Monterrey, Nuevo León a
Lic. Arturo Azuara Flores:
Director de Asesoría Legal del Sistema
Por medio de la presente hago constar que soy autor y titular de la obra
titulada
en los sucesivo LA OBRA, en virtud de lo cual autorizo a el Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (EL INSTITUTO) para que
efectúe la divulgación, publicación, comunicación pública, distribución y
reproducción, así como la digitalización de la misma, con fines académicos o
propios al objeto de EL INSTITUTO.
El Instituto se compromete a respetar en todo momento mi autoría y a
otorgarme el crédito correspondiente en todas las actividades mencionadas
anteriormente de la obra.
Modelación de un Robot Manipulador Tipo Delta y Diseño de
un Controlador Supervisorio Difuso para el Control de
Posición-Edición Única
Title
Modelación de un Robot Manipulador Tipo Delta y Diseño
de un Controlador Supervisorio Difuso para el Control de
Posición-Edición Única
Authors
Gilberto Reynoso Meza
Affiliation
ITESM-Campus Monterrey
Issue Date
2005-12-01
Item type
Tesis
Rights
Open Access
Downloaded
19-Jan-2017 13:14:29
INSTITUTO TECNOL ´
OGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
DIVISI ´ON DE INGENIER´IA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIER´IA
Modelaci´on de un robot manipulador tipo Delta y dise˜
no de un controlador supervisorio
difuso para el control de posici´on
TESIS
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACAD´EMICO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS CON
ESPECIALIDAD EN AUTOMATIZACI ´
ON
POR:
GILBERTO REYNOSO MEZA
INSTITUTO TECNOL ´
OGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE
MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
DIVISI ´ON DE INGENIER´IA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIER´IA
Los miembros del comit´e de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por el Ing. Gilberto Reynoso Meza sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado acad´emico de:
Maestro en ciencias con Especialidad en Automatizaci´on
Comit´e de Tesis:
————————————————– Dr. Antonio Favela Contreras
Asesor
————————————————– ————————————————–
Ing. Manuel Cabrera Dr. Jos´e de Jes´us Rodr´ıguez
Sinodal Sinodal
Aprobado:
————————————————– Dr. Federico Viramontes Brown
DEDICATORIA
A MIS PADRES
Por todo el cari˜
no y disciplina con que me criaron:
es lo que me mantiene siempre a flote.
A MI HERMANO
Por todo el apoyo
que siempre me ha brindado
en cada proyecto emprendido
A T´
IA Y ABUELITA
Por creer tanto en m´ı
A DIOS
AGRADECIMIENTOS
Deseo expresar mi agradecimiento a quienes apoyaron el desarrollo de
´este trabajo, as´ı como a aquellos que continuar´an contribuyendo a la l´ınea
de investigaci´on que se abre con ´esta tesis:
Al Dr. Antonio Favela, por su apoyo como asesor en ´este proyecto.
Al Dr. Jos´e de Jes´
us Rodr´ıguez y al Ing. Manuel Cabrera por su valiosa
participaci´on como sinodales.
A los participantes en el desarrollo del prototipo del manipulador
Delta
Black Widow
: Adri´an, Alfonso, Crist´obal, H´ector, Joel, Johnatan, Manuel
y Rebeca
A Pedro y Joel que continuar´an trabajando con el manipulador y
apor-tar´an valiosos resultados sobre el mismo.
A la MAT, que sin su apoyo por medio del grupo de tesistas no hubiese
ordenado muchas de las ideas aqu´ı expuestas.
Al honorable equipo de instructores SIM-ASM por desafiar mis apuestas.
Abstracto
Los manipuladores tipo Delta [6] pertenecen a la familia de manipuladores paralelos o
de cadena cinem´atica cerrada, los cu´ales presentan la singular ventaja de alcanzar altas
aceleraciones al compararse con su contraparte, los robots manipuladores seriales o de
cadena cinem´atica abierta. Lo anterior se debe a que en un manipulador paralelo disminuye
el n´
umero de masas en movimiento.
Las altas aceleraciones conllevan a dise˜
nos de arquitecturas de control diferente, que
puedan lidiar con las velocidades con las que se espera se desempe˜
nen tales manipuladores,
logrando una alta repetibilidad en las posiciones requeridas, con el menor tiempo y sin
sobreimpulso.
En el siguiente documento se presenta la modelaci´on de un manipulador tipo Delta
con actuadores rotacionales y se propone el dise˜
no de un control supervisorio difuso para
posici´on para el mismo. Con dicho control supervisorio se mejor´o el desempe˜
no de un lazo
de control PID existente que trabaja sobre la posici´on articular del manipulador.
´
Indice general
Abstracto . . . i
´Indice . . . ii
Listado de figuras . . . v
Listado de tablas . . . vii
1. Introducci´on 1 1.1. Definici´on del problema . . . 2
1.2. Hip´otesis . . . 2
1.3. Metodolog´ıa . . . 2
1.4. Objetivos generales . . . 3
1.5. Objetivos espec´ıficos . . . 3
1.6. Alcances . . . 3
1.7. Estructura del escrito . . . 3
2. Rob´otica y esquemas de control 4 2.1. Introducci´on . . . 4
2.2. Definici´on y clasificaci´on de los robots . . . 4
2.2.1. Clasificaci´on por el espacio alcanzable . . . 5
2.2.2. Clasificaci´on por la estructura cinem´atica . . . 7
2.3. Esquemas de control . . . 9
2.3.1. Modelaci´on din´amica . . . 9
2.3.2. Control de manipuladores . . . 10
2.4. Resumen . . . 13
3. Manipulador Delta 14 3.1. Introducci´on . . . 14
3.2. Antecedentes hist´oricos del manipulador Delta . . . 15
3.2.1. Patentes asociadas al manipulador . . . 17
3.2.2. Aplicaciones del manipulador Delta . . . 17
3.3. Modelos Cinem´aticos . . . 20
3.3.1. Planteamiento general . . . 20
3.3.2. Problema cinem´atico directo . . . 23
3.3.3. Problema cinem´atico inverso . . . 24
3.4.1. Planteamiento general . . . 25
3.5. Espacio alcanzable del manipulador . . . 26
3.5.1. Maximizaci´on del espacio de trabajo . . . 27
3.6. Desarrollo del prototipo manipulador delta . . . 30
3.7. Simulaciones . . . 33
3.8. Resumen . . . 33
4. Dise˜no del esquema de control para el manipulador delta 35 4.1. Introducci´on . . . 35
4.2. Antecedentes control difuso . . . 35
4.2.1. Conjuntos difusos . . . 35
4.2.2. L´ogica difusa . . . 36
4.3. Control difuso . . . 36
4.3.1. Proceso de Fuzificaci´on . . . 37
4.3.2. Mecanismo de Inferencia Difusa . . . 40
4.3.3. Proceso de Defuzificaci´on . . . 41
4.4. Estrategia de control propuesta . . . 42
4.4.1. Sintonizaci´on del lazo de control convencional . . . 43
4.4.2. Sintonizaci´on del control supervisorio difuso . . . 45
4.5. Resumen . . . 47
5. Pruebas y Resultados 48 5.1. Introducci´on . . . 48
5.2. Resultados . . . 48
5.2.1. Prueba I.A . . . 48
5.2.2. Prueba I.B . . . 52
5.2.3. Prueba II . . . 55
5.3. Discusi´on de resultados . . . 55
6. Conclusiones y trabajo a futuro 57 6.1. Introducci´on . . . 57
6.2. Modelaci´on matem´atica del manipulador Delta . . . 57
6.3. Propuesta de controlador supervisorio difuso . . . 58
6.4. Implementaci´on del control supervisorio . . . 58
6.4.1. Impacto de la investigaci´on . . . 58
6.5. Trabajo futuro . . . 59
6.5.1. Dise˜no para el control . . . 59
6.5.2. Dise˜no de supervisores difusos . . . 59
6.5.3. Control de posici´on, trayectoria y velocidad del manipulador delta . . . 59
B. Programaci´on de modelos matem´aticos 72 B.1. Cinem´atica . . . 72 B.2. Espacio alcanzable . . . 75
C. Modelaci´on Digital 78
C.1. Din´amica . . . 78
´
Indice de figuras
2.1. Sistema rob´otico . . . 5
2.2. Manipulador del tipo cartesiano. . . 6
2.3. Manipulador del tipo cil´ındrico . . . 6
2.4. Manipulador esf´erico . . . 7
2.5. Manipulador tipo scara . . . 7
2.6. Manipulador tipo articulado . . . 8
2.7. Manipulador ECA(a)y ECC(b) . . . 9
2.8. Esquema de control PD . . . 11
2.9. Esquema de control por antealimentaci´on . . . 11
2.10. Lazo de control por par computado . . . 12
2.11. Lazo de control general para un manipulador con referencia articular en la posici´on. . . 12
2.12. Lazo de control general para un manipulador con referencia espacial en la posici´on. . . 13
2.13. Lazo de control general para un manipulador con referencia espacial tanto en posici´on como en velocidad. . . 13
3.1. Robot Delta, US Patent number 4,976,582 [6] . . . 15
3.2. Esquemas del manipulador Delta . . . 16
3.3. Patentes con referencia al Manipulador Delta . . . 18
3.4. Aplicaciones industrial del manipulador Delta . . . 18
3.5. Aplicaciones metal-mec´anicas del manipulador Delta . . . 19
3.6. Parametrizaci´on del manipulador Delta . . . 21
3.7. Detalle del ´angulo alpha en los brazos de control . . . 22
3.8. Sistema de referencia para la modelaci´on . . . 23
3.9. Espacio alcanzable t´ıpico de un manipulador Delta (vistas isom´etrica y superior) . . . 26
3.10. Casos del espacio de trabajo de un brazo del manipulador . . . 28
3.11. Comportamiento del espacio alcanzable del manipulador . . . 29
3.12. Estructura del manipulador delta prototipo . . . 30
3.13. Prototipo Delta . . . 31
3.14. Espacio alcanzable prototipo manipulador Delta . . . 32
3.15. Esquema general de la electr´onica del manipulador delta prototipo . . . 33
4.1. Lazo de control de un controlador difuso . . . 36
4.2. Etapas del control difuso . . . 37
4.4. Funci´on L . . . 38
4.5. Funci´on Triangular Λ . . . 39
4.6. Funci´on Trapezoidal Π . . . 39
4.7. Regla de defuzificaci´on por singletons . . . 42
4.8. Esquema general del control supervisorio autom´atico en un lazo de control . . . 42
4.9. Esquema de control supervisorio propuesto para el manipulador Delta . . . 43
4.10. Identificaci´on . . . 44
4.11. Conjuntos difusos de entrada: error(a) y cambio en el error(b,c) . . . 46
4.12. Acci´on de control del supervisor . . . 47
5.1. Prueba I.A con carga de 1.5 kilogramos . . . 49
5.2. Prueba I.A con carga de 1.5 kilogramos . . . 50
5.3. Prueba I.B con carga de 2.0 kilogramos . . . 53
5.4. Prueba I.B con carga de 2.0 kilogramos . . . 54
5.5. Prueba II.B con carga de 2.0 kilogramos . . . 56
5.6. Prueba II.B con carga de 2.0 kilogramos . . . 56
6.1. Propuesta de implementaci´on del esquema de control supervisorio en el manipulador delta prototipo. . . 60
´
Indice de tablas
3.1. Patentes americanas asociadas al manipulador DELTA . . . 17
3.2. Caracter´sticas del manipulador ABB flexpicker . . . 18
3.3. Caracter´sticas del cortador de madera Pegasus . . . 19
3.4. Caracter´sticas del torno de control num´erico Index V110 . . . 19
3.5. Espacio alcanzable del manipulador delta al variar la posici´on angular de sus brazos. . . 27
4.1. Tabla implicaciones difusas . . . 41
4.2. Tabla implicaciones difusas para el supervisor . . . 45
5.1. ´Indices de desempe˜no Prueba I, 1.5 kilogramos . . . 51
5.2. ´Indices de desempe˜no Prueba I, 1.5 kilogramos . . . 51
5.3. ´Indices de desempe˜no Prueba I, 2.0 kilogramos . . . 52
5.4. ´Indices de desempe˜no Prueba I, 2.0 kilogramos . . . 52
1
Introducci´
on
El empleo de robots manipuladores se ha consolidado en diversos sectores industriales gracias a las conveniencias que brindan en la realizaci´on de numerosas tareas. Se les puede emplear en ambientes de alto riesgo para el operador humano, en tareas de alta precisi´on, repetitivas o que es necesario realizar de forma cont´ınua y constante.
Para poder llevar a cabo tales tareas, es necesario programar las mismas, por lo que es necesario dentro del ambiente industrial ense˜nar al manipulador las posiciones requeridas y programar la actividad que desempe˜nar´a. Una vez hecho esto, y almacenada la informaci´on en el controlador del manipulador, ´este debe ser capaz de reproducir las tareas que le son requeridas de forma aut´onoma bajo las condiciones establecidas de operaci´on como pueden ser trayectoria, velocidad y aceleraci´on. Para garantizar lo anterior, es necesario un buen dise˜no del esquema de control para el manipulador.
Como consecuencia de los efectos de la gravedad, la fricci´on, de las masas inerciales en movimiento y la variabilidad en la carga a desplazar por el manipulador, ´este se convierte en un sistema din´amico no lineal, de manera que los esquemas de control, para lograr un buen desempe˜no, deben ser propuestos para trabajar alrededor de un punto de operaci´on, o ser lo suficientemente robustos y/o adaptables para lidiar con dichas no linealidades.
Los manipuladores de cadena cinem´atica cerrada o paralelos, son una clasificaci´on de robots que son capaces de alcanzar grandes aceleraciones, ya que por su configuraci´on, se reducen significativamente las masas en movimiento. Sin embargo, lo anterior demanda tomar en cuenta consideraciones diferentes a las de los manipuladores conocidos como seriales para el establecimiento de un esquema de control.
El manipulador Delta pertenece a la familia de los robots de estructura cinem´atica cerrada, siendo posiblemente el manipulador m´as simple de dicha clasificaci´on capaz de operar en el espacio. Su topolog´ıa le permite realizar tareas similares a las de los robots cartesiano y SCARA que operan en el espacio sin cambiar la orientaci´on de su efector final dentro de su espacio de trabajo. El manipulador Delta es capaz de alcanzar aceleraciones varias veces la de la gravedad, al coste de tener un espacio de trabajo m´as limitado y dif´ıcil de modelar. Esquemas de control convencionales han sido documentados en tal manipulador con buenos resultados [16], sin embargo, expertos concuerdan con que es necesario a´un llevar a cabo investigaci´on en el empleo de estrategias de control avanzadas como son el control difuso, adaptivo experto o deslizante [14, 15, 13].
experiencia de operadores y expertos en el control de procesos, lo cual puede permitirle tener un buen desempe˜no en zonas altamente no lineales [7]. El control supervisorio es un esquema que, observando el desempe˜no del lazo de control en un proceso, tomar´a decisiones en el ajuste de par´ametros del mismo, con objeto de mejorar su respuesta.
El objeto del presente trabajo es dise˜nar una estrategia de control no convencional como lo es la l´ogica difusa dentro de un esquema de control supervisorio para mejorar el control de posici´on que ofrece un controlador PID, cuando la operaci´on del sistema se encuentre en regiones fuera del rango de linealizaci´on. Dicho esquema supervisorio tomar´a sus decisiones a partir del error y la referencia articular en cada uno de los actuadores del manipulador.
1.1.
Definici´
on del problema
Se identifica un ´area de oportunidad en el control de posici´on y velocidad en manipuladores paralelos tipo Delta con actuadores rotacionales. No se tienen reportadas estructuras de control no convencionales ni avanzadas en el manipulador tipo Delta. Se opta por la plataforma tipo Delta por que proporciona las ventajas de la familia de los manipuladores de estructura cinem´atica cerrada siendo la plataforma m´as sencilla de implementar.
1.2.
Hip´
otesis
La arquitectura de control supervisorio difuso en un manipulador Delta con actuadores rotacionales es justificable por mejorar el desempe˜no en el control de posici´on de un controlador convencional PID.
1.3.
Metodolog´ıa
Con el objetivo de probar la Hip´otesis de ´este trabajo se sigui´o la siguiente metodolog´ıa:
1. Deducir los modelos matem´aticos que gobiernan al manipulador, como lo son el modelo cinem´atico y din´amico.
2. Desarrollar un modelo digital del manipulador con base a los modelos matem´aticos deducidos.
3. Determinar los par´ametros f´ısicos y geom´etricos para la simulaci´on del manipulador.
4. Seleccionar una regi´on del manipulador para realizar una linealizaci´on
5. Sintonizar un controlador PID convencional en el ´area definida en el punto anterior.
6. Dise˜nar el controlador difuso supervisorio.
7. Definir las pruebas para comparar el desempe˜no del lazo de control PID convencional con el esquema propuesto.
8. Realizar las pruebas de simulaci´on.
9. Analizar los resultados obtenidos de las pruebas.
1.4.
Objetivos generales
Objetivo tecnol´ogico: dise˜nar y construir un manipulador tipo Delta que sirva como banco de pruebas para nuevos esquemas de control.
Objetivo cient´ıfico: implementar arquitecturas de control difuso en el manipulador Delta con ac-tuadores rotacionales, demostrando la factibilidad de su empleo y la mejora en el lazo de control convencional.
1.5.
Objetivos espec´ıficos
Dise˜nar e implementar un banco de pruebas para algoritmos de control de manipuladores tipo Delta con actuadores rotacionales.
Dise˜nar e implementar un simulador digital del manipulador Delta con actuadores rotacionales.
Dise˜nar de la arquitectura del controlador difuso supervisorio.
Implementar el esquema de control propuesto en el simulador desarrollado.
1.6.
Alcances
El alcance de la presente tesis abarcar´a la modelaci´on del manipulador Delta con actuadores rota-cionales, el dise˜no de un control supervisorio difuso para el mismo y su implementaci´on en simulaci´on.
1.7.
Estructura del escrito
2
Rob´
otica y esquemas de control
2.1.
Introducci´
on
El uso de robots industriales se ha consolidado en numerosos procesos de manufactura. Se les emplea cuando las tareas representan un riesgo en la seguridad del operador, cuando es necesario realizar tareas de gran precisi´on, cuando se requiere disminuir desperdicio o producto rechazado en un proceso o cuando es necesario llevar a cabo tareas repetitivas de forma r´apida y precisa durante extensos per´ıodos de tiempo [20].
Para poder llevar a cabo las tareas que demandan los procesos industriales, son necesarias arquitecturas y esquemas de control que permitan a los robots cumplir con los movimientos, trayectorias, tiempos y velocidades que son requeridas.
En el presente cap´ıtulo se dar´a una introducci´on a la rob´otica industrial de manera que se expondr´a su clasificaci´on, sus caracter´ısticas generales, ventajas y desventajes. As´ı mismo, se presentar´an los esquemas de control que han sido empleados en este campo con objeto de cumplir con los requerimientos que demanda la industria para incorporar a los robots dentro de sus procesos.
2.2.
Definici´
on y clasificaci´
on de los robots
El Instituto de Rob´otica de Am´erica define a un robot como ”‘un manipulador reprogramable y mul-tifuncional dise˜nado para mover materiales, partes, herramientas o artefactos especializados a trav´es de variables movimientos programados para el desempe˜no de una variedad de tareas”’.
En general un sistema rob´otico (figura 2.1) consiste de un manipulador mec´anico, un efector final, un controlador, una computadora, y en ocasiones, de un sistema de visi´on [24]. El primero de ellos, el manipulador mec´anico, est´a compuesto por eslabones conectados por articulaciones. El efector final es el elemento por medio del cual el sistema manipula su ambiente. El controlador puede ser desde lo m´as simple, como lo es un control PD, o alguna estrategia m´as avanzada. Finalmente, la computadora, es el elemento por medio del cual se puede llevar a cabo velozmente c´omputo en tiempo real para la implementaci´on de acciones de control complejas.
Figura 2.1: Sistema rob´otico
en el espacio, debe contar con al menos seis articulaciones o grados de libertad [21]. La inclusi´on de otras articulaciones dar´a como resultado un robot m´as flexible para movilizarse en su espacio de trabajo (evitando, por ejemplo, obst´aculos). As´ı mismo los primeros tres grados de libertad de un robot ayudar´an para situarlo en el espacio, mientras que los restantes le ayudar´an a orientarse en el mismo. En tal caso, la configuraci´on de esos tres grados de libertad determinar´a el tipo de espacio alcanzable del manipulador.
La clasificaci´on de un sistema rob´otico puede llevarse a cabo desde varias perspectivas [24]. Citando las m´as relevantes para este documento, se tienen la clasificaci´on por su espacio alcanzable y por su estructura cinem´atica.
2.2.1.
Clasificaci´
on por el espacio alcanzable
El espacio alcanzable de un manipulador son los puntos en el espacio donde le es posible situar a su efector final. El espacio de trabajo de un manipulador lo constituye un subconjunto del espacio alcanzable y es el espacio que el fabricante define en las especificaciones del robot sin tomar en cuenta el efector final que se usar´a. El espacio alcanzable est´a en funci´on del tipo de articulaciones del robot. Dependiendo de la configuraci´on de las mismas, los manipuladores pueden ser del tipo cartesiano, cil´ındrico, esf´erico, scara o articulado. La anterior clasificaci´on se encuentra bien definida para manipuladores seriales, mas no as´ı para los manipuladores paralelos (descritos en la secci´on 2.2.2).
Cartesiano. Un robot ser´a de configuraci´on cartesiana (figura 2.2) si el espacio de trabajo donde se desempe˜na tiene una forma prism´atica de base rectangular. Tales manipuladores constan de tres articulaciones prism´aticas para resolver el problema de posici´on.
Cil´ındrico. El espacio alcanzable de un manipulador de este tipo puede ser descrito en coordenadas cil´ındricas. Es un manipulador similar al cartesiano, donde una de las articulaciones prism´aticas es reemplazada por una de revoluci´on (figura 2.3).
Figura 2.2: Manipulador del tipo cartesiano.
[image:19.612.239.381.443.608.2]sus dos primeras articulaciones son de revoluci´on con ejes que se intersectan en un solo punto, mientras que su tercera articulaci´on es prism´atica (figura 2.4).
Figura 2.4: Manipulador esf´erico
SCARA. El manipulador scara (figura 2.5) es similar al manipulador esf´erico, pero a diferencia mismo, sus ejes son paralelos entre s´ı.
Figura 2.5: Manipulador tipo scara
Articulado. Un manipulador ser´a reconocido como articulado si sus tres articulaciones son de revoluci´on (figura 2.6). En tal caso, el espacio alcanzable no tiene una forma primitiva, sino que es la composici´on de varias de ellas.
2.2.2.
Clasificaci´
on por la estructura cinem´
atica
[image:20.612.241.381.354.534.2]Figura 2.6: Manipulador tipo articulado
Un manipulador con ECA (figura 2.7a) es aqu´el donde el efector final se encuentra conectado a la base del mismo por una ´unica cadena de eslabones articulados, mientras que un robot manipulador de ECC (figura 2.7b) es considerado como aqu´el en donde su mu˜n´on (lugar donde es montado el efector final) se encuentra conectado a la base del mismo por medio de varias cadenas cinem´aticas [17]. Dicha topolog´ıa conlleva una serie de ventajas y desventajas cuando se les compara con los manipuladores de arquitectura serial, ampliamente conocidos en el sector industrial y acad´emico.
Las ventajas y desventajas en el empleo de los manipuladores de ECC son bien conocidas y se encuentran documentadas en diversos trabajos [1, 3, 17, 12]. A saber, entre las ventajas se encuentran:
Modularidad: una vez dise˜nadas, la construcci´on de las partes mec´anicas es sencilla, pues el mismo tipo de estructura es utilizada en todos los brazos del manipulador.
Baja inercia: dada la topolog´ıa de estos manipuladores, el n´umero de masas en movimiento dis-minuye.
Rigidez: los elementos del manipulador soportan cargas a tensi´on y compresi´on en vez de flexi´on. Precisi´on: los manipuladores paralelos son m´as precisos que su contraparte serial, debido a que los errores en cada articulaci´on no se acumulan como en lo segundos, sino que se dividen.
mientras que entre las desventajas se listan:
Movimiento espacial: algunas arquitecturas de los manipuladores paralelos pueden conllevar a la existencia de singularidades dentro de su espacio alcanzable, es decir, que su volumen de trabajo no es cont´ınuo, sino que presenta regiones imposibles de alcanzar.
Volumen de trabajo: Los manipuladores paralelos tienden a tener un espacio de trabajo m´as reducido que los manipuladores seriales.
Modelo Cinem´atico: La modelaci´on matem´atica de los manipuladores paralelos suele ser mucho m´as compleja que la de los robots seriales.
Figura 2.7: Manipulador ECA(a) y ECC(b)
2.3.
Esquemas de control
2.3.1.
Modelaci´
on din´
amica
Tal y como se coment´o en el prefacio de ´este documento, el sistema din´amico que constituye un sistema rob´otico es altamente no lineal, consecuencia de acciones gravitacionales sobre el robot (las cuales dependen de la posici´on o trayectoria a seguir), efectos friccionales en las articulaciones del robot (de los cuales es conocido son variantes en el tiempo) y variaciones en la carga del manipulador.
Como consecuencia de lo anterior, el modelo din´amico de un manipulador rob´otico es complicado de determinar, y a la vez, el sistema de control dif´ıcil de establecer (si se desea un desempe˜no ´optimo del sistema). Es bien conocido que la din´amica de un manipulador puede ser representada como lo describen las ecuaciones 2.1, 2.2. La primera de ellas es un modelo din´amico general, donde θ ∈ ℜn representa el vector de las variables articulares del manipulador,τ ∈ ℜn el vector de fuerzas externas aplicadas al manipulador, N una matriz que contiene los t´erminos gravitacionales y otras fuerzas que act´uan sobre las articulaciones del manipulador,C la matriz de Coriolis yM la matriz de inercia del manipulador. La ecuaci´on 2.2 representa la din´amica del manipulador en espacio de estados, donde el vectorθ1 representa las posiciones articulares del manipulador yθ2 las velocidades articulares, f[θ(t)] la aceleraci´on angular del manipulador yB[θ(t)] la matriz inercial [21].
M(θ)¨θ+C(θ,θ˙) ˙θ+N(θ,θ˙) =τ (2.1)
" ˙
θ1
˙
θ2
# =
"
θ2(t)
f[θ(t)] #
+ "
0
B[θ(t)] #
τ(t) (2.2)
Trabajo virtual [22]
El principio de trabajo virtual, o principio de D’Alambert, declara quela suma vectorial de todas las fuerzas externas e inerciales (F) actuando sobre un cuerpo r´ıgido son cero; la suma vectorial de todos los momentos externos y los pares inerciales (M) en un cuerpo r´ıgido son cero (ecuaci´on 2.3).
X
F = 0 PM = 0 (2.3)
Formulaci´on de Lagrange[22]
Se basa en la formulaci´on lagrangiana para sistemas mec´anicos (ecuaci´on 2.4)que enuncia que la deriva-da con respecto al tiempo de la parcial del Lagrangiano con respecto a la velocideriva-dad (δδLq˙i) menos la parcial
del lagrangiano con respecto a la posici´on (δL
δqi) es igual a la fuerza externa (τi)aplicada en las articulaciones
del manipulador. Esto es:
d dt
δL δq˙i
−δL
δqi
=τi (2.4)
El lagrangiano (vid.ecuaci´on 2.5) est´a definido por la energ´ıa potencial del sistema (T) y su eneg´ıa cin´etica (V).
L(q,q˙) =T(q,q˙)−V(q) (2.5)
Formulaci´on Newton-Euler [22]
La formulaci´on Newton-Euler incorpora todas las fuerzas que act´uan en cada uno de los eslabones del manipulador, de aqu´ı que las ecuaciones din´amicas resultantes incluyen todas las fuerzas que act´uan cobre cada articulaci´on del manipulador, y con ello, es posible llevar a cabo un buen an´alisis para el dise˜no de los componentes mec´anicos adecuados para el buen desempe˜no del manipulador.
2.3.2.
Control de manipuladores
Los dise˜nos de los esquemas de control se basan en los anteriores modelos din´amicos representados por las ecuaciones 2.1 y 2.2. Entre los principales, se encuentran el control proporcional-derivativo, control proporcional-derivativo con antealimentaci´on y control por par computado.
Control proporcional derivativo (PD)
El esquema de control proporcional-derivativo (figura 2.8)es el m´as sencillo y consta de un t´ermino proporcional al error ey uno derivativo al mismo, como lo muestra la ecuaci´on 2.6.
τ=−Kve˙−Kpe. (2.6)
Figura 2.8: Esquema de control PD
Antealimentaci´on de par requerido
El control por antealimentaci´on (figura 2.9), a diferencia del control PD, requiere de un modelo din´amico para calcular la manipulaci´on (torque) para movilizar al manipulador. El esquema se gobierna por la ecuaci´on 2.7.
Figura 2.9: Esquema de control por antealimentaci´on
τ=M(θ)¨θd+C(θ,θ˙) ˙θd+N(θ,θ˙d)−Kve˙−Kpe (2.7) El desempe˜no de la anterior regla de control se encuentra en funci´on de que tan buen modelo ha sido identificado para el manipulador.
Par computado
τ =M(θ)[ ¨θd−Kve˙−Kpe] +C(θ,θ˙) ˙θ+N(θ,θ˙) (2.8)
τ=M(θ)¨θd+Cθ˙+N
| {z }
τaa
+M(θ)(−Kve˙−Kpe)
| {z }
τra
(2.9)
Es importante notar que acorde con la figura 2.10, en la ecuaci´on 2.9 τaa representa el torque por antealimentaci´on yτra representa el torque por retroalimentaci´on.
Figura 2.10: Lazo de control por par computado
Los esquemas anteriores de control retroalimentan sobre la posici´on articular de cada actuador en el manipulador (vid. figura 2.11). Si el control fuese necesario considerarlo en la posici´on espacial del manipulador (figura 2.12) la modelaci´on cinem´atica del robot es necesaria para obtener un modelo directo (que relaciona posici´on articular con posici´on espacial) y uno inverso (que relaciona posici´on espacial con articular). Si adem´as es necesario controlar la velocidad espacial, es necesario el planteamiento de la matriz Jacobiana (J) en el manipulador, que relaciona velocidad articular con velocidad espacial, i.e. X˙ = Jθ˙
(figura 2.13). Lo anterior con objeto de transformar la velocidad espacial en velocidad articular para ser procesada dentro del lazo de control.
Figura 2.12: Lazo de control general para un manipulador con referencia espacial en la posici´on.
Figura 2.13: Lazo de control general para un manipulador con referencia espacial tanto en posici´on como en velocidad.
2.4.
Resumen
3
Manipulador Delta
3.1.
Introducci´
on
Aunque es dif´ıcil definir algunos aspectos en la historia de los manipuladores de estructura cinem´atica cerrada (ECC), trabajos como los de Fassi [13] y Bonev [2] concuerdan en que a lo largo de la misma, ha existido una falla en la comunicaci´on entre acad´emicos e industriales.
Es posible decir que la historia de los manipuladores de ECC moderna da inicio con tres personajes: Eric Gough, D. Stewart y Klaus Cappel. Cada uno de ellos, por su cuenta, desarroll´o conceptos de aplicaci´on de los mecanimos de cinem´atica paralela.
La m´aquina de pruebas de Eric Gough: Hacia 1947, la compa˜n´ıa Dunlop requer´ıa de un artefac-to que le permitiera someter a pruebas los neum´aticos empleados en aterrizajes. El mismo deb´ıa de ser capaz de someter a los neum´aticos a cargas combinadas para poder determinar as´ı sus propiedades. Para responder a tal necesidad, el Dr. Eric Gough construy´o el primer hex´apodo octa´edrico, que se volvi´o operacional hasta 1954.
El simulador de vuelo de D. Stewart: En 1965 aparece un art´ıculo bajo la autor´ıa de D. Stewart donde describe una plataforma de seis grados de libertad para emplearse como simulador de vuelo.
El simulador de movimiento de Klaus Cappel: Bas´andose en los mismos mecanismos que el Dr. Gough, Klaus Cappel dise˜n´o en 1962 el mismo hex´apodo octa´edrico, sin el conocimiento de los trabajos del mismo Gough o de Stewart. Este mecanismo fue patentado como un ”simulador de movimiento”por el gobierno americano en 1964.
Dentro de la familia de Robots Manipuladores Paralelos, el Robot Delta es el m´as sencillo que es capaz de trabajar enℜ3. El robot Delta fue dise˜nado y patentado por Reymond Clavel en 1991 dada la necesidad
de dise˜nar un aut´omata capaz de empaquetar productos alimenticios para cumplir con estrictas normas sanitarias en el manejo de los mismos. Por pertenecer a la familia de Robots Manipuladores Paralelos, el Robot Delta cuenta con las mismas ventajas y desventajas de los mismos. En lo particular, es un Manipulador de 3 grados de libertad que cubre su espacio de trabajo en una ´unica orientaci´on.
con objeto de implementar simulaciones del mismo que ser´an de utilidad para el dise˜no de esquemas de control, as´ı como la modelaci´on del espacio de trabajo del manipulador. Finalmente, se describir´a el prototipo de manipulador Delta que se dise˜n´o y construy´o para fines de investigaci´on de ´este trabajo y la posterior simulaci´on del mismo.
3.2.
Antecedentes hist´
oricos del manipulador Delta
Los or´ıgenes del manipulador delta se remontan a la patente 4,976,582 del gobierno estadounidense. La misma se encuentra adscrita al nombre de Reymond Clavel a quien se le reconoce como su creador. En la misma, Clavel resume su trabajo como:
[image:28.612.167.455.326.638.2]”... a device for the movement and positioning of an element in space, and in particular an industrial robot of new and advantageous configuration which enables the control of the three basis degrees of freedom in parallel form actuators arranged on a fixed support, whilst preserving the parallelism of the moving member with respect to the fixed support, and which is particular adapted to the transfer of light pieces at very high rates. None of the known devices offers such characteristics”[6].
Figura 3.1: Robot Delta, US Patent number 4,976,582 [6]
Una base fija (1).
Tres brazos de control (4).
Seis eslabones de movimiento libre (5a,5b).
Una base m´ovil (8).
Un actuador final (9,10).
Tres actuadores para el movimiento (13).
´
Este tipo de manipuladores tiene principalmente tres configuraciones: Delta con actuadores rotacionales, Delta con actuadores lineales y Delta lineal.
Delta con actuadores rotacionales: el manipulador que dise˜nara en primera instancia R. Clavel (vid.
figura 3.1). En dicho arreglo, la plataforma m´ovil se mantiene siempre paralela a la plataforma fija.
Delta con actuadores lineales: un manipulador Delta el cual, en vez de utilizar actuadores rota-cionales, emplea actuadores lineales para llevar a cabo el movimiento de la base m´ovil del mismo (vid.figura 3.2a). La base m´ovil siempre se encuentra en un plano ortogonal a las gu´ıas del robot. Delta Lineal: un manipulador Delta que emplea tambi´en actuadores lineales, sin embargo, la base m´ovil
se desplaza en planos siempre paralelos a las gu´ıas del robot (vid.figura 3.2b)
[image:29.612.103.536.386.641.2](a) (b)
3.2.1.
Patentes asociadas al manipulador
Hasta enero de 2005, el gobierno estadounidense cuenta con 45 patentes que citan al manipulador de Clavel. En la tabla 3.1 se clasifican y se listan las mismas, identific´andose los siguientes grupos:
Grupo I: patentes que proponen alg´un tipo de mejora al manipulador Delta. Grupo II: patentes de manipuladores basados en el Delta.
Grupo III: articulaciones o mecanismos.
Grupo IV: m´aquinas herramienta con tecnolog´ıa de manipuladores paralelos.
I II III IV
4,976,582 5,279,176 5,129,279 6,301,988 5,715,729 5,847,528 5,301,566 5,156,062 6,336,374 6,397,485 6,419,211 5,333,514 5,217,344 6,336,375 6,575,676 6,516,681 5,585,707 5,263,382 6,412,363 6,835,033 6,543,987 5,813,287 5,541,134 6,425,303
6,577,093 5,816,105 5,673,595 6,453,566 5,987,726 5,699,695 6,467,762 6,047,610 5,738,308 6,540,471 6,193,226 5,823,906 6,766,711 6,378,190 5,908,181 6,841,964 6,418,811 6,095,011
6,557,432 6,145,405 6,729,202 6,290,196
Tabla 3.1: Patentes americanas asociadas al manipulador DELTA
En la figura 3.3 se muestra un gr´afico de la proporci´on de patentes producidas ralacionadas al mani-pulador Delta hasta enero del 2005.
3.2.2.
Aplicaciones del manipulador Delta
Aplicaciones industriales
En el ´ambito industrial, el manipulador Delta ha sido principalmente empleado para lo que fue con-ceptualizado por su dise˜nador: para el traslado de objetos en el espacio (i.e.operaciones conocidas como ”pick-and-place”). En este sentido, Demaurex1ofrece soluciones completas de automatizaci´on, no
limit´an-dose a la venta solamente de robots, sino de celdas completas para el traslado y empaquetamiento (figura 3.4b). Adicionalmente, ABB2
incursion´o en los sectores alimenticios, farmac´euticos y electr´onicos con el desarrollo de manipuladores Delta (figura 3.4a).
1Demaurex es una empresa de origen suizo establecida en 1983, adquirida por el grupo SIG en 1999. Dicha empresa
consigui´o una licencia para trabajar con manipuladores Delta en 1987 limitados en la longitud de sus extremidades (Brazo de control + articulaci´on libre menores a 800 mm) para en 1996 adquirir la patente.
2ABB es un empresa.establecida en 1988 tras la fusi´on de las compa˜n´ıas Asea y BBC.En 1999 adquiri´o la licencia para
Figura 3.3: Patentes con referencia al Manipulador Delta
(a) (b)
Figura 3.4: Aplicaciones industriales del manipulador Delta: soluciones ofrecidas para operaciones ”Pick-and-Place”por ABB(a) y el Grupo SIG-Doboy(b)
Modelo Carga Velocidad Aceleraci´on RB 340i 1 Kg 10 m/s 100 m/s2
RB 340i/2 2 Kg 10 m/s 60m/s2
Aplicaciones metal-mec´anicas
El inter´es en aplicaciones metal-mec´anicas fue renovado en el IMTS de 1994 en Chicago, cuando las compa˜n´ıas Ingersoll, Giddings and Lewis y la Corporaci´on Hexel presentaron los primeros prototipos de m´aquinas CNC con variantes de la plataforma Stewart, otro tipo de manipulador de ECC [11, 14, 13]. Entre las tecnolog´ıas de m´aquinas-herramienta empleando alguna variante del manipulador delta encontramos al cortador de Madera Pegasus (figura 3.5a)que emplea el esquema del manipulador delta lineal (vid.tabla 3.3) y el torno de control num´erico Index V110 (figura 3.5b)que usa la arrquitectura del manipulador delta con actuadores lineales (vid.tabla 3.4).
Pegasus
Avance 120 m/min
Aceleraci´on 10m/s2
Espacio de trabajo 5000 x 1400 x 250 mm Dimensiones 11000 x 2400 x 3000 mm
Tabla 3.3: Caracter´sticas del cortador de madera Pegasus
Index V110
Husillo 10000 rpm
Avance 60m/min
Aceleraci´on 9.8m/s2
Espacio de trabajo 250 x 250 x 150 mm Dimensiones 2100 x 2100 x 2300 mm
Tabla 3.4: Caracter´sticas del torno de control num´erico Index V110
(a) (b)
3.3.
Modelos Cinem´
aticos
Dentro de la rama de la rob´otica el establecimiento del modelo cinem´atico de un manipulador es de suma importancia tr´atese de su simulaci´on digital o como herramienta para el dise˜no del esquema de control del mismo.
Se reconocen dos modelos a plantear: el de la cinem´atica directa y el de la cinem´atica inversa del manipulador. El primero de ellos consiste en determinar la posici´on del efector final con base al movimiento que ha tenido lugar en cada una de sus articulaciones y el segundo de ellos en determinar c´omo deben moverse sus articulaciones para alcanzar una posici´on en particular.
Para el caso de robots seriales existen herramientas que han resultado eficaces y robustas para el planteamiento de ambos modelos, donde se ha observado que el desarrollo de la cinem´atica directa resulta m´as simple que la cinem´atica inversa. Para los robots paralelos, usualmente se intercambian grados de dificultad en la deducci´on de dichos modelos. En el caso del manipulador Delta al tratarse del manipulador paralelo espacial m´as sencillo, ambos problemas pueden establecerse de forma que resultan econ´omicos desde el ´ambito computacional. A continuaci´on se elaboran ambos modelos desde un acercamiento geom´e-trico y vectorial. Los diagramas de flujo y programas desarrollados para la implementaci´on digital de los mismos se encuentran en el ap´endice B.1
3.3.1.
Planteamiento general
Acorde a la figura 3.6 sean:
OR: El centro de la plataforma fija del manipulador. Representar´a el punto de referencia del sistema coordenado del robot.
Ai: El punto pivote del brazoide control del manipulador con la plataforma m´ovil.
Bi: El punto pivote del antebrazoide movimiento libre con el brazo de control del manipulador.
Ci: El punto pivote del antebrazoide movimiento libre con la plataforma m´ovil del manipulador.
OEF: El punto central de la base m´ovil del manipulador. Representa el mu˜n´on del robot donde va instalado su efector final.
αi: La distancia angular que separa al puntoAi con el punto de controlA1 (vid. figura 3.7).
θi: El movimiento articular del brazoidel robot.
REF: La distancia entre los puntos OEF yCi, es decir,|OEF~ Ci|. Se establece que|OEF~C1| =|OEF~C2| =|OEF~C3|.
RR: La distancia entre los puntosORyAi, es decir,|OR~Ai|. Se establece que|OR~A1|=|OR~A2|=|OR~A3|.
a: |A~iBi|. Se establece que|A1B1~ |=|A2B2~ |=|A3B3~ |.
Figura 3.6: Parametrizaci´on del manipulador Delta
Dado lo anterior, se logra el planteamiento vectorial siguiente:
~
ORAi+A~iBi+B~iCi=OR~OEF +OEF~Ci (3.1)
Los puntosAi del manipulador son coplanares y equidistantes deOR y se encuentran sobre la circun-ferencia de radioRR Bajo el sistema de referencia definido (figura 3.8), se deduce que la posici´on para cadaAi es
~ ORAi=
cosαi −sinαi 0
sinαi cosαi 0
0 0 1
0
−RR 0
(3.2)
la posici´on paraBi:
~ AiBi=
cosαi −sinαi 0
sinαi cosαi 0
0 0 1
1 0 0
0 cosθi −sinθi 0 sinθi cosθi
0 −a 0 (3.3)
Figura 3.7: Detalle ´anguloαque separa a los brazos de control. El brazo de control I se define como fijo y sirve de referencia de los brazos II y III.
OROEF =
OEFX
OEFY
OEFZ
(3.4)
la posici´on deCi a partir deOEF
~ OEFCi=
cosαi −sinαi 0
sinαi cosαi 0
0 0 1
0
−REF 0
(3.5)
Por tanto, el planteamiento vectorial inicial puede expresarse como:
cosαi −sinαi 0
sinαi cosαi 0
0 0 1
0
−RR 0 +
1 0 0
0 cosθi −sinθi 0 sinθi cosθi
0 −a 0
+BiCi=
OEFX
OEFY
OEFZ +
cosαi −sinαi 0
sinαi cosαi 0
0 0 1
0
−REF 0
(3.6)
A partir de ahora, ser´a necesario elaborar un planteamiento geom´etrico para determinar el modelo, ya que resulta m´as sencillo que aplicar herramientas de uso com´un en los manipuladores seriales como son matrices de transformaci´on de Denavit - Hartemberg, tornillos infinitesimales, entre otros [17]. Se usar´a el hecho de que se cuentan con brazos de movimiento libre, los cu´ales pueden describir como lugar geom´etrico una esfera (vid.ecuaci´on 3.7) sea centrada enBi. Dicha esfera tendr´a radiob.
(X−u)2
+ (Y −v)2
+ (Z−w)2
=b2
(3.7)
Figura 3.8: Sistema de referencia empleado en la modelaci´on del manipulador. El eje Z+ se sit´ua hacia
arriba del manipulador
determinar la posici´on Ci. En el problema cinem´atico inverso, se resuelven tres ecuaciones, ya que en conocimiento del puntoCi, solo debe determinarse el ´anguloαpara cada brazo.
3.3.2.
Problema cinem´
atico directo
El sistema de ecuaciones que plantea el modelo cinem´atico directo corresponde al conjunto soluci´on de la intersecci´on de las tres esferas del manipulador,i.e.se trata de un sistema cuadr´atico (vid.3.8). El anterior puede ser reducido al sistema lineal 3.9 o su equivalente simplificado 3.10, que busca el conjunto soluci´on de la intersecci´on de tres planos en el espacio. Lo anterior se logra restando la ecuaci´on correspondiente al brazo II del brazo I, y la del brazo III al brazo II.
(X−Bx1)
2+ (Y −B
y1)
2+ (Z−B
z1)
2=b2
(X−Bx2)
2+ (Y −B
y2)
2+ (Z−B
z2)
2=b2
(X−Bx3)
2+ (Y −B
y3)
2+ (Z−B
z3)
2=b2
(3.8)
2(−Bx1+Bx2)X+ 2(−By1+By2)Y + 2(−Bz1+Bz2)Z=B
2
x1−B
2
x2+B
2
y1−B
2
y2+B
2
z1−B
2
z2
2(−Bx2+Bx3)X+ 2(−By2+By3)Y + 2(−Bz2+Bz3)Z=B
2
x2−B
2
x3+B
2
y2−B
2
y3+B
2
z2−B
2
z3
(3.9)
a11X+a12Y +a13Z=a10
a21X+a22Y +a23Z=a20 (3.10)
En la ecuaci´on simplificada 3.10 se tiene que ai1 =−Bxi +Bxi+1,ai2 =−Byi +Byi+1,ai3 =−Bzi
+Bzi+1 yai0 la suma de los t´erminos independientes. Lo anterior es v´alido si se considera queC1 =C2
=C3, i.e., el mu˜n´on del manipulador es puntual. De no considerarse as´ı, se usa el hecho de que Ci se encuentra en funci´on deOEF, ya que se conoce la geometr´ıa de la base m´ovil.
De la intersecci´on de los dos planos definidos en el sistema simplificado 3.10 resulta la recta param´etrica:
Y = a10a21−a11a20
a12a21−a11a22 −
a13a21−a11a23 a12a21−a11a22t
X = a10 a11 − a12 a11
a10a21−a11a20 a12a21−a11a22
+
a12 a11
a13a21−a11a23 a12a21−a11a22 −
a13 a11
t
donde por simplicidad en la notaci´onZ=t,Y =y(t) yX =x(t). Basta ahora con utilizar las ecuaciones de la recta param´etrica en 3.11 para alguna de las ecuaciones de 3.8 para resolver una ecuaci´on de segundo grado en una inc´ognitat. Sin perdida de generalidad, se emplea la ecuaci´on para el brazo I (ecuaci´on 3.12).
(x(t)−Bx1)
2
+ (y(t)−By1)
2
+ (t−Bz1)
2
=b2
(3.12)
Expandiendo los binomios al cuadrado y reagrupando para t, se logra una ecuaci´on de segfundo grado, que puede ser resuelta sin problema alguno. Posteriormente, sustituyendoten las ecuaciones 3.11 se logra la posici´on del mu˜n´on para el efector final del manipulador. El anterior modelo de la cinem´atica directa har´a posible la implementaci´on de un modelo din´amico digital del manipulador.
3.3.3.
Problema cinem´
atico inverso
Para dar soluci´on al modelo cinem´atico inverso, es necesario resolver anal´ıticamente una ecuaci´on para cada brazo, con el conocimiento del puntoCi requerido para situar al efector final enOEF.
Es posible determinar la soluci´on de la ecuaci´on mediante la implementaci´on de un m´etodo num´erico tan sencillo como lo es el m´etodo de Newton-Rhampson.
La ecuaci´on 3.7 puede reescribirse como:
(Cxi−(RR+acos(θi))sin(αi))
2+
(Cyi−(−(RR+acos(θi))cos(αi)))
2
+ (Czi−(−asin(θi)))
2−b2= 0
(3.13)
tomando la primer derivada con respecto aθi:
2(Cxi−(RR+acos(θi))sin(αi))(−asin(αi)sin(θi)+
2(Cyi−(−(RR+acos(θi))cos(αi)))(acos(αi)sin(θi))+
2(Czi−(−asin(θi)))(−acos(θi)) = 0
(3.14)
La iteraci´on de Newton-Raphsom para ecuaciones de una sola inc´ognita queda como:
(θi)n= (θi)n−1−
F((θi)n−1) F′((θ
i)n−1)
(3.15)
dondeF(θi) yF ′
(θi) est´an dadas por las ecuaciones 3.13 y 3.14 respectivamente, y a su vez es necesaria una aproximaci´on inicial para (θi)0= 0.
Con este modelo de la cinem´atica inversa del manipulador Delta ser´a posible definir trayectorias a seguir por el mismo dentro de su espacio de trabajo.
3.4.
Modelos Din´
amicos
dos problemas: el problema din´amico inverso y el problema din´amico directo. El primero de ellos, en t´erminos de control, podr´a ser empleado para el dise˜no de un esquema de antealimentaci´on, al conocerse las necesidades que tendr´a el sistema para lograr una referencia determinada. El segundo problema, es de ayuda si se desea implementar un modelo virtual del manipulador para efectuar pruebas v´ıa simulaci´on digital. A continuaci´on se deducen ambos modelos. Los programas desarrollados para la implementaci´on digital de los mismos se encuentran en el ap´endice C.1
3.4.1.
Planteamiento general
Dado el principo de trabajo virtual enunciado en 2.3, es posible plantear la formulaci´on din´amica del manipulador como:
Γ +JTG
n+ ΓG =Ibθ¨+JTFn (3.16)
donde
Γ es el vector de pares externos (manipulaci´on) que es aplicado en los actuadores.
Gn la acci´on de la aceleraci´on gravitacional sobre la base m´ovil del manipulador.
ΓG es el torque producido por la fuerza gravitacional de los tres brazos del manipulador.
Ib es la matriz de inercia del manipulador.
Fn la aceleraci´on espacial de la base m´ovil.
J la matriz Jacobiana del manipulador:
J =−
sT 1 sT 2 sT 3
−1
sT
1L1 0 0
0 sT
2L2 0
0 0 sT
3L3
(3.17)
donde por simplicidad en la notaci´on se haceBiCi=si yLi=R[0asin(θi)acos(θi)]T, dondeRes la matriz de rotaci´on en la plataforma fija del manipulador determinada porαi.
A partir de la ecuaci´on 3.16, puede plantearse la ecuaci´on 3.18 que puede ser empelada en un esquema de antealimentaci´on o de par computado paa llevar el control. As´ı mismo, puede formularse la ecuaci´on 3.19 para llevar a cabo la simulaci´on digital del sistema.
Γ =Ibθ¨+JTFn−JTGn−ΓG (3.18)
Γ +JTG
3.5.
Espacio alcanzable del manipulador
Basado en las ecuaciones 3.13 y 3.14 para el manipulador delta en la secci´on correspondiente a la cine-m´atica del manipulador, los puntos alcanzables describen una esfera de radio el antebrazo del robot, cuyo centro se encuentra en B, el codo del robot. El mismo tiene como lugar geom´etrico la circunferencia con centroAy radio el brazo del robot. Al combinar ambos lugares, se logra que el lugar geom´etrico de puntos alcanzables para uno de los brazos del robot se constituye por un toro en el espacio. De lo anterior, se deduce entonces que el espacio alcanzable por el efector final es la intersecci´on de tres toros. Formas t´ıpicas del espacio de trabajo de un manipulador delta se observan en 3.9. El espacio de trabajo se encuentra en funci´on de los par´ametros de forma del manipulador y de las reestricciones mec´anicas en el mismo.
[image:39.612.164.482.234.505.2](a) (b)
Figura 3.9: Espacio alcanzable t´ıpico de un manipulador Delta (vistas isom´etrica y superior)
Por pertenecer a la familia de manipuladores de ACC, el delta sufre de la desventaja de tener un espacio de trabajo relativamente peque˜no con respecto a sus dimensiones. Trabajos como el de Miller [19] han sido orientados a maximizar el espacio de trabajo del manipulador v´ıa la reorientaci´on en el espacio de los actuadores del manipulador. Un acercamiento m´as sencillo de implementar y con mejores resultados lo constituye [23] donde se establece una matriz de rotaci´on diferente a la de la ecuaci´on 3.2 que sit´ua al puntoAisobre la base fija del manipulador. Tal trabajo fue orientado al manipulador delta con actuadores lineales, pero puede ser extendido al manipulador delta que trata este documento. Tal extensi´on se describe a continuaci´on.
El espacio de trabajo de un manipulador se encuentra determinado por todos los puntos alcanzables por el manipulador en ℜ3. El mismo es determinante en la selecci´on de un manipulador para una tarea
3.5.1.
Maximizaci´
on del espacio de trabajo
Dado que el inter´es de determinar el espacio de trabajo del manipulador consiste en conocer los puntos alcanzables por el efector final, se partir´a de la ecuaci´on 3.7. La anterior ecuaci´on puede como la ecuaci´on 3.20.
(X−c1icos(θi))2+ (Z−c2icosθi)2+ (Z−C3isin(θi)) =b2 (3.20) Llevando cortes con planos paralelos a XY (la base fija del manipulador), se observa que para un valor determinado de Z,Z0 se logra la ecuaci´on 3.21, i.e.
(X−c1icos(θi))2+ (Z−c2icosθi)2=b2−(Z0−C3isin(θi)) (3.21) donde los puntos alcanzables por el mu˜n´on para el efector final en un valorZ0lo constituyen los puntos
x, ysobre una circunferencia de radiob2−(Z0−C3
isin(θi)) y centro en (c1icos(θi),c2icosθi). Al graficar los puntos de tales centros, se observar´ıa que se encuentran en l´ınea recta hacia el eje z del manipulador. Lo anterior es f´acilmente identificable al observar que los puntosBi se encuentran el el plano descrito por la circunferencia que se obtiene al rotar el brazo sobreAi, y solo se les encuentra proyect´andose al plano de corte.
La intersecci´on de tales ´areas de trabajo de los tres brazos para un valor deZ0 constituyen la regi´on alcanzable en dicho corte. La regi´on alcanzable es el resultado de restar el ´area de la circunferenciaC2 de laC1 (figura 3.10.
Con el anterior an´alisis, es posible plantear una aproximaci´on de dise˜no para manipuladores tipo delta similar a la documentada en [9], que busca determinar la circunferencia de radio m´aximo que puede inscribirse en cada plano de corte, suavizando as´ı el espacio alcanzable del manipulador y logrando que sea m´as sencillo inscribir el espacio de trabajo deseado para el mismo.
El cambio en la matriz de rotaci´on para la posici´onAide los brazos del manipulador impacta de forma directa en el espacio de trabajo. Es posible incluso deducir que el arreglo convencional es el que minimiza el espacio alcanzable del manipulador. En las gr´aficas 3.11 se presentan los espacios resultantes de variar la matriz de rotaci´on para algunas configuraciones y el vol´umen de trabajo resultante (tabla 3.5).
Configuraci´on Volumen espacio Alcanzable 0,120,-120 27,803,000mm3
0,150,-150 33,524,000mm3
0,90,-90 32,131,000mm3
0,60,-60 41,704,000mm3
Tabla 3.5: Espacio alcanzable del manipulador delta al variar la posici´on angular de sus brazos.
(a) (b)
[image:41.612.172.448.197.506.2](c)
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
[image:42.612.176.434.86.628.2](g) (h)
Figura 3.11: Comportamiento del espacio alcanzable del manipulador. Configuraciones de (θ1, θ2, θ3) =
Figura 3.12: Estructura del manipulador delta prototipo
De tal forma, se plantea el problema de encontrar una configuraci´on para determinar las mejores condiciones para el control de los actuadores e funci´on de los desplazamientos angulares que deben lograr. El cambio en el volumen de trabajo repercute directamente en dichos desplazamientos, y con ello, determinar las mejores condiciones en el conocimiento de la matriz inercial del manipulador. El anterior an´alisis no se encuentra definido por los alcances de este desarrollo de tesis. Se propone llevar a cabo un an´alisis exhaustivo de la Jacobiana del manipulador para estas reconfiguraciones, similar al llevado a cabo por [8].
3.6.
Desarrollo del prototipo manipulador delta
Se ha coordinado el desarrollo de un prototipo de manipulador Delta con actuadores rotacionales en el que podr´an ser evaluadas estrategias de control avanzado como ser´an control difuso, control experto, control adaptivo, control adaptivo-experto, control por espacio de estados, entre otros. Para el caso de este trabajo, se plantear´a la implementaci´on de la estrategia de control que se propone en el cap´ıtulo 4.
En la imagen 3.12 se aprecia el prototipo del manipulador delta desarrollado en el departamento de Mecatr´onica y Automatizaci´on del ITESM Campus Monterrey. Tiene una distancia del actuador al centro de la base fija de 150mm, una longitud del antebrazo de 200mm, una longitud de brazo de 400mmy una distancia del brazo al centro de la base m´ovil de 25mm.
(a) (b)
[image:44.612.84.541.168.558.2](c) (d)
define un espacio de trabajo de forma cil´ındrica de dimensiones 200 y radio 200 donde el centro de la base de dicho espacio se encuentra en (x, y, z) = (0,0,−500) mm del centro de la base m´ovil del manipulador prototipo.
(a) (b)
[image:45.612.98.504.128.508.2](c)
Figura 3.14: Espacio alcanzable del manipulador delta prototipo: frontal(a), lateral(b)e isom´etrico (c)
Cada brazo del manipulador prototipo es controlado por medio del integrado LM-629 que permite llevar a cabo el control de posici´on de los actuadores en cada brazo del robot (vid.figura 3.15). Sus actuadores son tres motores de corriente directa de 24 VC, acoplados a los brazos del manipulador por banda y un tren de reducci´on 200 : 1.
Figura 3.15: Esquema general de la electr´onica del manipulador delta prototipo
3.7.
Simulaciones
La simulaci´on digital del manipulador delta se ha implementado a partir de la ecuaci´on en espacio de estado 2.2. Las simulaciones digitales se emplearon por medio de iteraciones recursivas a partir del c´alculo de la aceleraci´on del manipulador resultado de las fuerzas externasτ, manipulaci´on del torque sobre las articulaciones del mismo.
θ2[(k+ 1)T] =θ2(kT) + [f[θ(kT)] +B[θkT]τ(kT)]T (3.22)
θ1[(k+ 1)T] =θ1(kT) + [θ2[(k+ 1)T] +θ2(kT)]T /2 (3.23)
donde T representa el tiempo de muestreo.
Los par´ametros geom´etricos de forma (longitudes brazos, antebrazos, matriz de rotaci´on paraAi, entre otros) y los par´ametros de forma (masas y aceleraciones) empleados en el simulador digital son consistentes con el prototipo expuesto con anterioridad. Por simplicidad num´erica para la simulaci´on se ha considerado que:
1. Las inercias rotacionales de los antebrazos se desprecian.
2. Las masas de los antebrazos son separadas en sus dos extremidades, de forma que en la juntaBi se concentran 2/3 de su masa, y en la juntaCi el tercio restante.
3. Los efectos de elasticidad son despreciables.
4. La distanciaren la base fija es 0, es decir,C1, C2, C3 son coincidentes.
3.8.
Resumen
4
Dise˜
no del esquema de control para
el manipulador delta
4.1.
Introducci´
on
Se propone un esquema de control supervisorio para mejorar el desempe˜no del controlador primario de la posici´on del efector final del manipulador. Tal esquema supervisorio utilizar´a un controlador difuso para mejorar el desempe˜no del controlador convencional en regiones de no-linealidad, donde la sintonizaci´on del controlador ha dejado de ser ´optima.
En ´este cap´ıtulo se expondr´a la estrategia de control y su estructuraci´on. Para ello, ser´a necesario exponer algunos antecedentes en l´ogica difusa y control difuso, para despu´es definir el control supervisorio y la forma en que el mismo ser´a dise˜nado a partir de la respuesta en lazo cerrado del sistema trabajando solamente su controlador convencional.
4.2.
Antecedentes control difuso
4.2.1.
Conjuntos difusos
En la Teor´ıa de Conjuntos Cl´asica se tiene que, dado un conjunto bien definido, un elemento pertenece o no pertenece al mismo, de forma que es posible asignar a cualquier elemento un valor entre{0,1} para poder indicar si pertenece a determinado conjunto o no. En el caso de Conjuntos Difusos, el valor que se le asigna a un elemento se encuentra entre [0,1], es decir, un intervalo enℜ(N´umeros Reales), de manera que ahora se habla de la posibilidad de pertenencia de un elemento en un conjunto determinado.
4.2.2.
L´
ogica difusa
La l´ogica cl´asica (formal) se encarga del estudio de un lenguaje simb´olico, de manera que es capaz de abstraer del mismo sus contenidos. De tal manera a cualquier proposici´on se le es posible asignar un valor de verdad (falso o verdadero). Usualmente, se conviene asignar un 1 a la proposici´on si es verdadera y un 0 si es falsa. La l´ogica formal define tambi´en operadores de manera que es capaz de relacionar proposiciones entre s´ı. Cuando esto sucede, las proposiciones se conocer´an como antecedentes que generan como resultado un consecuente con un valor de verdad. Una de las aportaciones directas de la misma es el ´algebra booleana, ampliamente utilizada en el desarrollo de ordenadores y m´aquinas de estado finito.
En el contexto de la l´ogica difusa, proposiciones, antecedentes y consecuentes ahora toman valores en el intervalo [0,1], de manera que ya no se habla del valor de verdad, sino de la posibilidad de ser verdadero o de la posibilidad de ser falso. Los operadores son similares a los de la l´ogica formal y ser´an expuestos en la secci´on 4.3.2.
4.3.
Control difuso
Por control difuso no debe entenderse un control en el que la(s) variables de manipulaci´on son desco-nocidas o que se cuente con incertidumbre en las mismas. Por control difuso debe entenderse un control en el que las variables de entrada y de salida dejan de manejarse de forma cuantitativa para ser procesadas en forma cualitativa. De lo anterior, una acci´on de control que recibe como retroalimentaci´on un nivel de temperatura, deja de procesarla cuantitativamente (ya fuese en t´erminos de oC,oF o K) para procesarla cualitativamente, por ejemplo,normal, caliente, muy caliente, extremadamente caliente. Lo mismo sucede con la variable de control, flujo de gas por ejemplo, que tomar´a valores como pueden sermucho flujo, poco flujo, mas o menos mucho flujo, por mencionar algunos. Un controlador como ´este, se observa entonces, puede ser dise˜nado de manera que se logre emigrar la experiencia emp´ırica de un operador a un sistema que lo emule de forma autom´atica.
Se dicen tres los pasos para poder llevar a implementaci´on un controlador difuso: la fuzificaci´on, el mecanismo de inferencia y la defuzificaci´on. El primero de ellos consiste en la traducci´on de variables medibles en elementos difusos (cualitativos). El Mecanismo de inferencia desprende conclusiones a partir de las variables fuzzificadas en el paso anterior. Dichas conclusiones no son cuantificables a´un, y deben pasar por un proceso de defuzificaci´on para poder ser empleadas como acciones de control de forma autom´atica.
Figura 4.2: Etapas del control difuso
4.3.1.
Proceso de Fuzificaci´
on
Para poder llevar a cabo el proceso de fuzificaci´on, es necesario definir los conjuntos difusos que ser´an empleados, de forma que puedan ser catalogadas las variables de entrada. As´ı mismo, es necesario definir los grados de membres´ıa para las variables de control. Si fuera el caso se tratase de una variable discreta, basta con definir los grados de membres´ıa de cada uno de los valores de la variable. En el caso de tratarse de una variable continua, es necesario definir entonces una funci´on de membres´ıa que asigne la posibilidad de pertenencia a cualquier valor.
Funciones de Pertenencia
Las funciones de pertenencia empleadas con mayor frecuencia se exponen a continuaci´on. Es posible emplear funciones de membres´ıa mas complejas, sin embargo, las siguientes son de f´acil implementaci´on y generan buenos resultados en el control.
Funci´on Γ :U →[0,1]: Es una funci´on seccionada definida por dos par´ametros (α, β). El primero de ellos define el valor m´aximo de la variable a fuzzificar con grado de membres´ıa 0. El segundo, define el valor a partir del cual el grado de membres´ıa de la variable es 1 (figura 4.3).
Γ(u;α, β) =
0 u < α
(u−α)/(β−α) α≤u≤β
1 u > β
Figura 4.3: Funci´on Gamma
Funci´onL:U →[0,1]: Es una funci´on seccionada definida por dos par´ametros (α, β). El primero de ellos define el valor m´aximo de la variable a fuzzificar con grado de membres´ıa 1. El segundo, define el valor a partir del cual el grado de membres´ıa de la variable es 0 (figura 4.4).
L(u;α, β) =
1 u < α
(β−u)/(β−α) α≤u≤β
0 u > β
(4.2)
Figura 4.4: Funci´on L
Funci´on Λ :U →[0,1]: Es una funci´on seccionada definida por tres par´ametros (α, β, γ) que describen un tri´angulo (figura 4.5). El primer y tercer par´ametros determinan la base del tri´angulo, mientras que el segundo par´ametro determina el valor ´unico de la variable con grado de membres´ıa 1.
Λ(u;α, β, γ) =
0 u < α
(u−α)/(β−α) α≤u≤β
(γ−u)/(γ−β) β≤u≤γ
0 u > γ
Figura 4.5: Funci´on Triangular Λ
Funci´on Π : U → [0,1]: Es una funci´on seccionada definida por cuatro par´ametros (α, β, γ, δ) que describen un trapecio(figura 4.6).El primer y cuarto par´ametros definen la base del trapecio, mientras que el segundo y tercer par´ametro definen la regi´on donde la variable posee grado de membres´ıa de 1. Mediante una correcta selecci´on de los par´ametros, la funci´on trapezoidal puede emular las tres anteriores:
• Siγ=δ, se logra la funci´on Γ.
• Siα=β, se logra la funci´onL.
• Siβ =γ, se logra la funci´on Λ.
Π(u;α, β, γ, δ) =
0 u < α
(u−α)/(β−α) α≤u < β
1 β ≤u≤γ
(δ−u)/(δ−γ) γ < u≤δ
0 u > δ
(4.4)
4.3.2.
Mecanismo de Inferencia Difusa
En el mecanismo de inferencia difusa, se emplean las variables que han sido fuzzificadas (conoci´endose ahora como antecedentes) para desprender conclusiones (consecuentes). El mecanismo es similar al de la l´ogica formal, que usa la implicaci´on y los operadores l´ogicos conjunci´on, disyunci´on y complemento. Sin embargo, deben ser tomados en cuenta de alguna forma en este mecanismo los grados de membres´ıa que logran las variables de entrada. Ser´a necesario definir entonces la forma en que trabajan dichos operadores en el contexto de la l´ogica difuso y la forma en que los implicantes son generados.
Operadores Difusos
Los tres operadores son sencillos de manejar. En el caso de la conjunci´on y disyunci´on se hace referencia a Zadeh debido a que ´el defini´o de tal forma a los dos operadores. Se dice esto, pues es posible definir de alguna otra forma a los mismos y seguir siendo consistentes en el terreno de la l´ogica difusa. Las propiedades que deben cumplir los operadores para garantizar la consistencia se conocen como normas T en el caso de la conjunci´on y normas S en el de la disyunci´on. Ambas se exponen a continuaci´on:
Normas T: Las Normas T son identificadas con el operador Conjunci´on. Las propiedades con las que debe cumplir un operador conjunci´on⊙son las siguientes:
• T1:a⊙b=b⊙a
• T2: (a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)
• T3:a≤c∧b≤d→a⊙b≤c⊙d
• T4:a⊙1 =a
Normas S: Hacen referencia al operador disyunci´on. Un operador disyunci´on⊕debe cumplir con las siguientes porpiedades:
• S1:a⊕b=b⊕a
• S2: (a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)
• S3:a≤c∧b≤d→a⊕b≤c⊕d
• S4:a⊕0 =a
Complemento: Un operador complementoC(x)debe cumplir con las siguientes propiedades:
• C1:C(0) = 1
• C2:a < b→C(a)> C(b)
• C3:C(C(a)) =a
Respetando las condiciones anteriores, Zadeh define los operadores difusos de la siguiente forma:
Operador Complemento:
µA′(u) = 1−µA(u) (4.5)
Operador Conjunci´on:
µA∩B(u) = m´ın(µA(u), µB(u)) (4.6)
Operador Disyunci´on:
![Figura 3.1: Robot Delta, US Patent number 4,976,582 [6]](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/4538086.39285/28.612.167.455.326.638/figura-robot-delta-us-patent-number.webp)
![Figura 3.2: Esquema del Manipulador Delta con actuadores lineales (a) [9] y Delta lineal (b) [18]](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/4538086.39285/29.612.103.536.386.641/figura-esquema-manipulador-delta-actuadores-lineales-delta-lineal.webp)
