Pa2 matemática 3

(1)

PA2 Matematica III - Nota: 7.5

Matematica (Universidad Señor de Sipán)

PA2 Matematica III - Nota: 7.5

Matematica (Universidad Señor de Sipán)

(2)

FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

MATEMATICA III

“EJERCICIOS Y ACTIVIDADES PROGRAMADAS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES”

Autor(es):

Bocanegra Huaman, Hoguer Aderly Llontop Chavesta, Bryan Kevin

Pardo Becerra, Jarlin Miguel Vasquez Ordoñez, David

Asesor:

Dr. Álvarez Vasquez, Haylin

Pimentel – Perú

07/12/2020

(3)

PARTE I:

ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

Calcula, por separación de variables, la solución general de las siguientes ecuaciones de primer orden. Además, en caso de dar condiciones iniciales, determina las soluciones de los problemas de valor inicial (PVI) así como su intervalo maximal de definición.

dy dx= x

2+1 2−2 y 2−2 ydy=x²+1 dx

∫

^{2−2 ydy =}

∫

^x²^{+1 dx}

2y−2y² 2 = x

3

3 +x+c 2y− y²= x

3+3 x +3 c 3 2y− y²= x

3

3 +x +c

dy dx=−x

y , y (1)=2 Y dy=−xdx x dx + y dy=0 x²

2 + y

2

2=k x²+ y²=2 k y²=2 k− x² y=

√

²^k−x²

* y(1)=2 1¿²=2

2k−¿

√¿ 2k−1=2² 2k=4+1 k =5

(4)

dy

dx=−3 x +3 x y² y x²+2 y

x y (¿¿2+2) dy

dx=−3 x

(

1+ y²

)

¿ 1+ y²

y dy= −3 x

(

x²+2

)

^dx

(

x³²+2^x

)

^{dx +}

(

^y²y⁺¹

)

^dy=0

Integrando:

∫ (

x³²+2^x

)

^{dx +}

^∫ (

^y²y⁺¹

)

^dy=c

(

x³²+2^x

)

^{dx +¿}

^∫

^{( y) dy+}

^∫ ⁽

¹^y

⁾

^dy=c

∫

^¿

∫ (

x³²+2^x

)

^{dx +}^y²²^+lny=c

u=x²+2

du=2 xdx →du 2x=dx

∫ (

³u^x

)(

²^dux

)

^{+ y}²²^+lny=c

3

2

∫ (

¹u

)

^du+^y2²+lny=c 3

2lnu+ y²

2 +lny=c 3

2ln

(

_x²+2

)

+ y

2

2 +lny=c 3 ln

(

_x²+2

)

+ y²+2lny=2 c → ecuacion general

Luego:

y²+2lny=2 c−3 ln

(

x²+2

)

Por lo tanto: (Como c es una constante hacemos un cambio de variable k=2c; donde k es otra constante)

y²+2lny=−3 ln

(

x²+2

)

→k −3 ln

(

x²+2

)

≠ 0

k ≠ 3 ln

(

x²+2

)

x²+2 ≠ e

k 3

x ≠

√

^e³^k⁻²

Intervalo maximal: ¿

√

^e^k³^−2;+Ꝏ>¿

dy

dx=

√

^x^y²²^+x^+x²²^y^y²²

dy dx

√

^x²

⁽

^{1+ y}²

⁾

√

^y²

⁽

^{1+ x}²

⁾

√

^y²

⁽

¹^+x²

⁾

^dy=

√

^x²

⁽

^{1+ y}²

⁾

^dx

√

^x²

⁽

^1+x²

⁾

^dx−

√

^y²

⁽

^{1+ y}²

⁾

^dy=0

x

√

^{1+ y}²^{dx− y}

√

^1+x²^dy=0

x

√

^1+x²^dx

y

√

^{1+ y}²^dy=0

√

^1+x²⁻

√

^{1+ y}² ^¿^k

√

^{1+ y}² ^¿

√

^{1+ y}²^−k

(5)

1+ y²=

( √

^{1+ x}²^−k

⁾

²

y²=¿

( √

^1+x²^−k

⁾

²⁻¹

y=

√ ⁽ ^√

^1+x²^−k

⁾

²⁻¹

dy

dx= x+x y²

4y ; y (1)=0 dy

dx=x

(

1+ y²

)

4y xdx= 4y

1+ y²dy (1) dx−

(

¹⁴+ y^y²

)

^dy=0

Integrando:

x²

2 −

∫ (

1+ y⁴^y²

)

^dy=c

u=1+ y² du=2 ydy

du 2y=dy x²

2 −

∫

⁴_u^y²^×₂^du_y^=c

x²

2 −2

∫ (

¹u

)

^du=c

x²

2 −2 lnu=c x²

2 −2 ln

(

y²+1

)

=c Para(^{y (1)=0})^: 1²

2−2 ln

(

0²+1

)

=c c=1

2

La ecuacion general será : x²

2 −2 ln

(

_y²+1

)

=1 2 Luego :

x²−4 ln

(

y²+1

)

=1 4 ln

(

y²+1

)

=x²−1

y²+1=e

x²−1 4

y=

√

^e^x²⁻¹⁴ ⁻¹

Intervalo maximal: ←Ꝏ;−1>¿

dy

dx=−3 ycot ( x ); y

(

^π²

)

⁼²

dy=−3 ycot ( x )dx 3ycot ( x ) dx+1

ydy=0 3 ln(senx)+lny=lnk ln(senx )³+lny=lnk

(senx) (¿¿3. y)=lnk

ln¿ sen³x . y=k

y= k sen³x

¿y

(

^π²

)

⁼²

(6)

k

sen³

(

^π²

)

⁼²

k 1³=2 k =2

y= 2 sen³x

dy

dx=−sen²y

cos²x ; y

(

^π4

)

^{= π}4 dy

dx= −1

cos²x× sen² dy= −1

cos²x× sen²dx 1

sen²ydy = −1

cos²xdx →

∫

¹

sen²ydy=

∫

⁻¹

cos²xdx

∫

^csc²( y ) dy=−cot ( x )+c

∫

^−sec²( x) dx=−tan (x)+c

−cot( x)=−tan (x )+c Remplazamos :

y

(

^π4

)

^{= π}4en la ecuacion

−cot

(

^π⁴

)

^=−tan

(

^π⁴

)

^+c

−1=−1+c 0=c

dy

dx= − y

x³y²+x³ −1

2 x⁻²+ y

2

2+ln y=k (x³y²+ x³)dy=− ydx x⁻²+ y²+2liny=2 k

y²=¿2k + x⁻²

Ydx+(x³y²+x³)dy=0 y²+ln¿ y dx+ x³

(

y²+1

)

dy=0

(7)

1

x³dx+ y¹+1

y dy=0 x⁻³dx+

(

^{y +}¹y

)

^dy=0

PARTE II:

PROBLEMAS DE ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Calcula la solución general de las siguientes ecuaciones homogéneas. En el caso de dar condiciones iniciales calcula la solución particular y su intervalo maximal de definición

dy

dx=2y²−x² xy

xy dy=

(

2y²−x²

)

_dx

xy dy+

(

_x²−2 y²

)

_dx=0

y=ux

dy=udx + xdu

u x²(udx+xdu )+

(

x²−2 u²x²

)

dx=0 u²dx+uxdu +

(

1−2 u²

)

_dx=0

(

1−u²

)

_{dx +uxdu=0}

∫

^dx_x ⁺

∫

_1−u^u 2du=0

ln|x|+

(

⁻¹² ^ln

^|

^1−u²

^| )

^=C

ln|x|−1

2ln

|

^{1− y}x²²

|

^=C

dy

dx=3xy +2 y² x²

definicion de ec homogeneas M(x , y)dy +n(x , y)dx=0

Es homogénea sí.

(8)

M ( x , y )=t^k. m (x , y )

pararesolver una ecuaciondiferencial homogenea 1.dejar todo en un extremo

x²dy −

(

3xy+ 2 y²

)

_dx=0

2.comprobar que sean homogeneas.

M ( x , y )=x² M (tx , ty )=t²x²

homogenea de segundo grado

N (x , y )=3 xy +2 y² N (tx ,ty )=3 t²xy +2 t²y² N (tx ,ty )=t²

(

3xy +2 y²

)

dy dx=

xy−3

(

x²+ y²

)

arctan

(

^yx

)

x²

y ´ =

xy−3

(

x²+ y²

)

^arctan

(

^yx

)

x² y=vx

(vx) ´=

xvx−3

(

x²+( vx)²

)

arctan

(

^vxx

)

x²

xv ´ + v=x²v−3 arctan ( v )

(

x²+x²v²

)

x²

xv ´ x²+v x²=x²v−3 arctan (v )

(

x²+x²v²

)

x² x²

v ´ x³+v x²−x²v=x²v−3 arctan (v )

(

x²+x²v²

)

v ´ x³=−3 x²arctan (v )−3 x²arctan (v ) v² v ´ x³

x³ =−3 x²arctan(_v)_{−3 x}²arctan(_v)_v² x³

dy

dx ¿y sen ( y ∕ x )+ x x sen ( y ∕ x )

x sen (4 / x )dy =(⁴sen ( 4/ x )+ x)dx x sen (4 / x )dy −

[

^{y sen}

⁽

⁴^x

⁾

^{+ x}

]

^dx=0

(es homogeneade orden1) Cambio de variable.

4=ux ⇨u=4 x dx=udx + xdu

x sen u (udx+ xdu )−[ux sen u+ x]dx=0 ux sen u dx+ x²sen u du−ux sen u dx−xdx =0 x²sen udu−xdx=0

v ´ =−3 arctan (v )

(

v²+1

)

x

v ´

arctan(v )

(

v²+1

)

⁼

−3 arctan (v )

(

_v²+1

)

x

arctan(v)

(

v²+1

)

v ´

arctan (v )

(

_v²+1

)

⁼

−3 x 1

arctan (v )

(

v²+1

)

^{v ´=}

−3 x

(9)

∫

¹

arctan (v )

(

v²+1

)

^dv=

∫

⁻³_x ^dx

ln(^arctan^{(v )})^+C2=−3 ln( x )+C₁ arctan( v)= e^C¹

x³ v =tanC₁

x³

x²sen udx=xdx

sen udu=xdx x²

∫

^{sen udu=}

∫

^dx_x

−cos u=lnx+C cambio de variable

−cos(4/ x)

=

lnx+C cos( 4/ x )

=

−lnx−C

y

x=co s⁻¹(−lnx−C ) y=x co s⁻¹(−lnx−C )

dy

dx=y +2 xe^{(− y}^x ⁾ x

Dejar todo en un extremo

Xdy = ( _{y +2 xe}^{(− y}^x ⁾ )dx ^{Xdy- (} _{y +2 xe}^{(− y}^x ⁾ )dx = 0 Comprobar que sean Homogéneas y del mismo grado.

M( x, y) = x N(x,y) = y +2 xe^{(− y}^x ⁾ M( x,y) = tx N(tx, ty)= y +2 txe^(−ty^tx ⁾ Homogenea de grado 1 N(tx, ty) = T

y +2 xe^{(− y}^x ⁾ Ecuación de primer grado

Y =ux

Dy = adx + xdu

Xdy – ydx – 2xe^{(− y}^x ⁾ d x= 0 Xudx + x²du−uxdx−2 x e⁻⁴dx =0

x²du=2 xe⁻⁴dx .

∫

^e⁴^du=

∫

²_x ^dx

( x)+¿

e⁴=2 ln¿ c

Ln ( e⁴ ) = ln ( 2ln (x) +c)

Y = xln ( 2ln (x) +c)

(10)

dy

dx=3x +2 y

x

,

y(1)=2.

dy

dx=3x +2 y x

xdy=(3 x +2 y )dx xdy - (3x+2 y)dx=0 xdy−3 xdx 2 ydx=0 Cambio de variable:

y=ux ⇨u=4 /x

dy=udx + xdu

Sustituimos:

x(udx + xdu)−3 xdx +2 uxdx=0

uxd+ x²du−3 xdx+2 uxdx=0

x²du−3 xdx+ 3uxdx =0

no es una ecuacion homogenea xdx ⇨ orden1

3x+2 y orden2

(11)

Reemplazar y=ux →dy =udx+ xdu x (udx+ xdu)−

( √

^x²^+(ux)²

⁾

^dx=0

x udx + x²du−

( √

^x²^+(ux)²

⁾

^dx=0

( √

^x²^+u²^x²

⁾

^dx=0

( √

^x²^(1+u²⁾

⁾

^dx=0

(

x

√

^1+u²

⁾

^dx=0

x

(

u−

√

^1+u²

⁾

^{dx + x}²^du=0

x [¿¿2du]

∫

^[x

⁽

^u−

^√

^1+u²

⁾

^dx]=−

∫

^¿

x²

(

−

√

^1+u²^+u

⁾

2 =−u x²+c

−x²

( √

^1+u²

⁾

^+x²^{u=−2 u x}²^+c

x²

(

−

√

^1+u²^{+u+2 u}

⁾

^=c

x²

(

−

√

^1+u²^{+3 u}

⁾

^=c

x²

(

⁻

√

^{1+ y}^x²²^{+3 y}^x

⁾

^=c

−x²

√

^{1+ y}^x²²^{+3 xy=c}

−x

√

^{1+ y}²^{+3 xy=c}

x= c

√

^{1+ y}²^{+3 y}

dy

dx=

√

^x²^{+ y}²

x xdy=

( √

^x²^{+ y}²

⁾

^dx

xdy−

( √

^x²^{+ y}²

⁾

^dx=0

(12)

^dy

dx= x

3+ y³

x y² ,

y(1)=1.

y¹= x

3+ y³ x y² y¹−1

x y=x²y⁻² Transformamos 1

1−n v³ + p (x ) v =q ( x ) y¹−1

x y=x²y⁻²

y¹ y⁻²−

1 y y y⁻²= x

2y⁻² y⁻² y¹y²− y

3

x =x² y¹y²−1

x v ¿x² _y¹_{=3 y}²_y¹ v¹

3− v x=x² v¹−3

xv=x²3

Factor de integración:

M ( x )=1 /x³ v¹−3

x=x²3 v¹ 1

x³−3 xv 1

x³=x².3. 1 x³ v¹

x³−3v x⁴=3

x

(

x¹³v

)

¹⁼³^x

(13)

1

x³ v=

∫

³_x

1/ x 3 v =3 ln ( x)+C 1 v =3 ln ( x) x³+ C 1 x³ y³=3 ln ( x ) x³+C 1 x³ y=x³

√

^{3 ln}^{( x )+C 1}

PARTE III:

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en la forma P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0, comprueba su exactitud y resuelve aquellas que sean exactas.

F(x , y)=C

2xydy

dx=x²− y² dy

dx= x

2− y² 2xy

Reescribir en bernoulli dy

dx+ y 2x= x

2 y⁻¹ Transformar a

1

1−nv ´ + P ( x ) v=qx

v ´ 2 + v

2x= x 2 Resolvemos

v ´ +1 xv= x

Factor de integracion u(x)=x

Reescribimos la ecuacion (^{u ( x ). y})´=u ( x ) . q( x ) v ´ x+1

vx=x² P (x , y ) dx+Q ( x , y ) yⅆ =0

dx

(

x− y²

)

=(2 xy + y ) dy

(

x− y²

)

dx−(2 xy + y ) dy=0

(

_{x− y}²

)

dx +(−2 xy− y ) dy=

∂ y

∂ x= x− y² 2xy + y

M =x− y² N=−2 xy− y

∂ F

∂ x=M

∂ F

∂ y=N

∫ ∂ F=∫ −2 xy yⅆ F=− y²

2 −x y²+φ(x )

N M

∂ M

∂ y = ∂ N

∂_x −2 y=−2 y

(14)

xv ´ + v=x² ( xv)´=x² xv=

∫

^x²^dx

xv=x³ 3 +c

v =x² 3 + c

x Sustituimos

v = y² y²= x

2

3 + c x

y=

√

^x³³^+c^x ^{; y=−}

√

^x³³^+c^x ^dy^dx^{= x}^{x + y}

xdx−(x + y)dy=0 xdx+(−x− y)dy=0 xdx

dx+(−x − y ) dy dx=0 x+ (−x− y )dy

dx=0 P=x ;Q=(−x− y ) dP

dy= dQ dx x d

dy=(−x− y ) d dx 0=−1

dy

dx= x− y cosx senx+ y dy

dx= x− y cosx sen( x )+ y y ´ =x− y cos(x )

sen(x )+ y

−x++cox (x ) y +(^sin( x)+ y)y ´ =0 sin (x ) y +y²

2 − x

2

2 c1=c2

sin (x ) y +y² 2 − x

2

2=c₁ despejar y :

y=−sin ( x )+

√

^x²^+sin²^{( x )+2 c}¹

y=−sin ( x )−

√

^x²^sin²^{( x )+2 c}1

y=−sin ( x )+

√

^x²^+sin²^{( x )+c}1

(15)

(

y e^−x−senx

)

dx−

(

e^−x+2 y

)

dy =0

∂ M

∂ N= y e^−x−senx ∂ M

∂ N=e^{− x}

∂ N

∂ X=e^−x+2 y ∂ M

∂ N =e^{− x} F ( x , y )

∂ f

∂ x=M (x , y )

∂ f

∂ x=M (x , y )

∂ f

∂ x= y e^−x−senx

f ( x , y )=

(

y e^−x−senx

)

dx f ( x , y )=− y e^−x+cosx+k f ( x , y )=− ye^−x+cosx+gy

∂ f

∂ y=−e^−x+0+ ∂ g

∂ y=−e^−x−2 y

∂ g( y)

∂ y =2 y

∫

^{∂ g( y )=}

∫

²^ydy

g ( y )=−2 y² 2 g ( y )=− y²

f ( x , y )=− y e^−x+cosx− y²

(

^x²^{+ y}x

)

^{dx +}

⁽

^log^x^{+2 y}

⁾

dy=0 M ( X ,Y ) N (X ; Y ) Por lo tanto:

M ( X , Y )=N ( X ; Y )

EXACTA

(16)

d M ( X ,Y )

dy =

d ( x²+ y x) dy =1

x x +2 y

log¿

¿ d¿ d N(X , Y)

dy =¿

No es una ecuación exacta pues no hay igualdad.

dy

dx=y ( y −e^x) e^x−2 xy

Y( y -

e^x

) dx- (

e^x−2 xy¿dy

∫ (

y²− y^ex

) dx =

y²x− y^ex

+ g(y) F (x,y)=

y²x− y^ex+g ( y)

dy

dx

=2x -

_e^x

+ g(y)

2x –

e^x

+ g(y) =

e^x+2 xy =g ( y )=0

F(x,y)=

y²x− y^ex

+ K

y²x− y^ex

+ K=C

y²x− y^ex

= C

(

_x²+x

)

dy +(2 xy +1+2 cos x )dx=0 dy

(

x²+x

)

=−dx (2 xy +1+2 cos x )

dy

dx=−(2 xy+1+2 cos x)

(

x²+x

)

y¹=−2 xy −1−2 cos x x²+ x y¹+ 2

x +1 y= −1

x²+ x−2 cosx x²+x

(17)

Factor de integración

M ( x )=x²+2 x+1 y¹

(

x²+2 x+1

)

+ 2

x +1 y

(

x²+2 x+0

)

^{= -} ¹

x²+x Resolver:

(

1x²+2 x+1

)

y¹=( x +1)

x - 2 cosx ( x+1) x Despeje:

y= −x

x²+2 x +1− lnx

x²+2 x +1− 2sen x

x²+2 x+1− 2C ( x ) x²+2 x +1

La rapidez de propagación de un virus es proporcional al número de personas que se han contagiado x (t) y al número de ellas que no se han expuesto a él. Siendo n el número de personas de la población, establecer el modelo de propagación del virus en función del número de personas contagiadas.

P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0 dx=dy

(

x− y²

)

dx−(2 xy + y ) dy=0

(

x− y²

)

dx +(−2 xy− y ) dy=0

Se colocan x₀ bacterias en una solucion en un instante t₀ . Llamamos x(t) al numero de bacterias en cada instante. Si el alimento y el espacion son limitados, lo cual implica que la poblacion crece aun ritmo proporcional a la poblacion existente en cada momento, modelizar el crecimiento de la poblacion de bacterias en funcion del numero de bacterias en cada instante.

X(t) numero de bacterias en cada instante La ecucacion del crecimiento de la bacteria

(18)

x (t )= k 1+∆ e^−rt dx (t )

dt =k . x . t dx (t )

dt =k . k 1+∆ e^−rt dx (t )

dt = k² 1+∆ e^−rt