Reales (ℝ)
{
Racionales (ℚ)
{
Enteros (ℤ) {Naturales Negativos ( ℕ)
Fraccionarios {Decimales Periódicos PurosDecimales Exactos Decimales Periódicos Mixtos Irracionales (𝕀)
Números Racionales
Fracción
x ∈ Q ↔ a, b ∈ Z tales que x =a
b → b ≠0
Decimal
O bien son enteros o bien tienen expresión decimal
finita o periódica
Números Irracionales
Son números decimales con un número ilimitado de cifras decimales no periódicas. No se pueden expresar en forma de fracción (no son números racionales)
√2 √3 π ϕ e
Representación de Números Reales sobre la Recta Real
Enteros o Decimales
Exactos Decimales Periódicos
Irracionales Cuadráticos
Irracionales: Aproximación
1.83̂ = 11 6 = 1 +
5
6 √5 =√22 + 12 √2 = 1.414213562…
Aproximación de Nº Reales
Redondeo a las Centésimas Truncamiento a las Centésimas
4,636 4,64 4,630
3,5̂7 3,58 3,570
√3=1,73205… 1,73 1,730
Error Absoluto y Relativo
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 = |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜|
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜
R
Q
Z
N
I
0 1 2 3 4
3.4
1 2
1º
2º
3º
4º
0 22 2 12 5
1.3 1.4 1.5 1.6
0 1 2 3
Valor Absoluto
|a|{+ a si a ≥ 0
- a si a < 0
Distancia entre 2 puntos
La distancia entre 2 puntos (a y b) es su diferencia en valor absoluto: |a - b|
Ecuaciones
|x - a| = b→{x - a = - b x - a = b →→ x = a + b x = a – b→{a-b , a + b}→Dos puntos concretos
|x-a|≤
< b →{x-a = b x-a = -b →→ x = a + b x = a - b→(a - b , a + b)→Interior
|x - a| ≥
> b→{x - a = - b x - a = b →→ x = a + b x = a - b→(-∞ , a - b] ∪ [a + b , + ∞)→Exterior
Desigualdades
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos >,<,≥ o ≤
Propiedades
Suma y Resta
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo numero o una expresion algebraica se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
3 < 8 3 + 7 < 8 + 7 10 < 15
Producto y División
Mayor que cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido: 3 < 8 3 x 7 < 8 x 7 21 < 56
Menor que cero se obtiene otra desigualdad de sentido contrario: 3 < 8 3 x (-7) < 8 x (-7) -21 > -56
Inecuaciones
Inecuaciones de Primer Grado
1 incógnita 2 (x + 1) – 3 (x – 2) < x + 6 -2x < -2 2x > 2 x > 1
De s i gu a ld a d Grá f i c a In t e rv a lo
x > 1 (1, +)
2 incógnitas 2x + y ≤ 3 → 2x + y = 3 → {x = 1 x = 0 →→ y = 3 y = 1 →→((0, 31, 1))
S e m i pla n o
Co j o u n p u nt o ( 0, 0 ) y v eo s i s e cu mp le l a d es i g u al d ad :
S i s e cu mp l e: s emi p l an o d o n d e est á el p u nt o
N o s e cu mpl e: el o t ro s emi p l an o
x2 + 3x – 4 < 0 → x2 + 3x – 4 = 0 → x = -3 ± √25
2 → { x1 = 1
x2 = -4
Grá f i c a In t e rv a lo
(-4, 1)
Inecuaciones Racionales
-x + 7
x - 2 < 0 → {-x + 7 = 0 x – 2 = 0 →→ x = 2 x = 7
(-, 2) (2, 7) (7, +)
(-x + 7) + + -
(x + 2) - + +
-x + 7
x - 2 - +
-Grá f i c a In t e rv a lo
(-, 2) (7, +)
Sistemas de Inecuaciones
1 incógnita {2x + 3 ≥ 1
-x + 2 < -1 →
2x + 3 = 1 → 2x ≥ -2 → x ≥ -1 -x + 2 = -1 → -x < -3 → x > 3
Grá f i c a In t e rv a lo
(3, +)
2 incógnitas {2x + y ≤ 3x + y ≥ 1 → 2x + y = 3 →
x = 0 → y = 3 →(0, 3) x = 1 → y = 1 → (1, 1)
x + y = 1 →x = 0 x = 1 →→ y = 1 y = 0 →→ ((1, 00, 1))
In t e rs e c c i ón de los S em i pla n os S olu c i ón
Co j o u n p u nt o ( 0, 0 ) y v eo s i s e cu mp le l a d es i g u al d ad :
S i s e cu mp l e: s emi p l an o d o n d e est á el p u nt o
N o s e cu mpl e: el o t ro s emi p l an o
2x + y ≤ 3 → 2(0) + 0 ≤ 3 → 0 ≤ 3 → Sí
Intervalos
Nombre Símbolo Significado Representación
Intervalo Abierto (a, b) {x/a < x < b}
Intervalo Cerrado [a, b] {x/a ≤ x ≤ b}
Intervalos Semiabiertos
(a, b] {x/a < x ≤ b}
[a, b) {x/a ≤ x < b}
Semirrectas
(-∞, a) {x/x < a}
(-∞, a] {x/x ≤ a}
(a, +∞) {x/a < x}
[a, +∞) {x/a ≤ x}
Entornos
Nombre Símbolo Significado Representación
De centro a y radio r E (a,r) (a – r, a + r)
Reducido de centro a
y radio r E* (a,r) (a - r, a + r) – {a}
Por la derecha de
centro a y radio r E+ (a,r) (a, a + r)
Por la izquierda de
centro a y radio r E- (a,r) (a - r, a)
Potencias
𝑎 −𝑛 = 1
𝑎𝑛 𝑠𝑖 𝑛 < 0
𝑎 ≠ 0 {
𝑎0 = 1 𝑎1 = 𝑎 𝑎−1 = 1 𝑎
Propiedades (𝑎 · 𝑏)𝑛= 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛
(𝑎 𝑏)
𝑛 = 𝑎𝑛
𝑏𝑛
(𝑎 𝑏)
−𝑛 = 𝑏
𝑛
𝑎𝑛 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛 + 𝑚
𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛 − 𝑚 (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎 𝑛 × 𝑚
Notación Científica
102 = 100 10-2 = 0.01
Suma y Resta
3,2· 105+ 1,64 · 104 = (3,2 + 0,164)· 105 = 3,364· 105
Multiplicación y División
3,2· 105 × 1,64 · 104 = (3,2 × 1,64)· 105 + 4 = 5,24· 109
Radicales
√𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 Í𝑁𝐷𝐼𝐶𝐸
𝒂 𝒎𝒏 = √𝒂𝒏 𝒎
Equivalentes
𝑎 𝑚𝑛 = 𝑎𝑚 · 𝑘𝑛 · 𝑘 √𝑎𝑛 𝑚= √𝑎𝑛 · 𝑘 𝑚 · 𝑘
Simplificación
√36
4
√22 · 32
3
√22 · 33
4
m.c.m ( 3, 4) = 12
√(22)12⁄3·(32)12⁄3
12
=12√28·38 12√(22)12⁄4·(33)12⁄4=12√26·39
Suma y Resta
2√2 - 4√2 + √2 = (2 – 4 + 1) √2 = -2√2
Producto y Cociente
√2 × √6 = √12 = √22×3 = 2√3
√3 × √39 × 4√27→ m.c.m (2, 3, 4) = 12 → 12√36 × 12√(32)4 × 12√(33)3 = 12√323 = 312√311
Racionalización de Denominadores
1
√25=
1
√25×
√25 √25= √25 5 1 √25 3 = 1
√52
3 =
1
√52
3 × √5 3 √5 3 = √5 3 5 1 5-√3=
1 5-√3×
5+√3 5+√3=
5+√3 25-3 =
5+√3 22
Logaritmos
𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 = 𝒚 → 𝒂𝒚 = 𝒙 𝑎 > 0𝑎 ≠ 0 Siendo a la base, y el logaritmo y x el nº
∄ 𝑙𝑜𝑔−𝑎𝑥 ∄ 𝑙𝑜𝑔𝑎(−𝑥)
∄ 𝑙𝑜𝑔𝑎0
𝑙𝑜𝑔𝑎1 = 0
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎𝑛= 𝑛 Propiedades 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 · 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥𝑛) = 𝑛 · 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑎( √𝑥𝑛 ) = 1
𝑛 · 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎
Logaritmos decimales
S o n lo s qu e t i en en b as e 1 0 . S e rep resen t an p o r l o g ( x)
Logaritmos neperianos
S o n lo s qu e t i en en b as e e . S e rep res en t an p o r L n ( x) o L ( x)
𝐿𝑛 1 = 0 𝐿𝑛 𝑒 = 1 𝐿𝑛 𝑒𝑛 = 𝑛
𝐿𝑛 𝑥𝑛 = 𝑛 · 𝐿𝑛 𝑥
𝐿𝑛 (𝑥 · 𝑦) = 𝐿𝑛 𝑥 + 𝐿𝑛 𝑦 𝐿𝑛 𝑥
𝐿𝑛 𝑦= 𝐿𝑛 𝑥 − 𝐿𝑛 𝑦
Números Combinatorios
𝐶𝑚𝑛 = (𝑚 𝑛) =
𝑚!
𝑛!(𝑚 − 𝑛)! 𝑚! = 𝑚 · (𝑚 − 1) · (𝑚 − 2) · … · 1 0! = 1
Propiedades
(𝑚 0) = (
𝑚 𝑚) = 1
(𝑚𝑛) = (𝑚 − 𝑛𝑚 ) ∶ Números ComplemeNúmeros Complementariosntarios
( 𝑚
𝑛 − 1) + ( 𝑚 𝑛) = (
𝑚 + 1
𝑛 )
Binomio de Newton
Permite hallar las potencias de un binomio:
(𝑎 ± 𝑏)𝑛 = (𝑛
0) 𝑎𝑛 ± ( 𝑛
1) 𝑎𝑛 − 1 𝑏 ± (
𝑛
2) 𝑎𝑛 − 2 𝑏2± … ± (
𝑛 𝑛) 𝑏𝑛
El número de términos es n + 1.
En el caso de que alguno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos en el desarrollo, empezando siempre por el negativo.
Cálculo del término que ocupa el lugar K
(𝑎 + 𝑏)𝑛→ 𝑇 𝐾 = (
𝑛
𝐾 − 1) 𝑎𝑛 – (𝐾 – 1) 𝑏𝐾 − 1
(𝑎 − 𝑏)𝑛→ 𝑇
𝐾 = (− 1)𝐾 − 1( 𝑛
