PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS
CÁLCULO INTEGRAL
Primitivas: C3a - C5a - P9a
Integrales inmediatas: C1 - C3 - C5b - C10 - C12 - C13 - P9b1 - C15 - C16
Integración por partes: C2 - C7 - C9 - P9b2 - P11b - P22
Integración de funciones racionales: C4 - C8 - C11 - C20
Teorema fundamental del cálculo: C6 - P11a - P15
Integral definida: P4c
Regla de Barrow: P6a - P16a
Cálculo de áreas: C14 - P1 - P2b - P3 - P5b - P6b - P7b - P8 - P10c - P11c - P12 - P13 - P14b - P16b - P17 - P18b - P19 - C18 - P20 - P21 - C19 - C21 - C22 - C23 - C24
CUESTIONES
1. Calcular dx
x cos
x sen
∫
6 (S94) Sol.: Cx Cos + 5 5 1
2. ¿Qué diferencias existen entre integral definida e integral indefinida?. Calcula
∫
x2lnxdx (J95)Sol.: x Lnx−x +c
9 3
3 3
.
3. Define primitiva. Calcula la de
∫
+b senxdx a
x cos
2
2 . (S95) Sol.: b Ln
(
a +b senx)
+C2 2 2
1
4. Calcula dx
x x
x
∫
2 −+7−6 (S96) Sol.:( ) C
x x Ln + + − 2 2 3
5. Concepto de función primitiva. Determinar una función primitiva de la función (cos x)esen x.
(S97) Sol.: esenx
6. Calcular simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de la función g(x)=
∫
x −t + dt t e 1 2 ) 1 ( 2(J98) Sol.: e−x ·
( )
+x2 +C2 1
7. Calcular: xe dx
x
∫
(S98) Sol.: ( )x−1·ex+C8. Calcular: dx
e e
x x
∫
2 −1 (J00) Sol.: e Ce Ln x x + + − 1 1 2 1
9. Calcular: x ex dx 2
3
∫
(S00) Sol.:( )
x −1ex2+C10. Calcular:
∫
(
sen3 x·cos2 x)
dx (J01) Sol.: −Cos x+Cos x+C5 3
5 3
11. Calcular: dx
e e
x x
∫
2+3(S01) Sol.: e x−2ex+4Ln
( )
ex+2+C2 1 2
12. Calcular dx
x sen
x cos
∫
3 (J02) Sol.: Cx sen + − 2 2 1
13. Calcular: dx
x x
∫
1+2 2 (S02)Sol.: 1+2x2+C
2 1
14. Hallar el área de la región limitada por la curva y=x2 y la recta y=2x+3. (J03)
Sol.:
3 32
u2
15. De todas las primitivas de la función f(x) = 2tg(x)sec2(x), hállese la que pasa por el punto P
( )
π4,1 .(J04) Sol.: tg2x
16. Calcúlese dx
x x
∫
( −1)2 (J04) Sol.: x − x3 +2 x+C3 4 5 5 2
17. Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas 2 6x x
y= − e
x x
y= 2−2 . (S04) Sol.: 64/3 u2
18. Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y=3x-x2, y=2x-2. (S04) Sol.: 9/2 u2
1 9 . Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y= x2,
2 2 x
y= y la recta y=2x (J05) Sol.: 4 u2.
2 0 . Calcular: dx
x x
∫
2+41 +13 (S05) Sol.: Cx
arctg +
+ 3 2 3 1
2 1 . Hállese el área del recinto limitado por la parábola 2 x
23. Hallar el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones: y=x2 −4, y=3x−6. (J07)
Sol.: 61 u2.
24. Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación: y=lnx, el eje OX y las rectas
1
=
PROBLEMAS
1. Hallar el área de la figura limitada por la curva y=
2 2 x
+1 y la recta y=x+3. (J94)
Sol.:
3 5 10
u2
2. Representar gráficamente la función f(x)=
> ≤
−
1 1 1
2 3 2
x x
x x
y calcular el área de la región que
encierran la curva, el eje de abscisas y la recta x=2. (S94)
Sol.: 3 2 3
4
Ln
+ + u2
3. Hallar el área de la región plana limitada por las curvas f
( )
x =x3−2x2+x−1 y g( )
x =−x2+3x−1.(J95)
Sol.:
12 37
u2
4. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=2x−1. Determina su extremos. Calcula
∫
2 x− dx0 2 1 (S95) (S99)
Sol.: f creciente en (1/2, ∞∞∞∞); decreciente en (−−−−∞∞∞∞, 1/2); mínimo absoluto en (1/2, 0); 5/2
5.
6. Enunciar la regla de Barrow. Calcular el área limitada por la bisectriz del primer cuadrante y la curva de ecuación y=3x2. (J97)
Sol.:
54 1
u2
7. Se consideran en la parábola y=x2 los puntos A y B de abscisas x=1 y x=3
a) Hallar la ecuación de la tangente a la parábola que es paralela a la recta que pasa por los puntos
A y B
b) Hallar el área encerrada por la curva, la tangente obtenida y el eje OY. (S98)
Sol.: y=4x−−−−4;
3 8
u2
8. Por el punto de abscisa x=1 de la parábola de ecuación 2 x x
y= − se traza una recta r perpendicular a la tangente a la curva en dicho punto. Hallar el área del recinto limitado por la recta r y la parábola. (J98)
Sol.: y=x−−−−1;
3 4
u2
9. a) Concepto de función primitiva. Si F y G son funciones primitivas de una función f en un intervalo (a,b) ¿qué relación existe entre F y G?. Razonar la respuesta. Sol.: F(x)−−−−G(x)=Constante ∀∀∀∀ x
b) Calcular las siguientes integrales: b1)
∫
cotgxdx b2)∫
(
2x+2)
e−2xdx (J99)Sol.: a) F(x)−−−−G(x)=Constante ∀∀∀∀ x b)Ln|senx|+C;− ( x+ )e−2x+C
2 1
3 2
10. Una partícula se mueve por la curva
2 1 2
− + =
x x
y , x>2. En el punto P de abscisa x=3, abandona la curva y se desplaza a lo largo de la recta tangente a la curva en dicho punto.
a) Calcular la ecuación de la recta tangente en P.
b) Hallar el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota horizontal de la curva. c) Hallar el área encerrada por la curva, la recta tangente y
las rectas cuyas ecuaciones son x=3 y x=4. (S99)
Sol.: a) y=−−−−5x+22 b) Q(4,2) c) 5·Ln2 −−−−
2 5
u2
b) Calcular una primitiva de la función
( )
2 1 x xLn +c) Determinar el área encerrada por la gráfica de la función anterior, el eje OX y la recta x=1(J00)
Sol.:
( ) ( )
x + Lnx + −x +C2 1
1 2 2
2
; −−−−
2 1
+Ln2 u2
12. Hallar el área del recinto limitado por la recta y=3−2x y la parábola 2 2x x
y= − (S00)
Sol.:
3 4
u2
13. Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse. La parcela es la región plana limitada por la curva y= x−1 y la recta
( )
12 1
−
= x
y .
a) Calcular el área de la parcela
b) Deciden dividir la parcela, en partes iguales, mediante una recta de la forma y=a,
(
a>0)
.Hallar el valor de a. (J01)
Sol.:
3 4
u2; a=1
14. Dada la curva y=x2+a:
a) Calcular el valor de a para que las tangentes a la curva en los puntos de abscisa de valor absoluto uno, pasen por el origen de coordenadas.
b) Para a=1, hallar el área del recinto limitado por la curva y las tangentes a la curva en los puntos
(1,2) y (−1,2). (S01)
Sol.: a=1;
3 2
a) Calcular F'(x), estudiar el crecimiento de F(x) y hallar las abscisas de sus máximos y mínimos relativos.
b) Calcular F''(x), estudiar la concavidad y convexidad de F(x) y hallar las abscisas de sus puntos de inflexión. (J02)
Sol.: a)
2
1
2 x
·e x ) x ( '
F = − −
, creciente en (−−−−∞∞∞∞,-1)∪∪∪∪(1, +∞∞∞∞), dereciente en (-1,1); máximo rel. en x= -1, mínimo rel. en x=1
b)
2
2 2
2x x ·e x )
x ( ' '
F = − −
, convexa en (−−−−∞∞∞∞,− 2 )∪∪∪∪(0, 2 ), cóncava en (− 2,0)∪∪∪∪( 2,+ ∞∞∞∞). En x=− 2, x=0, x= 2 PI.
16. a) Enuncia la Regla de Barrow
b) Hallar el área del recinto limitado por las parábolas
2 2 2,y x x
y= = y la recta y=2x (J02)
Sol.: 4 u2
17. La gráfica de la función y=cos x en el intervalo [0,
2
π ] determina con los ejes de coordenadas
un recinto que queda dividido en dos partes por la gráfica de la función y=sen x . Determinar el área de cada una de las partes. (S02)
Sol.: A1= 2-1 , A2= 2 - 2
Sol.: A1= 2 -1 , A2= 2 - 2
18. Dada la función
( )
1 2+
= x
x x
f , hallar:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos. b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x=−1, x=1. (J03)
Sol.: a) f es creciente en (−−−−1,1) y decreciente en (−−−−∞∞∞∞, −−−−1) y en (1, ∞∞∞∞) . Mínimo (−−−−1,−−−−1/2), Máximo (1, 1/2).
19.Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x)=
(
x−2) (
2 x+2)
, el eje OXylas rectas x= −3, x=2. (S03) Sol.:
4 129
u2.
20. Sea la función x
e y=2 −2
a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas.
b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x=1 y x= −1. (J04)
Sol.: a) Creciente en (-∞∞∞∞,0) y decreciente en (0,+∞∞∞∞) Máx. relativo (0,2) Asíntota horizontal y=0 b)
−
2 1 1 2
e
u2
21. Sea f
( )
x =x3+ax2+bx+c. Determínense a, b y c de modo que f(x) tenga un extremo relativo en x=0, la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 1 sea paralela a la recta y - 4x = 0, y el área comprendida por la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x = 0, x = 1, sea igual a 1. (J04)
Sol.: a=1/2 b=0 c=7/12
22. a) Dada la función f:[1, e]→R definida por f(x) =
x 1
+ ln x , determínese de entre todas las rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene máxima pendiente. Escríbase la ecuación de dicha recta.
b) Calcúlese una función primitiva de f(x) que pase por el punto P(e, 2).(S04)
