Funciones y Propiedades de Whitney

B U A

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F  C F M

L  M

Funciones y Propiedades de Whitney

T E S I S

     

L  M

P R E S E N T A

Iván Serapio Ramos

Directores de Tesis Dr. Raul Escobedo Conde Dra. María de Jesús López Toriz

Agradecimientos

Agradezco enormemente a mis asesores de tesis, el Dr. Raul Escobedo Conde y la Dra. María de Jesús López Toriz, por todo el apoyo que me han brindado. Este trabajo se debe en gran parte a su guía y su dirección.

También, agradezco a mis sinodales, el Dr. Iván Martínez Ruiz, la Dra. Patricia Pellicer Covarrubias y el Dr. Jorge Marcos Martínez Montejano, por dedicar parte de su valioso tiempo en revisar mi tesis y enriquecerlo con sus observaciones.

Finalmente, resta agradecer a mi familia y amigos, principalmente a mis padres Javier Serapio Carrasco y Ma. del Rosario Ramos García, y a los miembros de la Liga Extraor-dinaria del Jacobiano (LEJ), Bolzano-Weierstrass, Galois, Euler, Reimann y Seifert-Van Kampen. Sin su ayuda no podría haber llegado hasta aquí.

Índice general

Introducción 

1. Preliminares 1

1.1. Continuos . . . 1

1.2. Conceptos en conexidad . . . 6

1.3. Retractos y extensores . . . 13

1.4. Homotopía y contractibilidad . . . 20

2. Hiperespacios 27 2.1. Topología de Vietoris . . . 27

2.2. Métrica de Hausdorff . . . 35

2.3. Continuidad en hiperespacios . . . 38

2.4. Hiperespacio de continuos . . . 43

3. Funciones de Whitney 55 3.1. Similitudes . . . 55

3.2. Puntos medios . . . 58

3.3. Puntos antipodales . . . 64

4. Propiedades de Whitney 71 4.1. Niveles de Whitney . . . 71

4.2. Ser un arco . . . 72

4.3. Ser un curva cerrada simple . . . 73

4.4. Arco conexidad . . . 75

4.5. Conexidad local . . . 76

4.6. Contractibilidad . . . 77

4.7. Propiedad del punto fijo . . . 86

4.8. Ser un AR . . . 87

4.9. Ser una celda bidimensional . . . 87

Bibliografía 89

Índice alfabético 90

Tabla de Símbolos

|A| [A]κ

[A]<κ

[A]≤κ f[A] f−1_[B]

id A

‘

∏

C R Q N

ℵ0

I

Cardinal del conjuntoA.

Colección de subconjuntos deAcon cardinal igual aκ.

Colección de subconjuntos deAcon cardinal menor queκ.

Colección de subconjuntos deAcon cardinal a lo másκ.

Imagen directa deAbajof.

Imagen inversa deB bajof.

Función identidad enA.

Producto cartesiano. Producto topológico.

Conjunto de los números complejos Conjunto de los números reales. Conjunto de los números racionales. Conjunto de los números enteros positivos. Cardinal deN.

Intervalo cerrado[0,1].

Introducción

La temática de esta tesis pertenece al área de la Topología conocida como Teoría de continuos y sus hiperespacios. Específicamente, se desarrolla el material necesario para demostrar la existencia de una celda bidimensional cuyo hiperespacio de subcontinuos admite un nivel de Whitney que posee un retracto homeomorfo a una esfera. Este trabajo está inspirado en el artículo de Ann Petrus tituladoContractibility of Whitney Continua inC(X), [7].

Un continuo es un espacio topológico no vacío, compacto, conexo y metrizable. Si la condición de metrizabilidad se sustituye por la condición de Hausdorff, se tiene la noción de continuo de Hausdorff. La colección de todos los subcontinuos de un continuoXes

denotada porC(X)y al ser equipada con la topología de Vietoris es referida como el

hiperespacio de subcontinuos deX. Una función de Whitney para este hiperespacio es

una función continua y real valuadaµdefinida sobre C(X)que cumple: (i) Para todo x∈X,µ({x}) = 0, y (ii) SiK, L∈C(X)yK⊂Lentoncesµ(K)< µ(L). Un nivel de

Whitney del hiperespacio de subcontinuos deX es un conjunto de la formaµ−1_[{θ}],

donde µ es una función de Whitney para C(X) y 0 ≤ θ < µ(X). Una propiedad

topológicaPes una propiedad de Whitney si cada vez que un continuo cumplePtodos los niveles de Whitney de su hiperespacio de subcontinuos también cumplenP.

Utilizando esta terminología, en la presente tesis se demuestra la existencia de una cel-da bidimensionalX, una función de WhitneyµparaC(X)y un número0< θ < µ(X)

de tal forma que el nivelµ−1[{θ}]contiene un retracto que es homeomorfo a una esfera.

Como consecuencia se obtiene que ser una celda bidimensional, ser contráctil, tener la propiedad del punto fijo y ser un retracto absoluto no son propiedades de Whitney.

Para facilitar la lectura, en esta tesis se han incluido todos (o casi todos) los resultados de Topología General, continuos e hiperespacios que se requieren para su comprensión y se organiza el material en cuatro capítulos.

En el Capítulo 1, entre otros resultados, se exponen el Teorema del cable cortado para espacios Hausdorff compactos y el Teorema de golpes en la frontera para continuos de Hausdorff; se prueba que todo continuo es la intersección de una sucesión anidada de continuos localmente conexos; se presentan algunos resultados acerca de retractos y extensores absolutos; y se demuestra que todo continuo de Hausdorff contráctil respecto de la circunferencia es unicoherente.

En el Capítulo 2, se introducen la topología de Vietoris y la métrica de Hausdorff; se definen algunas funciones continuas entre hiperespacios; se demuestra, mediante el uso de arcos ordenados, que el hiperespacios de subcontinuos de un continuo siempre es un

continuo arco conexo. También se prueba que un continuo es localmente conexo si y sólo si su hiperespacio de subcontinuos es localmente conexo. El capítulo finaliza con una demostración de que el hiperespacio de subcontinuos de un continuo es unicoherente.

En el Capítulo 3, se desarrollan conceptos en relación con las funciones de Whitney que se utilizarán en el capítulo 4; se construye una función de Whitney invariante bajo semejanzas; se define la función punto medio para el hiperespacio de arcos y puntos de un continuo y se demuestra su continuidad para el caso de los arcos y las curvas cerradas simples; se define la función punto antipodal para curvas cerradas simples y se relaciona con el concepto de punto medio.

Convenciones

Un espacio topológico es una pareja (X, τ)donde X es un conjunto yτ es una

to-pología sobreX. Se referirá aX como el espacio sobre el cual es construido el espacio (X, τ)yτ como su topología. Se usarán letras mayúsculas en negritas para representar

espacios topológicos, siendo las más recurrentesX,Y yZ. En caso de no hacer

refe-rencia explícita del conjunto sobre el cual un espacio es construido, éste se nombrará por la misma letra prescindiendo de la tipografía en negritas. Por ejemplo,

e

Zes un espacio construido sobre el conjuntoZ.e

Cuando alguno de los espaciosX,Y oZsea metrizableddenotará una métrica

aco-tadas y admisibles para dicho espacios. Además, se usará la notación BX(x, r) para representar a labola abierta enXcon centro en el puntox∈Xy radior >0y diamXA

para eldiámetro deA ⊆ X en X, ambos conceptos definidos en términos de la única

métrica admisible paraX en consideración, en este caso, ded.

Los siguientes son algunos espacios particulares que se considerarán recurrentemente en este trabajo.

(i) Rnes elespacio euclidianon-dimensionalconstruido sobreRn. Sin = 1se hará

omisión del exponente, de manera queRrepresenta la recta real con su topología

del orden usual. Obsérvese que

Rn=

n

∏

i=1

R

i.e.,Rn_{es lan-ésima potencia topológica deR.}

(ii) I esel arco, subespacio deR inducido sobre el intervaloI = [0,1]. Se le

nom-braráarco a cualquier espacio que sea homeomorfo aI. Paran > 1un espacio

homeomorfo aIn_{se denominacelda n-dimensional.}

(iii) Dn_{esla bolan-dimensional, subespacio deR}n_{inducido sobre el conjunto}

Dn ={x∈Rn| kxk ≤1}.

AD2se le conoce también comodisco bidimensional. Nótese queD1 es un arco y

(iv) Sn_{esla esferan-dimensional, subespacio deR}n+1 _{(y deD}n+1_{) inducido sobre el}

conjunto

Sn={x∈Rn+1 | kxk= 1}.

A S1 se le nombrala circunferenciay cualquier otro espacio homeomorfo a éste

es unacurva cerrada simple. En algunos casos, será más conveniente trabajar con la circunferencia en el plano complejo, que no es más que el espacio topológico construido sobre el conjunto

S1 ={z ∈C| |z|= 1}

e inducido por la métrica

∀z, z0 ∈S1 :d(z, z0) =|z−z0|.

(v) Qesel cubo de Hilberty se obtiene como una potencia numerable del arco:

Q=Iω = ∞

∏

n=0 I.

SiPes una propiedad definida para espacios topológicos yA⊆X, se dirá queAtiene

la propiedadPenXsi el subespacio deX inducido sobreAcumple la propiedadP.

Las funciones continuas entre espacios topológicos serán consideradas en el sentido categórico, es decir, como morfismos entre objetos. La notaciónf :X →Y se empleará

para denotar quef es una función entre los conjuntos subyacentesX yY, siendo

ade-más continua del espacioX al espacioY (la preimagen de cualquier conjunto abierto

Capítulo 1

Preliminares

§1 Continuos

1.1 Definición. Uncontinuo ocontinuo metrizable es un espacio topológico no vacío, compacto, conexo y metrizable. Si en lugar de la condición de metrizabilidad sólo se pide que el espacio sea Hausdorff se dirá que es uncontinuoT2ocontinuo de Hausdorff.

Un continuoT2esdegeneradosi posee un solo punto yno degeneradoen caso contrario.

1.2 Definición. Se definen las siguientes subcategorías plenas de la categoría Top de espacios topológicos y funciones continuas entre ellos:

(a)Hauscuyos objetos son los espacios de Hausdorff, (b)Metcuyos objetos son los espacios metrizables,

(c)HCompcuyos objetos son los espacios Hausdorff compactos, (d)MCompcuyos objetos son los espacios metrizables y compactos, (e)HConcuyos objetos son los continuos de Hausdorff,

(f)MConcuyos objetos son los continuos metrizables.

1.3 Observación. (1) Las categorías anteriores se ordenan como subcategorías plenas como indica el siguiente diagrama:

.. MCon. HCon

.

MComp

. HComp

.

Met

. Haus

(3) Todo continuo de Hausdorff no degenerado tiene cardinal mayor o igual a2ℵ0 por ser un espacio conexo y completamente regular con más de un punto. Más aún, los continuos metrizables no degenerados tienen exactamente 2ℵ0 puntos ya que pueden ser encajados en el cubo de Hilbert, [2, Teorema 4.2.10, p.260]

1.4 Proposición. Ser un continuo y ser un continuoT2son propiedades que se preservan

bajo morfismos en la categoríaHaus.

Demostración. En el caso de los continuosT2el resultado se sigue inmediatamente pues

las funciones continuas preservan la conexidad y la compacidad. Para el caso restante, sea f : X → Y una función continua y suprayectiva entre espacios de Hausdorff

y supóngase además que X es un continuo. Debido al argumento antes mencionado

bastará demostrar queY también es un espacio metrizable. Dado queX es compacto

y metrizable es posible elegir una colección numerable β que sea una base para X.

SeanU un conjunto abierto en Y y y ∈ U. Como f−1_{[{y}] es un conjunto cerrado}

enX y f−1_{[U]es una vecindad abierta de f}−1_[{_y}_{] es posible cubrir a f}−1_[{_y}_{] con}

elementos deβ que estén contenidos enf−1[U]y luego extraer una subcubierta finita

que se nombraráβ0. Aplicando la suprayectividad def se tiene que f−1[{y}]⊆∪β0 ⊆f−1[U] ⇒ y∈Y rf[Xr∪β0]⊆U.

De laObservación 1.3.(2)se sigue que la funciónf :X →Y es cerrada y por tanto el

conjuntoY rf[Xr∪β0]es abierto enY. En consecuencia, la colección

D ={Y rf[Xr∪β0]|β0 ⊆β y |β0|<ℵ0}

es una base paraY que además es numerable pues|D| ≤ |[β]<ℵ0| ≤ ℵ

0. Esto implica

queY es un espacio regular y segundo numerable. Por elTeorema de Metrización de

Urysohn[5, Teorema 4.1, p.217],Y es un espacio metrizable.

1.5 Definición. SeanX un continuo o un continuoT2 yK ⊆X. Se dice queK es un

subcontinuodeXsi el subespacio deX inducido sobreKes un continuo o un continuo T2según sea el caso.

1.6 Observación. Debido a que las propiedades de ser un espacio metrizable y ser un espacio Hausdorff son hereditarias,Kes un subcontinuo deXsi y sólo siKes no vacío,

cerrado y conexo enX.

1.7 Definición. Dado un puntoxen un espacio topológicoX defínanse los conjuntos:

CX(x) =

∪

{A⊆X |x∈AyAes conexo enX}, QX(x) =

∩

{A⊆X |x∈A,Aes cerrado y abierto enX}.

1.8 Observación. SeaX un espacio topológico yx∈X.

(1) Como{x}es un conjunto conexo enX se tiene quex∈CX(x). Además,CX(x)es un conjunto conexo enX por ser unión de una familia de conjuntos conexos enX con

intersección no vacía. Luego, siSes un conjunto conexo enX yCX(x)⊆Sentonces

Sdebe contener al puntox, de manera queS ⊆ CX(x)y por tantoS = CX(x). Esto implica queCX(x)es un elemento maximal en la colección de conjuntos conexos enX respecto al orden parcial definido por la inclusión.

(2) Ya queclXCX(x)es un conjunto conexo enX que contiene a CX(x), se sigue del inciso (1) queclXCX(x) = CX(x), esto es,CX(x)es un conjunto cerrado enX. (3) Seanx, y ∈ X. SiCX(x)∩CX(y) 6= ∅entonces CX(x)∪CX(y)es un conjunto conexo enX que contiene tanto a x como a y. Nuevamente, como consecuencia del

inciso (1) se tiene queCX(x) = CX(x)∪CX(y) = CX(y). De aquí se deduce que la colección{CX(x)}x∈X es una partición deX.

(4) Las quasicomponentes conexas de un espacio son conjuntos cerrados por ser la intersección de una familia de cerrados.

1.9 Proposición. En todo espacio topológico, la componente conexa de cada punto está contenida en su quasicomponente.

Demostración. SeaX un espacio topológico,x∈XyAun conjunto abierto y cerrado

enX tal quex∈A. Por laObservación 1.8.(1),CX(x)es un conjunto conexo así que no puede intersectar simultáneamente aAy aXrA. Comox∈A∩CX(x)se sigue que

CX(x)⊆ A. Esto indica que la componente conexa dexenX está contenida en cada conjunto abierto y cerrado enX al cual pertenezcax, esto es,CX(x)⊆QX(x). 1.10 Ejemplo. En general, no ocurre queCX(x) =QX(x).

Defínansep= (0,1), q = (0,0) ∈R2 yLn ={_n1} ×I para cadan ∈ N. Se denotará porX al subespacio del plano inducido sobreX ={p, q} ∪∪∞_n=1Ln.

..

p

.

p1

.

p2

.

p3

.

q . q1

.

q2

.

q3

.

. . .

Para probar la afirmación se consideran las sucesiones(pn)n∈Ny(qn)n∈Ndonde,

∀n∈N:pn= (1_n,1)yqn= (_n1,0).

n ≥ N. De esta manera, Ln ∩K 6= ∅ y debido a la conexidad de Ln se tiene que

Ln ⊆K, paran ≥N. Ya que todos salvo un número finito de términos de la sucesión

(qn)n∈Npertenecen al conjunto cerrado K se sigue que l´ımqn = q ∈ K. Esto verifica queqse encuentra en toda vecindad abierta y cerrada depenX, es decir,q ∈QX(p).

Ahora, si p0 ∈ X r {p, q} entonces p0 ∈ LN para algún N ∈ N. Considérese el conjunto:

A={(x, y)∈X |x≤ _N1₊₁}={p, q} ∪

( _∞ ∪

n=N+1

Ln

)

.

ClaramenteA es un conjunto cerrado enX. Además, X rA = ∪N_n=1Ln, así que A

también es abierto en X. Como p ∈ A y p0 ∈/ A entonces p0 ∈/ QX(p). De aquí se concluye queQX(p) ={p, q}. Obsérvese que el conjunto{p, q}es disconexo enXpues es un conjunto finito con más de un punto en un espacio metrizable. Así, necesariamente ocurre queCX(x) ={x}y por tantoCX(x)6=QX(x).

1.11 Proposición. En la categoría HComp las quasicomponentes y las componentes conexas coinciden.

Demostración. SeanXun espacio Hausdorff compacto yx∈X. Se probará queQX(x) es conexo enXviendo que no se puede descomponer como la unión de dos conjuntos no

vacíos y mutuamente separados enX. En vista de laObservación 1.8.(4), se considerarán

conjuntos cerrados enX, llámenseH yK, tales queQX(x) =H∪K yH∩K =∅. Supóngase, sin pérdida de generalidad, quex ∈ H. Como X es normal existe un par

de conjuntos ajenos y abiertos en X, llámense U y V, tales que H ⊆ U y K ⊆ V.

Se observa que,QX(x) = H ∪K ⊆ U ∪V donde QX(x)es una intersección de una familia de cerrados enX yU∪V es un conjunto abierto enX. Ya queXes compacto

es posible hallar una cantidad finita de conjuntosA1, . . . , An, cada uno de los cuales es abierto y cerrado enX y contiene al puntox, de manera que∩n_i=1Ai ⊆U∪V. De esta forma, el conjunto

W =

( _n ∩

i=1

Ai

)

∩U =

( _n ∩

i=1

Ai

)

∩(XrV)

es cerrado y abierto enXyx∈W. Así,QX(x) = H∪K ⊆W ⊆U, de donde se sigue queK ⊆U ∩V =∅, esto es,K =∅. Por tanto,QX(x)es un conjunto conexo enX que contiene al puntox, lo cual implica queQX(x)⊆CX(x). 1.12 TEOREMA(del Cable Cortado). SeaXun espacio compacto y Hausdorff. SiKes

una componente conexa deX y F es un conjunto cerrado enX tal que K∩F =∅,

entonces existe un conjuntoLabierto y cerrado enX tal que

K ⊆L y L∩F =∅.

Demostración. Por laProposición 1.11,K es una quasicomponente deX, así que existe

Xde manera queK =∩C. Luego, al serK yF conjuntos ajenos se tiene que F ⊆XrK =Xr∩C= ∪

A∈C

(XrA).

ComoF es cerrado enX, existe una colección finitaA1, . . . , An∈Cde manera que

F ⊆

n

∪

i=1

(XrAi) = Xr n

∩

i=1

Ai.

En consecuencia,

F ∩

( _n ∩

i=1

Ai

)

=∅ y K =∩C⊆

n

∩

i=1

Ai,

así que basta definirL=∩n_i=1Ai para obtener el resultado requerido. 1.13 TEOREMA(de Golpes en la Frontera). SiX es un continuo de Hausdorff,U es un

conjunto propio, no vacío, abierto enXyKes una componente conexa declXUenX

entonces

K∩FrXU 6=∅.

Demostración. Denótese porY al subespacio deXinducido sobreclXU. Se observa que

Y es un espacio compacto y Hausdorff,Kes una componente conexa deY yFrXU es

un conjunto cerrado enY.

SiLes un conjunto abierto y cerrado enY tal queL∩FrXU = ∅entoncesL ⊆ U

puesclXU =U∪FrXU. Luego, comoLes abierto enY, es posible hallar un conjunto

W abierto enX de manera queL=W ∩clXU. Así,

W ∩U ⊆W ∩clXU =L⊆W ∩U,

es decir,L=W∩U. En consecuencia,Les un conjunto cerrado y abierto enX. Ya que Xes conexo yL⊆U ⊂X, se sigue queL=∅.

Se ha demostrado que cualquier conjunto abierto y cerrado enY que no intersecte a

FrXU debe ser vacío. Por lo tanto, no existen conjuntos abiertos y cerrados enY que

contengan a la componenteK y que no intersecten a FrXU. Debido al Teorema 1.12

debe ocurrir queK∩FrXU 6=∅.

1.14 Corolario. SeanX un continuoT2yBun subcontinuo propio deX. SiV es una

vecindad abierta deB enX entonces existe un subcontinuo deX, llámeseK, tal que B ⊂K ⊆V.

Demostración. Elíjasep∈XrB. Ya queX es un espacio normal,B es cerrado enX

yB ⊆V r{p}, existe un conjuntoU abierto enX de manera que:

SeaK la componente conexa declXU enX que contiene a B. Es claro queK es un subcontinuo deX. Además, comoU es un abierto propio deX,K ∩(XrU)6=∅en

consecuencia delTeorema 1.13. Por tanto,

B ⊂K ⊆clXU ⊆V r{p} ⊆V.

1.15 Corolario. SiX es un continuoT2, para cualesquieraB yLsubcontinuos deX

tales queB ⊂L, se puede hallar un subcontinuo deX, nómbreseK, de manera que B ⊂K ⊂L.

Demostración. LlámeseLal subespacio de X inducido sobreL y tómesep ∈ LrB.

ComoB es un subcontinuo propio deLyLr{p}es una vecindad abierta deB enL,

es posible aplicar las hipótesis delCorolario 1.14para obtener un subcontinuoK deL

el cual también resulta ser subcontinuo deX y además cumple

B ⊂K ⊆Lr{p} ⊂L.

§2 Conceptos en conexidad

1.16 Definición. SeanXun espacio topológico yx∈X.

(a)Xesconexo en pequeño(también cik) en el puntoxsi admite un sistema fundamental

de vecindades conexas dex, esto es, para cualquier V, vecindad dexenX, es posible

hallarC vecindad dexenX de manera queC ⊆ V yC es un conjunto conexo enX.

Así,X esconexo en pequeñosi es conexo en pequeño en cada uno de sus puntos.

(b)X eslocalmente conexoen el punto xsi admite una base local enx por conjuntos

conexos, es decir, para cualquierV, vecindad dexenX, es posible hallar U vecindad

abierta de x enX de manera que U ⊆ V y U es un conjunto conexo en X. Luego, Xeslocalmente conexosi es localmente conexo en cada uno de sus puntos.

1.17 TEOREMA. Para todo espacio topológicoX son equivalentes:

(1)Xes localmente conexo,

(2)Xes conexo en pequeño,

(3)Las componentes de conjuntos abiertos enX son conjuntos abiertos enX,

(4)Xadmite una base formada por conjuntos abiertos y conexos enX.

Demostración. (1)⇒(2)Se sigue inmediatamente de las definiciones.

(2)⇒ (3) Supóngase queX es conexo en pequeño. Si U es conjunto abierto en X y

Kes una componente conexa deUenXentonces, para cadax∈K,Ues una vecindad

C⊆U. ComoK es una componente conexa deU enXdebe ocurrir queC⊆K y por

tantoK también es una vecindad dexenX. En consecuencia,K es abierto enX.

(3)⇒(4)SeaU un conjunto abierto enX yx∈U. SiCes la componente conexa deU

enX que contiene al puntoxentonces, por hipótesis,Ces un conjunto abierto enXy

x∈C ⊆U. Así, la colección de conjuntos abiertos y conexos enXes un base paraX.

(4)⇒(1)SiX posee una baseβformada por conjuntos abiertos y conexos entonces,

para cadax ∈ X, la colección de aquellos elementos deβ que contienen al puntoxes

justamente una base local deX enxformada por conjuntos conexos. De aquí se sigue

queX es localmente conexo en cada uno de sus puntos.

1.18 Ejemplo. El arco es un espacio localmente conexo.

Obsérvese que los intervalos de la forma (a, b),[0, b) y (a,1], con 0 < a < b < 1,

forman una base paraI. Ya que cada uno de estos conjuntos es conexo enI, se sigue

delTeorema 1.17queI es localmente conexo.

1.19 Proposición. La conexidad local es un invariante bajo funciones cociente. Por lo tanto, es un invariante bajo funciones continuas entre espacios Hausdorff compactos y bajo funciones continuas y abiertas.

Demostración. Seaf:X → Y una función cociente entre espacios topológicos donde X es localmente conexo. Supóngase queU es un conjunto abierto en Y y C es una

componente conexa deU enY. Para cadax ∈ f−1_{[C], nómbreseC}

x a la componente conexa def−1[U]enXque contiene al puntox. Comof[Cx]es conexo enY y contiene a f(x) ∈ C se sigue que f[Cx] ⊆ C. De esta manera, x ∈ Cx ⊆ f−1[C] para cada

x ∈ f−1_{[C]. Debido alTeorema 1.17, C}

x es un conjunto abierto enX así que f−1[C] también es un conjunto abierto enX. Comof : X → Y es una función cociente se

sigue que el conjuntoC es un abierto enY y por tantoY es localmente conexo.

1.20 TEOREMA. Un producto no vacío de espacios topológicos no vacíos es localmente conexo cuando y sólo cuando cada uno de los factores es localmente conexo y todos salvo un número finito de éstos son conexos.

Demostración. Sea{Xα}α∈Λ una familia no vacía de espacios topológicos no vacíos y

supóngase que∏Xαes un espacio localmente conexo. Se observa que:

(i) Para cada β ∈ Λ, la proyección en la β-ésima coordenadaπβ :

∏

α∈ΛXα → Xβ es una función suprayectiva, abierta y continua. Se sigue de laProposición 1.19 que el espacioXβ es localmente conexo.

(ii)Elíjasef ∈‘_α∈ΛXαyV una vecindad conexa def en

∏

α∈ΛXα. Es posible hallar

un básico canónicoB de manera que

f ∈B =

n

∩

i=1

π_α−1

i [Ui]⊆V,

donden∈Ny, para cadaidesde1hastan,αi ∈ΛyUi es un conjunto abierto enXαi.

es un conjunto conexo en∏_α∈ΛXαse sigue que el espacioXα es conexo. Por lo tanto,

{α ∈ Λ | Xα no es conexo} ⊆ {α1, . . . αn}y así todos salvo un número finito de los factores de∏_α∈ΛXα son conexos.

Ahora se demostrará la afirmación recíproca. SiΓ ={α∈Λ|Xα no es conexo} ⊆Λ entonces, por hipótesis,|Γ|<ℵ0. Dadosf ∈

‘

α∈ΛXαyV vecindad def en

∏

α∈ΛXα debe existir un básico canónicoBtal que

f ∈B =

n

∩

i=1

π_α−_i1[Ui]⊆V,

donden∈Ny para cadaidesde1hastan,αi ∈ΛyUies un conjunto abierto enXαi.

Como f(αi) ∈ Ui, existe un conjunto abierto y conexo en Xαi, llámese Vi, tal que

f(αi) ∈ Vi ⊆ Ui. Nótese que|Γ∪ {α1, . . . , αn}| < ℵ0 así que es posible indizar este

conjunto como{α1, . . . , αm}, con m ∈ Nym ≥ n. Para cadai ∈ N, con n < i ≤ m, elíjaseVi vecindad abierta y conexa def(αi)enXαi. Se observa que

C =

m

∩

i=1

π_α−_i1[Vi] = ¡

α∈Λ

Cα

dondeCα =Xαsiα6=αipara cadaidesde1hastamyCα =Visiα =αi para algúni entre1ym. Ya que para todoα∈Λ,Cαes un conjunto conexo enXαy la conexidad es una propiedad productiva, se tiene queCes un conjunto conexo en∏_α∈ΛXα. Luego,

f ∈

m

∩

i=1

π_α−1

i [Vi] =C ⊆

n

∩

i=1

π−_α1

i[Vi]⊆

n

∩

i=1

π−_α1

i[Ui] =B.

Esto implica queCes una vecindad abierta y conexa def en∏_α∈ΛXαcontenida enB

y por tanto∏_α∈ΛXαes localmente conexo.

1.21 Proposición. Dado un espacio metrizableXyx∈X, las siguientes proposiciones

son equivalentes:

(1)Xes conexo en pequeño en el puntox.

(2)Dado >0existeδ >0tal que para caday ∈ X cond(x, y) < δ es posible hallar

un conjuntoCcerrado y conexo enXtal quex, y ∈CyC⊆BX(x, ).

(3)Dado > 0existeδ > 0y un conjuntoC cerrado y conexo en X de manera que

BX(x, δ)⊆C ⊆BX(x, ).

Demostración. (1)⇒(2)Dado > 0se puede elegir una vecindad conexa dexenX,

llámeseV, la cual se encuentra contenida enBX(x, /2). ClaramenteC =clXV es un conjunto cerrado y conexo enX. Además,

C=clXV ⊆clXBX(x, /2)⊆BX(x, ).

(2) ⇒(3) Para todo > 0existe δ > 0de manera que cada y ∈ X con d(x, y) < δ

admite un conjuntoCy conexo y cerrado enX, tal quex, y ∈ Cy yCy ⊆ BX(x, /2). Nótese que el conjunto

V = ∪

y∈BX(x,δ)

Cy

es conexo enX por ser la unión de una colección de conjuntos conexos enX cuya

intersección es no vacía. Esto implica queC =clXV es un conjunto cerrado y conexo enX. Luego, comoy∈Cy ⊆BX(x, /2)para caday∈BX(x, δ), se sigue que

BX(x, δ)⊆V ⊆C =clXV ⊆clXBX(x, /2)⊆BX(x, ).

(3)⇒(1)SiUes una vecindad dexenX, escójase >0de manera queBX(x, )⊆U. Por hipótesis, es posible hallar un conjuntoCconexo y cerrado enX y un número real

δ >0tales queBX(x, δ)⊆ C ⊆BX(x, ). Se sigue queC es una vecindad conexa de

xenX y queC ⊆U. Consecuentemente,X es conexo en pequeño en el puntox.

1.22 Definición. Un espacio metrizableX tiene lapropiedad Ssi dado cualquier >0,

Xse puede cubrir con un número finito de conjuntos, cada uno de los cuales es conexo

enX y tiene diámetro menor que.

1.23 TEOREMA. Todo espacio metrizable con la propiedad S es localmente conexo. Demostración. Sean X un espacio metrizable con la propiedad S y x ∈ X. Si U es

una vecindad abierta dex enX se elige > 0 tal queBX(x, ) ⊆ U. Por hipótesis, existe una colección finita C formada por conjuntos conexos en X, cada uno de los

cuales tiene diámetro enX menor ay cuya unión es todoX. Se definen los conjuntos

D ={clXC |C ∈C y x∈clXC},B ={clXC | C ∈C y x /∈clXC}yV =

∪

D. Obsérvese quex∈ ∩D y cada elemento deD tiene diámetro enX menor aasí que x ∈ V ⊆ BX(x, ) ⊆ U.Además,V es conexo en X por ser la unión de una familia de conjuntos conexos enX con intersección no vacía. Luego, obsérvese que ∪B es

cerrado en X por ser la unión de una colección finita de conjuntos cerrados en X.

Dado quex∈ Xr∪B ⊆ ∪D = V, entoncesV es una vecindad conexa dexenX

contenida enUy por tantoXes cik enx. Esto prueba queX es conexo en pequeño en

cada uno de sus puntos y, en consecuencia,X es localmente conexo.

1.24 TEOREMA. En la categoríaMComp, la conexidad local implica la propiedad S. Demostración. SeanX un espacio metrizable, compacto y localmente conexo y > 0.

Para cadax∈Xes posible hallar un conjuntoUxabierto y conexo enXde manera que

x ∈ Ux ⊆ BX(x, /2). Así,C = {Ux}x∈X es una cubierta abierta deX formada por conjuntos conexos enX con diámetro menor a. Dado queX es compacto,C admite

una subcubierta finita la cual cumple las condiciones en laDefinición 1.22. Por lo tanto,

Xposee la propiedad S.

1.25 Proposición. SeanX un espacio metrizable yY, Z ⊆X. Si Y tiene la propiedad

Demostración. Ya queY tiene la propiedad S enX, para todo >0existe una colección

finitaC de conjuntos conexos enX de manera queY =∪C y diamXC < para cada

C ∈ C. Defínase ahora C∗ = {Z ∩clXC}C∈C. Nótese que para cadaC ∈ C ocurre queC ⊆ Z ∩clXC ⊆ clXC así queC∗ también es una colección finita de conjuntos

conexos enX cada uno de los cuales tiene un diámetro enXmenor que. Luego,

∪

C∗ ₌ ∪

C∈C

(Z∩clXC) =Z∩ ∪

C∈C

clXC =Z ∩clX( ∪C

)

=Z∩clXY =Z.

Se deduce queZ tiene la propiedad S enX.

1.26 Definición. Dado un espacio metrizableX y >0, unaS()-cadenaenX es una

colección finita e indizada,L = {L1, . . . , Ln}, formada por conjuntos conexos en X de manera que diamXLi < /2ipara cada1≤i≤nyLi∩Li+1 6=∅parai < n. Cada

elemento deL se denominaeslabónde la cadena. Además, dadosx, y ∈X, se dirá que

L va dexaysix∈L1yy∈Ln.

Luego, para cadaA⊆Xy >0se define:

SX(A, ) = {y∈X|Existe una S()-cadena enX que va de algún punto deAay}. 1.27 Proposición. SiXes un espacio metrizable con la propiedad S, entonces, para cada

A⊆X, conA6=∅y cualquier >0, el conjuntoSX(A, )posee la propiedad S enX. Demostración. Seaδ >0. Elíjasek ∈Ntal que

∞

∑

n=k

2n =

2k−1 < δ/4.

Se define K como el conjunto de puntos x ∈ X que admiten una S()-cadena en X

que va de algún punto de A a x y que tenga a lo más k eslabones. Ya que A ⊆ K

el conjuntoK es no vacío. Ahora, como X tiene la propiedad S se le puede hallar una

cubierta finita formada por conjuntos conexos enXde diámetro menor que/2k+1 >0.

SiC1, . . . , Cnson los elementos de esta cubierta que intersectan aK entonces se tiene queK ⊆∪n_i=1Ci. Luego, considéreseientre1yn. Elíjanse un puntop∈Ci∩K y una S()-cadena enX, nómbreseL ={L1, . . . , Lm}, de manera queL va de algún punto deAhastapym ≤ k. Debido a que diamXCi < /2k+1 ≤ /2m+1, basta con definir

Lm+1 =Ci para queL0 ={L1, . . . , Lm+1}sea una S()-cadena enX que va de algún

punto deAhasta cada punto deCi. Esto implica queCi ⊆SX(A, ).

Denótese porPi a la colección de todos los conjuntosM ⊆Xque satisfacen: (1)M ⊆SX(A, ),

(2)M∩Ci 6=∅,

(3)M es conexo enX,

(4)diamXM < δ/4.

Es claro que, para cadaidesde1hastan,Ci ∈Pi. DefiniendoBi =

∪

(i)El conjuntoBi es conexo enX por ser unión de una familia de conjuntos conexos enX cada uno de los cuales intersecta a un mismo elemento de la familia.

(ii)De la misma afirmación del inciso(i)se puede deducir que

diamXBi ≤diamXCi+ 2

M∈Pi

sup (diamXM)< 2k+1 + 2

( δ 4 ) < δ 4 + δ 2 < δ.

(iii)Para cadax∈SX(A, )existe una S()-cadena enX, llámeseL ={L1, . . . .Lm}, que va de algún punto de A a x. Si m ≤ k entoncesx ∈ K ⊆ ∪n_i=1Ci. Nótese que

Ci ⊆BipuesCi ∈ Pi así quex ∈

∪n

i=1Bi. Sim > kentonces defínaseH =

∪m j=kLj. Debido a queLk ⊆ K entoncesLk∩Cj 6=∅para algúnj entre1y n. Se demostrará queH ⊆Bj verificando queH satisface las condiciones(1)-(4).

Por definición, H ⊆ ∪L ⊆ SX(A, ). Además, Lk ⊆ H y Lk ∩Cj 6= ∅ así que

H debe cumplir(2). Luego,H también cumple(3) pues es la unión de una cadena de

conjuntos conexos enX. De este último argumento se tiene que:

diamXH ≤

m

∑

j=k

diamXLj < m

∑

j=k

2j <

∞

∑

j=k

2j < δ/4,

lo cual demuestra queHsatisface(4). Comox∈Lm ⊆Hse tiene entonces quex∈Bj. Por tanto, se ha probado queSX(A, )⊆

∪n

i=1Bi.Finalmente, la condición(1)implica

queBi ⊆SX(A, )para cadaidesde1hastany en consecuencia

∪n

i=1Bi =SX(A, ). De los incisos(i)-(iii)se deduce que{B1, . . . , Bn}es una cubierta finita deSX(A, ) formada por conjuntos conexos enXcon diámetro menor aδ. Por lo tanto, el conjunto

SX(A, )tiene la propiedad S enX.

1.28 TEOREMA. Todo continuo puede obtenerse mediante la intersección anidada de continuos localmente conexos.

Demostración. Dado un continuoX, existe un espacioY que es homeomorfo al cubo

de Hilbert y que contiene aX como subespacio (véase [2, Teorema 4.2.10, p.260]). Del

Ejemplo 1.18y elTeorema 1.20se sigue queQes un continuo localmente conexo, por lo cualY también es un continuo localmente conexo. Luego, por elTeorema 1.24,Y tiene

la propiedad S. Dado que el conjuntoX es conexo enY se sigue que, para cadan∈N, SY(X,_n1) también es un conjunto conexo en Y. De esta forma, Xn = clY SY(X,_n1) es un subcontinuo de Y. Además, de las Proposiciones 1.27 y 1.25 se deduce que Xn tiene la propiedad S enY. Aplicando elTeorema 1.23se obtiene queXnes un continuo localmente conexo enY. Se demostrará que

X = ∞

∩

n=1

Xn.

ClaramenteX ⊆∩∞_n=1Xn, así que resta probar la otra inclusión. Dadoy∈

∩_∞

n=1Xny

x ∈ SY(X,_n1)tal qued(x, y) < /2. Luego, por la definición de SY(X,1_n), existe un puntox0 ∈X y una S(_n1)-cadena enY, llámeseL, que va dex0 ax. Así,

d(x0, x)≤diamY

∪

L < ∞

∑

k=1

1/n 2k =

1

n < /2,

y por lo tantod(X, y)≤d(x0, y)≤d(x0, x) +d(x, y)< , para cada >0. Esto implica

qued(X, y) = 0 y asíy ∈ X. Se concluye que X es la intersección de una sucesión

anidada de continuos localmente conexos.

1.29 Definición. Un espacio topológico es unatrayectoriasi es imagen continua deI y

es unarcosi es homeomorfo aI.

1.30 Observación. (1) Cualquier arco es una trayectoria, pero una trayectoria no nece-sariamente es un arco. Por ejemplo,S1 es una trayectoria pues la función f : I → S1

definida por:

∀t∈I :f(t) = (cos 2πt,sen 2πt)

es continua y suprayectiva. No obstante, es claro queS1 _{no es un arco.}

(2) Toda trayectoria es un espacio conexo y compacto. Más aún, se puede deducir de las Proposiciones 1.4 y 1.19y elEjemplo 1.18que en la categoríaHaus, las trayectorias son continuos localmente conexos.

1.31 Definición. SeaX un espacio topológico.

(a)Xesconexo por trayectoriassi para cada par de puntos del espacio es posible hallar

una trayectoria enX que los contiene a ambos.

(b) X es conexo por arcos o arco conexosi dados cualesquiera dos puntos del espacio

existe un arco enX que los contiene a ambos.

1.32 Observación. (1) SiX es un espacio no vacío y conexo por trayectorias entonces

es conexo. Elíjasex0 ∈ Xy para cadax ∈X hállese una trayectoria enX,Ex, la cual contenga axy ax0. De esta manera,X =

∪

x∈XEx donde{Ex}x∈X es una familia de conjuntos conexos enXque tiene intersección no vacía. Esto implica queXes conexo.

(2) Por laObservación 1.30 (1), todo espacio arco conexo es conexo por trayectorias. 1.33 Ejemplo. La conexidad por trayectorias no implica arco conexidad.

SeaXel espacio construido sobre el conjuntoX ={0,1}donde los únicos conjuntos

abiertos y no vacíos son{0}yX. Se define la funciónf :I →X como:

∀t∈I :f(t) =

{

0 sit <1, 1 sit= 1.

Obsérvese quef : I → X es una función continua y suprayectiva así que X es una

trayectoria y en consecuencia es un espacio conexo por trayectorias. No obstante,X no

1.34 Proposición. Dado un espacio topológicoX se cumple que:

(a) X es conexo por trayectorias si y sólo si para cualesquiera x, y ∈ X existe una

función continuaα:I →X tal queα(0) =xyα(1) =y.

(b)X es arco conexo si y sólo si dados dos puntos distintosx, y ∈ X es posible hallar

una inmersiónα:I ,→Xtal queα(0) =xyα(1) =y.

Demostración. La suficiencia en ambos incisos es clara ya que la imagen de la función

αdetermina una trayectoria en el primer caso y un arco en el segundo. Resta demostrar

la necesidad.

(a)SiX es conexo por trayectorias, para cualesquierax, y ∈ X es posible hallar una

trayectoria en X, llámese Z, de manera que x, y ∈ Z. Tómese la función inclusión ı : Z ,→ X del subespacioZ enX. ComoZ es una trayectoria se puede elegir una

funciónf : I → Z que sea continua y suprayectiva. Luego, selecciónense t0, s0 ∈ I

tales quex=f(t0)yy=f(s0), y defínaseϕ:I →I comoϕ(t) = (s0−t0)t+t0para

cadat∈I. De esta manera, la funciónα:I →X dada porα=ı◦f◦ϕes continua y

cumple queα(0) =f(ϕ(0)) =f(t0) = xyα(1) =f(ϕ(1)) =f(s0) =y.

(b)En este caso se procede de modo similar al inciso(a)pero ahoraZes un arco enXy

f :I →Zes un homeomorfismo. Dado quexyyson puntos distintos, necesariamente

ocurre quet0 6=s0. Así, de la definición deϕse sigue queϕ:I →I es una inmersión.

Finalmente, comoα :I → X es composición de inmersiones se tiene queα :I →X

es una inmersión.

1.35 TEOREMA(de Arco conexidad). Todo subespacio abierto y conexo de un continuo localmente conexo es arco conexo.

Demostración. Véase [6, Teorema 8.26, p.132].

1.36 Corolario. Todo continuo localmente conexo es arco conexo.

1.37 TEOREMA. En la categoríaHaus, la conexidad por trayectorias es equivalente a la arco conexidad.

Demostración. En vista de laObservación 1.32 (2), sólo resta probar que conexidad por trayectorias implica arco conexidad. Dado un espacioX conexo por trayectorias y dos

puntos distintosx, y ∈ X, es posible hallar una trayectoria Z, subespacio deX, que

contiene a ambos puntos. Más aún, laObservación 1.30.(2)implica queZes un continuo

localmente conexo. Así, comoxyyson puntos distintos deZ, se aplica elCorolario 1.36

para obtener un arco enZ, el cual también es un arco enX, que contiene a los puntos

xyy. Se concluye queXes arco conexo.

§3 Retractos y extensores

1.38 Definición. SeanXyY espacios topológicos,Zun subespacio deXeı:Z ,→X

se dirá queF extiende continuamentela funciónfaXo queF es unaextensión continua

def aX si el siguiente diagrama es conmutativo:

..

X

.

Z.. Y

F

.

f

.

ı _{F ◦ı=f.}

1.39 Definición. SeanX un espacio topológico yY un subespacio deX. Se dirá que Y es unretractodeXsi existe una extensión continua aXde la funciónidY :Y →Y.

A dicha extensión continua se le nombraretraccióndeX enY.

1.40 Observación. Es fácil ver de la definición anterior queY es un retracto deX si y

sólo si la función inclusiónı:Y ,→X admite una inversa izquierda continua. De esta

manera, toda retracción deX enY es una retracción enTopen el sentido categórico.

1.41 Proposición. SeanX yY espacios topológicos. Sif :X →Y es una retracción

en la categoríaTopentoncesX posee un retracto homeomorfo aY.

Demostración. Elíjase una función continuag : Y → X tal quef ◦g =id Y. SiYe es

el subespacio deX inducido sobreYe = g[Y]eı : Ye ,→ X es su respectiva función

inclusión entonces existe una única función continuah : Y → Ye tal que el siguiente

diagrama conmuta,

..

X

.

Y.. _Ye

g

.

h

.

ı _ı◦_h=g.

Si se defineeh :Ye → Y comoeh = f◦ıentonces,ehh = (f ı)h = f(ıh) = f g =idY.

Nótese queh : Y → Ye es un epimorfismo enTop por ser una función suprayectiva.

Así, como(heh)h = h(ehh) = h = (idYe)hse sigue que heh = idYe. Esto implica que h:Y →Ye es un homeomorfismo. Además, definiendor :X →Ye comor=h◦f se

tiene querı = (hf)ı =h(f ı) = heh =id Y .e En consecuencia,Ye es un retracto deX

homeomorfo aY.

1.42 Ejemplo. El arcoI es un retracto deR.

Considérese la función continuar:R →I definida como:

∀x∈R:r(x) =

    

0 six≤0, x si0≤x≤1, 1 si1≤x.

..

0

.

1

.

Claramente,r:R →I es una retracción puesr(x) = xpara todox∈I.

1.43 Proposición. Todo retracto de un espacio Hausdorff es un subespacio cerrado. Demostración. SeaX un espacio topológico,Y un subespacio de X,ı : Y ,→ X su

función inclusión yr : X → Y una retracción de X en Y. Dado x ∈ X se tiene

quer(x) = x si y sólo si x ∈ Y, por lo cual Y es el conjunto donde coinciden las

funciones continuasidX, ır:X →X. Suponiendo queX es un espacio de Hausdorff,

Y es necesariamente un conjunto cerrado enX.

1.44 Definición. Un espacio topológicoX tiene lapropiedad del punto fijosi cualquier

función continuaf :X →Xadmite un punto fijo, esto es, un puntox∈Xde manera

quef(x) =x.

1.45 Proposición. La propiedad del punto fijo es una propiedad topológica.

Demostración. SeanX yY espacios topológicos. Supóngase queX tiene la propiedad

del punto fijo y que existe un homeomorfismoh:X →Y. Dada una función continua

f : Y → Y se definef0 : X → X comof0 = h−1 ◦_f ◦_{h. Es claro que la función}

f0 :X →X también es continua así que, por hipótesis, existex∈Xtal quef0(x) =x.

Por lo tanto, siy =h(x)entonces

f(y) = f(h(x)) =h(h−1(f(h(x)))) =h(f0(x)) =h(x) =y.

En consecuencia,Y tiene la propiedad del punto fijo.

1.46 TEOREMA(del Punto Fijo de Brouwer). Para cadan ∈ N,Dn _{tiene la propiedad} del punto fijo.

Demostración. Véase [9, Teorema 3.3, p.243].

1.47 Ejemplo. La esferan-dimensionalSn_{no posee la propiedad del punto fijo.} Para cadan ∈N, la funciónf :Sn →Sndada por:

∀x∈Sn :f(x) =−x,

es una función continua que no admite puntos fijos.

1.48 Proposición. SiX es un espacio con la propiedad del punto fijo yY es un retracto

deX entoncesY también tiene la propiedad del punto fijo.

Demostración. Seaı:Y ,→X la respectiva función inclusión y elíjase una retracción

r : X → Y. Para cada función continuaf : Y → Y defínase f0 : X → X como

f0 =ı◦f◦r. Por hipótesis, existex∈Xtal quef0(x) =x. Así, comox=f(x)∈Y se

sigue quer(x) = x. Por lo tanto,f(x) =f(r(x)) = f0(x) = x, es decir,xes un punto

fijo de la funciónf :Y →Y. Conclúyase queY tiene la propiedad del punto fijo.

1.49 Definición. SiX es un espacio topológico yY es un subespacio deX, se dirá que Y es unretracto de vecindadenX siY es retracto de algún subespacio abierto deX.

1.51 Ejemplo. La esferan-dimensionalSn_{es un retracto de vecindad enD}n+1_.

LlámeseZ al subespacio deDn+1 inducido sobreDn+1 r{0}. Claramente,Z es un

subespacio abierto deDn+1_{. Luego, defínase la función continuar :Z →S}n_como:

∀x∈Dn+1r{0}:r(x) = x kxk.

Dadox∈Sn_{se tiene quer(x) = xpor lo cualres una retracción deZenS}n_. 1.52 Definición. SeanXyY espacios topológicos yZun subespacio cerrado enX.

(a)Ztiene lapropiedad de extensiónenX respecto deY si cualquier función continua

f :Z →Y admite una extensión continua aX.

(b)Z tiene lapropiedad de extensión de vecindad enX respecto de Y si toda función

continua deZ aY puede extenderse continuamente a algún subespacio abierto deX

que contenga aZ.

1.53 Observación. (1) El subespacio abierto de X mencionado en el inciso (b) de la

Definición 1.52puede depender de la función continua a extender.

(2) SiZtiene la propiedad de extensión enXrespecto deY, también tiene la propiedad

de extensión de vecindad enX respecto deY.

1.54 Definición. SeaY un espacio topológico metrizable.Y es unextensor (de vecindad)

absolutosi cualquier conjunto cerrado en un espacio metrizableX posee la propiedad

de extensión (de vecindad) enXrespecto deY.

Los conceptosextensor absolutoyextensor de vecindad absolutose abreviarán como AE y ANE respectivamente por sus siglas en el idioma inglés (Absolute Extensor y Absolute Neighborhood Extensor).

1.55 Observación. Se sigue de laObservación 1.53 (2)que todo AE es un ANE. 1.56 Ejemplo. El arcoI es un AE.

Esto es consecuencia del Teorema de Extensión de Tietze [4, Teorema O, p.242] y del hecho de que todo espacio metrizable es normal.

1.57 Proposición. Ser un AE y ser un ANE son propiedades topológicas.

Demostración. SeanY yY0espacios topológicos yh:Y →Y0 un homeomorfismo. Si X es un espacio metrizable,Zun subespacio cerrado deX yf :Z →Y una función

continua, entoncesf0 =hf :Z →Y0 es también una función continua.

(a) Suponiendo que Y0 es un AE, existe una función continua F0 : X → Y0 que

extiende af0. Así, definiendoF :X →Y comoF =h−1◦F0se cumple que F ı= (h−1F0)ı=h−1(F0ı) = h−1f0 =h−1(hf) = (h−1h)f =f.

Por lo tanto,F es una extensión continua def aX.

(b)Ahora, siY0es un ANE, existe un subespacio abierto deX, llámeseZe, y una función

continuaF0 : Ze → Y0 que extiende af0 a través de la inclusión : Z ,→ Ze. Es fácil

verificar que la funciónF :Ze →Y dada porF =h−1_◦F0 _{es una extensión continua}

def, en este caso, a la vecindad Ze. De lo anterior se concluye que Y es un AE o un

1.58 TEOREMA. La propiedad de ser un AE es numerablemente productiva mientras que la propiedad de ser un ANE es finitamente productiva.

Demostración. En ambos casos de la prueba,Xes un espacio metrizable,Zes un

subes-pacio cerrado deX eı:Z ,→X es su respectiva función inclusión.

(a)Sea{Yn}n∈Nuna familia de espacios topológicos metrizables y supóngase que cada uno de ellos es un AE. Se observa que∏∞_n=1Yntambién es un espacio metrizable por ser un producto numerable de espacios metrizables. Sif : Z → ∏∞_n=1Yn es una función continua y, para cadam ∈ N,πm :

∏_∞

n=1Yn → Ym es lam-ésima función proyección

entonces la funciónfm : Z →Ymdefinida comofm = πm◦f es continua. ComoYm es un AE, existe una funciónFm :X →Ym que extiende continuamente afm. Ahora, se defineF :X →∏∞_n=1Yncomo:

∀x∈X :F(x) = (Fn(x))n∈N.

Debido a queπm◦F =Fmpara cadam∈N, la funciónF :X →

∏_∞

n=1Ynes continua. Además, para todom ∈ N ocurre queπm(F ı) = (πmF)ı = Fmı = fm = πmf. Así,

F ◦ı=f, es decir,F es una extensión continua defaX. Esto implica que∏∞_n=1Ynes un AE.

(b)SeanY1, . . . ,Ynespacios topológicos metrizables, cada uno de los cuales es un ANE. Nótese nuevamente que∏n

i=1Yi también es un espacio metrizable. Sif :Z →

∏n i=1Yi es una función continua y, para cadakentre1yn,πk:

∏n

i=1Yi →Ykes la proyección

en lak-ésima coordenada entonces la funciónfk :Z →Ykdefinida comofk =πk◦f es continua. Dado queYkes un ANE, es posible hallar un subespacio abierto deX que contiene aZ, nómbrese Zek, y una función continua Fk : Zek → Yk que extiende la funciónfkaZek. SiZees el subespacio deX inducido sobreZe=

∩n

i=1ZeientoncesZees

un subespacio abierto deX que contiene aZ. Así, para todokdesde1hastan, se tiene

el siguiente diagrama conmutativo de funciones inclusión:

..

e

Zk .

Z.. _Ze

k

.



.

ık ı_k◦=_k.

Para cadakentre1ynse defineF_k0 :Ze →YkcomoFk0 =Fk◦ıkyF :Ze →

∏n i=1Yi

como:

∀z ∈Ze:F(z) = (F₁0(z), . . . , F_n0(z)).

Es claro queF : Ze →∏n_i=1Yi es una función continua pues, para cualquierk desde1 hastan,πk◦F =Fk0 . Más aún, se tiene que

πk(F ) = (πkF)= (Fkık)=Fk(ık) = Fkk=fk=πkf,

lo cual implica queF ◦=f, esto es,F es una extensión continua de la funciónf aZe.

En consecuencia,∏n