1
EJERCICIOS RESUELTOS DE
SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Resolver por el método de sustitución el sistema 2 2
2 3 0
x y x y
⎧⎪ + = ⎨
− + =
⎪⎩ y comprobar gráficamente la
solución obtenida.
Solución
En primer lugar, despejamos la incógnita y de la segunda ecuación quedando y =2x+3
Se sustituye en la primera ecuación obteniendo x2+2x+ =3 2, que es una ecuación con una
incógnita y resolviendo esta ecuación queda:
2 2 1 0
x + x+ = ⇔ (x +1)2 =0 ⇔ x = -1.
Sustituyendo este valor de x en y =2x+3, se obtiene y = -2+3 = 1
Por tanto, la solución del sistema es (-1, 1).
Para comprobar gráficamente la solución se representa los conjuntos de soluciones, S1 yS2 , de cada
una de las ecuaciones.
Para dibujar S1 despejamos y de la primera ecuación obteniendo y = −2 x2 que es la parábola de
eje OY con vértice el punto (0, 2) que se muestra en el dibujo.
Para calcular S2 despejamos y de la segunda ecuación obteniendo la recta y =2x+3 que pasa por
los puntos (0, 3) y (-2, -1).
2 Resolver el sistema
1
3 0
2 4 2
x y z x z x y z
+ + = ⎧
⎪− + = ⎨
⎪ + − =
⎩
por el método de sustitución.
Solución
Para resolver este sistema por el método de sustitución se elige una incógnita para despejar en una
de las ecuaciones, por ejemplo la x de la segunda ecuación, quedando x =3z, y se sustituye en la
primera y tercera ecuación obteniéndose el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas
4 1
2 2
y z y z
+ =
⎧ ⎨
+ =
⎩ .
Despejando y de la primera de las ecuaciones obtenidas queda y = −1 4z, que sustituida en la otra
ecuación da lugar a 1 2− z =2, de donde, z = 1
2 − .
Sustituyendo este valor en y = −1 4z y en x =3z se tiene y =3 y 3
2
x = − .
Luego, la solución del sistema es - , 3, -3 1
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠.
3 Resolver los sistemas: a) ( 2 9) 3
0
x y x
x xy
⎧⎪ − − =
⎨
+ =
⎪⎩ b)
( 2) 4
( 1)( 2) 0
y x x y
− = ⎧
⎨ − − = ⎩
Solución
a) Factorizando la segunda ecuación queda x(1+y) = 0 , de donde, x = 0 o y = -1.
Sustituyendo estos valores en la primera ecuación se tiene:
x = 0 ⇒ −9y − =3 0 ⇔ 1
3
y = −
y = -1 ⇒ −x2 +6= x ⇔ x2+ x−6=0 ⇔ 1 1 24 2
2 3
x = − ± + = ⎨⎧ − ⎩
Por tanto, las soluciones del sistema son 0, -1
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠, (2, -1) y (-3, -1).
b) Para que se verifique la segunda ecuación (x−1)(y−2) 0= , al estar igualada a 0, o bien x = 1 o bien y = 2.
Sustituyendo estos valores en la primera ecuación (y x −2) 4= queda:
x = 1 ⇒ y = -4 y = 2 ⇒ x - 2 = 2 ⇒ x = 4 Por tanto, las soluciones del sistema son (1, -4) y (4, 2).
4 Resolver por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) 2 2 1
3
x y y y x
⎧⎪ − + =
⎨
− =
⎪⎩ b)
4 2
2
2 8
(1 ) 3
2
x y z z x y z x ⎧ + + = ⎪ ⎨ + + = ⎪ − = − ⎩ Solución
a) Para buscar su solución por el método de sustitución se elige una incógnita para despejarla en una de las ecuaciones, en este caso, lo más sencillo es despejar x de la segunda ecuación quedando
3
x = y− .
Sustituyendo esta expresión en la primera ecuación se obtiene la ecuación polinómica
2
3 2 1
y − −y + y = , es decir, y2 −3y +4 0= , cuyas soluciones dadas por 3 9 16
2
y = ± − no existen.
Por tanto, el sistema no tiene solución.
b) Se elige una incógnita para despejar en una de las ecuaciones, por ejemplo si se despeja z de la
tercera ecuación queda z = − +2 x.
Sustituyendo esta expresión en la primera y segunda ecuación se obtiene el sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas 4 2
2
2 ( 2 ) 8
( 1 ) 3
x y x
x x y
⎧ + + − + =
⎪ ⎨
− + + =
⎪⎩ , es decir,
4 2
2 3
2 4 4 8
3
x y x x x x y
⎧ + + − + =
⎪ ⎨
− + + =
⎪⎩
Despejando y de la segunda ecuación se obtiene y = +3 x2−x3 y sustituyendo en la primera queda
4 2 3 3 2 4 2 0
x − x + x − x+ = . Factorizando el polinomio, la ecuación se puede escribir de la forma
2 2
(x−1) (x +2) 0= y por tanto, su solución es x = 1 ya que x2+2 no tiene ninguna raíz.
Al sustituir este valor en y = +3 x2−x3 y en z = − +2 x queda y = 3 y z = −1.
Luego, la solución del sistema (1, 3, -1).
5 Resolver por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) 2 7 4
3 11 3
x y x y
− =
⎧
⎨ − =
⎩ b)
4 2 6 1 3 8 2 x y x y ⎧ + = ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ Solución
a) Para obtener una ecuación sin la incógnita x se multiplica la primera ecuación por -3 y la
segunda por 2 quedando el sistema 6 21 12
6 22 6
x y x y
− + = −
⎧
⎨ − =
⎩ y sumando las dos ecuaciones queda
6
y
− = − , es decir, y = 6.
Sustituyendo este valor de y en una cualquiera de las ecuaciones del sistema, por ejemplo, en 2x
– 7y = 4, queda 2x – 8 = 4 y despejando x se obtiene 4 42 23
2
x = + = .
b) En este sistema es más sencillo obtener una ecuación sin la incógnita y. Para ello se multiplica la
primera ecuación por 8 y la segunda por -6 quedando el sistema 4
2
8 48 8
-6 48 9
x y x y ⎧ + = ⎪ ⎨ − = −
⎪⎩ y sumando las
dos ecuaciones queda 8x4 −6x2 = −1, es decir, 8x4−6x2+ =1 0 que es una ecuación en x
bicuadrada.
Para resolver esta ecuación se hace el cambio t = x2 quedando 8t2−6t + =1 0 cuyas soluciones
son
1
6 36 32 6 2 2
16 16 1
4 t ⎧ ⎪ ± − ± ⎪ = = = ⎨ ⎪ ⎪⎩
. Por tanto, al ser x = ± t se obtiene que 1
2
x = ± y 1
2
x = ± .
Sustituyendo estos valores de x en una cualquiera de las ecuaciones del sistema, por ejemplo en
2 8 3 2
x + y = , y despejando y obtenemos:
1 2
x = ± ⇒ 1 8 3
2+ y = 2 ⇒
1 8
y =
1 2
x = ± ⇒ 1 8 3
4+ y = 2 ⇒
5 32
y =
Por tanto, las soluciones del sistema son 1 , 1
8 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠, 1 1 , 8 2 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠, 1 5 , 2 32 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ y
1 5 , 2 32 ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠.
6 Resolver por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) 5 2
3 4 0
x y x y
+ =
⎧
⎨ + =
⎩ b)
1
3 4 2
x y
x y x
− = ⎧⎪ ⎨ − + + = ⎪⎩ Solución
a) Se despeja una de las incógnitas, por ejemplo la y, de las dos ecuaciones quedando
2 5 3 4 y x x y = − ⎧ ⎪ ⎨ = − ⎪⎩
e igualando los segundos miembros se tiene 2 - 5x = 3
4
x −
.
Operando para despejar x de esta igualdad se obtiene 8 - 20x = -3x, de donde x = 8
17.
Sustituyendo este valor en y = 3
4
x
− queda y = 3178 6
4 17
− −
= .
Por tanto, la solución del sistema es 8 , -6
17 17
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠.
b) Se despeja una de las incógnitas de las dos ecuaciones, en este caso la y al resultar complicado
despejar la x de la segunda ecuación, quedando 1
2 4 3
y x
y x x
= −
⎧⎪ ⎨
= − − −
⎪⎩ .
Se igualan las dos expresiones de y obtenidas quedando la ecuación x – 1 = 2x− −4 x−3.
Para resolver esta ecuación se despeja la raíz en el primer miembro quedando x−3 = x – 3, se
elevan al cuadrado los dos términos obteniéndose la ecuación polinómica x− =3 x2 −6x+9, es
En este caso, se ha de comprobar si las soluciones de la ecuación polinómica lo son también de la
ecuación x−3 = x – 3, ya que al haberse elevado al cuadrado ambas ecuaciones pueden no ser
equivalentes.
Al sustituir x = 4 en la ecuación se obtiene 1 = 1, y por tanto, es solución y al sustituir x = 3 se
obtiene 0 = 0, y por tanto, también es solución.
Sustituyendo estos valores en y =x−1 queda:
x = 4 ⇒ y = 3 x = 3 ⇒ y = 2.
EJERCICIOS DE CARÁCTER ECONÓMICO DE SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Calcular el precio de la entrada de niño y de adulto a un parque temático, sabiendo que ayer se recaudaron 22.000 euros por 440 entradas de adulto y 400 de niño. Además se sabe que el año pasado se recaudaron en un día 17.400 euros por 400 entradas de adulto y 330 de niño y que el precio de una entrada de adulto era un 10% más barata que este año y que una de niño es este año un 10% más cara que el año pasado.
Solución
Sean x= precio actual de la entrada de un adulto e y = precio actual de la entrada de un niño.
Teniendo en cuenta la recaudación de ayer se tiene que verificar 440x + 400y = 22000. Por otra parte, analizando los precios del año pasado se tiene:
• una entrada de adulto costaba x - 100 x = 10 10 x 9
• si una entrada de niño costaba z se cumple:
z + 100 z = y, de donde 10 1110 z = y, es decir, z = 1011 y
Teniendo en cuenta la recaudación de un día del año pasado se verifica:
40010 x + 3309 1011 y = 17400
Así, el sistema a resolver es
440 400 22000
9 10
400 330 17400
10 11
x y
x y
+ =
⎧ ⎪ ⎨
+ =
⎪⎩ y simplificando
11 10 550
6 5 290
x y
x y
+ =
⎧
⎨ + =
⎩ .
Para calcular su solución lo haremos por el método de reducción. Para ello se suma, la primera ecuación multiplicada por 6 y la segunda por -11 quedando 5y = 110, es decir, y = 22.
Sustituyendo este valor en una cualquiera de las ecuaciones del sistema, por ejemplo en
6 5 290x + y = , se obtiene 6x + 5.22 = 290 y despejando x, x = 30.
Por tanto, el precio actual de las entradas de adulto y de niño es 30 y 22 euros respectivamente.
2. Tres amigos, Pedro, Luis y Pablo, deciden asociarse para montar una empresa, necesitando para ello un capital de 15.000 euros. Como no todos disponen del mismo dinero deciden invertir de la siguiente manera: Pedro aporta el triple de lo que ponen Luis y Pablo juntos, y por cada 20 euros
que aporta Luis, Pablo aporta 30.¿Cuánto capital aportó cada uno de ellos?.
Solución
Sea x, y, z el capital aportado para la empresa por Pedro, Luis y Pablo respectivamente.
Analizando el capital necesario y las condiciones de inversión de cada uno de los socios, se ha de
verificar el siguiente sistema de ecuaciones
15000 3( ) 20 30
x y z x y z
z y
+ + =
⎧
⎪ = +
⎨
⎪ =
Para resolverlo se despeja z de la tercera ecuación, z = 3
2y y se sustituye en la segunda quedando 3
3( )
2
x = y + y , es decir, 15
2
x = y.
Sustituyendo 15
2
x = y y z =3
2y en la primera ecuación y despejando y se obtiene: 15
2 y+ y +
3
2y = 15000 ⇔ 10y = 15000 ⇔ y = 1500
Por lo tanto, 151500 11250
2
x = = y z =3
21500 = 2250.
Así, el capital necesario para formar la empresa se obtiene con las siguientes aportaciones: Pedro pone 11.250 euros, Luis, 1.500 euros y Pablo, 2.250 euros.
3. Carlos compra vituallas para ir de excursión con unos amigos, por un total de 60 euros. Sin embargo el día de la excursión 3 de ellos no aparecen, lo que hace que cada uno tenga que poner un euro más de lo previsto. ¿Cuántas personas fueron a la excursión y cuánto puso cada una de ellas?.
Solución
Si llamamos x al número de personas que van a la excursión y p a la cantidad de euros que tienen que poner cada una, se verifica:
• teniendo en cuenta que hubieran ido todos, (p-1)(x+3) = 60
• teniendo en cuenta los que han ido, px = 60
Luego, el sistema a resolver es ( - 1)( 3) 60
60
p x px
+ =
⎧
⎨ =
⎩ .
Como p≠ 0, se puede dividir por p en la segunda ecuación para despejar x quedandox 60
p
= , y
sustituyendo este valor en la primera se obtiene ( - 1)(p 60 3) 60
p + = , es decir,
60
57 3p 60
p
+ − = .
Operando se obtiene la ecuación polinómica de segundo grado, 3p2 −3p−60 0= , cuyas soluciones
son 3 32 4.3.60 3 729 3 27 5
2.3 6 6 4
p= ± + = ± = ± = ⎨⎧ −
⎩ . Al ser p un número positivo se deshecha la
solución -4, por lo tanto, p = 5. Sustituyendo este valor en x 60
p
= , se tiene x = 12.
