UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIA CONTROL AUTOMATICO

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIA

CONTROL AUTOMATICO

LABORATORIO No. 2 – Modelamiento de sistemas físicos y aplicación de la

Transformada de Laplace.

INSTRUCCIONES

1- Las actividades de laboratorio y talleres deberán ser desarrollados en grupos de hasta 2 (dos) alumnos.

2- Las técnicas y herramientas didácticas que se empleen en los laboratorios tiene como finalidad el refuerzo, la conformación y ejecución de los diferentes aspectos que hacen parte de la asignatura. De forma que el alumno desarrolle un pensamiento flexible, dinámico, audaz, independiente, persistente, divergente y original en su formación como profesional.

OBJETIVOS

• Usar la herramienta SYSTEM IDENTIFICATION del programa MATLAB para determinar la función de transferencia de un sistema físico real.

• Las actividades a seguir tienen por objetivo fijar la operación y el uso del Matlab y del Simulink, programas que serán usados para estudiar la transformada de laplace como herramienta para futuros proyectos a nivel de simulación, análisis de datos, aplicados a procesos industriales.

REFERENCIAS

1- Andrew Knight Basics of MATLAB and Beyond. Chapman and Hall/CRC; 1 edition, 1999. 2- Hanselman, D.; Littlefield, B. MATLAB 5: Versão do Estudante, Guia do Usuário, Makron

Books, 1999.

3- White Robert: Computational Mathematics: Models, Methods, and Analysis with MATLAB and MPI. Chapman and Hall/CRC; 1 edition, 2003.

4- http://www.mathworks.com

ACTIVIDAD PREVIA - MARCO TEORICO

1.

IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS FÍSICO

.

En todo sistema podemos distinguir tres tipos de señales que son:

Señales de entrada: Son aquellas señales que pueden ser controladas y de las cuales depende básicamente el funcionamiento del sistema.

Señales de salida: Son señales que nos indican como se está comportando el sistema.

Las señales del sistema están en el dominio del tiempo pero pueden ser manipuladas matemáticamente para llevarlas al dominio de la frecuencia. Aunque, para efecto de identificación las señales son muestreadas solo a tiempos discretos que usualmente están igualmente distanciados en unidades de tiempo. En consecuencia el problema del modelamiento es describir como están relacionadas las señales entre sí. La relación básica entre las señales es una ecuación diferencial lineal.

Matemáticamente notamos que la salida al instante t puede ser calculada como una combinación lineal de las entradas y salidas anteriores. Esta dependencia de lo que sucedió anteriormente es lo que se entiende por dinámica. En consecuencia, el problema de la identificación de un sistema consiste en determinar los coeficientes de cualquiera de las dos ecuaciones previas.

Ejemplo 1. Sistema hidráulico de dos tanques. El objetivo es modelar el nivel del líquido del tanque de abajo, como se muestra en la siguiente figura.

El matlab contiene una base de datos, para nuestro caso twotankdata.mat la cual contiene 3000 datos experimentales obtenidos cada 1 s de este sistema físico hidráulico. La Entrada u(t) corresponde al voltaje [V] aplicado a la bomba la cual genera el flujo de entrada al tanque de encima.

Y la salida y(t) representa el nivel del liquido [m] del tanque de abajo.

Para evitar el procedimiento matemático a través de ecuaciones diferenciales que modelan cualquier sistema físico, obtendremos nuestro modelo a través de la aplicación del ident, como herramienta para identificación de sistemas que nos proporciona Matlab.

Cargamos en command Windows la base de datos.

>> load twotankdata.mat

Proceso Sistema hidráulico

Ejecutamos el IDENT

>> ident

Obtendremos nuestra ventana principal del ident

Procedemos a estimar nuestro modelo del proceso, siempre y cuando seleccionando nuestra debida función de transferencia deseada y apropiada.

La cual en nuestra ventana principal del ident, queda almacenada nuestros datos en la base “mydata” y la función de transferencia estimada “P3Z”

Información generada de nuestro comand Windows del matlab con respecto a nuestro modelo experimental obtenido.

Process model with transfer function

1+Tz*s G(s) = K * --- (1+Tp1*s)(1+Tp2*s)(1+Tp3*s)

with K = 0.04755 Tp1 = 12.717 Tp2 = 24999 Tp3 = 23.658 Tz = 35522

Estimated using PEM from data set mydata Loss function 0.00147688 and FPE 0.00148181

2.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Para el cálculo directo a través del Matlab, este software ofrece el comando LAPLACE de tipo simbólico, cuya sintaxis es

>>F = laplace(f)

El siguiente ejemplo 2. Muestra que se pueden elegir las variables libremente.

>> syms u v

>> F = laplace(u^2,v)

F = 2/v^3

Otra forma, para obtener la transformada de laplace es obtener dicha transformada aplicada a objetos STRING.

Ejemplo 3. La función objeto f(t) se puede crear como una cadena de caracteres (string)

>>syms t s >>f =[exp(-2*t)] >>laplace(f,t,s)

ans =1/(s+2)

3.

LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

El comando ILAPLACE ha sido diseñado para calcular exactamente, cuando ello sea posible, la transformada inversa de Laplace. La sintaxis es la siguiente

>> ilaplace(versión no simbolica,s,t)

o simplemente

>> ilaplace(versión no simbolica)

Observar que el comando ILAPLACE calcula la transformada inversa de Laplace de una expresión F(s), produciendo otra versión en f(t).

Ejemplo 4. Obtener la transformada inversa de la función

Solución del ejemplo

>> syms s >> f = (s+3)/s^2; >> F = ilaplace(f)

4.

EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CON EL MATLAB

El Matlab dispone de un comando para obtener la expansión en fracciones parciales de B(s)/A(s).

Sea una función de transferencia

Donde algunos coeficiente an o bn pueden ser nulos. En el Matlab los vectores num y den especifican los coeficientes de los polinomios del numerador y del denominador de la función de transferencia. Esto es,

El comando

Fornece los residuos, los polos y los términos derechos de una expansión en fracciones parciales de la relación entre dos polinomios B(s) y A(s).

La expansión en fracciones parciales de B(s)/A(s) está dada por

Ejemplo 5. Considere la siguiente función de transferencia

Aplicando el comando residue

Nos produce el siguiente resultado

Observe que los residuos son fornecidos sobre la forma de un vector columna r, la localización de los polos está dada a través de un vector columna p y el término derecho es presentado por medio de un vector k. el cuadro anterior presenta la representación en matlab de la siguiente expansión en fracciones parciales de B(s)/A(s):

ACTIVIDADES A REALIZAR EN EL LABORATORIO

Como actividad a desarrollar en el laboratorio, usted debe caracterizar y determinar la función de transferencia G(s)

a. La unidad didáctica RT614 Gunt hamburg. Válvula de descarga a 50% abertura.

Identifique los elementos de control que están presentes en el módulo RT614. Tenga en cuenta el tipo de señales de voltaje con que el módulo trabaja.

Mida con un multímetro el voltaje de salida (Vretro) del circuito de acondicionamiento del sensor piezo resistivo

Registre el voltaje de salida del sensor (Vretro) para cada medida de altura (h) del tanque en la siguiente tabla, a medida que usted va variando el voltaje (Va) en la electroválvula.

Va [volts]

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,6 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10

Altura [cm] Vretro [volts]

A partir de los datos anteriores, obtenga a través del Matlab ident los respectivas funciones de transferencia en términos de Laplace.

Calcule la capacitancia hidráulica del tanque. Calcule la resistencia hidráulica que se presenta en el caudal de salida.

b. La unidad didáctica IPAC Lucas – nulle

Identifique los elementos de control que están presentes en el módulo IPAC. Tenga en cuenta el tipo de señales de voltaje con que el módulo trabaja.

Conecte una fuente DC independiente para aplicar una señal de voltaje (Va) que accionará la bomba P100. El caudal de agua que genera la bomba P100 es proporcional al voltaje Va que se le aplica.

Mida con un multímetro el voltaje de salida (Vretro) del circuito de acondicionamiento del sensor electrónico de caudal

Registre el voltaje de salida del sensor (Vretro) para cada medida del rotámetro [lt/m] del circuito cerrado en la siguiente tabla, a medida que usted va variando el voltaje (Va) en la bomba.

Va [volts]

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,6 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10

caudal [lt/m] Vretro [volts]

A partir de los datos anteriores, obtenga a través del Matlab ident los respectivas funciones de transferencia en términos de Laplace.

c. Modelo de un intercambiador de calor

Se dispone de un pequeño intercambiador de calor, ver siguiente figura, el cual se ha modelado mediante un circuito electrónico.

G(s)

Va Altura

H(s)

Altura Vretro

G(s)

Va(s) Caudal(s)

H(s)

Figura 1. Esquema del intercambiador

En la figura 1 se muestra un esquema del intercambiador en el que se produce el calentamiento de un fluido (sin cambio de fase) mediante el aporte calorífico de una resistencia eléctrica. Tendremos los siguientes parámetros:

C: Capacidad térmica de la cubeta (J/K) m: masa de fluido en el intercambiador (Kg) G: Caudal másico (Kg/s)

ce: Calor específico del líquido (J/Kg K)

Ti: Temperatura del líquido que entra (K)

Tout: Temperatura del líquido que sale (K)

q: Energía aportada por la resistencia (W)

Suponiendo que no hay pérdidas de calor a través de las paredes del intercambiador, y que el fluido Está perfectamente mezclado, la ecuación diferencial que modela el sistema es:

En este sistema, la variable controlada será Tout, la variable manipulada será Ti, y q será una perturbación. El diagrama de bloques del sistema se puede observar en la figura 2.

Figura 2. Diagrama de bloques del intercambiador.

La figura siguiente se muestra la respuesta Tout(s) de dicho modelo ante una señal de prueba tipo

escalón unitario en la entrada Tin(s), teniendo en cuenta que la función de transferencia es Gp(s) = Tout(s) / Tin(s) anulando la perturbación q(s)=0 (principio de superposición)

Tout

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Step Response Time (sec) A m p lit u d e

Figura 3. Respuesta del modelo de intercambiador obtenido a través de matlab normalizado.

Para implementar la función de transferencia del sistema mediante circuitos analógicos, habrá que tener en cuenta el escalado necesario de las variables de entrada y salida, ya que habrá que normalizar sus valores al rango de tensiones de trabajo de los circuitos electrónicos, en nuestro caso 0 a 10Vdc.

En la figura 4, se presenta el esquema electrónico que implementa el funcionamiento del intercambiador. Los rangos de entrada y de salida de temperatura, varían en el rango de 0 a 100ºC (normalizados en matlab 0 a 1). Por otro lado, los valores de las propiedades termodinámicas en función del fluido a emplear son ce=4200 J/Kg K, una masa m =1Kg, y el flujo másico de G de 50kg/s.

Figura 4. Esquema electrónico del simulador de Intercambiador

Calcule los valores de las resistencias y capacitores que debe tener el circuito de la figura 4, para que emule la respuesta de la función de transferencia del intercambiador de calor previamente simulado.

aterrice la perturbación (q(s) = 0), (principio de superposición). De forma que su modelo SISO tendrá como única entra Ti (s) y una única salida Tout(s)

d. Modelo de un motor de cc

Un sistema electromecánico como se presenta en la figura 5, está formado por un motor de DC controlado por inducido, con una masa de inercia y un freno de polvo magnético.

Figura 5. Motor DC

En este ejercicio que va modelar el funcionamiento de todo el conjunto (PLANTA) mediante un circuito electrónico que permite emular las características reales de dicha planta. Las ecuaciones que rigen el funcionamiento del motor son:

Donde:

ea(s): tensión del inducido

Ra: resistencia del inducido

La: inductancia del inducido

eb: fuerza contraelectromotriz

Kb: constante de la fuerza contraelectromotriz

Ki: constante de par

ia(s): intensidad en el inducido

Wm(s): par desarrollado por el motor

Tf(s): par de frenado

Jm: inercia del rotor del motor y del eje

Bm: coeficiente de rozamiento viscoso

La ecuación (2) se puede describir como:

Figura 6. Diagrama de bloques del motor

La respuesta de la función de transferencia wm(s)/ea(s) ante una entrada escalón unitario (cambio brusco en la tensión del inducido ea(s)) se presenta en la siguiente figura,

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Step Response

Time (sec)

A

m

p

lit

u

d

e

Figura 7. Respuesta de la función de transferencia del motor dc

Dónde: La = 0.02H Ki = 1 Jm = 6.95 Bm = 0.015 Kb = 0.95 Ra = 1.1Ω

En la figura 8 se muestra el esquema electrónico del circuito que modela el funcionamiento del motor mediante circuitos electrónicos de forma que tendremos wm(s) como variable controlada, ea(s) como variable manipulada, y Tf(s) como perturbación. Los rangos dinámicos de entrada/salida de las

Figura 8. Esquema eléctrico que emula el motor DC.

Se pide montar en protoboard el anterior circuito que emula la función de transferencia del motor dc. La identificación de los parámetros del modelo del motor DC están dados por:

Alimente los circuitos y aplique una señal continua de 10Vdc (desde su fuente), sin offset, compare que su circuito responde idénticamente a la curva simulada de la figura 6. Para esta sección aterrice la perturbación (Tf(s) = 0), (principio de superposición). De forma que su

modelo SISO tendrá como única entra ea(s) y una única salida wm(s)

EJERCICIOS DE REFUERZO COMO TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRACURRICULAR

1) Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a) f(t)=7,8 + 16exp(-8t)

b) f(t)=2*cos(3t)

c) f(t)=4,8exp(-5t)*cos(400t)

2) Encuentre la transformada inversa

a) F(s)=(3s+4)/(s^2+3s+1);

3) Resuelva las ecuaciones diferenciales ; ) e dx( x x t dx t x

a) d2 ()+2 ( )+ =2; (0)=1 0 =1

; ) e dx( x t x t dx t

d x( ) 2 ( ) 10 (0) 0 0 0 10

b) 2 + + = 2 = =

4) Dado X(s)=10/(s(s+1)), calcule - usando el teorema del valor final - el valor de x(t→∞). Verifique el

resultado haciendo la transformada inversa y calculando el limite para t→∞.

5) Obtener la función de transferencia para los siguientes sistemas físicos.

a) Sea el sistema de la siguiente figura, consistente en dos tanques de acumulación de líquido. El primero descarga por gravedad sobre el segundo, situado a un nivel inferior. Supóngase que los caudales de descarga de ambos tanques son proporcionales a los niveles de líquido respectivos. Se pide obtener la función de transferencia G(s)=h2(s) / Fe(s) que representa el comportamiento dinámico del proceso considerando h2 como respuesta de salida y Fe como caudal de entrada.

b) Considere el siguiente sistema mecánico, y determine la función de transferencia G(s)= xb(s)/F(s)