MATEM ´ATICAS I Curso 2022/2023
Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Agron´omica Departamento de Matem´atica Aplicada I
Tema 8. Modelos matem´ aticos de ecuaciones diferenciales
8.1. Un cultivo de bacterias crece a un ritmo proporcional a la poblaci´on actual. Entre las 6:00 y las 7:00 la poblaci´on se triplica. ¿A qu´e hora ser´a cien veces mayor que la que hab´ıa a las 6:00?
8.2. La poblaci´on de una ciudad crece a un ritmo proporcional a dicha poblaci´on. En dos a˜nos la poblaci´on se ha doblado y un a˜no m´as tarde tiene 10.000 habitantes. ¿Cu´al era la poblaci´on inicial?
8.3. Un moho crece a un ritmo proporcional a la poblaci´on actual. Inicialmente hab´ıa 2 gramos y en dos d´ıas ha pasado a haber 3 gramos. Calcular la masa de moho en el instante t y la cantidad al cabo de diez d´ıas.
8.4. Al comienzo de 1970 la poblaci´on mundial era de 3600 millones. Suponiendo que crezca con un ´ındice del 2 por ciento anual, ¿cu´al fue su poblaci´on en el 2000? Los expertos en agricultura estiman que se necesita un tercio de acre (40,46 Ha) para ali- mentar a una persona continuamente, y se estima que hay 10.000 millones de acres de tierra laborable en la tierra, con lo que se puede alimentar a una poblaci´on de 30.000 millones como m´aximo, suponiendo que no existen otras fuentes de alimentaci´on.
¿Cu´ando se alcanzar´a esa poblaci´on?
8.5. Un campo de trigo rebosante de saltamontes se fumiga con un insecticida que tiene una efectividad (´ındice de mortalidad) de 200 por 100 por hora, ¿que porcentaje de saltamontes seguir´a con vida una hora m´as tarde?
8.6. La masa inicial de cierta especie de peces es de 7 millones de toneladas. Dicha masa, de dejarse sola, aumentar´ıa a una raz´on proporcional a la masa, con constante de proporcionalidad 2 por a˜no. Sin embargo, la pesca comercial elimina una masa de peces a una raz´on constante de 15 millones de toneladas por a˜no. ¿En que momento se terminar´an los peces? ¿Cu´al deber´ıa ser la raz´on de pesca de modo que la masa permanezca constante?
8.7. En un lago se siembra una cepa de peces cuyo ´ındice de natalidad y de mortalidad son ambos inversamente proporcionales a√
p, siendo pla poblaci´on actual.
1
a) Determinar p(t).
b) Si en el instante inicial hab´ıa 100 peces y despu´es de 6 meses la poblaci´on era de 169 peces, ¿cu´antos habr´a al cabo de un a˜no?
8.8. La poblaci´on de peces de un lagop(t) es atacada por una enfermedad que provoca que los peces cesen de reproducirse y mueran con un ´ındice de mortalidad inversamente proporcional a √
p. Si originalmente hab´ıa 900 peces en el lago y 6 semanas despu´es quedaban 441, ¿cu´anto tiempo tardar´an en morir todos los peces del lago?
8.9. La poblaci´on de una prol´ıfica cr´ıa de conejos tiene ´ındices de natalidad y mortalidad ambos proporcionales a la poblaci´on de conejos. Determinar dicha poblaci´on en cada instante sabiendo que inicialmente hab´ıa p0.
8.10. Un tumor puede considerarse como una poblaci´on de c´elulas que se multiplican. Se ha descubierto emp´ıricamente que el ´ındice de natalidad de las c´elulas de un tumor decrece exponencialmente con el tiempo seg´un la funci´on β(t) =β0e−αt, con β0 y α constantes positivas. Calcular la poblaci´on de c´elulas suponiendo que en el momento inicial hab´ıa una cantidad p0.
8.11. Una poblaci´on de peque˜nos roedores sometida a investigaci´on en un laboratorio tiene un ´ındice de natalidad inversamente proporcional a dicha poblaci´on y un ´ındice de mortalidad contante e igual a 0.1. Sabiendo que en el momento inicial la poblaci´on era de 100 individuos y el ritmo de crecimiento era 2, calcular:
a) El n´umero de individuos de esta poblaci´on en cada instante.
b) El valor l´ımite de la poblaci´on.
8.12. En un cultivo se detecta una plaga de langosta que crece a un ritmo proporcional a la cantidad existente, con constante de proporcionalidad 0.1. En esta situaci´on, se aplica un potente insecticida que elimina las langostas con una velocidad et, siendo t el tiempo transcurrido desde su aplicaci´on, medido en d´ıas.
a) Si se estima que inicialmente hay 10000 langostas, determinar la poblaci´on de langostas en cada instante de tiempo t.
b) Razonar si se consigue exterminar la plaga y en este caso, en cu´anto tiempo.
c) ¿Cu´antas langostas quedar´an al cabo de diez d´ıas?
d) Si se deja de aplicar el insecticida a los diez d´ıas, determinar en este caso la poblaci´on de langostas en cada instante de tiempo t y si se exterminar´ıa la plaga.
8.13. En un laboratorio se suministran 40 bacterias como alimento a dos sistemas proto- zoarios, A y B.
a) En el sistema A, la velocidad a la que son devoradas las bacterias es inversamente proporcional a la cantidad existente.
a1) Calcular el n´umero de bacterias presentes en cada instante, si al cabo de una hora quedan 20 bacterias.
a2) ¿Cu´ando habr´an sido devoradas todas las bacterias?
b) En el sistema B, la velocidad a la que son devoradas las bacterias es directamente proporcional a la cantidad existente con constante de proporcionalidad 2, pero se introducen bacterias a ritmo constante de 40 por hora.
b1) Calcular el n´umero de bacterias presentes en cada instante.
b2) ¿Cu´al es la tendencia final de la poblaci´on de bacterias?
8.14. La din´amica de dos poblaciones viene dada por el sistema diferencial:
{
x′ =−2x+y y′ =x−2y
Si el tama˜no inicial de la poblaci´onx es 100 y el de la poblaci´on y es 40:
(a) ¿C´omo se comportan dichas poblaciones en cada instante?
(b) ¿Coinciden el alg´un momento el n´umero de individuos de ambas poblaciones?
(c) ¿Se extinguir´a a la larga alguna de ellas?
8.15. Dos especies con poblaciones x e y satisfacen el sistema diferencial:
{
x′ =−2x+ 4y y′ =x−2y
y las poblaciones iniciales son 1000 y 2000 individuos respectivamente.
(a) ¿Con qu´e tipo de relaci´on coexisten esas especies?
(b) ¿C´omo evolucionan sus poblaciones a lo largo del tiempo?
(c) ¿Cu´al es la tendencia final de ambas poblaciones?
8.16. La din´amica de dos especies coexistentes est´a gobernada por el sistema diferencial:
{
x′ = 2x−y y′ = 3x−2y (a) Hallar la soluci´on general del sistema
(b) Estudiar el comportamiento a la larga de las especies si x(0) = 300, y(0) = 100 (c) Estudiar el comportamiento a la larga de las especies si x(0) = 100, y(0) = 300
8.17. La evoluci´on de dos especies se describe mediante el modelo:
{
x′ =x+y y′ =−9x+y
y las poblaciones iniciales son 100 y 1000 individuos respectivamente.
(a) ¿Con qu´e tipo de relaci´on coexisten esas especies?
(b) ¿C´omo evolucionan sus poblaciones a lo largo del tiempo?
(c) ¿Se extingue alguna especie? En caso afirmativo, calcular en qu´e momento se produce la extinci´on de las presas (el tiempo se mide en a˜nos).
8.18. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales {
x′ = 2y y′ =−8x
representa la evoluci´on de dos poblaciones (el tiempo se mide en a˜nos). Sabiendo que las poblaciones iniciales son x(0) = 100, y(0) = 200,
(a) ¿Con qu´e tipo de relaci´on coexisten esas poblaciones?
(b) Calcular dichas poblaciones para un instante cualquiera.
(c) Calcular cu´antos d´ıas tarda en extinguirse la poblaci´on de presas.
8.19. La din´amica de las poblaciones de dos especies que conviven en un mismo ecosistema viene determinada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
{
x′ =x−2y y′ =−x+ 2y
a) Justificar razonadamente el tipo de relaci´on con el que interact´uan estas especies.
b) Si inicialmente estas poblaciones son de x0 = 250 e y0 = 50 individuos y el tiempo se mide en a˜nos:
b1) Determinar ambas poblaciones en cada instante de tiempo t.
b2) Determinar si alguna de las poblaciones se extingue y en ese caso en qu´e momento ocurre.
c) Determinar la evoluci´on de ambas poblaciones en funci´on de poblaciones iniciales cualesquierax0ey0. Estudiar el comportamiento de estas poblaciones en funci´on de estos valores iniciales.
8.20. Un vino tinto se saca de la cava, donde estaba a 10oC, y se deja respirar en un cuarto con temperatura de 23oC. Si se necesitan 10 minutos para que el vino llegue a los 15oC, ¿en qu´e momento llegar´a la temperatura del vino a los 18oC?
8.21. Un recipiente con agua hirviendo a 100oC se retira del fuego y se deja enfriar en la cocina. Despu´es de 5 minutos la temperatura del agua ha descendido a 80oC y otros 5 minutos despu´es ha bajado a 65oC. Determinar la temperatura constante de la cocina.
8.22. En una oficina, un d´ıa de invierno, el calefactor mantiene la temperatura interior en 21oC durante toda la ma˜nana y se apaga al mediod´ıa cuando los empleados salen.
Si la temperatura exterior se mantiene constante a 12oC y la constante de tiempo para el edificio es de 3 horas, ¿en qu´e momento la temperatura del edificio ser´a de 16oC? ¿Y si se dejan algunas ventanas abiertas y la constante de tiempo del edificio se reduce a 2 horas?
8.23. Cuando los CSI llegan a la escena del crimen, que tiene una temperatura ambiental constante de 27oC, se encuentran el cuerpo de una v´ıctima a 28oC. Sabiendo que la variaci´on de la temperatura del cuerpo con respecto al tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura ambiental y la temperatura del cuerpo, y suponiendo que la constante de tiempo del cuerpo humano es 1 y que su temperatura inicial era de 37oC, se pide:
a) Plantear razonadamente la ecuaci´on diferencial que describe la temperatura del cuerpo en funci´on del tiempo.
b) Calcular cu´anto tiempo lleva muerta la v´ıctima. (El tiempo se mide en horas).
8.24. Un tubo de ensayo que contiene una sustancia qu´ımica con una temperatura inicial de 80o C se sumerge en un l´ıquido cuya temperatura se mantiene controlada como E(t) = 100 −40e−0.1t, siendo t el tiempo medido en minutos. Sabiendo que la constante de tiempo del tubo de ensayo es de 10 minutos, se pide:
a) Determinar la temperatura a la que se encuentra la sustancia qu´ımica en cada instante t.
b) Determinar el instante en el que la sustancia qu´ımica y el l´ıquido est´an a la misma temperatura.
8.25. Se dispone de una c´amara figor´ıfica especializada en congelaci´on r´apida. Se sabe que la constante de tiempo de la c´amara es 1 y que la temperatura exterior es de 30◦C. Adem´as, el fr´ıo generado por el potente sistema de congelaci´on reduce adicionalmente la temperatura de la c´amara de manera proporcional aet, siendot el tiempo transcurrido. Se introduce un cargamento de carne en la c´amara y se conecta el congelador. En ese instante la temperatura de la c´amara es de 30◦C y pasada una hora la temperatura de la c´amara baja a 28◦C.
a) Determinar la temperatura que tiene la c´amara en cada instante.
b) La carne se considera congelada cuando la temperatura de la c´amara se encuentra por debajo de −10◦C. ¿Estar´a la carne congelada al cabo de 4 horas?
8.26. Una empresa ganadera tiene un cargamento de carne cuya temperatura es de 37oC y otro de pescado cuya temperatura es de 25oC. Ambos se colocan en un almac´en refrigerado con temperatura constante de -3oC y a los 10 minutos la temperatura de la carne es de 33oC y la del pescado de 23oC.
a) Determinar razonadamente la temperatura de la carne al cabo de una hora.
b) Hallar razonadamente el tiempo que se necesitar´a para que el pescado tenga una temperatura de 5oC.
c) ¿En qu´e momento se hallan los dos cargamentos a la misma temperatura? ¿Cu´al es esa temperatura?
8.27. Es una fr´ıa noche de invierno. Un edificio consta de dos zonas A y B, pero s´olo la zona A es calentada mediante una caldera que sube la temperatura 10◦C por hora. La constante de tiempo para la transferencia de calor entre todo el edificio y el exterior es de 4 horas y entre la zona A y la zona B es de 2 horas. Si la temperatura exterior permanece en 0◦C y las temperaturas iniciales de ambas zonas son tambi´en de 0◦C,
d A B
a) ¿A qu´e temperatura tiende a calentarse la zona A?
b) ¿A qu´e temperatura tiende a calentarse la zona B?
8.28. Una casa consta de dos habitaciones: la zona A del desv´an y la zona B habitable.
El ´area habitable se enfr´ıa mediante un sistema de aire acondicionado que baja la temperatura 6◦C por hora. La constante de tiempo para la transferencia de calor entre la zona A y el exterior es de 2 horas, entre la zona B y el exterior es de 2 horas, y entre la zona A y la zona B es de 4 hora. La temperatura exterior se mantiene en 38◦C. Si la temperatura inicial de ambas zonas es de 30◦C,
?????????
A B bc
a) ¿A qu´e temperatura tiende la zona A del desv´an?
b) ¿A qu´e temperatura tiende la zona B habitable?
c) ¿En que instante la zona B habitable alcanza su temperatura m´ınima? ¿cu´al es esa temperatura?
8.29. Un edificio consta de dos zonas, una habitaci´on interior A y otra exterior B. La habitaci´on interior A est´a completamente aislada del exterior y se enfr´ıa mediante un sistema de aire acondicionado que baja la temperatura 6◦Cpor hora. La constante de tiempo para la transferencia de calor entre la habitaci´on B y el exterior es de 1/2 hora y entre las habitaciones A y B es de 1 hora. Si la temperatura exterior se mantiene en 30◦C.
A B
(a) Plantear razonadamente el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza el comportamiento de las temperaturas de las dos habitaciones.
(b) Determinar la temperatura de la habitaci´on interior A en cualquier in- stante.
(c) ¿A qu´e temperatura tiende a estabilizarse la habitaci´on interior A?
8.30. Una nave consta de dos zonas: una oficina A y la zona de maquinarias B. La constan- te de tiempo para la transferencia de calor entre la nave y el exterior es de 2 horas y entre las dos zonas A y B es de 1 hora. Un d´ıa en el que la temperatura exterior es de 2oC, la zona B se mantiene a 10oC mientras las m´aquinas est´an funcionando. Cuando se apagan todas las m´aquinas, en la oficina que se encuentra a 4oC, se enciende la calefacci´on que consigue aumentar la temperatura a un ritmo de 5oC por hora.
(a) Determinar la temperatura que habr´a en cada una de las zonas despu´es de una hora.
(b) ¿En qu´e momento las dos zonas se encuentran a la misma temperatura?
8.31. Los servicios sanitarios de una poblaci´on detectan 10 casos de una enfermedad poco habitual y determinan que en ese instante hay 10.000 personas en riesgo de ser contagiadas. Un modelo simplificado para estudiar la evoluci´on de esta posible epidemia viene dado por el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ =−x+ 2y y′ =−y
dondex(t) ey(t) son, respectivamente, el n´umero de personas infectadas y el n´umero de personas en riesgo de serlo, al cabo de t d´ıas.
a) Determinar las ecuaciones que describen la evoluci´on de la enfermedad en cada instante.
b) Las autoridades sanitarias consideran que la dispersi´on de la enfermedad ha sido controlada cuando el n´umero de personas en riesgo de ser infectadas no supera los 100. ¿Cu´ando se prev´e que se desactivar´a la alarma sanitaria?
8.32. El carbono catorce se desintegra con una velocidad proporcional a la cantidad exis- tente.
a) Escribir, razonadamente, la ecuaci´on diferencial que modelice la cantidad de carbono catorce en funci´on del tiempo.
b) Hallar, razonadamente, la expresi´on de la cantidad de carbono catorce al cabo de t a˜nos.
c) Sabiendo que en 5600 a˜nos se desintegra la mitad de una cantidad inicial de car- bono catorce, determinar la edad de un f´osil que contiene 1/1000 de la cantidad original.
8.33. Se deja caer libremente un objeto desde una cierta altura y se sabe que el ritmo de crecimiento de la velocidad del objeto es igual a la gravedad terrestre (9.8 m/s2) menos una fricci´on con el aire la cual es proporcional a la velocidad de dicho objeto (la constante de proporcionalidad es un n´umero positivo llamado coeficiente de fricci´on del objeto).
a) Plantear razonadamente la ecuaci´on diferencial que rige la velocidad de este movimiento y resolverla sabiendo que el objeto parte inicialmente del reposo.
b) ¿Cu´al es la velocidad l´ımite que alcanzar´ıa el objeto si la ca´ıda se prolongase indefinidamente?
c) Supongamos que el coeficiente de fricci´on es de 1s−1. ¿En que instante alcanzar´a el objeto una velocidad de 9 m/s?
8.34. En una observatorio se ha tomado la imagen de un peque˜no asteroide esf´erico de 1 metro de radio, que entr´o en la atm´osfera terrestre a las 0 horas. Por su tama˜no y composici´on, los cient´ıficos esperan que la atm´osfera haga de escudo protector y no cause da˜nos al caer en la Tierra, ya que se sabe que al cruzar la atm´osfera el radio del asteroide disminuye a un ritmo proporcional a la superficie del mismo. Una imagen tomada a las 0 horas y 1 minuto mostraba el asteroide con un radio de 1 cm.
a) ¿Cu´anto tiempo tardar´a en reducir su radio a 0.2cm?
b) ¿Qu´e radio ten´ıa el asteroide al impactar sobre la superficie de la Tierra si lo hizo a las 0 horas y 10 minutos?
Nota: Se recuerda que la superficie de una esfera de radior esS = 4πr2.
8.35. En dos grupos A y B de una asignatura, con 100 alumnos cada uno, se va a realizar un examen. Sabemos que 24 horas antes de realizar esta prueba nadie conoce el examen, pero se han filtrado todas las preguntas.
a) Sea x(t) el n´umero de alumno del grupo A que conoce el examen en el instante de tiempo t. Se sabe que la velocidad de filtraci´on del examen en este grupo es directamente proporcional al n´umero de alumnos queno lo conocen, es decir,
dx
dt =k(100−x).
a1) Hallark para quex(t) = 100(1−e−2t) sea soluci´on de la ecuaci´on diferencial ordinaria anterior.
a2) Calcular el n´umero de alumnos del grupo A que conoce el examen en el momento de comenzar el mismo.
b) Sea y(t) el n´umero de alumno del grupo B que conoce el examen en el instante de tiempo t. Se sabe que la velocidad de filtraci´on del examen en este grupo es inversamente proporcional al n´umero de alumnos que no lo conocen.
b1) Determinar y(t) sabiendo que una hora despu´es de la filtraci´on lo conocen 3 alumnos.
b2) Calcular cuando lo conocer´an todos los alumnos del grupo B.
8.36. Hallar la ecuaci´on de la curva que pasa por (0,1) y con la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto es la suma del doble de la ordenada y la mitad de la abcisa de dicho punto.
8.37. Se dispara una bala que se introduce en un muro con una velocidad de 200 m/s, lo atraviesa en 0.00375 segundos y sale con una velocidad de 80 m/s. Se sabe que el ritmo de decrecimiento de la velocidad de la bala dentro del muro es proporcional al cuadrado de dicha velocidad, donde la constante de proporcionalidad s´olo depende de las caracter´ısticas de los materiales de la bala y del muro. Se pide:
(a) Determinar la velocidad de la bala en cada instante de tiempo dentro del muro.
(b) Determinar el espacio recorrido por la bala en cada instante de tiempo dentro del muro. ¿Cu´al es el grosor del muro?
(c) Si se dispara otra bala id´entica sobre el mismo muro, pero la bala llega al muro a 320m/s, ¿cu´anto tiempo tardar´a la bala en disminuir su velocidad a la mitad?
En ese instante, ¿estar´a a´un la bala dentro del muro o lo habr´a atravesado por completo?
8.38. Se introduce en un vaso un cubito de hielo de 3 cm de lado y se observa que al minuto dicho lado ha disminuido hasta los 2 cm. Suponiendo que el lado var´ıa a un ritmo proporcional al producto de la superficie del cubito por el tiempo transcurrido, calcular el instante en el que el lado mide 1 cm (expresarlo en minutos y segundos).
8.39. El Uranio es un elemento radioactivo que se desintegra con una velocidad propor- cional a la cantidad existente. Se sabe que los is´otopos de Uranio U235 y U238 tienen una semivida (tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los ´atomos iniciales de una sustancia radioactiva) aproximada de 704 y 4470 millones de a˜nos, respectivamente.
a) Determinar el n´umero de ´atomos de estos is´otopos de Uranio que hay en cada instante t, en funci´on de una cantidad inicial.
b) En 1929, Ernest Rutheford estim´o la edad del universo usando el hecho de que en ese momento hab´ıa aproximadamente 140 ´atomos de U238 por cada uno de U235 y que en en el instante de la creaci´on del universo hab´ıa el mismo n´umero de ambos is´otopos. Calcular la estimaci´on de la edad del universo que obtuvo Rutheford.
