i j

j i ij

ij x

u x 2 u

∂ + ∂

∂

= ∂ ε

=

γ tendremos

( ) ( ) ( )

2 12 1 2 23 2 3 31 3 1

3 2 33

2 2 22

2 1 11 dx 1 dx 1 dx 2 dx .dx 2 .dx .dx 2 dx .dx

'

dr = +γ ₁ + +γ + +γ + γ + γ + γ

(

₁₁

)

²

(

₂₂

)

²₂

(

₃₃

)

₃² _{12 1 2 23 2 3 31 3 1}

2 2

n . n 2 n . n . 2 n . n 2 n 1

n 1

n dr 1

' dr

1 + +γ + +γ + γ + γ + γ

γ +

=

o bien, teniendo en cuenta que: n²₁ +n²₂+n²₃ =1

1 3 31 3 2 23 2

1 12 2 3 33 2 2 22 2 2 11

2 2

n . n 2 n . n . 2 n . n 2 n n

dr n dr ' dr

1 +γ +γ + γ + γ + γ

γ

− =

Interpretemos ahora el significado de los:

ii i i

ii 2

x 2 u = ε

∂

= ∂ γ

i j j ij i

x u x u

∂ +∂

∂

= ∂

γ con i≠j Será:

[

x1;x2;x3

]

P=

[

x1 dx1;x2;x3

]

Q= +

[

x1;x2 dx2;x3

]

R = +

1

1 dx

dr =

2

2 dx

dr =

aplicando las últimas expresiones: P'Q'² =dr'₁² =

(

1+γ₁₁

)

dx²₁

(

₂₂

)

²₂

2 2

2 dr' 1 dx

' R '

P = = +γ

(

₁₁

)

₁²

(

₂₂

)

²_{2 12 1 2}

2 1 dx 1 dx 2 dx dx

' R '

Q = +γ + +γ + γ

La deformación específica longitudinal (dilatación o contracción) de una fibra en el sentido de x₁, será:

1 1 1

1

1 dx

dx dr

dr = Δ

= Δ ε

1 1 1

1 dr

dr ' dr −

=

ε

x3

x1

x2

dr¹ dr'₂

P

Q

P'

Q'

1

O

dr2

dr'¹

R

ϕ12 R'

( )

₂

1 2 11 1 2

1 2 1

dr 1 dx

dr '

dr = +γ ₂

(

₁₁

)

1 2

1 1

dr '

dr = +γ ₁₁

2

1

1 1

dr '

dr =γ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

11 1

1 1

1 1

dr ' . dr dr 1

'

dr ⎥=γ

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

= γ

−

dr 1 ' 1 dr dr

' dr

1 1

11 1

1

En el campo de las deformaciones infinitesimales dr'₁≈dr₁y por lo tanto:

dr 1 ' dr

1

1 ≈ 1 2

dr ' dr

1

1 ⎟⎟≈

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

Será entonces: ₁₁

1 1 11 1

1 1

1 1

1 x

u 1 2

dr ' dr dr

dr '

dr =ε

∂

=∂

= γ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− =

=

ε

Análogamente: ₂₂

2 2 22

2 x

u

2 =ε

∂

=∂

= γ ε

33 3 3 33

3 x

u

2 =ε

∂

= ∂

=γ ε

ii i i ii

i x

u

2 =ε

∂

=∂

=γ

ε Deformación específica longitudinal en el sentido de x_i A la deformación angular específica podemos obtenerla de la siguiente manera:

( )

₁₂

12 = α+β = 2π−ϕ γ

como

(

α+β

)

es pequeño

12 12

12 cos

senγ =γ = ϕ

Por el teorema del coseno

12 2

1 2 2 2 1

2 dr ' dr ' 2dr 'dr .'cos '

R '

Q = + − ϕ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(

₁₁

) (

^{12 1}₂₂

)

² _{1 2}

2 1 22 11

2 1 12 2

2 22 2

11 2

2 22 2

11

2 1

2 2

2 2 1 12

dx dx 1

. 1 2

dx dx 2

dx dx 1

. 1 2

dx dx 2 dx 1

dx 1

dx 1

dx 1

' dr ' dr 2

' R ' Q ' dr ' cos dr

1 1

γ + γ

+ γ

= −

γ + γ

+

γ

− γ

+

− γ

+

− γ

+ + γ

= +

−

= + ϕ

( ) ( )

1

2 2 12 1 22 11

12 12

x u x u 1

. cos 1

∂ +∂

∂

= ∂ γ γ ≈ + γ

+

= γ

ϕ para deformaciones infinitesimales

Análogamente:

( ) ( )

2

3 3 23 2 33

22 23 23

x u x u 1

. cos 1

∂ +∂

∂

=∂ γ γ ≈ + γ

+

= γ

ϕ

( ) ( )

3

1 1 31 3 11 33

31 31

x u x u 1

. cos 1

∂ +∂

∂

= ∂ γ γ ≈ + γ

+

= γ ϕ

x1

x2

dr'₂ P'

Q' dr'¹

ϕ₁₂ R' α

β

i j

j i

ij x

u x u

∂ + ∂

∂

= ∂

γ Deformación angular específica Aunque es inmediato, analicemos geométricamente las derivadas de los corrimientos u_i

1

1 1

1 1 1 1 1

1 1

11 dx

dx u

x dx u u

dx dx

dx PQ

PQ ⎥−

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂ + Δ =

Δ =

=

ε

1 1

11 x

u

∂

= ∂ ε

Para el cálculo de la variación angular de dos fibras que antes de la deformación formaban un ángulo recto y en el campo de las deformaciones infinitesimales tendremos:

1 2 1

1 1 2

x u dx

x dx u

tg ∂

=∂

∂

∂

= α

≈ α

2 1 2

2 2 1

x u dx

x dx u

tg ∂

= ∂

∂

∂

= β

≈ β

y por lo tanto la deformación angular o tangencial

2 1 1

12 2 x

u x u

∂ + ∂

∂

=∂ β + α

= γ

Pudiéndose llegar a idénticas conclusiones para las otras direcciones.

Concluyendo, la matriz D de deformación lineal representa en sus términos a las deformaciones específicas

εi y γ_ij que conocemos de Resistencia de Materiales, recordando que γ_ij =2ε_ij:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

ε ε

ε

ε ε

ε

ε ε

ε

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

γ γ

γ

γ γ

γ

γ γ

γ

=

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

γ ε γ

ε γ γ

γ ε γ

=

33 32

31

23 22

21

13 12

11

33 32

31

23 22

21

13 12

11

33 32

31

23 22

21

12 13 11

2 1

2 2

2 2

2 2

D

1 1

1 1 d x

x u u

∂ + ∂

u1

x₃

x₁

x₂ P

Q P'

Q'

1 1

1 1 d x

x u u

+ ∂

u1

1 1 2

2 dx

x u u

∂ + ∂

2 2

1 1dx

x u u

∂ + ∂

2 2 1dx x u

∂

∂

1 1 2dx x u

∂

∂ u1

u2

x1

x2

P

1 1 2

2 dx

x u u

+ ∂

2 2

1 1dx

x u u

+∂

2 2 1dx x u

∂

1 1 2dx x u

∂ u1

u2

dx2

P'

dx1

α

β

2 - 5: INTERPRETACIÓN DEL TENSOR DE ROTACIÓN LINEAL

Analicemos que pasa con dos fibras de longitud dx₁=dx₂y que por simplicidad suponemos que u₁=u₂ =0 o sea P'≡P

1 2

x u

∂

=∂ α

2 1

x u

∂

= ∂ β

El eje PC está a un ángulo del eje P'C' que denominamos ω tal que: ₃

=bisectrizQPR∧

PC

=bisectrizQ'P'∧ R' '

C ' P

α β+ +

−α

°

= ω +

° 45 2

45 ₃

3 2

β

−

= α ω

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

= ∂ ω

2 1 1 2

3 x

u x u 2

1

representando la rotación sobre el eje x3 del paralelepípedo P'Q'C'R' después de la deformación.

Análogamente con:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

= ∂ ω

3 2 2 3

1 x

u x u 2 1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

= ∂ ω

1 3 3 1

2 x

u x u 2 1

Concluyendo, la matriz R (antisimétrica) está compuesta por términos que representan las rotaciones respecto de los ejes coordenados no implicando esto deformaciones específicas.

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

ω ω

−

ω

− ω

ω ω

−

=

0 0

0 R

1 2

1 3

2 3

2 - 6 : DEFORMACIONES PRINCIPALES. INVARIANTES. DILATACIÓN CÚBICA.

Sea el tensor de deformaciones representado por la matriz

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

γ ε γ

ε γ γ

γ ε γ

=

33 32

31

23 22

21

13 12

11

2 2

2 2

2 2

D

y como hemos anticipado en 2-3 a) y c) con dr'=(I+D).dr, busquemos la dirección n del vector dr para la cual después de la deformación dr' es colineal con dr. Cambia de módulo pero no de dirección, para ello tomamos el versor

dr

n= dr colineal con dr con ε=deformación longitudinal en dirección n

≡

x₁

x2

P' R

α

β

C' Q' C

Q P

R'

ω3

45°−(α+β)/2 45°

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

3 2 1

dx dx dx r

dr dr

n= dr

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

dx drdr dxdx dr n

n n

3 2 1

3 2 1

(

I D

)

.dr

(

1

)

.dr '

r

dr = + r= +ε r

( ) (

I D

)

.n

(

1

)

.n dr

. dr D dr I

'

dr = + = + = +ε

(

I+D

)

.n=

(

1+ε

)

.n .In=1.n n

. n . D =ε

n . .I n . D = ε

(

D− .Iε

)

.n=0

0 n n n . 0

0

0 0

0 0

2 2

2 2

2 2

3 2 1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

ε ε ε

−

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

γ ε γ

ε γ γ

γ ε γ

( )

( )

( )

0 n n n .

2 2

2 2

2 2

3 2 1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

ε

− γ ε

γ

ε γ

− γ ε

γ ε γ

− ε

( )

( )

( )

^{.n 0}

n 2 . n 2 .

0 n 2 . n . n

2 .

0 n 2 . n 2 . n .

3 33

2 32 1 31

3 23 2 22

1 21

3 13 2 12 1 11

= ε

− ε γ +

γ +

γ = + ε

− ε γ +

γ = γ +

+ ε

− ε

Cuya condición de compatibilidad está dada por la ecuación característica de tercer grado ( similar a lo ocurrido en tensiones)

0 I . I .

I_d1 ² _{d2 d3}

3 − ε + ε− =

ε

que nos da tres raíces reales ε₍₁₎ ,ε₍₂₎ ,ε₍₃₎ que definen tres direcciones n₁ ,n₂ ,n₃(normales entre sí) denominadas direcciones principales.

Denominaremos como invariantes a:

33 22 11 1

Id =ε +ε +ε

4 4 I 4

2 31 2 23 2 12 11 33 33 22 22 11 2 d

− γ

− γ

− γ ε ε + ε ε + ε ε

=

D D de te Determinan

I_d3 = =

Referida a sus ejes principales tendremos:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

ε ε

ε

=

) 3 ( ) 2 ( ) 1 (

0 0

0 0

0 0

D

Denominamos dilatación cúbica al valor del invariante de primer orden

e I_d1 =ε₁₁ +ε₂₂ +ε₃₃ =ε₍₁₎ +ε₍₂₎ +ε₍₃₎ = ya que representa la variación de volumen específico del paralelepípedo referido a sus direcciones principales:

( ) ( ) ( )

3 2 1

3 2 1 3 ) 3 ( 2 ) 2 ( 1 ) 1 (

dx dx dx

dx dx dx dx 1

. dx 1

. dx 1

V e V

− ε

+ ε

+ ε

+ Δ =

=

) 3 ( ) 2 ( ) 1

e=ε( +ε +ε

al despreciar los productos de ε_(i)ε_(j).

2 - 7 : DEFORMACIÓN ESPECÍFICA EN UNA DIRECCIÓN n CUALQUIERA Sea el versor nr =

[

n₁,n₂,n₃

]

que define la dirección del vector dr=

[

dx₁,dx₂,dx₃

]

Con dr

n_i =dxⁱ donde:

[ ][ ]

D.dr r

d . D dr '

QQ= ^* = r = r con drr'=drr+drr^*

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

γ ε γ

ε γ γ

γ ε γ

=

33 32

31

23 22

21

13 12

11

2 2

2 2

2 2

D

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

ε γ +

γ +

+ γ ε

γ +

+ γ + γ

ε

=

=

3 33 2 32 1 31

3 23 2 22 1 21

3 13 2 12 1 11

*

dx . dx

2 . dx 2 .

dx 2 . dx . dx

2 .

dx 2 . dx 2 . dx . dr

. D

dr y con

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

dx drdr dxdx dr n

n n n

3 2 1

3 2

r 1

Si queremos reducir todo a un vector unitario dr obtenemos un vector de deformación unitaria ε

x =x_{1 (1)}

x =x2 (2)

x =x3 (3)

dx⁽¹⁾ dx(2)

dx(3)

Dx .(1+(2) ε(2))

Dx.(1+)(3)ε(3)

dx .(1+

)

(1) (1)

ε

dr D dr^→_i^*= .

dr D I dr^→'=( + ).

→

dr

' P P ≡

' Q

Q

dr D dr^→_i^*= .

dr D I dr^→'=( + ).

→

dr

' Q

Q n

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

ε γ +

γ +

+ γ ε

γ +

+ γ + γ

ε

=

=

=

= ε

3 33 2 32 1 31

3 23 2 22 1 21

3 13 2 12 1 11

*

n . n

2 . n 2 .

n 2 . n . n

2 .

n 2 . n 2 . n . n

. dr D

r .d dr D

r

dr r r

r

Expresiones con una estructura similar a n

. T

tⁿ = (del tema 1-3) al tratar el tensor de tensiones.

Podemos decir que las deformaciones también tienen carácter tensorial.

También en este caso podemos descomponer εr en una dirección del versor n

( )

ε_n y en una dirección normal ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ γ_n 2 1 .

n . D . n n

. ^T

n =ε =

ε r y tal que ²_n ^{2 2}_n

4

1γ =ε −ε

1 3 31 3 2 23 2 1 12 2 3 3 2 2 2 2 1 1

n =ε .n +ε .n +ε .n +γ .n .n +γ .n .n +γ .n .n ε

Expresión de la "forma bilineal del tensor de deformaciones". Que referida a los ejes principales (2-4):

2 3 ) 3 ( 2 2 ) 2 ( 2 1 ) 1 (

n =ε .n +ε .n +ε .n

ε

Al igual que en el caso de tensiones podremos definir la Cuádrica de Indicatriz (de Cauchy) de deformaciones de manera tal que:

n

r k OQ= = ε

obteniendo:

2 1 3 31 3 2 23 2 1 12 2 3 33 2 2 22 2 1

11.x +ε .x +ε .x +γ .x .x +γ .x .x +γ .x .x =±k ε

y referido a ejes principales:

2 2 3 ) 3 ( 2 2 ) 2 ( 2 1 ) 1

( .x +ε .x +ε .x =±k

ε Ecuación de segundo grado representativa de una cuádrica.

Al igual que en tensiones, y referido a ejes principales se puede obtener el elipsoide de tensiones (o de Lamé):

x 1 x x

2 2 3 2

2 2 2

2 1

) 3 ( ) 2 ( ) 1 (

ε = ε +

ε +

→

r

x1

x2

x3

Q n

O

→

εn ^→ε =D.n

γn

2 1 εn

n

n

=D.

→ε

γn

2 1

Razones de tiempo no aconsejan desarrollos de estas expresiones, que al igual que en tensiones son producto de que las deformaciones también tienen carácter tensorial y por lo tanto le son aplicables todas sus propiedades.

2 - 8 : TENSOR ESFÉRICO Y TENSOR DESVIADOR Tomemos el tensor de deformaciones D

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

γ ε γ

ε γ γ

γ ε γ

=

33 32

31

23 22

21

13 12

11

2 2

2 2

2 2

D

donde denominamos con:

[

_{11 22 33}

]

0

m 3

1 3

e= ε +ε +ε

= ε

= ε

pudiéndose descomponer D en la suma de D (tensor esférico) y ₀ D (tensor desviador) _d

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

ε ε ε

=

0 0 0

0

0 0

0 0

0 0 D

( )

( )

( )

_⎥^⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

ε

− γ ε

γ

ε γ

− γ ε

γ ε γ

− ε

=

0 33 32

31

23 0

22 21

12 13 0

11

d

2 2

2 2

2 2

D

d

0 D

D

D= +

Como la deformación volumétrica de D

( )

I_d1 y de D₀

( )

I⁰d1 son iguales:

(

_{0 0 0}

)

⁰_d1

) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1

d I

I

e= =ε +ε +ε = ε +ε +ε =

es posible verificar que la variación volumétrica de D_d

( )

I^dd1 es nula:

( ) ( ) ( )

0

I^d_d1 = ε₁₁−ε₀ + ε₂₂ −ε₀ + ε₃₃ −ε₀ =

Esto indica que D implica un cambio de forma sin variación de volumen, mientras _d D representa un cambio de volumen sin variación de ángulos o forma. 0

Por último, dejamos expresado que la bibliografía utiliza distintos tipos de matrices (o tensores) para expresar las deformaciones, entre los cuales tenemos:

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

3 3 3

2 1

3

2 3 2

2 1

2

1 3 1

2 1

1

x u x

u x

u

x u x

u x

u

x u x

u x

u

C

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

γ ε γ

ε γ γ

γ ε γ

=

33 32

31

23 22

21

13 12

11

2 2

2 2

2 2

D

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

γ γ

γ

γ γ

γ

γ γ

γ

=

33 23

31

23 22

21

13 12

11

D 2

( )

( )

( )

( )

^⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

γ + γ

γ

γ γ

+ γ

γ γ

γ +

= +

33 23

31

23 22

21

13 12

11

1 1

1 D 2 I

2 - 9 : ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD

Hemos visto en cursos anteriores que la resolución de ciertos problemas necesita de la utilización no solo de ecuaciones de equilibrio, sino también de ecuaciones donde intervienen los desplazamientos (Deformaciones).

Analicemos ahora que sucede con las funciones ε_ii;γ_ijde deformación.

El sólido deformable sometido a un estado de cargas, tendrá un estado de tensiones y de desplazamientos δr de cada una de las partículas que lo componen. El desplazamiento de una partícula genérica queda definido por sus tres proyecciones (o coordenadas

[

u₁;u₂;u₃

]

u = ).

Si analizamos el tensor de deformaciones (simétrico) D tenemos definidas seis funciones:

i i

ii x

u

∂

= ∂

ε ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂ γ

= γ

i j

j i ji

ij x

u x u

El problema consiste en que tengo 6 ecuaciones:

1 1

11 x

u

∂

=∂ ε

2 2

22 x

u

∂

= ∂ ε

3 3

33 x

u

∂

= ∂ ε

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

= ∂ γ

1 2 2 1

12 x

u x u 2 1 2

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

= ∂ γ

2 3 3 2

23 x

u x u 2 1 2

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂ γ

3 1 1 3

31 x

u x u 2 1 2

1

con 3 incógnitas: las variables u₁ ,u₂ ,u₃.

Dado el desplazamiento u_i es posible calcular las derivadas

i i

x u

∂

∂ y por lo tanto las ε_ii;

γ que definen D. ij

El proceso inverso no es tan sencillo. Dados D definido por las 6 ε_ii γ , estas últimas _ij 6 son funciones de sólo 3 u_i (incógnitas) lo cual implica que las seis primeras no pueden ser arbitrarias sino que deben cumplir con ciertas condiciones para que el sistema sea compatible y por lo tanto integrable. Estas son las condiciones de compatibilidad (ecuaciones diferenciales), cuya demostración no realizaremos pero son fáciles de encontrar en la bibliografía, y que se expresan matemáticamente como sigue:

2 1

22 2 2 2

11 2

2 1

12 2

x x x

x ∂

ε +∂

∂ ε

=∂

∂

∂ γ

∂

2 2

33 2 2 3

22 2

3 2

23 2

x x x

x ∂

ε + ∂

∂ ε

= ∂

∂

∂ γ

∂

2 3

11 2 2 1

33 2

1 3

31 2

x x x

x ∂

ε + ∂

∂ ε

= ∂

∂

∂ γ

∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ γ + ∂

∂ γ + ∂

∂ γ

−∂

∂

= ∂

∂

∂ ε

∂

3 12 2

31 1

23 1

3 2

11 2

x x

x x

x 2 x

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ γ + ∂

∂ γ +∂

∂ γ

−∂

∂

= ∂

∂

∂ ε

∂

1 23 3

12 2

31 2

3 1

22 2

x x

x x

x 2 x

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ γ + ∂

∂ γ +∂

∂ γ

−∂

∂

= ∂

∂

∂ ε

∂

2 31 1

23 3

12 3

2 1

33 2

x x

x x

x 2 x

Condiciones que deben cumplir los componentes de D para poder representar un estado de deformación físicamente posible.

En sistemas simplemente conexos el cumplimiento de estas condiciones implica en general que:

a) u_i son funciones continuas de las x_i

b) se cumplen las relaciones entre ε_ii γ y las _ij u_i

c) si bien puede haber (en determinados casos) más de un vector desplazamiento

(

u₁,u₂,u₃

)

δ solución al problema, la diferencia de estos es equivalente al desplazamiento de un sólido rígido.

d) Esto último implica que si hay una relación biunívoca entre las tensiones y las deformaciones, el campo de tensiones es único.

Con el fin de fijar ideas pensemos que el sólido continuo es hiperestático y analicemos lo aprendido en el curso de hiperestática de estructuras.

Para su resolución era necesario el planteo de ecuaciones de equilibrio a las cuales debíamos adicionar ecuaciones de compatibilidad de deformación, todas ellas algebraicas que formaban un sistema de ecuaciones con igual número de ecuaciones que de incógnitas.

En el caso del sólido continuo para el estudio de las tensiones y deformaciones también debemos plantear:

a) Ecuaciones de equilibrio (Diferenciales) b) Ecuaciones de compatibilidad (Diferenciales)

En el sólido elástico lineal a) y b) se relacionan mediante leyes de dependencia lineal que son conocidas como Ley de Hooke, al igual que lo hecho en la resolución de las estructuras.