Unidad 1: MATRICES
Esquema del tema1. Definición y notación. 2. Igualdad entre matrices. 3. Tipos de matrices. 4. Rango de matrices.
4.1. Conceptos intuitivos.
4.2. Rango de una mat. triangular. 4.3. Transformaciones elementales.
4.4. Rango de una matriz general: Método de Gauss. 5. Operaciones con matrices.
5.1. Suma de matrices.
5.1.1. Definición y condiciones. 5.1.2. Propiedades de la suma. 5.1.3. Estructura.
5.2. Producto de un real por una matriz. 5.3. Producto de matrices.
5.3.1. Definición y condiciones. 5.3.2. Propiedades del producto.
5.3.3. Matriz inversa. Algoritmo de Gauss-Jordan 5.4. Transposición de matrices.
5.4.1. Definición. 5.4.2. Propiedades.
5.4.3. Matriz simétrica y matriz antisimétrica. 6. Matrices aplicadas a grafos.
Unidad 2: DETERMINANTES
Esquema del tema2.1 Introducción: Definición. 2.2 Cálculo de determinantes:
Det. de matrices de orden 1. Det. de matrices de orden 2.
Det. de matrices de orden 3:Regla de Sarrus. 2.3 Det. de matrices de orden n.
2.4 Propiedades de los determinantes: ☺ Propiedades elementales. ☺ Propiedades:
• Det del producto de matrices es el producto de determinantes.
• Det. de la matriz inversa. • Det de una matriz triangular.
EJERCICIOS PARA CONSOLIDAR Y PROFUNDIZAR
Operaciones con matrices
1. Dada la matriz
−
=
1
0
0
0
0
1
0
1
0
A
, calcula A−1+ A12.2. Sea la matriz
= 0 1
0 1
A . Halla
A
250+
A
20.3. Calcula por el método de Gauss-Jordan, la matriz inversa de las siguientes:
−
−
−
=
3
2
1
7
6
1
4
3
2
B
=
3
1
4
0
1
1
1
0
1
C
4. Andalucia’04. Sean las matrices
=
2 1 0
1 0 1
A ,
=
0
0
1
0
0
1
B
y
=
0
1
2
0
0
1
C
a) Calcula A·B, A·C, A ·t Bty Ct·A .
b) Razona cuáles de las matrices A, B, C y A·B tienen inversa y en caso afirmativo, hállala.
Problemas matriciales
5. Un industrial fabrica dos tipos de bombillas: transparentes (T) y opacas (O). De cada tipo se hacen cuatro modelos: M1, M2, M3 y M4:
300 500
180 250
250 400
200 300
4 3 2 1
M M M M
O T
El porcentaje de bombillas defectuosas es el 2% en el modelos M1, el 5% en el modelo M2 ,el 8% en el M3 y el 10% en el M4.
Calcula la matriz que expresa el números de bombillas transparentes y opacas , buenas y defectuosas, que se producen.
6. En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4, y L5. Las viviendas L3 tienen 3 ventanas grandes y 4 pequeñas; las L4 tienen 5 pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes.Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes 4 cristales y 6 bisagras.
a) Escribe una matriz que describa el número y tamaño de ventanas de cada vivienda, y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana.
b) Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda.
Cuestiones sobre matrices…
7. ¿En general se cumple que si A y B son dos matrices ,
(
A
+
B
) (
⋅
A
−
B
)
=
A
2−
B
2? Razona la respuesta, y si es negativa encuentra un contraejemplo.8. Si A=
( )
aij y B=( )
bij ∈ M2x2( )
ℜ . Demuestra que tr(A⋅B)=tr(B⋅A).¿Se puede9. Demuestra que
(
A
⋅
B
)
−1=
B
−1⋅
A
−1. ¿Cuándo(
A
⋅
B
)
−1=
A
−1⋅
B
−1?10. Si AB=AC, ¿Podemos asegurar que B=C?¿Cuándo sería cierto?.Pon ejemplos. 11. Escribe la forma general de una matriz antisimétrica 3x3?
12. Demuestra que las potencias pares de una matriz antisimétrica es simétrica y las potencias impares es una matriz antisimétrica.
13. Si A es una matrtiz cuadrada perteneciente a Mnxn
( )
ℜ , demuestra que: a) A+AT es simétrica.b) A−ATA-At es antisimétrica.
c) Si B=
(
A+ At)
2 1
y C=
(
A−At)
2 1
, demuestra que B+C=A.
d) ¿Por qué A ha de ser una matriz cuadrada?
e) B y C,¿También son simétrica y antisimétrica respectivamente?
f) Descompón la matriz
=
5
3
2
2
2
1
1
1
0
A
como suma de una matriz simétrica y de unaantisimétrica.
Cálculo de determinantes
14. Calcula los siguientes determinantes:
a)
3 2 3 1
3 6 5 2
1 3 0 5
5 2 3 1
−
−
b)
x x x x
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
− − − −
− − −
− − −
c)
6
5
4
3
2
1
+
+
+
+
+
+
a
a
a
a
a
a
a
a
a
d)
d c b a
c c b a
b b b a
a a a a
e)
1 1 1 1
1 1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
a a a
+ + +
15. Los siguientes se denominan determinantes de Van der Monde. Calcúlalos.
a)
2 2 2
1
1
1
c
b
a
c
b
a
b)2 2 2
5
5
5
10
10
10
c
b
a
c
b
a
c)3 3 3 3
2 2 2 2
1 1 1 1
d c b a
d c b a
d c b a
16. Demostrar que si a,b y c son números reales, se verifica que:
3
2
2
2
2
2
2
)
c
b
a
(
b
a
c
c
c
b
a
c
b
b
a
a
c
b
a
+
+
=
−
−
−
−
−
−
b a ... a a
a
... ... ... ...
...
a ... b a a a
a ... a b a a
a ... a a
b a
+ +
+ +
18. Calcula el valor del determinante:
x ... x x x
... ... ... ... ...
x ... x
x
x ... x x
x ... x x
3 2 1
19. Resolved la siguiente ecuación, siendo a un número real diferente de cero:
x ... a a
... ... ... ... ...
a ... x a
a ... a x
a ... a a
1 1 1 1
= 0
Propiedades de los determinantes
20. Demuestra que det(A)=0, y que det(B) es múltiplo de 5, sin calcularlos:
0 27 0
2 3 5 2
40 25 8
− −
=
A
9
3
6
6
7
4
1
2
5
=
B
21. Sabiendo que
=
1
i
h
g
f
e
d
c
b
a
y utilizando correctamente las propiedades de los determinantes,
calculad los siguientes:
a)
h
i
g
e
f
d
e
b
f
c
d
a
−
−
−
+
+
+
3
3
3
b)
g
h
i
a
b
c
d
e
f
22. Comprueba sin desarrollar que el siguiente determinante es múltiplo de 42:
24
7
28
12
3
21
6
11
7
a)
1458 486
162 54
486 162 54 18
162 54
18 6
54 18 6 2
b)
14 12 10 8
12 10 8 6
10 8 6 4
8 6 4 2
c)
3 4 ... 3 2 1 2 1 2
... ... ... ...
...
3 2 ... 9 7
5
1 2 ... 7 5
3
1 2 ... 5 3
1
− +
+ −
+ + −
n n
n n
n n n
(Siendo n el orden del determinante)
Hallar el rango de una matriz
24. (Galicia’04) Sea la matriz
−
1 1 1 1
7 7 2 3
3 1 0 1
7 0 1 2
por el método de Gauss
25. Halla el rango de
−
−
−
1
6
10
1
5
1
2
2
1
1
x
x
para los diferentes valores de x.
26. Estudio el rango de las siguientes matrices según el valor de a:
=
1
0
1
1
2
1
a
a
a
A
−
−
=
1
2
4
2
1
2
1
a
a
B
=
1
1
3
1
0
0
1
a
a
C
27. País Vasco’04. Con cada valor de a se considera la matriz A(a)dada por
=
1
0
0
1
0
1
1
)
(
a
a
a
A
Encontrar el rango de la matriz 2( ) ( )
a A a
A − t
en función del valor de a.
28. *Cantabria’96. Determina el rango de la matriz
=
a
b
ab
b
a
A
2
1
2
1
2
según los valores de a y b.
Matrices regulares y cálculo de inversa
29. Para cada número real λ, M(λ) es la matriz
−
=
1
2
1
2
3
4
)
(
λ
λ
λ
λ
M
. Se pide:a) Justifica que para cualquier real λ existe la matriz M−1(
λ
)inversa de M(λ). b) Calcula la matriz M−1(0)c) Si A= M(8), B= M(4) y C=M(3), calcúlese razonadamente el determinante de la matriz
1 1
· ·B− C−
30. Islas Canarias’04. Determina para qué valores de m, tiene inversa la matriz
−
−
1
0
1
2
1
0
1
m
m
.Calcula la matriz inversa para ese valor de m.
Ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones
(en estas ecuaciones se puede utilizar el método de cálculo de matriz inversa por determinantes o Gauss Jordan)
31. Demuestra que
=
1
1
2
3
3
0
0
1
2
A
verifica la ecuación matricial: −A3 +6A2 −8A+6I3 =0.32. Determina los valores de m para los cuales
= 2 0 0 m
X verifique 0
2 5
2 − + =
I x
x .
33. Resuelve los siguientes sistemas matriciales:
a)
−
−
=
⋅
−
−
−
4
11
10
3
1
1
2
1
4
1
3
2
z
y
x
b)
(
)
(
2 5 1 1)
1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 − = ⋅ t z y x
34. Resuelve la siguiente ecuación:
= − − ⋅ ⋅ 14 22 4 6 0 1 2 4 4 3 1 1 X .
35. Despeja la matriz X en la siguiente ecuación y halla su valor:
2A− AX =BX , siendo
= 2 3 1 2
A y
− = 2 0 1 1 B . 36. Sean
=
3
5
6
0
2
4
0
0
1
A
,
=
2
7
3
B
y
=
9
8
4
C
a) Calcula la matriz inversa de A.
b) Realiza la operación A−1(C−B)
c) Calcula el vector
=
z
y
x
X
, que verifique la ecuación AX+B=C.37. Dadas la matrices
=
1
0
1
2
2
1
A
; − = 1 1 2 1 1 3
B y
−
−
=
1
1
1
1
2
1
0
1
1
C
, resuelve matricialmente38. Resuelve la siguiente ecuación matricial sabiendo que 2X +AX =B, donde X es la
matriz incógnita y A es la matriz
0
0
0
2
0
0
0
2
0
, y
−
=
5
0
3
2
1
1
B
.39. Madrid’04. Dadas las matrices
−
−
−
=
2
1
5
1
1
3
0
0
1
A
y
−
=
0
0
0
0
1
0
0
0
1
B
. Se pide:a) Halla A−1
b) Halla la matriz X, tal que AXAt =B
40. C-Mancha’04.
a) Determina la matriz X para que la ecuación C·(A+X)·B=I tenga solución, siendo A, B y C matrices con inversa de orden n, e I es la identidad de orden n.
b) Aplica el resultado anterior para
= 2 1 4 3 A = 1 0 1 1 B = 1 1 0 1 C
41. Resuelve la ecuación matricial
= − − 3 1 2 0 1 1 2 1 · · 1 0 1 2 u z y x
42. C-León’04. Sea
− − = 2 1 1 2 · 3 1
B . Halla la matriz X que verifique XB+B=B−1
43. Sean la matrices
− = 15 4 0 2
A y
− − = 9 2 1 1
B . Se sabe además que
= + = + B Y X A Y X 2 3 3 5 .
Calcula
x
2+
y
2.44. Si
= 7 2 4 7 12 5
X , e
= 35 10 20 0 25 11
Y , y sabemos que
= + = + Y B A X B A 2 3 2
. Calcula las
matrices A y B.
45. Sea k un número natural y sean las matrices
=
1
0
0
0
1
0
1
1
1
A
,
−
=
1
1
0
B
yC
=
(
1
1
2
)
.a. Halla Ak.
b. Halla X que verifique AkX =BC
46. Calcular los valores x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4que satisfacen las siguientes ecuaciones:
= − = − C AY AX B AY AX · 2
, donde
=
4 3 2 1x
x
x
x
X
,
=
4 3 2 1y
y
y
y
Y
, − − = 3 1 5 2 A , − = 1 11 0 18
B y
47. (CV-Junio’06) Dadas las matrices
=
2
3
1
A
,
−
=
2
2
7
B
,
=
1
0
0
0
1
0
0
0
0
C
,
=
2
2
0
D
y
=
3
5
2
E
,calcular razonadamente la matriz
=
z
y
x
X
que satisface la ecuación (ABt +C)X =(AtD)ECuando no se puede despejar o no existe inversa….
48. Extremadura’04. Halla las matrices X tales que A·X = X·A, donde
= 1 1
1 1
A
49. Halla todas las matrices permutables con
= 2 0
0 1
A .
50. Encuentra todas las matrices A que verifican la ecuación
= ⋅
2 0 0
1 0 0 2
0 1 0
A .
Cuestiones de determinantes
51. Contesta:
a) Sea A una matriz cuadrada tal que A3 =I ¿Cuánto vale det(A)? b) Si An =I, ¿Cuánto vale det(A)?
52. Considerando que det(A·B)=det(A)·det(B), y otras propiedades de los determinantes::
a) Justifica que
) det(
1 ) det( 1
A
A− = .
b) Si A y B son dos matrices con
A
=
3
yB
=
2
, calcula:☺ A−1
☺ BtA
☺ (AB )−1 t
c) Demuestra que si A2 =A
Problemas finales de matrices y determinantes
53. (CV-Junio’06) A es una matriz 3x3 tal que
−
−
−
−
=
2
1
1
1
0
1
0
1
2
2A
y
−
−
−
=
3
2
2
0
1
2
2
0
1
3A
. Sepide:
a. Calcular el determinante de A3y la matriz inversa de A3
b. Calcular la matriz fila X =(x,y,z) que es solución de la ecuación matricial
2 3
BA
XA = , donde B es la matriz fila B=(1,2,3)
c. Calcula la matriz inversa de A
54. (CV-Septiembre’06) Dadas la matrices
−
−
−
=
3
4
2
1
1
1
1
2
2
A
y
−
−
−
=
1
2
1
1
3
1
1
4
2
T
se pide:a. Probar que la matriz A tiene inversa y calcúlala.
b. Dada una matriz incógnita B, tal que A=T−1BT, calcula el determinante de B
c. Obtener los elementos de la matriz B considerada en el apartado anterior.
55. (CV-Junio’01) Contesta a las siguientes preguntas:
a. Con la inversa de la matriz
2 4
3 2
resolver
= +
= +
8 2 4
8 3 2
y x
y x
.
b. Obtén razonadamente la matriz inversa de una matriz A, cuadrada y de orden 3, sabiendo que 3
2
I A
A + = .
56. (CV-Septiembre’02) Si tenemos las matrices reales:
= 4 9
8 5
A
− − =
2 3 2
1 1 1
B
−
−
=
4
1
2
3
1
2
C
= 2 1
7 3
D
se pide que:
a. Calcular la matriz M = A−2BC. b. Justifica que existe la matriz −1
D inversa de Dy calcúlala.
57. (CV-Septiembre’03) Se consideran las matrices cuadradas reales de orden 2,
= 3 2
2 1
P y
= 3 0
0 2
Q , calcular:
a. La matriz −1 P
b. La matiz real cuadrada X de orden 2, tal que P−1XP=Q.
c. La matriz
(
PQP−1)
258. Dada la matriz
−
−
−
=
4
3
1
5
4
1
4
3
0
A
, se pide:a. Comprueba queA3+I =O, siendo I la matriz identidad y O la matriz nula.
b. Justifica que A tiene inversa y obtenla.
c. Calcula A100
59. Sea la matriz
−
−
−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B
a. Comprueba razonadamente que B3 −2B2 =O
b. Halla razonadamente Bn.
60. CV Junio 2010 Dadas las matrices cuadradas
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
I
y
−
−
−
=
2
3
3
2
3
2
1
1
2
A
, se pide:a. Calcular las matrices 2
)
(A−I y A(A−2I)
b. Justificar razonadamente que:
I. Existen las matrices inversas de las matrices A y A-2I
II. No existen las matrices inversas de A-I
Unidad 3: Sistemas de ecuaciones.
Esquema.1. Introducción:
• Terminología.
• Clasificación de los sistemaslineales. • Notación matricial:
2. Metodo de Gauss de resolución de sist. Ecuc.
3. Resolución de sistemas de ecuaciones por la matriz inversa. 4. Método de Cramer.
5. Teorema de Rouché-Frobenius. • Enunciado y aplicación.
• Discusión de S.L.E. con parámetros.
Actividades de P.A.U.
1. Dado el siguiente sistema
= + −
= + +
3 1 2
z y x
z y x
añadir una ecuación para que sea:
a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado. c) Incompatible.
2. Dado el sistema
− = −
= −
1 2 1
a ay x
y ax
determinar el valor del parámetro a para que:
a) No tenga ninguna solución. b) Tenga infinitas soluciones. c) Tenga una única solución.
d) Tenga una solución en la que x=3.
3. Si el rango de la matriz de los coeficientes de una sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas es 1. ¿qué rango puede tener como máximo la matriz ampliada?. Razona tu respuesta.
4. ¿Qué valores tienes que tomar las constantes a, b y c para que el sistema se compatible?
=
+
+
=
+
+
=
+
+
c
z
y
x
b
z
y
x
a
z
y
x
3
3
3
2
2
2
5. Resolver por el método de Gauss el sistema:
= + + +
= + − +
= + + +
= + + +
25 4
16 64
3 9 8 7 6
3 5 4 3 2
2 4 3 2
u z y x
u z y x
u z y x
u z y x
6. De los siguientes sistemas , analiza los que sean compatibles y resuelvelos :
a)
=
+
=
+
−
=
+
+
1
6
4
2
5
9
4
8
y
x
z
y
x
z
y
x
b)
=
−
−
−
=
+
−
=
+
−
4
5
5
2
10
8
6
6
3
6
z
y
x
y
x
z
y
x
c)
=
−
−
=
−
=
+
+
8
3
7
5
4
3
1
z
y
x
y
x
7. Dado el sistema de ecuaciones lineales
=
+
+
=
+
+
=
+
+
α
z
y
x
z
y
x
z
y
x
2
3
3
6
4
3
5
2
3
6
, se pide:
a) Justificar que para cualquier valor del parámetro real
α
, el sistema tiene solución única b) Hallar la solución del sistema en función del parámetroα
c) Determinar el valor
α
para el que la solución (x,y,z) del sistema satisface x+y+z=18. Discute el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes valores λ e interprétalo geométricamente. Resuélvelo para λ=3.
=
−
−
+
=
+
+
−
=
+
0
)
1
(
)
1
(
1
z
y
x
z
y
x
z
y
λ
λ
λ
9. Analizar el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a, y resolverlo cuando sea
posible hacerlo.
=
−
−
=
−
+
=
+
−
0
4
3
0
3
2
0
2
az
y
x
z
y
x
z
y
x
.
10. Sea el sistema de ecuaciones AX=B definido por las matrices:
A=
m
5
3
1
2
1
1
1
1
X=
z
y
x
B=
8
3
k
a) ¿Para qué valores de m y k el sistema tiene solución única? Calcúlala por Cramer si se puede..
b) ¿Para qué valores de m y k el sistema tiene infinitas soluciones? Exprésalas. c) ¿Para qué valores de m y k el sistema no tiene solución?
d) Discute el sistema considerando que la matriz B tiene todos sus elementos nulos.
11. Determina, según los valores de a, en qué casos el siguiente sistema tiene solución, y resuélvelo
cuando se pueda:
=
+
+
=
−
+
−
+
=
+
+
2 2 2
2
)
1
(
)
1
(
a
az
y
ax
a
z
a
y
a
ax
a
z
y
ax
12. El sistema de ecuaciones lineales
= + +
= + +
= + +
2 2 2
2 1
α
α
α
α
α
α
α
α
z y x
z y x
z y x
depende del parámtro
α
. Discutir paraqué valores de
α
es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado, y resolverlo en los casos posibles.13. Estudiar según los valores de a el sistema:
=
+
+
+
−
=
+
+
+
=
+
+
a
z
y
ax
a
az
y
x
a
z
ay
x
)
1
(
2
2
Resolverlo por la regla de
Cramer para a= -1.
14.Estudia y resuelve en caso de compatibilidad:
+ = + + +
+ = + + +
+ =
+ + +
3 4
2 3
2
3 )
1 (
3 )
1 (
3 )
1 (
a a z
a y x
a a z
y a x
a a z
y x a
15.Discutir según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones:
= + −
= − −
= + +
= + +
a z y x
z y x
z y x
a z y ax
3 6
1 3
1
2
16. Estudiar si existe algún valor de m, para elcual el sistema es compatible. Si es así, resolver el
sistema para ese valor de m:
= − + −
= − +
= − +
= + −
3 1 4 2
7
z y z
z y x
m z my x
z y x
17. Estúdiese, según los valores de los parámetros λ y µ, la compatibilidad del siguiente sistema:
−
=
+
−
=
+
+
=
−
−
10
5
4
5
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
λ
µ
.
18. Discute y resuelve cuando sea posible, los sistemas de ecuaciones en función de los valores de los parámtros a y b.
a)
=
+
+
=
+
+
=
+
+
2
1
b
az
y
x
b
z
ay
x
z
y
ax
b)
=
+
−
=
+
−
=
−
+
2
6
5
4
3
bz
y
x
a
z
y
x
z
y
x
c)***
=
+
+
=
+
+
=
+
+
0
0
0
z
by
ax
bz
by
ax
az
ay
ax
19. Dadas las matrices
− =
1 1
4 6
A y
=
y x
X , se pide:
a) Obtener razonadamente todos los valores
α
para los que
0 0
es la única solución de la
ecuación matricial AX =
α
Xb) Resolver la ecuación matricial AX =2X
61. Se considera
− − =
1 1 1
2
1
λ
A y
=
2
0
0
3
1
λ
B
dondeλ
es un número reala. Halla
λ
para que AB sea invertiblec. Dados a, b números reales cualesquiera, ¿Puede ser
=
⋅
b
a
z
y
x
A
compatibledeterminado?
62. CV Junio 2010 Dado el sistema de ecuaciones lineales que depende de los parámetros a,b y c
−
=
+
−
=
−
−
=
+
+
b
cz
y
ax
a
cz
by
x
c
z
by
ax
4
2
5
2
2
3
3
2
se pide:
a) Justificar razonadamente que para los valores de los parámetros a=0; b=-1 y c=2 el sistema es incompatible
b) Determinar razonadamente los valores de los parámetros a, b y c para los que se verifica que (x,y,x)=(1,2,3) es solución del sistema.
c) Justificar si la solución (x,y,z)=(1,2,3) del sistema del apartado b) es, o no, única.
63. Un automóvil sube las cuestas a 54 Km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 Km/h.Para ir de A a B tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos.¿Cuál es la longitud total del camino llano entre A y B, Si la distancia entre A y B es de 192Km?
64. El acero es una aleación de hierro, cromo y níquel. Se dispone de aceros con la tres aleaciones indicadas en la tabla:
Alea. I Alea. II Alea. III
Fe 70% 74% 78%
Cr 22% 18% 10%
Ni 8% 8% 12%
Fundiendo estas tres aleaciones, se desea obtener una tonelada de acero del tipo Fe: 72%, Cr: 18% y Ni: 10%.
a) Calcula el peso de acero que hay que tomar de cada clase.
b) Con los tres tipos de acero que aparecen en la tabla, ¿Se podría obtener cualquier tipo de acero?
