Tema 5 Ecuaciones Diferenciales Lineales

´

Algebra Lineal. Tema 5

Ecuaciones diferenciales lineales

Emilio Mu˜noz Velasco

Tasa relativa de crecimiento

Six(t) representa alguna cantidad f´ısica como el volumen de una sustancia, la poblaci´on de ciertas especies, o el n´umero de euros invertidos en acciones, su derivadax0(t) proporciona la tasa de crecimiento. Con frecuencia es m´as interesante la llamada tasa relativa de crecimientodefinida por:

Tasa relativa de crecimiento = x

0_(t)

Ecuaci´

on diferencial para tasa relativa constante

Si la tasa relativa de crecimiento es constante, tenemos:

a= x

0_(t)

x(t) → x

0

(t) =ax(t)

Esta ecuaci´on se denominaecuaci´on diferencialporque incluye una derivada. Trivialmente se comprueba que

x(t) =ceat

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

Trabajaremos con sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma:

x₁0(t) = a11x1(t) + a12x2(t) + . . . + a1nxn(t)

x₂0(t) = a21x1(t) + a22x2(t) + . . . + a2nxn(t)

..

. ... ... ... ... ... . .. ... ... x_n0(t) = an1x1(t) + an2x2(t) + . . . + annxn(t)

        

aij ∈R

Matricialmente nos queda comoX0(t) =AX(t), siendo: 

   

x₁0(t) x₂0(t)

.. . x_n0(t)

     =     

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

..

. ... . .. ... an1 an2 . . . ann

         

x1(t)

x2(t)

.. . xn(t)



Resoluci´

on mediante la exponencial de una matriz

Definici´on

Dada una matriz cuadrada A, se define la matriz cuadrada del mismo tama˜no eA, como sigue:

eA=I+A+A

2

2! + A3

3! + A4

4! +. . .=

∞

X

k=0

Ak k!

Teorema

Para cualquier vector constante c, X(t) =eAtc es una soluci´on de la ecuaci´on X0(t) =AX(t). Adem´as, X(t) =eAtx0 es una soluci´on

C´

alculo de

e

Dt

cuando

D

es una matriz diagonal

Teorema

Si D es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son d1, . . . ,dn, entonces eDt es una matriz diagonal, cuyos elementos

de la diagonal son ed1t_{, . . . ,e}dnt_.

Ejemplo

D=





1 0 0 0 2 0 0 0 3





entonces

eDt = 



et 0 0

0 e2t 0 0 0 e3t



C´

alculo de

e

At

cuando

A

es una matriz diagonalizable

Teorema

Si A es una matriz diagonalizable, entonces

eAt =PeDtP−1, siendo D=P−1AP Ejemplo

Sea A=

3 −1

−2 2

, diagonalizando obtenemos que

D=P−1AP, siendo D =

1 0 0 4

y P =

1 1

2 −1

, entonces

eAt =PeDtP−1 =P

et 0

0 e4t

Resoluci´

on de un sistema

Ejemplo (Modelo de Competencia)

Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:

x₁0(t) = 3x1(t)− x2(t)

x₂0(t) = −2x₁(t)+ 2x2(t)

que expresando matricialmente ser´ıa X0(t) =AX(t), siendo

A=

3 −1

−2 2

la matriz del ejemplo anterior.

Por tanto, la soluci´on del sistema ser´ıa X(t) =eAtc, para cualquier vector constante c =

c1

c2

, luego:

X(t) =PeDtP−1c =−1 3

−et_−2e4t _−et_+e4t

−2et_{+ 2e}4t _−2et_−e4t

c1

c2

Si las condiciones iniciales son X1(0) = 90y X2(0) = 150, entonces

Forma can´

onica de Jordan

Definici´on

Llamaremosmatriz de Jordan J a una matriz de la forma:

J =



  

B1(λ1) 0 . . . 0

0 B2(λ2) . . . 0

. . . . 0 0 . . . Br(λr)



  

siendo:

Bj(λj) =



      

λj 1 0 . . . 0

0 λj 1 . . . 0

. . . . . . . . 0 0 . . . λj 1

0 0 . . . 0 λj



      

Matrices de Jordan de tama˜

nos 2 y 3

Teorema

Las matrices de Jordan de tama˜no 2 son de la forma

λ1 0

0 λ2

y

λ 1 0 λ

dondeλ1 yλ2 podr´ıan ser iguales.

Las matrices de Jordan de tama˜no 3 son de la forma:





λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3



, 



λ1 0 0

0 λ2 1

0 0 λ2



,





λ1 1 0

0 λ1 0

0 0 λ2



, 



λ 1 0 0 λ 1

0 0 λ



Forma can´

onica de Jordan

Teorema

Sea A una matriz cuadrada de tama˜no n, entonces existe una matriz cuadrada inversible C , tal que J=C−1_{AC , siendo J una}

Forma can´

onica de Jordan para una matriz de tama˜

no 2

Ejemplo

Sea A=

3 −2 8 −5

que tiene a λ=−1como autovalor de

multiplicidad algebraica 2 , mientras que su multiplicidad geom´etrica es 1. Por tanto, A noes diagonalizable. Su forma can´onica de Jordan es J =

−1 1

0 −1

. Para encontrar la matriz

de paso C , consideramos el subespacio propio asociado aλ=−1, que est´a generado por el vector v1 = (1,2). Ahora resolvemos el

sistema de ecuaciones(A−λI)x =v1 y obtenemos v2 = (1₄,0)

como una de sus soluciones. Por tanto J =C−1AC , siendo

C =

1 1₄ 2 0

Exponencial de una matriz no diagonalizable

Teorema

Sea J la forma can´onica de Jordan de una matriz A, tal que J=C−1AC . Entonces eAt =CeJtC−1.

Ejemplo

Dada la matriz A=

3 −2 8 −5

del ejemplo anterior, como su

forma can´onica de Jordan es J =

−1 1

0 −1

, tal que

J=C−1AC , siendo C =

1 1₄ 2 0

tenemos que:

eAt =CeJtC−1=C

e−t te−t 0 e−t

Resoluci´

on de un sistema

Caso no diagonalizable

Ejemplo (Modelo depredador-presa)

Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:

x₁0(t) = 2x1(t)− x2(t)

x₂0(t) = x1(t)+ 4x2(t)

, siendo X1(0) = 500 y X2(0) = 100.

La matriz A=

2 −1

1 4

tiene como autovalor dobleλ= 3 y no es diagonalizable. Su forma can´onica de Jordan es J =

3 1 0 3

,

tal que J=C−1_{AC , siendo C =}

1 1

−1 −2

. Por tanto:

X(t) =eAt 500 100 =C

e3t te3t 0 e3t

C−1

500 100

de donde obtenemos que:

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Una ecuaci´on diferencial lineal de ordenn con coeficientes constantes y homog´enea es una ecuaci´on de la forma:

anx(n)(t) +an−1x(n−1)(t) +. . .+a1x0(t) +a0x(t) = 0

Para resolverla definiremos:

x1(t) =x(t), x2(t) =x0(t), . . . ,xn(t) =x(n−1)(t),xn0(t) =x(n)(t)

De esta forma obtenemos el siguiente sistema: 

     

     

anxn0(t) +an−1xn(t) +. . .+a2x3(t) +a1x2(t) +a0x1(t) = 0

x2(t) =x10(t)

x3(t) =x200(t)

.. .

xn(t) =xn−0 1(t)

Resolviendo una EDL de orden 2

Ejemplo

Para resolver la ecuaci´on diferencial x00+ 5x0+ 6x = 0, con las condiciones iniciales x(0) = 1y x0(0) = 0, primero hacemos

x1(t) =x(t), x2(t) =x0(t), x20(t) =x00(t). Con este cambio, la

ecuaci´on se transforma en:

x₂0 + 5x2+ 6x1= 0

x2 =x10

↔

x₁0 x₂0

=

0 1

−6 −5

x1

x2

Diagonalizando y calculando la exponencial de la matriz:

x1

x2

=

1 1

−3 −2

e−3t 0 0 e−2t

−2 −1

3 1

c1

c2

Utilizando las condiciones iniciales x1(0) =x(0) = 1 y

x2(0) =x0(0) = 0, obtenemos: