Índice de refracción y coeficiente de extinción del polímero orgánico semiconductor conjugado MDMO - PPV

ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL POLÍMERO CONJUGADO ORGÁNICO SEMICONDUCTOR MDMO-PPV

RICARDO ANDRÉS MOLINA PEÑA

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL POLÍMERO CONJUGADO ORGÁNICO SEMICONDUCTOR MDMO-PPV

TG. 1207

RICARDO ANDRÉS MOLINA PEÑA

Trabajo de grado para optar al título de Ingeniería Electrónica

Director Juan C. Salcedo Reyes Físico, MSc, Ph.D

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

Nota de aceptación:

_________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________

_________________________________ FísicoPh.D. Juan Carlos Salcedo Reyes Director del Trabajo de Grado

_________________________________ Ing. Germán Yamhure Kattah Jurado

_________________________________ Ing. Carlos Eduardo Cotrino Badillo Jurado

NOTA DE ADVERTENCIA

“La universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en sus proyectos de

grado, solo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral católica y porque los trabajos no contengan ataques o polémicas puramente personales. Antes bien, que se vea en ellos el anhelo de buscar la verdad y justicia”

Yo no os aconsejo el trabajo, sino la lucha.

Yo no os aconsejo la paz, sino la victoria.

¡Qué vuestro trabajo sea una lucha!

¡Que vuestra paz sea una victoria!

In the

beginning, God created the heaven and the earth… and God said:

and there was light.

Dedico este triunfo a mis padres, los

“A

dministradores de E

mpresas”

José R. Molina

Bello y Martha Peña, por brindarme su constante amor, apoyo y confianza, y por los grandes

esfuerzos y sacrificios que me han permitido alcanzar este gran logro de mi vida.

A mi hermana, la jefe de enfermería Mónica Molina Peña, a Hernán Peña “el perico”

,

a mi tío Honorio García Torres y en especial a mi hermosa nona y madre María A.

García Torres, a quienes les debo el ánimo, el impulso y el apoyo que me brindaron de forma

incondicional, para poder culminar exitosamente esta meta.

A mi abuelita Ana Rosa Bello Daza, a mi padrino Manuel G. García Torres y a

Vicente Molina “el chente”

por su compañía desde la eternidad, gracias.

También de manera muy especial a mi mamá A. Antonia Torres, a mi papá Honorio

García Vega y a mi tío-hermano Carlos Peña; que aunque ya no se encuentren físicamente

conmigo, yo se que en todo momento al desarrollar este trabajo estuvieron conmigo, en las

investigaciones, en mis desvelos y sobre todo en los momentos más difíciles de mi carrera profesional,

por eso donde quieran que estén mamá Antonia, papá Honorio y Carlos Peña les dedico mi

esfuerzo y sacrificio desde los más profundo de mi alma y mi corazón… GRACIAS.

AGRADECIMIENTOS

El autor desea dar las gracias a todos los que han suministrado ayuda, concejo, cooperación en forma de pláticas, artículos, libros y cualquier otra fuente de material para este libro.

Quiero agradecer primero, de forma muy cordial, a Juan C. Salcedo Reyes por darme la oportunidad y la confianza de trabajar con él en esta investigación y por su infinita paciencia… gracias.

Al grupo de Película Delgadas y Nanofotónica de la Pontificia Universidad Javeriana por dejarme ser

parte del grupo, liderado por el “estimado” Luis Camilo Jiménez.

Al profesor José Sarta por sus consejos y enseñanzas durante esta investigación.

A mis amigos y compañeros que conocí y compartí a lo largo de mi carrera profesional: Jaime Zambrano

“el metacho”, Daniel Gaitán “el chirrete”, Miguel Rodríguez “el punkero”, Juan M. Sánchez “el pijaracho”, Andrés García “el maestro del ajedrez”, Jorge Ladino “el españolete”, a mi gran amigo Julián Tenjo “el fifty”, los hermanos Eduardo y Juan Ponce “los peruanos”, José Espejo “el oso” y de forma

muy especial y cordial a mi gran amigo, hermano y parcero Andrés Hacker _{“el hacker”,} gracias.

Por último, quiero agradecer y hacer una mención muy especial y grande!!! al profesor

Oscar Ocaña

Gómez

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN ... 1

2. MARCO TEORICO ... 3

2.1 Onda electromagnética ... 3

2.2 Ecuaciones de Maxwell ... 3

2.3 Tipos de medios ... 4

2.4 Condiciones de Frontera... 5

2.5 Ecuación de Onda... 6

2.6 Fasores... 7

2.7 Transformación de la Ecuación de Onda al dominio de las frecuencias ... 7

2.8 Vector de Poynting ... 8

2.9 Onda plana en medios con pérdidas ( ) ... 9

2.10 Dispersión óptica ...16

2.11 Condiciones de frontera ...20

2.12 Reflexión y refracción de ondas monocromáticas planas ...20

2.13 ÓPTICA DE MULTICAPAS...25

2.13.1 Lámina delgada semiconductora (capa o película) ...25

2.13.2 Matriz de transferencia ...28

2.13.3 Matriz de propagación en una lámina ...31

2.13.4 Matriz de una multicapa ...32

2.14 MÉTODOS NUMÉRICOS ...33

2.14.1 Método Directo ...34

2.14.2 Método de envolventes de Swanepoel y Minkov ...34

2.14.3 Método Multicapa ...34

2.14.4 Determinación de las constantes ópticas ...35

2.14.5 Determinación del espesor de la película ...36

3. ESPECIFICACIONES ...37

3.1 DESCRIPCIÓN ...37

3.2 MEDIDAS DE TRANSMISIÓN A TEMPERATURA AMBIENTE ...37

3.3 MEDIDAS DE REFLEXIÓN A TEMPERATURA AMBIENTE ...39

3.4 PELÍCULA DELGADA DE MDMO-PPV ...39

3.4.1 Semiconductores orgánicos ...39

3.4.3 Preparación de películas delgadas ...41

3.4.4 Microscopio de fuerza atómica ...44

3.4.5 Características del PC ...44

4. DESARROLLOS ...45

4.1 CONSIDERACIONES PREVIAS ...45

4.2 INICIO ...47

4.3 CÁLCULO ...47

4.3.1 Modelo Multicapa ...48

4.3.2 Comparador ...48

4.3.3 Producto ...49

4.4 DERIVADOR ...50

4.4.1 Discontinuidad ...51

4.5 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS - N ...52

4.6 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS _– K ...53

4.7 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS INICIO – N ...53

4.8 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS INICIO – K ...55

4.9 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS FIN _– N ...55

4.10 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS FIN – K ...56

4.11 SOLUCIÓN ...56

5. RESULTADOS ...58

5.1 RESULTADO DE PRUEBA CONDICIONES IDEALES PARA EL MÉTODO NUMÉRICO MULTICAPA ...58

5.2 ALGORITMO SWMK – MC ...59

5.3 ERROR DEL MODELO MULTICAPA ...60

5.4 RESULTADO DE PRUEBAS PARA DETERMINAR RANGOS DE LAS CONSTANTES ÓPTICAS Y ESPESOR DE LA PELÍCULA ORGÁNICA MDMO-PPV ...62

5.5 RESULTADO DE PRUEBAS PARA DETERMINAR LAS CONSTANTES ÓPTICAS DE LA PELÍCULA ORGÁNICA MDMO-PPV ...64

5.6 RESULTADO DE PRUEBA PARA COMPARAR MÉTODO MULTICAPA VS MÉTODO SWANEPOEL -MINKOV. ...65

6. CONCLUSIONES ...67

7. BIBLIOGRAFÍA ...68

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Onda electromagnética plana propagándose a lo largo del eje x en un medio dieléctrico con pérdidas .... 14

Figura 2.2 Onda electromagnética plana incidente, reflejada y transmitida ... 21

Figura 2.3 Esquema del sistema multicapa ... 26

Figura 2.4 Esquema del sistema óptico en estudio, constituido por dos capas plano-paralelas inmersas en el aire, una de ellas transparente (sustrato) y la otra débilmente absorbente (MDMO-PPV). ... 26

Figura 2.5 Vectores de onda de los campos de entrada y de salida de un sistema multicapa entre dos medios semi-infinitos el ambiente (medio 0) y el sustrato (medio s) ... 27

Figura 2.6 Polarización normal de una onda electromagnética plana para la interface entre dos materiales diferentes ... 29

Figura 2.7 Vectores de onda propagándose dentro de un medio de índice de refracción n en los puntos x y x+d. ... 31

Figura 3.1 Diagrama de bloques general del proyecto. ... 37

Figura 3.2 Transmitancia y reflectancia a temperatura ambiente e incidencia normal para una película delgada orgánica MDMO-PPV. ... 38

Figura 3.3 Enlaces con electrones- ... 40

Figura 3.4 Enlaces - conjugado con electrones- ... 40

Figura 3.5 Estructura molecular del semiconductor orgánico. a) Poli (p-fenilenovinileno) o PPV, b) Poly [2-methoxy-5-(3´,7´-dimethyloctyloxy)-1,4-phenylenevinylene] o MDMO-PPV. ... 41

Figura 3.6 Fabricación de la película MDMO-PPV por la técnica Sping Coating. ... 42

Figura 3.7 Proceso de elaboración de tintas. a) Polímero y solvente se disuelven, b) luego la mezcla se somete al proceso de sonicación que consiste en calentar la tinta a por 30 minutos. ... 43

Figura 4. 1 Espectro de transmisión y reflexión óptica para la película ITO a partir de los datos de sus constantes ópticas. ... 45

Figura 4. 2 Diagrama de bloques del algoritmo Multicapa para el cálculo del espesor y constantes ópticas de la película delgada a partir de sus espectros de transmisión y reflexión. ... 46

Figura 4.3 Esquema del bloque general CÁLCULO. ... 47

Figura 4.4Esquema del bloque Modelo Multicapa. ... 48

Figura 4.5Esquema del bloque Comparador. ... 48

Figura 4.6 Esquema del bloque Producto. ... 49

Figura 4.7Esquema del bloque DERIVADOR. ... 51

Figura 4.8Esquema del bloque Discontinuidad. ... 51

Figura 4.9 Esquema del bloque ANDI-N. ... 52

Figura 4.10Esquema del bloque CÁLCULO ANDI-N. ... 53

Figura 4.11Esquema del bloque ANDI INICIO-N. ... 54

Figura 4.12Esquema del bloque CÁLCULO ANDI INICIO-N. ... 54

Figura 4.13Esquema del bloque ANDI FIN-N. ... 55

Figura 4.14Esquema del bloque CÁLCULO ANDI FIN-N. ... 56

Figura 5.1 Transmisión y reflexión del método numérico Multicapa para el caso de la transmisión. ... 58 Figura 5.2 Transmisión y reflexión del método numérico Multicapa para el caso de la reflexión. ... 59 Figura 5.3 Transmitancia y reflectancia teóricas desfasadas de los dos métodos numéricos para una película delgada orgánica semiconductora ITO ... 60 Figura 5.4 Transmitancia y reflectancia teóricos corregidos de los dos métodos numéricos para una película delgada orgánica semiconductora ITO ... 61 Figura 5.5 Transmitancia y reflectancia en función de la longitud de onda de la luz, para una película delgada

MDMO-PPV ... 62 Figura 5.6 Transmitancia, reflectancia y constantes ópticas de la película delgada MDMO-PPV... 63 Figura 5.7 Constantes ópticas de la película orgánica MDMO-PPV... 64 Figura 5.8 Transmitancia y reflectancia teóricos de los dos métodos numéricos para la película delgada orgánica

GLOSARIO LED: Light Emitting Diode (Diodo emisor de luz)

OLED:

MDMO-PPV: Poli [2-methoxy-5-(3´,7´-dimethyloctyloxy)-1,4-phenylenevinylene] AFM: Atomic Force Microscope (Microscopio de fuerza atómica)

ITO: Indium Tin Oxide (Óxido de Estaño Indio) : Transmisión en función de la longitud de onda : Reflexión en función de la longitud de onda Si -H: Óxido de silicio

Ge - Se: Germanio - Selenio

L.H.I: Lineal, Homogéneo e Isotrópico P.I: Plano de Incidencia

: Transmisión del sistema multicapa vacio (aire), película, sustrato y vacio

: Reflexión del sistema multicapa vacio (aire), película, sustrato y vacio

P3HT-PCBM: [polímero poly (3-hexylthiophene) llamado P3HT y (6,6 – phenyl C61 – butyric acid methyl ester) llamado PCBM]

Reflexión: Palabra homónima. Cambio en la dirección o en el sentido de propagación de una onda. UV-VIS: ultravioleta – visible

Fit: Ajuste teórico.

1. INTRODUCCIÓN

Durante la última década los materiales orgánicos han alcanzado un gran interés por su utilización en distintas aplicaciones optoelectrónica y fotónicas [1]. Actualmente, muchos de los dispositivos que tradicionalmente estaban basados en materiales semiconductores inorgánicos, tales como diodos emisores de luz (LEDs), celdas solares, transistores, entre otros, se han conseguido fabricar utilizando materiales orgánicos. Por otra parte, aquellos materiales que son solubles, presentan la gran ventaja de poder ser procesados de forma sencilla, utilizando técnicas simples y relativamente baratas, como la deposición por sping coating o evaporación térmica sobre un sustrato (película delgada orgánica semiconductora). Esto constituye una gran ventaja, comparada con la sofisticada tecnología requerida para la producción de materiales inorgánicos en la industria de semiconductores. Además, la versatilidad de la química orgánica ofrece la oportunidad de obtener materiales en los que se pueden controlar sus propiedades mediante modificaciones estructurales. Por tal motivo, en los últimos años, se ha observado un creciente interés por el estudio, tanto teórico como experimental, de las propiedades químicas, físicas, ópticas y electrónicas de

los polímeros -conjugados que, hoy en día, prometen ser la base para el desarrollo de nuevos materiales

encaminado a la fabricación de este tipo de dispositivos, como por ejemplo, fibras ópticas [2], laser de cristal fotónico [3], computación cuántica [4], celdas solares [5], transistores ópticos [6], sensor óptico [7], OLED [8], entre otras muchas aplicaciones.

Sin embargo, las propiedades ópticas de las películas delgadas semiconductoras son parámetros parcialmente conocidos. Por lo tanto, para determinar el espesor y las constantes ópticas de las películas delgadas semiconductoras, usualmente se recurre a la medición de la transmitancia y reflectancia en función de la longitud de onda; a partir de estos resultados por medio de programas de computador se encuentra el espesor, el índice de refracción y el coeficiente de extinción de la película orgánica a partir de sus espectros. Tal método ha sido tratado por varios autores [9, 10, 11, 12, 13], y se caracteriza por dos aspectos importantes. El primero, hace referencia a la medida en sí, es decir, los espectros deben ser medidos a incidencia normal y temperatura ambiente. El segundo aspecto, se refiere al procesamiento de los datos, ya que es imperativo usar algoritmos y métodos numéricos que lleven a la solución de las constantes ópticas.

Las técnicas tradicionales para hallar tales constantes ópticas, resultan ser difíciles porque requieren de criterios y modelos matemáticos laboriosos y difíciles de entender; además, los resultados obtenidos no son siempre los más adecuados, lo cual imposibilita optimizar el algoritmo y el proceso mismo, lo cual impide alcanzar mayores niveles de aproximación.

En el presente trabajo las constantes ópticas de estos materiales han sido determinadas usando un método de caracterización óptica relativamente sencillo, basado en el método numérico multicapa [13], el cual permite obtener la parte real e imaginaria del índice de refracción complejo y el espesor de la película. Para llevar a cabo tal cálculo, se desarrolló un algoritmo que posteriormente se implementó en un programa de computador escrito en MATLAB; el programa nos proporciona las gráficas ajustadas de los espectros de transmisión y reflexión, también nos entrega las gráficas del índice de refracción y el coeficiente de extinción en función de la longitud de onda.

MATLAB, se requiere desarrollar una descripción y análisis matemático riguroso y detallado del modelo físico (método numérico Multicapa) para entender e interpretar (matemática y físicamente) cada una de las ecuaciones que compone el método numérico Multicapa; y luego, comprobar y analizar cómo funciona el modelo en términos de la estimación de los parámetros (constantes ópticas) y el grado de aproximación al cabo de un determinado número de iteraciones, con el fin de confirmar o corroborar su veracidad. Al mismo tiempo, el algoritmo implementado permite encontrar una solución más viable que las técnicas tradicionales o, por lo menos, con menor grado de complejidad y más entendible.

De esta manera, el objetivo general del presente trabajo de grado es determinar, por medio del método numérico multicapa, el índice de refracción y el coeficiente de extinción del polímero conjugado orgánico semiconductor MDMO-PPV. Además, los objetivos específicos del proyecto son: Fabricar una disolución

orgánica: disolvente _– polímero conjugado orgánico semiconductor PPV; crecer una película delgada de

MDMO-PPV por spin - coating sobre sustrato de vidrio; medir a temperatura ambiente los espectros de transmitancia y reflectancia de la película orgánica MDMO-PPV y determinar el índice de refracción y el coeficiente de extinción, en función de la longitud de onda de la película delgada orgánica semiconductor MDMO-PPV

En el presente informe se organizan los temas así: en el Capítulo 2 el marco teórico con información importante del método numérico multicapa; en el Capitulo 3 las especificaciones generales de los equipos utilizados en la preparación, fabricación y medición óptica de una película delgada orgánica semiconductora; en el Capitulo 4 se encuentran los desarrollos realizados para la solución del problema; el Capitulo 5 muestra los resultados obtenidos de la solución expuesta en el capitulo anterior y su respectivo análisis; finalmente, en el Capitulo 6 se llega a las conclusiones finales del proyecto y reflexiones basadas en los resultados obtenidos, objetivos generales y los objetivos específicos del trabajo de grado.

2. MARCO TEORICO

En este capítulo se estudian las aplicaciones de las Leyes de Maxwell en el problema de la propagación de ondas planas uniformes electromagnéticas en distintos medios, siendo estos homogéneos, lineales e isotrópicos con diferentes propiedades ópticas. El estudio de la reflexión/refracción implica la obtención de expresiones que determinan la dirección de propagación, la amplitud, cambios de fase y polarización de las ondas transmitida y reflejada. Para realizar este estudio se emplea las condiciones de frontera de los campos en puntos muy cercanos a la interfase de separación de dos medios. Estas relaciones se derivan de las ecuaciones de Maxwell y a partir de estas expresiones, se obtiene la ecuación de onda para el campo eléctrico y magnético. Aplicando condiciones de frontera y continuidad, se deduce, las direcciones de propagación de las ondas reflejada y transmitida que se expresan mediante las leyes de Snell (reflexión y refracción). A continuación se estudian las relaciones entre las amplitudes (coeficientes de reflexión y transmisión) e intensidades (reflectancia y transmitancia) de las ondas obteniendo las expresiones conocidas como fórmulas de Fresnel. A partir de las ecuaciones de Fresnel, se aborda el estudio de las películas delgadas que se utilizan, ya sea como una sola capa o multicapa. Por último, se explica los métodos numéricos que calculan las constantes ópticas de una película delgada semiconductora.

2.1 Onda electromagnética

Una onda electromagnética viajera clásica es la propagación de una perturbación de un medio, que se

mueve en el espacio transportando energía (en tér_{minos de “partículas” sin masa} denominadas fotones) e

impulso. Entonces, de modo muy pragmático, se considera que la luz es una onda electromagnética clásica, teniendo en cuenta el hecho de que hay situaciones para las cuales esta definición es absolutamente inadecuada.

2.2 Ecuaciones de Maxwell

Para un cuerpo de masa [kg], carga del electrón [ _{], que se mueve con}

velocidad [m/s], en una región con Intensidad de Campo Eléctrico [V/m] y Densidad de Flujo

Magnético [T =Wb/m2=Vs/ m2], la fuerza electromagnética o Fuerza de Lorentz [N], ver [14],

que actúa o describe la acción de los campos sobre un cuerpo o partículas cargadas, es:

(2.1)

Las expresiones matemáticas que describen las leyes sobre electricidad, magnetismo y óptica, son ecuaciones basadas en observaciones experimentales (Gauss, Faraday y Ampere) y que permiten la descripción clásica de las partículas que interactúan con el campo electromagnético. La relación de igualdad entre las leyes y principios físicos para la explicación de fenómenos electromagnéticos macroscópicos se denomina Ecuaciones de Maxwell [14]. En términos de la carga “libre” y corriente “libre”; según el autor [15], obtenemos que:

Intensidad de Campo Magnético [A/m]; Campo Eléctrico [V/m]; Densidad de Flujo Magnético [Wb/m2 _{= Vs/ m}2 _{=T]; Desplazamiento Eléctrico o Densidad de Flujo Eléctrico [C/cm}2_];

Densidad

volumétrica de Corriente eléctrica libre [A/m2_];

Densidad volumétrica de carga eléctrica libre [C/m3];

Densidad volumétrica de carga magnética libre [Wb/m3 = Vs/ m3 =T/m] (carga magnética por unidad

de volumen; lo que significa que ); , Densidad volumétrica de Corriente

de Desplazamiento [A/m2_{]; Densidad volumétrica de Corriente de carga magnética libre [Wb/(m}2_.s)

= V/m2_{] (al no encontrarse experimentalmente la carga magnética libre o mono polo magnético, la}

densidad volumétrica de corriente de carga magnética libre también es nula, ). En general todas

estas condiciones son funciones de la posición y el tiempo.

Para el caso de un flujo neto por unidad de volumen a través de la superficie cerrada que limita el

volumen (carga eléctrica libre neta “sale” por unidad de volumen y tiempo) determina la rapidez de cambio de la densidad de carga eléctrica libre en un punto. Dicho fenómeno físico recibe el nombre de la ecuación de continuidad o principio de conservación de la carga eléctrica [14].

(2.3)

Las cuatro ecuaciones de Maxwell no son suficientes para describir la evolución del campo electromagnético, siendo necesario añadir las relaciones de definición del vector de desplazamiento eléctrico y el campo magnético .

(2.4)

Campo de Polarización [C/m2_{] (momento dipolar eléctrico por unidad de volumen); Campo de}

magnetización [A/m2_{]; permitividad eléctrica del vacío [8.854187817}.₁₀-12 _{F/m]; permeabilidad}

magnética del vacío [4π.₁₀-7 _H/m].

Por último, se indica las relaciones entre los campos y con los campos eléctrico y magnético .

(2.5)

(2.6)

Susceptibilidad eléctrica [adimensional]; susceptibilidad magnética [adimensional];

permitividad relativa del medio [adimensional]; permeabilidad relativa del medio [adimensional].

2.3 Tipos de medios

Los materiales se dividen de acuerdo a sus propiedades eléctricas tales como la permitividad eléctrica del

medio [F/m] y la permeabilidad magnética del medio [H/m = N/A2_{]; en conductores y no conductores,}

La conductividad de un material depende de la temperatura y la frecuencia. Un material de alta

conductividad se denomina metal, uno de baja conductividad aislador y uno de

conductividad intermedia, semiconductor. Existen tres tipos de medios:

 Lineal: No depende del valor de los campos electromagnéticos; el material conserva sus propiedades del medio material por el que se propaga la luz.

 Homogéneo: No depende de la posición del campo; por tanto, el material no cambia sus propiedades.

 Isotrópico: No cambia su valor con la dirección del campo; por lo cual, el material mantiene sus parámetros .

Si el medio es el lineal, homogéneo e isotrópico (L.H.I) y no dispersivo, son parámetros escalares constantes. Si el medio es no lineal, homogéneo e isotrópico, no serán escalares sino tensores y si es dispersivo dependerán de la frecuencia del campo.

La densidad de corriente eléctrica libre puede ser de conducción o convención , donde indica la velocidad promedio de los portadores de carga libre. La corriente de convención que es distinta a la de conducción, ocurre cuando la corriente fluye a través de un fluido como liquido, gas o en el vacío; por lo tanto, no implica conductores y, en consecuencia, no satisface la Ley de Ohm.

Por lo tanto, si el medio es L.H.I y sin fuentes las ecuaciones de Maxwell se simplifican:

(2.7)

También existen las siguientes relaciones:

(2.8)

(2.9)

2.4 Condiciones de Frontera

En general, los campos , son discontinuos en el límite entre dos medios diferentes. Tales discontinuidades se pueden deducir a través de las ecuaciones de Maxwell [14,15]. A partir de la divergencia y Teorema de Gauss – Ostrogradsky [15]; el rotacional y Teorema de Stokes [15]; y considerando, que el vector normal va del medio 1 al medio 2, se obtiene:

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Igualmente, se pueden establecer relaciones entre la polarización y la magnetización a ambos lados de una frontera, por medio de las cargas de polarización y de magnetización, así como de las corrientes de magnetización.

(2.13)

Densidad volumétrica de carga de Polarización [C/m3_{]; Densidad volumétrica de corriente de}

Magnetización [A/m2].

(2.14)

2.5 Ecuación de Onda

A partir de las ecuaciones de Maxwell, se deducirán ecuaciones que determinan el comportamiento de cada uno de los campos en medios LHI en forma independiente, es decir, ecuaciones que incluyan relaciones espaciales y/o temporales para uno sólo de los campos, deducción que se centrará principalmente para los campos eléctricos e intensidad magnética.

Si se aplica el operador rotacional a la ecuación que expresa el rotacional del campo eléctrico , se tiene que:

(2.15)

Si se usa la siguiente identidad vectorial.

(2.16)

Se obtiene el siguiente resultado:

(2.17)

La ecuación anterior representa la ECUACIÓN DE ONDA PARA EL CAMPO ELÉCTRICO. Realizando el mismo procedimiento para , se obtiene:

(2.18)

La ecuación anterior representa la ECUACIÓN DE ONDA PARA LA INTENSIDAD DE CAMPO

MAGNÉTICO.

(resuelta una de las ecuaciones está resuelta la otra), y desde el punto de vista físico, significa una equivalencia o similitud en el comportamiento de los dos campos.

2.6 Fasores

Si un campo, por ejemplo el eléctrico , está dado por una onda armónica o monocromática (movimiento periódico) en cualquier instante de tiempo, se obtiene que:

(2.19)

Donde son vectores constantes, en el cual cada componente tendrá su respectiva

magnitud y fase . Simultáneamente, que es la

frecuencia angular, siendo f la frecuencia y T el periodo. Utilizando la notación de fasores, según el autor [16,17], se encuentra:

(2.20)

En forma similar, para la intensidad del campo magnético , la densidad de flujo magnético , el desplazamiento eléctrico , si son funciones armónicas, se pueden expresar como la parte real de un campo que depende de la posición, por la función exponencial armónica que dependen del tiempo. Si el campo es periódico en el tiempo, se puede expresar en series armónicas de Fourier [15], así:

(2.21)

La ecuación anterior representa la Serie Trigonométrica de Fourier del campo eléctrico. El primer

miembro de la ecuación representa el nivel “DC” del campo. El segundo miembro consta de una serie, el

primero la componente par del campo y el segundo la componente impar del campo. 2.7 Transformación de la Ecuación de Onda al dominio de las frecuencias

Considerando que la solución de la ecuación de la onda sea la superposición de campos armónicos de diferentes frecuencias (series de Fourier si el campo es periódico, Transformada de Fourier en el caso general), para cada frecuencia se deben satisfacer las diferentes ecuaciones (de Maxwell, de frontera, de onda, entre otras). Si partimos de la ecuación:

(2.22)

Aplicando la Transformada de Fourier, teniendo en cuenta que la transformada de un laplaciano es el laplaciano de la Transformada, la transformada del gradiente es el gradiente de la Transformada y la

transformada de la derivada temporal es veces la transformada del campo, se obtiene en el dominio de

(2.23)

Realizando el mismo procedimiento para , se obtiene.

(2.24)

2.8 Vector de Poynting

En el estudio de campos electrostáticos, se encuentra que , lo que implica que el campo electrostático es conservativo; al estudiar los campos variables con el tiempo, el rotacional del campo eléctrico deja de ser nulo, lo que significa que el campo eléctrico, al ser dependiente del tiempo, no es conservativo (se transforma en energía mecánica o de otro tipo).

La energía transportada por el campo electromagnético a través del espacio, depende de la energía suministrada a la fuente en la que el campo electromagnético se genera, debiendo mantenerse el equilibrio o la relación entre la velocidad de transporte de energía (propagación), la transferencia de energía al medio (efectos disipativos) y la energía asociada a los campos. Entonces, a partir del sistema de ecuaciones de Maxwell se describe la energía que posee el campo electromagnético (que puede ser determinada a partir de las amplitudes de la intensidad del campo eléctrico y de intensidad magnética) [14, 15].

(2.25)

La ecuación anterior representa el TEOREMA DE POYNTING en forma integral. El primer miembro de la igualdad es la potencia suministrada por todos los generadores existentes dentro del volumen , resultado que representa la energía que se transforma en calor, por el efecto Joule (la densidad de corriente

puede ser de conducción o de convección). El segundo miembro consta de dos sumandos, el primero,

la energía almacenada en los campos eléctricos y magnéticos, y el segundo término representa la potencia transmitida, a través de , a la región exterior a . Este flujo de energía del campo electromagnético, a través de una superficie cerrada, se caracteriza por el vector , llamado el vector de Poynting que es igual a:

(2.26)

Este vector representa el flujo de energía por unidad de tiempo y área, es decir, la intensidad de la onda, que se propaga en los campos electromagnéticos. El cual se interpreta como la densidad de potencia instantánea en watts por metro cuadrado . La dirección del vector indica la dirección del flujo de potencia instantánea en un punto del espacio.

_{y . Por consiguiente, la intensidad media de radiación} está dada por.

(2.27)

Donde es el complejo conjugado de la intensidad del campo magnético .

Si queremos obtener la versión diferencial del teorema de Poynting [14,15]; a partir de la ecuación (2.25) resulta que:

(2.28)

Esta ecuación expresa la ecuación de conservación de la energía en medios no disipativos. 2.9 Onda plana en medios con pérdidas ( )

Para el presente estudio se considera una onda electromagnética, monocromática, plana y uniforme que se propaga en un medio dieléctrico (con pérdidas), por lo que, para ella, el vector de propagación , la permitividad eléctrica del medio , la impedancia intrínseca , la conductividad del material (ó tangente de pérdidas) y el índice de refracción , son complejos.

Para el caso (que nos interesa para nuestro estudio) en el cual los campos se propagan en un material dieléctrico de permitividad y permeabidad , sin fuentes y dependen únicamente de una coordenada espacial; en este caso la coordenada x (en principio los campos puede tener cualquier dirección de propagación y por tanto tener componentes en y/o ), y a su vez ambos campos no poseen componentes según esa dirección; suponiendo que el medio es L.H.I. se tiene:

(2.29)

Factorizando

(2.30)

Por lo tanto.

(2.31)

Por simplicidad supondremos en una sola dirección por ejemplo “y”, propagándose en la dirección del eje x. Por lo tanto, no varía con “y”o “z”, a su vez, las derivadas

(2.32) Por lo que se obtiene

Donde son vectores constantes, en general complejos en el cual cada componente tendrá su respectiva magnitud y fase o si se prefiere, parte real e imaginaria .

Si con y vectores constantes (reales o complejos), utilizando la identidad , según [15], y sustituyendo en (2.31) de forma general, resulta:

(2.34)

De tal forma que se encuentra como condición para satisfacerla que

(2.35)

Donde

(2.36)

Siendo el ángulo el ángulo de pérdidas, que sirve para diferenciar a los buenos conductores, cuando la

tangente de pérdidas es grande de los buenos dieléctricos, cuando es pequeña .

La magnitud de un vector complejo es:

(2.37)

Donde el vector de propagación debe ser una constante escalar complejo, esto es:

(2.38)

Donde la parte real e imaginario y son ambos números reales. También, el índice de refracción es

una constante escalar compleja al igual que . Por lo tanto.

(2.39)

Donde el índice real e imaginario y son ambos números reales. El vector complejo se puede expresar también como:

(2.40)

La magnitud es:

_(2.41)

(2.42) Por lo tanto:

(2.43)

De acuerdo a la ecuación anterior se determina la parte real e imaginaria de .

(2.44)

(2.45)

Aplicando las identidades trigonométricas.

(2.46)

Reemplazando en la parte real y simplificando:

(2.47)

Finalmente la parte real es:

(2.48)

La parte real del vector de propagación , es denominado número de onda o de propagación;

determina el comportamiento periódico de la onda en el espacio, en este caso en dirección del eje x; el

campo está descrito por la función armónica de periodo , por lo tanto completa un periodo espacial, es

decir, una longitud de onda λ, cuando:

(2.49)

La velocidad de propagación de la fase está determinada por:

_(2.50)

(2.51)

Realizando el mismo procedimiento para el coeficiente de atenuación , resulta:

La parte imaginaria del vector de propagación , es denominado el coeficiente de atenuación; por

tanto, la magnitud de es el inverso de la distancia , medida a lo largo del eje

x, para la cual la amplitud de la onda disminuye (se atenúa), a su valor inicial (aproximadamente al ), distancia que se denomina profundidad de penetración.

_(2.53)

Reemplazando y en la ecuación (2.33), queda.

(2.54)

Con y conocidos y reemplazando por su magnitud y fase en (2.20) se obtiene:

(2.55) De modo que

(2.56)

Ahora, reemplazando en (2.17) y según (2.32), se encuentra que la solución de la ecuación de

onda para el campo eléctrico es:

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.60)

(2.61)

Finalmente, se encuentra que las condiciones para satisfacer la ecuación de onda son:

(2.62)

Para el caso que se está estudiando, una onda plana uniforme que sólo depende de x, en un medio L.H.I, sin fuentes ( sin embargo, suponiendo , de la expresión que es equivalente a , resulta que

), con pérdidas (dieléctrico o conductor) y, por tanto, el vector de propagación es complejo;

ahora, es necesario verificar que el campo obtenido, soluciona las ecuaciones de Maxwell, dado

(2.63)

El desarrollo anterior demuestra que el campo eléctrico variable con el tiempo es un campo no conservativo. Si la expresión fuera ; la ecuación anterior implica que el campo es electrostático (estacionario) y, además conservativo, por consiguiente, el trabajo total es nulo. De donde se desprende también la existencia de una función potencial V, tal que . De la ecuación

y (ecuaciones fundamentales de la electrostática) se llega a la ecuación de Poisson . Si la densidad de carga es nula, se convierte en la ecuación de Laplace .

Continuando con nuestro análisis para el campo eléctrico variable con el tiempo; para hallar partimos de la ecuación entonces . De la expresión

, se desprende que . De la relación , resulta

_{. Además, se debe cumplir por lo tanto,}

entonces y .

Simultáneamente de la relación se encuentra . De la ecuación se obtiene

que . Por último, de se encuentra .

Puesto que la ecuación de onda para la intensidad del campo magnético , es idéntica a la de , su solución matemática debe ser de la misma forma, es decir . Cuya solución para la onda es . En este caso, la dirección de se encuentra en “z”, propagándose en la dirección del eje x. Por lo tanto, no varía con “x” o“y”, las dos derivadas correspondientes son cero, y se obtiene

Retomando las expresiones ,

(Nótese que cuando (onda plana en un medio sin pérdidas) las ecuaciones anteriores se reducen a:

y , por lo tanto, y (FASORES) están en fase en todos

los puntos del espacio. Una onda es plana y uniforme si y (VECTORES) son ortogonales y a la

vez, estos son ortogonales al vector de propagación ; en otras palabras, la onda electromagnética plana es una onda transversal; las superficies (plano de fase constante) que unen todos los puntos de igual fase

se conocen como frentes de onda. La velocidad de la luz en el vacío se encuentra

relacionada con y a través de . La longitud de onda en el vacio es . El

índice de refracción del medio es De manera similar, el comportamiento periódico de

la onda en el espacio es y ) y reemplazando por su magnitud y fase en (2.20) se obtiene:

De modo que

(2.65)

En esta expresión y la ecuación (2.56), los signos dobles , que aparecen como superíndices (¡no exponente!) en los fasores , , y , indican que la onda se propaga en la dirección positiva (signo de arriba) o negativa (signo de abajo) del eje x; mientras los superíndices de la constante de fase corresponde también a la onda propagándose en dirección positiva o negativa del eje x. Los signos dobles

que aparecen en las constantes y , indican que la ecuación de onda tiene dos soluciones.

Sin embargo, (2.65) no es la solución de la intensidad magnética; por lo tanto, el proceso para encontrar la solución de la ecuación de onda para es similar a lo que se implementó con el campo

eléctrico ; proceso que no se desarrollaremos aquí. Observemos, además, que en un medio con

pérdidas y ya no están en fase (no son ortogonales) y que la diferencia de fase , es positiva. Esto significa que y ya no alcanzan sus mínimos y máximos juntos; por lo tanto, es una polarización lineal [15]. Existen tres tipos de polarización: lineal, circular y elíptica. Para nuestro caso en particular, la polarización lineal se produce cuando la razón entre las dos componentes del fasor del campo eléctrico (resuelto para este caso; se obtiene el vector de campo magnético, pues es perpendicular y proporcional al campo eléctrico) es una cantidad real, lo que requiere que la diferencia de fase entre ellas sea múltiplo entero de ; con n _{par (los campos en los dos ejes “están en fase”) el}

resultado es positivo y con n _{impar (los campos en los dos ejes “están opuestos fase”) es negativo. En}

cualquier caso, las magnitudes de esas componentes son en todo momento proporcionales “estén en fase u

opuestas en fase”.

En la siguiente figura se ilustra el comportamiento de la onda electromagnética propagándose a lo largo del eje x.

Por el momento, si tomamos la normal en la dirección de propagación de la onda, se puede definir un vector de propagación como . Por lo que a partir de (2.32), el operador nabla es equivalente a la sustitución ; con lo que las ecuaciones de Maxwell (2.7) se vuelven [15]:

(2.66)

Los dos primeros resultados nos indican que el vector (real o complejo) debe ser ortogonal a los campos y , y las otras dos ecuaciones nos permiten concluir además, que los campos y (fasores) son ortogonales entre sí. Sin embargo, si y (vectores complejos), que es el caso de nuestro interés, no son ortogonales, hay que encontrar el desfase entre los campos electromagnéticos. Por lo tanto, si simplificamos en las dos últimas ecuaciones y dividimos por la magnitud del vector , encontramos:

(2.67) (2.68)

Donde _{recibe el nombre de impedancia característica} del medio. Como las unidades de son voltio por metro [V/m] y las de son amperios por metro [A/m], la relación entre las ondas incidentes del campo eléctrico y magnético tendrá dimensiones de impedancia,

es decir, ohmios [Ω]. La cantidad _{ohmios Ω es conocida como la impedancia}

del espacio vacío.

Reemplazando ( ) en (2.67) y aplicando el complejo conjugado; se obtiene que para un medio con pérdidas la impedancia intrínseca es una cantidad compleja.

_(2.69)

El valor absoluto o magnitud de la constante compleja es

_(2.70)

La fase de la constante compleja es

(2.71)

Como el ángulo de fase de la impedancia intrínseca es diferente de cero, esto provoca que los campos

eléctrico y magnético estén desfasados un ángulo . Con este resultado se demuestra que los campos

el que se propaga la onda y el cómo, esta se propaga antes, durante y después de atravesar el medio (incidencia normal u oblicua).

2.10 Dispersión óptica

Los materiales dieléctricos, como vidrio o plástico, son buenos aisladores cuando se encuentran sometidos a campos estáticos; pero, pueden llegar a consumir una cantidad apreciable de energía cuando se los expone a campos variables en el tiempo. Las formas en que los procesos físicos en un material pueden afectar el campo eléctrico de la onda se describen por medio de la permitividad compleja.

También pueden presentarse pérdidas que surgen como respuesta del medio al campo magnético y estas se

modelan a través de una permeabilidad compleja. Como ejemplo, están los materiales ferromagnéticos o

ferritas. La respuesta magnética es, en general, muy débil comparada con la respuesta del dieléctrico en la mayoría de los materiales destinados para la propagación de ondas; en tales materiales se puede decir que (constante).

Es necesario en la presente sección, realizar una descripción microscópica de la materia en forma cualitativa con la idea de aclarar el efecto de un campo eléctrico sobre un átomo o molécula. Cualquier trozo de materia (dieléctrico en este caso) está formado por átomos y/o moléculas, que poseen tanta carga positiva como negativa.

En ausencia de campo eléctrico, la molécula tendrá un momento dipolar nulo, es decir, moléculas apolares o no polares. Si suponemos ahora, la molécula en presencia de un campo eléctrico, aparecerán

fuerzas sobre las cargas. Las cargas positivas tenderán a moverse en dirección del campo y las

negativas en dirección opuesto al campo; por lo tanto, la fuerza eléctrica neta sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es cero. Por tanto, la molécula posee un momento dipolar inducido y ha sido polarizada. Puede suceder otra posibilidad; es que debido a su estructura interna, la molécula

posea un momento dipolar, aun en ausencia de campo. Las moléculas de esta clase se denominan

polares y su momento dipolar se considera como un momento dipolar permanente. Un ejemplo de esta

clase es la molécula de agua . Una partícula eléctricamente cargada en el punto , con carga ,

genera un momento dipolar eléctrico [14,15]; el cual se define como:

(2.72)

Siendo una partícula de carga eléctrica [C] y brazo del dipolo [m] (separación entre carga eléctrica positiva y negativa), por lo que dicho átomo está polarizado. Sin embargo, mientras la fuerza neta sobre un dipolo eléctrico es cero, sus momentos de torsión no suman cero. El momento de torsión tiende a alinearse al campo eléctrico externo uniforme (dado que las dos cargas no pueden separarse) y se calcula con respecto al centro del dipolo eléctrico, así [14]:

(2.73)

Donde es el momento de torsión vectorial sobre un dipolo eléctrico, momento dipolar eléctrico y es el campo eléctrico. Las unidades de la magnitud del momento de torsión son carga por voltio [ ]. El

momento dipolar resultante por unidad de volumen se denomina polarización eléctrica .

Sin conocer muchos más detalles acerca de las interacciones atómicas internas; nuestro análisis será,

átomo-electrón) es equivalente a un sistema mecánico; constituido por una gran esfera (núcleo de átomo), unida a otra pequeña esfera (nube de electrones), a través de un resorte; por lo tanto, si el sistema es

afectado por pequeñas perturbaciones, tiene que haber una fuerza neta, para restablecer el “equilibrio

del sistema”; las fuerzas restauradoras (fuerza elástica) tienen la forma ; es la constante elástica. Una vez que el sistema haya sido perturbado momentáneamente de esta forma, oscilará (electrón)

con una frecuencia de resonancia o natural dada por donde es su masa. Esta es la

frecuencia oscilatoria del sistema sin excitación; es decir, que sin una fuerza impulsora (onda incidente), el oscilador vibrará a su frecuencia de resonancia

Cuando una onda luminosa (se propaga en x) incide en un medio (dieléctrico sin pérdidas), cada átomo

puede considerarse como un oscilador forzado clásico que está siendo excitado por un campo eléctrico variable en el tiempo , que aquí se _{supone en la dirección “}y”. La ejercida sobre una partícula de

carga eléctrica por el campo (campo eléctrico externo o macroscópico) de una onda armónica

de frecuencia tiene la forma.

(2.74)

Donde es el campo local o molecular; campo que actúa sobre una partícula del medio y es la excitación forzada que hace que oscile el electrón. Por la segunda ley de Newton; la suma de las fuerzas es igual a la masa por la aceleración:

(2.75)

El primer término a la izquierda corresponde a la fuerza impulsora, el segundo término es la fuerza restauradora opuesta y el tercero es la fuerza viscosa que experimenta las partículas (electrones, átomos, moléculas, entre otros) que conforman el material al moverse dentro de un fluido (gas, líquido, sólido e

incluso el vacío), y se conoce como el parámetro de amortiguación.

Si se trata de un campo eléctrico armónico, es de esperar que la solución de sea también una función armónica de igual frecuencia, por lo que la ecuación anterior se puede expresar en forma de fasores, con _{; al reemplazar y resolver se obtiene}

(2.76)

Donde es el coeficiente de amortiguación y representa la fuerza de disminución de la amplitud en el sistema mecánico (la amortiguación de la amplitud se debe, en parte, a la energía perdida

cuando los osciladores forzados vuelven a radiar energía dentro de la sustancia en forma de “calor”).

Recordemos que el campo eléctrico que actúa sobre la partícula es el campo local o molecular, no el macroscópico, donde el fasor del campo local está dado por, según [15], , donde , para dieléctricos isotrópicos no polares y para conductores.

(2.77)

El momento dipolar inducido equivale a la carga multiplicada por su desplazamiento y, si

tenemos N dipolos por unidad de volumen, la polarización eléctrica o densidad de los momentos

dipolares es , y, por tanto, la susceptibilidad eléctrica será

(2.78)

Lo desarrollado hasta ahora supone un único tipo de oscilador, pero en general, son numerosas las clases de osciladores entre los electrones de diferentes órbitas. Por tanto, el campo de polarización y la susceptibilidad eléctrica debe incluir la suma de las contribuciones realizadas por cada clase de oscilador

, esto es, hay electrones por unidad de volumen con frecuencia ; así:

(2.79)

A partir de la ecuación anterior, es fácil deducir la expresión para la constante dieléctrica y, reemplazando la susceptibilidad eléctrica en la ecuación (2.6), resulta:

(2.80)

Multiplicando por el complejo conjugado se encuentra

(2.81)

Donde se conoce como la constante de la permitividad relativa del medio; lo que resulta ser una

cantidad compleja, ; en el estudio de la propagación de ondas en medios disipativos, se

había encontrado una permitividad compleja según lo cual, la parte imaginaria depende de la conductividad, lo que significa, que el medio dieléctrico objeto de este estudio, presenta pérdidas que dependen de la frecuencia del campo impulsor (incidente al medio dieléctrico).

De la ecuación (2.81) y las expresiones posteriores a esta, se deduce que la parte real de la permitividad relativa del medio es

(2.82)

Mientras que la parte imaginaria de la permitividad relativa del medio es:

De aquí, se puede concluir, que tanto la permitividad relativa, como la conductividad son funciones de la frecuencia, teniendo en cuenta que la respuesta de un oscilador y la transferencia de potencia de la fuerza impulsora al oscilador, son funciones de la frecuencia, por lo que se trata de un medio dispersivo.

Las ecuaciones (2.82) y (2.83) son aplicables a muchos sistemas (diferentes materiales) de absorción de luz e ilustran tanto la contribución de un sistema (película orgánica - sustrato) dado a la constante dieléctrica, como la relación existente entre sus partes real e imaginaria. Para bajas frecuencias

, la constante dieléctrica crece con la frecuencia, y, la polarización eléctrica estará en fase con

respecto al campo eléctrico aplicado a dicha materia. A frecuencias cercanas a la de la resonancia

, la parte real e imaginaria (constante dieléctrica) tienen un máximo que se refleja en el aumento

resonante del desplazamiento. A frecuencias mucho más altas , la constante dieléctrica tiende a

la permitividad del vacío, indicando que el sistema en cuestión no puede responder a esas frecuencias, por lo tanto, no contribuye a la polarización del medio; además, la polarización eléctrica resultante estará, por lo tanto, desfasada con respecto al campo eléctrico aplicado.

Conocemos que el índice de refracción es la raíz cuadrada de la permitividad eléctrica relativa; por consiguiente, y haciendo (la permeabilidad magnética en numerosos materiales es ), la primera ecuación se simplifica a y, el índice de refracción complejo se obtiene de la raíz de un número complejo [19]. Desarrollando un análisis similar al que se realizó arriba con el vector de propagación; podemos decir que la ecuación de dispersión es:

(2.84) Haciendo

(2.85)

Donde es la frecuencia de plasma, es decir, la frecuencia natural a la que la densidad de electrones de

valencia e iones positivos oscila dentro del medio con pérdidas. La frecuencia de plasma determina cuando la onda incidente al medio disminuye exponencialmente. Si , es real, la absorción es pequeña y el medio es transparente (dieléctrico ideal, vidrio). Es por esto que, si nos mantenemos alejados

de la frecuencia de resonancia , la amortiguación se puede ignorar y la fórmula del índice de

refracción se simplifica a , por lo que resulta

(2.86)

Para este caso en particular, es decir, para materiales transparentes, las resonancias más significativas se

encuentran generalmente en el rango de ultravioleta - visible (UV-VIS - 380nm - 780nm), por lo que

(2.87)

Por consiguiente, reemplazando en la ecuación (2.86) y factorizando, se encuentra que

(2.88)

En términos de la longitud de onda en el vacío ( ), tenemos que

(2.89)

Esta expresión se conoce como la ecuación de Cauchy; la constante A es el coeficiente de refracción

(cambio de dirección que experimenta la luz al pasar de un medio a otro) y B es el coeficiente de dispersión.

La dispersión del índice de refracción , también se puede analizar según el modelo de Wemple- DiDomenico basado en el oscilador armónico simple [10]. Es importante porque fue la primera investigación que conectó los parámetros de fotón de energía, oscilador de energía y oscilador armónico simple de dispersión óptica. La conexión entre estos parámetros se logró al conectar la relación matemática entre las partes real e imaginaria de la constante de la permitividad relativa del medio conocida como, las relaciones Kramers-Kronig [10], también llamadas relaciones de dispersión. 2.11 Condiciones de frontera

El problema a estudiar ahora es lo que ocurre, acorde con las ecuaciones de Maxwell, con una onda monocromática plana, que se propaga en un medio, con o sin pérdidas, al llegar a la superficie que limita

este medio con otro medio, también con o sin pérdidas; en general, empíricamente se observa que “parte de la onda” se refleja y “parte” se transmite, por lo que es necesario determinar las características de las ondas reflejada y transmitida.

Los campos asociados a cada una de las ondas, incidente, reflejada y transmitida, deben satisfacer las condiciones de frontera. Con el vector unitario normal a la interfase (no confundir con el índice de refracción (parte real e imaginaria), y ), en dirección del medio incidente al transmitido y suponiendo que el medio es L.H.I, se obtiene:

(2.90)

(2.91)

2.12 Reflexión y refracción de ondas monocromáticas planas

Una onda monocromática plana incidente que viaja en un medio 1 de parámetros electromagnéticos

que entra en otro medio 2 de parámetros forma un ángulo cualquiera, en este caso,

asimismo, los vectores (no confundir con el vector de propagación complejo, parte real e

imaginaria, y ) forman el plano de incidencia, perpendicular al plano de frontera. Es decir, que para

satisfacer las ecuaciones de frontera (2.90 - 2.91) existen tres ondas coplanares: la onda incidente en el medio 1, la onda reflejada en el medio 1 y la onda transmitida en el medio 2; se utilizan los índices , respectivamente, para indicar a que corresponden a cada una de estas ondas como se muestra en la figura siguiente.

Figura 2.2 Onda electromagnética plana incidente, reflejada y transmitida. Tomado de [18].

La polarización electromagnética de la onda se puede resolver para los campos y por separado; una en el P.I (plano de Incidencia), llamada polarización paralela y la otra normal al P.I, llamada polarización normal. Para la onda polarizada en el P.I., el campo eléctrico se encuentra en el P.I. y como el vector de propagación también se encuentra en el P.I., la intensidad del campo magnético es perpendicular al P.I; para la onda polarizada normal al P.I, el campo eléctrico se encuentra normal al P.I. y por tanto, la intensidad del campo magnético está en el P.I. Sea cual sea la polarización de la onda, las componentes paralelas y perpendiculares al plano de incidencia de los campos y se tratan por separado.

Suponiendo una onda monocromática plana incidente en la frontera entre dos medios L.H.I, dieléctricos, sin pérdidas; donde el campo total en los dos medios obedece las ecuaciones de Maxwell y cumple las condiciones de frontera, lo que implica que se determine y se establezcan las Leyes de Snell [14,15]:

(2.92)

(2.93)

(2.94) Si el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, la intensidad magnética está en el plano

de incidencia, es decir polarización normal. Haciendo uso de la continuidad de las componentes

tangenciales del campo , tenemos que en la frontera, en cualquier tiempo y punto:

(2.95)

Para que se cumpla o se mantenga la relación de la componente tangencial del campo eléctrico, la suma de los campos eléctricos (incidente, transmitido y reflejado) debe ser cero; por consiguiente, la componente que presente cualquier cambio en fase o magnitud, las demás también deben cambiar magnitud y fase para que se cumpla la relación, así:

(2.96)

Al aplicar la condición de frontera para , se obtiene.

(2.97)

Utilizando la ecuación y la identidad , se encuentra [15]:

(2.98)

(2.99)

Donde . Porque el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, luego este no tiene componente paralela al vector unitario .

Luego, utilizando las siguientes ecuaciones, según [15], se obtiene:

(2.100)

Reemplazando las anteriores ecuaciones en (2.99) y utilizando, según la Ley de Snell , resulta:

(2.101)

(2.102)

Combinando (2.96) con la ecuación (2.102), se obtiene:

(2.104)

Donde son campos eléctricos escalares. Estas expresiones se denominan Ecuaciones de Fresnel y se aplican a cualquier medio L.H.I. Aquí, denota el coeficiente de reflexión para la amplitud, mientras que representa el coeficiente de transmisión para la amplitud; el subíndice indica que estamos tratando un caso en que es perpendicular al plano de incidencia.

Si la intensidad magnética es ahora quien es normal al plano de incidencia, se trabaja igual que el caso anterior pero ahora el campo eléctrico está en el plano de incidencia. Esto se conoce como polarización paralela. Por lo tanto, el coeficiente de reflexión para la amplitud y el coeficiente de transmisión para la amplitud resultante, son [15,20]:

(2.105) (2.106)

Si la incidencia es normal (que interesa para nuestro estudio), se aproxima a cero, y se

aproximan ambos a la unidad y, por tanto,

(2.107)

(2.108)

Ahora, expresando los Coeficientes de Fresnel en función de los índices de refracción de ambos medios; se sabe que , también que (no confundir con la permitividad eléctrica compleja del medio (parte real e imaginaria), y ), entonces.

(2.109)

Con , simplificando y reemplazando por el índice de refracción, resulta.

(2.110)

Realizando el mismo procedimiento para el coeficiente de reflexión, se obtiene