Estabilidad Local para el Modelo Discreto Lotka Volterra con Competencia Intraespecie

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(1)Estabilidad local para el modelo discreto Lotka-Volterra con competencia intraespecie.. Gladys María Morales Ramirez. Director: Deccy Yaneth Trejos Angel.. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Proyecto Curricular de Matemáticas Bogotá D.C. 2015.

(2) Estabilidad local para el modelo discreto Lotka-Volterra con competencia intraespecie.. Gladys María Morales Ramirez. Trabajo de grado para optar al título de Matemática. Director: Deccy Yaneth Trejos Angel. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Proyecto Curricular de Matemáticas Bogotá D.C. 2015.

(3) Nota de Aceptación.. Firma Director.. Firma Jurado..

(4) Dedicado a todos aquellos que de alguna manera me han apoyado..

(5) Agradecimientos Muchas gracias a mi familia por el apoyo, a los profesores que me guiaron en este proceso y a mis compañeros..

(6) Índice General Introducción . . . . . . . . . Planteamiento del problema Justificación . . . . . . . . . Objetivos . . . . . . . . . . Objetivo General . . . Objetivos Específicos .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . VI . VIII . IX . X . X . X. 1 Preliminares 1 1.1 Modelo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I Modelo presa-depredador de Lotka-Volterra sin competencia intraespecie. 3 II Modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie. . . . . . . . . . . 6 1.2 Teorema de linealización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Discretización del modelo Lotka-Volterra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 II Discretización de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Modelo Discreto. 2.1 Puntos fijos del modelo discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Teorema resultado de la linealización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Análisis del modelo discreto de Lotka-Volterra. . . . . . . . . . . . . . . . 3 Simulación Numérica.. 18 18 19 20 26. 4 Conclusiones. 35. A Cálculo de los puntos fijos, caso discreto.. 36. B Cálculo de la discretización del modelo de Lotka-Volterra.. 37. IV.

(7) Índice de figuras 1. 2. 3. 4. 5.. Punto centro . . . Campo Direccional, Campo Direccional, Campo Direccional, Campo Direccional,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . el punto (0, 0) del modelo continuo el punto (0, y) del modelo continuo el punto (x, 0) del modelo continuo punto (x, y) del modelo continuo .. . . . . .. 5 12 13 14 15. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.. Presa y Depredador vr Tiempo. Punto (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . Depredador vr Presa. Punto (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campo Direccional. Punto (0, 0) asintóticamente estable . . . . . . . . . Presa y Depredador vr tiempo. Punto (x, 0) asintóticamente estable . . . Presa vr Depredador. El punto (x, 0) es asintóticamente estable . . . . . Campo direccional, punto (x, 0) es asintóticamente estable . . . . . . . . Presa y depredador vr. tiempo. El Punto (0, y), es asintóticamente estable Depredador vr Presa. Punto (0, y) asintóticamente estable . . . . . . . . Campo direccional, punto (0, y) es asintóticamente estable . . . . . . . . Presa y Depredador vr. tiempo. Punto (x, y) es asintóticamente estable . Presa vr Depredador, el punto (x, y) es asintóticamente estable . . . . . . Campo direccional, punto (x, y) es asintóticamente estable . . . . . . . .. 27 27 28 29 29 30 31 31 32 33 33 34. V. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ..

(8) Introducción Este trabajo de grado tipo monografía se desarrollará con base al artículo DYNAMICS OF A DISCRETE LOTKA-VOLTERRA MODEL escrito por Qamar Din publicado en la Revista SpringerOpen con doi:10.1186/1687-1847-2013-95, en el que se estudia la estabilidad de un sistema discreto de Lotka-Volterra con competencia intraespecie. Al conjunto de ecuaciones, que describe la lucha constante por la supervivencia, entre dos especies que viven en un mismo hábitat, siendo una de ellas el alimento de la otra, se le conoce como modelo Lotka-Volterra o presa-depredador. Este modelo o sistema dinámico, se hace con el objetivo de representar matemáticamente interacciones entre dos o mas especies y cada alteración al modelo provee mas herramientas para entender y analizar esta dinámica. El modelo propuesto por Lotka y Volterra solo tenia en cuenta las especies, con el fin de mejorar, se comenzó a hablar de la tasa de natalidad, tasa de mortalidad, nivel de saturación y otros parámetros para que al representar dicha situaciones fuesen lo mas real posible; como por ejemplo el modelo presa-depredador con competencia intraespecie en el cual existe un término logístico respecto a los miembros de la misma población. En este trabajo se ira desarrollando el modelo conforme se desarrolla la teoría. En el capítulo 1 se explica y analiza el modelo original [1, 7, 8] que esta representado por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, dx = ax − byx dt dy = −cy + dxy dt. ,. también se analiza el modelo con competencia intraespecie [1] que es como sigue dx = ax − byx − ex2 dt dy = −cy + dxy − f y 2 dt. .. después se linealiza el modelo [4] y luego con el análisis de los autovalores se determina VI.

(9) Introducción. VII. si los puntos de equilibrio pueden ser o no estables[5]. Al finalizar el capítulo se explica el método de Euler [9] que se utilizará para luego discretizar el modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie llegando a xn+1 = yn+1 =. αxn −βxn yn 1+γxn δyn +xn yn 1+ηyn. ,. que son las ecuaciones en diferencias racionales [10]. En el capítulo 2 se introducirán conceptos y teoremas necesarios para desarrollar la teoría de ecuaciones en diferencias[2, 3]. Después se linealiza, obtienen y analizan los puntos fijos del modelo de Lotka-Volterra discreto con competencia intraespecie. En el capítulo 3 utilizando Geogebra se harán algunas simulaciones numéricas [11], y se visualiza el comportamiento de los puntos de equilibrio por medio de Pplane para java [6] El último capítulo es para las conclusiones.. VII.

(10) Planteamiento del problema El modelo Lotka-Volterra es utilizado en diferentes aplicaciones; se han propuesto diversas modificaciones y cada una es un modelo diferente. Al trabajar el modelo de forma discreta, se encuentran las ecuaciones en diferencias y de forma análoga a las ecuaciones diferenciales también se aplica la teoría de la estabilidad y surge la pregunta: ¿Bajo qué condiciones los puntos fijos del modelo discreto Lotka-Volterra con competencia intraespecie son puntos localmente asintóticamente estable?. VIII.

(11) Justificación Las ecuaciones diferenciales suelen describir fenómenos de forma continua mientras que las ecuaciones en diferencias describen la evolución de ciertos fenómenos en el transcurso del tiempo discreto. Existen dos maneras de construir modelos de tiempo discreto: directamente usando las propiedades del fenómeno a estudiar o vía discretización a partir de un modelo en tiempo continuo, empleando técnicas tales como el esquema de Euler progresivo, el no estándar u otros esquemas. Teniendo en cuenta que en los cursos de ecuaciones diferenciales no se abordan detalladamente el estudio y el analisis de las ecuaciones en diferencias, se realizará el estudio de la teoria necesaria para comprender la segunda seccion del articulo DYNAMICS OF A DISCRETE LOTKA-VOLTERRA MODEL, en donde se estudia la estabilidad local de los puntos de equilibrio del modelo discreto presa-depredador con competencia intraespecie.. IX.

(12) Objetivos Objetivo General. Analizar la estabilidad local del modelo discreto Lotka-Volterra con competencia intraespecie.. Objetivos Específicos. Recopilar y estudiar la teoría necesaria para desarrollar el contenido del artículo. Obtener y analizar los puntos de equilibrio del sistema. Exponer algunas simulaciones numéricas mediante el programa Geogebra y pplane para java, con el fin de comparar los resultados del análisis del sistema discreto con el modelo continuo.. X.

(13) 1 Preliminares La base de este trabajo es el análisis del modelo de Lotka-Volterra discreto, para ello en este capítulo se realiza una decripción del modelo continuo, se obtienen los puntos de equilibrio del modelo sin competencia intraespecie, se analiza el punto interior y se realiza el mismo proceso para el modelo con competencia. Para realizar el análisis al modelo es fundamental el concepto de punto de equilibrio y estabilidad, a continuación se presentan estas definiciones Definición 1. Sistema Autonomo bidimensional: es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de la forma   dx = F (x, y) dt.  dy dt. =. G(x, y). donde supondremos que F y G son funciones de clase C 1 en todo el espacio. Estas condiciones sobre F y G garantizan la existencia y unicidad de la solución, definida para todo t ∈ R, del problema de valor inicial   dx = F (x, y)x(t ) = x 0 0 dt dy  = G(x, y)y(t ) = y 0 0 dt para cualquier t0 ∈ R y (x0 , y0 ) ∈ R2 . El sistema se denomina autónomo porque la variable independiente t no aparece explícitamente en los segundos miembros de las ecuaciones dadas. Definición 2. Considere un sistema autónomo dx dt dy dt. = F (x, y) = G(x, y). Con una solución en la que x(t) = x∗ y y(t) = y ∗ para todo t ∈ R define únicamente 1.

(14) 1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA. 2. un punto (x∗ , y ∗ ) en el plano de fases y verifica que F (x∗ , y ∗ ) = G(x∗ , y ∗ ) = 0. Se dice entonces que (x∗ , y ∗ ) es un punto crítico o de equilibrio del sistema. Definición 3. Sea (x∗ , y ∗ ) un punto de equilibrio para ẋ = F (x, y) y Entonces se dice que (x∗ , y ∗ ) es. ẏ = G(x, y).. estable si, para cada > 0, existe un δ > 0 tal que siempre que la condición inicial (x0 , y0 ) este en la región y k(x∗ , y ∗ ) − (x0 , y0 )k < δ, entonces k(F (x0 , y0 ), G(x0 , y0 )) − (F (x∗ , y ∗ ), G(x∗ , y ∗ ))k < para todo t ≥ 0. asintóticamente estable si, además de ser estable, existe un δ > 0 tal que siempre que la condición inicial (x0 , y0 ) este en la región Ω con k(x0 , y0 ) − (x∗ , y ∗ )k < δ entonces lı́m k((F (x0 , y0 ), G(x0 , y0 )) − (F (x∗ , y ∗ ), G(x∗ , y ∗ ))k = 0. t→∞. inestable es cualquier otro caso El modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie, es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, así que se linealizará para facilitar el análisis de la estabilidad de sus puntos de equilibrio. Estos puntos serán representados gráficamente. Y para finalizar se explicará el método de Euler para discretizar un modelo continuo.. 1.1 Modelo de Lotka-Volterra El matemático y biólogo italiano Vito Volterra (1860-1940), que nació en Ancona-Italia, y el matemático y físico de nacionalidad estadounidense Alfred J. Lotka (1880-1949), que nació en Lemberg, en el imperio austro-húngaro, hoy Ucrania, son los pioneros en la investigación en lo que hoy se conoce como Biología Matemática. Ambos trabajaron a la vez, pero de forma independiente, en el modelo que se va a estudiar en esta monografía. 2.

(15) 1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA. 3. Este modelo es fruto del trabajo de Volterra, al final de su vida, entre los años 1924 y 1938. El modelo lleva también el nombre de Lotka quien trabajó en problemas de este tipo entre los años 1920 y 1939, pero con resultados más limitados que los de Volterra. Un modelo poblacional es un sistema dinámico, compuesto por una o varias ecuaciones diferenciales, que pretende predecir la evolución temporal en el número de individuos (o su densidad espacial) para un conjunto de especies. Para ello se parte de unas determinadas condiciones iniciales, y se asumen unas reglaModelos que representan la interacción de las especies entre sí y su relación con el ecosistema o medio en el que habitan, en términos de los recursos necesarios para la supervivencia. Un ejemplo claro de modelo poblacional de una sola especie es el relativo al ser humano, cuyos primeros intentos de modelizar se remontan al economista inglés Thomas Malthus, a finales del siglo XVIII. En efecto, en la época actual el ser humano carece de depredadores naturales, y su supervivencia no depende (al menos exclusivamente) de la existencia de presas, sino más bien de la abundancia o escasez de recursos en el ecosistema global terrestre. Los sistema dinámico que describe la interacción de dos especies que coexisten en un ecosistema común son: Interacción presa-depredador, en la que la supervivencia de la especie depredadora está condicionada a la existencia de otra especie que le sirve de presa. Interacción competitiva: dos especies compiten por el mismo recurso o recursos, pero no existe depredación directamente entre ellas. Interacción cooperativa, simbiótica o mutualismo: la supervivencia de cada especie se ve favorecida por la existencia de la otra.. I Modelo presa-depredador de Lotka-Volterra sin competencia intraespecie. El caso de dos especies, que se llamarán presa (x) y depredador (y), que coexisten en un ecosistema común donde x y y son el número de individuos de las especies. El modelo propuesto inicialmente por Volterra se expresa de la siguiente forma: dx dt dy dt. = x(a − by) = y(−c + dx). (1). donde a, b, c, d son constantes positivas. El significado del modelo se resume como sigue: 3.

(16) 1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA. 4. En ausencia de depredadores, y = 0, la ecuación para la presa se reduce a dx = ax, dt siendo a la constante de crecimiento intrínseca para x. Esta ecuación da lugar a un crecimiento exponencial. En ausencia de presas, x = 0, la ecuación para el depredador toma la forma dy = dt −cy que da lugar a un decrecimiento exponencial y posterior extinción (colapso) de la población. c es por tanto la tasa de decrecimiento intrínseca de y. La constante b > 0, que corresponde con el término cruzado −bxy en la primera ecuación, da cuenta de que las interacciones entre las dos especies, que se suponen proporcionales al producto xy de ambas poblaciones, son desfavorables para la presa (de ahí el signo negativo). Análogamente, la constante d > 0 corresponde al término cruzado dxy en la segunda ecuación, pone en evidencia que los encuentros entre individuos de ambas especies son favorables al depredador. Otra forma de interpretar el sistema (1) es por medio de las tasas de crecimiento percápita. En efecto, dx y dy son las tasas de crecimiento absolutas para presa y depredador dy dt (x e y respectivamente). Por tanto x1 dx y y1 dy son las tasas de crecimiento percápita (es dt dt decir, por número de individuos) para las dos especies. Así, el sistema (1) toma la forma: 1 x 1 y. dx dt dy dt. = a − by = −c + dx. en la que los miembros de la derecha de cada ecuación son funciones lineales en las variables x e y. En general, un sistema que modele la interacción de dos o más especies, sólo tiene sentido ecológico si x e y son funciones no negativas del tiempo. El único punto crítico de 1 en C1 = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} viene dado por: x(a − by) = 0 =⇒ y = y(−c + dx) = 0 =⇒ x =. a b c d. y lo denotamos por F (x̄, ȳ) = ( dc , ab ). Este punto crítico es un centro. Por tanto las trayectorias en el mapa de fases son curvas cerradas alrededor del punto crítico, lo cual corresponde a soluciones periódicas en el tiempo para x(t) e y(t) [1].. 4.

(17) 1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA. 5. A continuación se presenta un ejemplo y se observará gráficamente mediante el software pplane. Tomando a = 0,4, b = 0,01, c = 0,3, d = 0,005 dx dt dy dt. = (0,4 − 0,01y)x = (0,005x − 0,3)y. así el punto crítico es dc , ab = (60, 40) el cual es un centro Esto se muestra en la Figura 1. Figura 1: Punto centro del sistemas (2). 5. (2).

(18) 1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA. 6. II Modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie. La ecuación dx = ax − bxy presenta una explosión en la población de presas en el caso dt particular de ausencia de depredadores. Para remediar este comportamiento se introduce un término logístico en la ecuación para x, que da cuenta de la competencia intraespecie cuando el número de presas se hace arbitrariamente grande. Aunque la población de depredadores no presenta en ningún caso el crecimiento exponencial, se puede introducir también el término logístico para modelar la competencia intraespecie de los depredadores. De esta forma la ecuación diferencial toma la forma: dx dt dy dt. = ax − bx2 − cxy = mxy + ny − py 2. (3). con b > 0 y p ≥ 0. Solución analítica de x = ax − bxy − ex2 cuando y = 0 toma la forma dx dt dx dt. = ax − ex2 = ax(1 − ae x). siendo a > 0 una constante que recibe el nombre de tasa de crecimiento intrínseca, es decir, la tasa de crecimiento en ausencia de factores limitantes, y K = ae > 0 la capacidad límite o de soporte, también llamado nivel de saturación, que es la máxima población x(t) que se puede sostener o soportar a medida que avanza el tiempo. La solución expresada de forma analítica se halla así: como dx = ax − Ka x2 es una ecuación tipo Bernoulli entonces sea z = x1 dt = ax − Ka x2 = xa − Ka z = −x−2 x0 −z 0 − az = − Ka dx dt x0 x2 0. Se obtiene una ecuación lineal. z 0 + az = z 0 exp(at) + az exp(at) =. 6. a K a K. exp(at).

(19) 1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA. 7. Luego exp(at)) = Ka exp(at) ´ a z exp(at) = exp(at)dt K 1 z exp(at) = K exp(at) + C C z = K1 + exp(at). d (z dt. exp(at)+KC K exp(at) exp(at)+KC K exp(at) K exp(at) exp(at)+KC. z= 1 x. =. x(t) =. K x(0) = 1+KC (1 + KC)x0 = K 0 C = K−x Kx0. La solución analítica para x(0) = x0 es x(t) = x(t) =. x(t) =. K exp(at) K−x exp(at)+K( Kx 0 ) 0 K exp(at) x0 exp(at)+K−x0 x0. Kx0 x0 + exp(−at)(K − x0 ). De la misma forma se halla la solución analítica para y(t) = −cy + dxy + f y 2 cuando x=0 y(t) = −cy + f y 2 = −cy(1 − fc y) con K = fc > 0 Que es una ecuación logística con la tasa de crecimiento intrínseco y capacidad de soporte negativas. Su solución analítica esta dada por y(t) =. Ky0 (K − y0 ) exp(at) + y0. Puntos de equilibrios del modelo. A continuación se hallaran los puntos críticos del modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie. 7.

(20) 1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN.. 8. x̊ = ax − bx2 − cxy ẙ = mxy + ny − py 2. (4). donde a, b, c, m, n, p ∈ R ax − bx2 − cxy = 0 x(a − bx − cy) = 0 esto es cero cuando x = 0 o a − bx − cy = 0 despejando x se obtiene x=. −cy + a . b. De forma análoga se obtiene y cuando toma el valor de cero; y = 0 o y = Ahora reemplazando x y y en cada ecuación se obtiene x=. pa−cn pb+cm. mx+n . p. ma+bn bp+mc. y y=. pa−cn ma+bn , bp+mc ). así los puntos críticos son P0 = (0, 0), P1 = ( ab , 0), P2 = (0, np ) y P3 = ( pb+cm A continuación se enuncia y demuestra el teorema de linealización (de forma continua) para modelos continuos tomado de [4] y en el próximo capítulo se utiliza este mismo para linealizar el modelo discreto, lo cual se puede hacer porque el modelo cumple las hipótesis del teorema.. 1.2 Teorema de linealización. Teorema 4. Sea F (x) = (F1 (x), ..., Fn (x)) de clase C 1 en una región Ω de Rn . Entonces F tiene una aproximación lineal con respecto a la base estándar en Rn que es   J = . ∂F1 ∂ x1. .. .. ∂Fn ∂x1. ∂F1 ∂xn. ···. .. .. ··· ···. ∂Fn ∂xn.     x0 =(x01 ,...,x0n ). Demostración. Sea L : Rn → Rn una transformación lineal de F definida por J se prueba que F (X) − F (X0 ) − L(X − X0 ) →0 kx−x0 k→0 kX − X0 k lı́m. 8.

(21) 1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN.. 9. con    L=J  .   L(x − x0 ) =  . L(x − x0 ) =. ∂F1 ∂ x1. .. .. ∂Fn ∂x1. lı́m. kx−x0 k→0. x0n.      . . ∂F1 ∂xn. ··· ··· ···. ∂Fn ∂xn. 2. 1. ∂xi. .        . .. .. n X ∂Fk (x0 , ..., x0 ) i=1. . x01 x02 .. .. x0. x1 − x01 x2 − x02 .. . xn − x0n.      . (xi − x0i ) 1 ≤ k ≤ n. Fn (x) − Fn (x0 ) − Ln (x − x0 ) F1 (x) − F1 (x0 ) − L1 (x − x0 ) ,··· , →0 kx − x0 k kx − x0 k " lı́m. Fk (x) − Fk (x0 ) −. Pn. i=1. ∂Fk (x01 ,...,x02 ) (xi ∂xi. kx − x0 k. kx−x0 k→0. − x0i ). # →0. Fk (x) − Fk (x0 ) = Fk (x1 , ..., xn ) − Fk (x01 , ..., x0n ) Fk (x1 , x2 , x3 , ..., xn−1 , xn ) − Fk (x01 , x2 , x3 ..., xn−1 , xn )+ Fk (x01 , x2 , x3 ..., xn−1 , xn ) − Fk (x01 , x02 , x3 ..., xn−1 , xn )+ Fk (x01 , x02 , x3 ..., xn−1 , xn ) − Fk (x01 , x02 , x03 ..., xn−1 , xn )+ .. . Fk (x01 , x02 , x03 , ..., x0n−1 , xn ) − Fk (x01 , x02 , x03 , ..., x0n−1 , x0n ) por el teorema del valor medio así ∂Fk ∂x1. f (b)−f (a) b−a. = f 0 (c), tomando c = b + θ(a − b) con 0 < θ < 1. ((x01 , x2 , x3 , ..., xn−1 , xn ) + θ(x1 − x01 , 0, 0, ..., 0, 0)) (x − x0 ) ∂Fk ((x01 + θ(x1 − x01 , x2 , x3 , ..., xn−1 , xn )) (x − x0 ) ∂x1. 9.

(22) 1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN.. 10. reemplazando Fk (X) − Fk (X0 ) =. n X ∂Fk (x0 , ..., xi + θi (xi − x0 ), xi+1 , ..., xn )(xi − x0 ) 1. i. i. ∂xi. i=1. así. P lı́m. ∂Fk (x01 ,...,xi +θi (xi −x0i ),xi+1 ,...,xn )(xi −x0i ) n i=1 ∂xi. kx−x0 k→0. . −. ∂Fk (x01 ,...,x02 ) (xi i=1 ∂xi. Pn. −. x0i ). kx − x0 k. por simplicidad se escribirá x0i ). Pn. i=1. ∂Fk (x01 ,...,xi +θi (xi −x0i ),xi+1 ,...,xn )(xi −x0i ) ∂xi. como. Pn. i=1.  →0. ∂Fk (...,θi ,...) (xi − ∂xi. " n # n 0 0 X X ∂Fk (..., θi , ...) 1 ∂F (x , ..., x ) k 1 2 (xi − x0i ) − (xi − x0i ) kx − x0 k i=1 ∂xi ∂x i i=1 n X (xi − x0i ) ∂Fk (..., θi , ...) ∂Fk (x01 , ..., x02 ) lı́m →0 − kx−x0 k→0 kx − x0 k ∂xi ∂xi i=1 Pero el valor absoluto de esta cantidad no excede a s (x − x0i )2 <1 (x1 − x01 )2 + · · · + (xn − x0n )2 k que tiende a 0 cuando kx − x0 k → 0 ya que ∂F es continua. ∂xi Utilizando el teorema anterior, la matriz Jacobiana del modelo de Lotka-Volterra con competencia intraespecie (4) es. " J=. a − 2bx − cy −cx my mx + n − 2py. #. luego x̊ ẙ. ! ≈J. x y. ! .. (5). Para el análisis de estabilidad del modelo (4) se usa el siguiente teorema que solo se enunciará. Teorema 5. Teorema de linealización de Liapunov y Poincaré 10.

(23) 1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN.. 11. El punto crítico (x∗ , y∗ ) del sistema (5) es asintóticamente estable si y sólo si todos los autovalores de la matriz J poseen parte real negativa. El punto crítico (x0 , y0 ) del sistema (5) es inestable si y sólo si la matriz J del sistema posee un autovalor con parte real positiva . Más aún, si los autovalores de A son distintos entre sí y distintos de cero se puede decir lo siguiente: 1. Si λ1 < λ2 < 0, entonces (x0 , y0 ) es un nodo asintóticamente estable. 2. Si λ1 > λ2 > 0, entonces (x0 , y0 ) es un nodo inestable. 3. Si λ1 < 0 < λ2 , entonces (x0 , y0 ) es un punto de silla. 4. Si λ1 no es real y Re(λ1 ) < 0, entonces (x0 , y0 ) es un foco asintóticamente estable. 5. Si λ1 no es real y Re(λ1 ) > 0, entonces (x0 , y0 ) es un foco inestable. Cuando el punto (x0 , y0 ) del sistema lineal (5) es estable, pero no asintóticamente estable, es decir, cuando la matriz Jacobiana J posee un par de autovalores complejos conjugados con parte real nula, o cuando det(J) = 0 y J no posee un autovalor real positivo, el proceso de linealización no proporciona información sobre la estabilidad del punto crítico (x0 , y0 ) para el sistema (5). Utilizando el teorema anterior se analizan los puntos del modelo Lotka-Volterra. Sea (0, 0) el primer punto. " J(0, 0) =. a 0 0 n. #. así los valores propios serán λ1 = a y λ2 = n Como las constantes en este modelo son positivas, de acuerdo a lo anterior el punto (0, 0) es inestable y no hay mas posibilidades. Así, que sin importar los parámetros, el punto (0, 0) va a ser inestable. En la figura (2) se representa el plano de fases cerca al punto (0, 0) de siguiente modelo dx dt dy dt. = 0,4x − 0,01x2 − 0,3xy = 0,005xy + y − 0,9y 2 11. (6).

(24) 1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN.. 12. La matriz Jacobiana asociada al punto es ". 0,4 0 0 1. J(0, 0) =. # .. Como 0,4 > 0 y 1 > 0 el punto es inestable.. Figura 2: Nodo inestable del sistema (6). . La matriz Jacobiana del modelo evaluada en el punto 0, . n J 0, p. ". =. cn p mn p. a−. luego sus valores propios son 12. 0 −n. #. n p. . es.

(25) 1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN.. λ1 =. 13. ap − cn ∧ λ2 = −n p. por el teorema anterior para que el punto fuese estable ap < cn. En la figura (3) se representa un modelo que cumple esta condición. dx dt dy dt. . donde el punto 0,. n p. . = 0,4x − 0,01x2 − 0,3xy = 0,5xy + 0,7y − 0,2y 2. (7). = (0, 3,5) es asintóticamente estable estable.. Figura 3: El punto asintóticamente estable del modelo 7. La matriz Jacobiana del modelo evaluada en el punto 13. a ,0 b. . es.

(26) 1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN.. J. a b. ,0 =. 14 ". −a 0. − acb am +n b. #. luego sus valores propios son am + bn ∧ λ2 = −a b por el teorema anterior para que el punto fuese estable am < −bn. Como se supuso que todos los parámetros son positivos, no hay forma que esto suceda así que este punto será un punto silla, ya que λ2 < 0 < λ1 . En la figura (4) se representa un modelo λ1 =. dx dt dy dt. = 0,4x − 0,01x2 − 0,3xy = 0,5xy + 0,7y − 0,2y 2. en el cual el punto (40, 0) es un punto silla.. Figura 4: Punto silla del modelo 8 14. (8).

(27) 1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN.. 15. Sea el modelo dx dt dy dt. = x − x2 − xy = −2xy + 4y − 7y 2. (9). cuyos autovalores de la matriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio (0,6, 0,4) son λ1 = −3 y λ2 = −0,4 Así el punto es asintóticamente estable. Figura 5: Punto asintóticamente estable de modelo 9. 15.

(28) 1.3 DISCRETIZACIÓN DEL MODELO LOTKA-VOLTERRA.. 16. 1.3 Discretización del modelo Lotka-Volterra. Con el fin de discretizar el modelo de Lotka-Volterra intraespecie se explicara el método de Euler para luego aplicarlo y obtener el modelo discreto que se analizara en el siguiente capítulo.. I Método de Euler Se explicará el método de Euler basando en el texto [9] Este método tiene por objeto obtener una aproximación de un problema bien planteado de valor inicial dy = f (t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α (10) dt En la practica, no se obtendrá una aproximación continua a la solución y(t); por el contrario, se generarán aproximaciones a esa solución en varios valores, llamados puntos de red, en el intervalo [a, b]. Una vez obtenida la aproximación en los puntos, podemos obtener por interpolación la solución aproximada en otros puntos del intervalo. En primer lugar, estipulamos que los puntos de red tienen una distribución uniforme en todo el intervalo [a, b]. Garantizamos esta condición al seleccionar un entero positivo N y los puntos de red ti = a + ih, para cada i = 0, 1, 2, ..., N. La distancia común entre los puntos h = (b − a)/N recibe el nombre de tamaño de paso. Utilizaremos el teorema de Taylor para derivar el método de Euler. Supongamos que y(t), la solución única de la ecuación (10), tiene dos derivadas continuas en [a, b], de modo que para cada i = 0, 1, 2, ..., N − 1, y(ti+1 ) = y(ti ) + (ti+1 − ti )y 0 (ti ) +. (ti+1 − ti )2 y”(ξi ), 2. para algún número ξi en (ti , ti+1 ). Si h = ti+1 − ti , entonces y(ti+1 ) = y(ti ) + hy 0 (ti ) +. h2 y”(ξi ). 2. y, como y(t) satisface la ecuación diferencial (10) y(ti+1 ) = y(ti ) + hf (ti , y(ti )) + 16. h2 y”(ξi ). 2.

(29) 1.3 DISCRETIZACIÓN DEL MODELO LOTKA-VOLTERRA.. 17. El método de Euler se construye wi ≈ y(ti ) para cada i = 0, 1, 2, ..., N, al eliminar el término restante. Por tanto, w0 = α,. wi+1 = wi + hf (ti , wi ), para cada i = 0, 1, 2, ..., N − 1.. (11). La ecuación (11) se le llama ecuación de diferencias asociadas al método de Euler.. II Discretización de modelo Utilizando el método descrito anteriormente, es decir el método de Euler, donde el término x2n se reemplaza por xn xn+1 obtenemos xn+1 −xn h yn+1 −yn h. = axn − bxn yn − exn xn+1 = cyn − dyn xn − f yn yn+1. al simplificar se verán las ecuaciones en diferencias racionales xn+1 = yn+1 =. αxn −βxn yn 1+γxn δyn +xn yn 1+ηyn. Donde los parámetros α, β, γ, δ, , η ∈ R+ . En el siguiente capítulo se hará el análisis de estabilidad de los puntos fijos de este sistema.. 17.

(30) 2 Modelo Discreto. Como su nombre lo indica en este capítulo se abarca el modelo discreto de Lotka-Volterra con competencia intraespecie, el cual se obtuvo al final del capítulo anterior, para su análisis se utilizan definiciones y teoremas relativos a las ecuaciones en diferencias. Al aplicar esta teoría al modelo de forma general se obtienen resultados sobre sus puntos fijos, matemáticamente hablando se pueden analizar, aunque ecológicamente solo tiene sentido si x > 0 y y > 0.. 2.1 Puntos fijos del modelo discreto. La teoría de la estabilidad para ecuaciones en diferencias, al igual que la de ecuaciones diferenciales, se basa en el estudio de sus puntos fijos. Definición 6. Considérese un sistema discreto dinámico de dos dimensiones de la forma xn+1 = f (xn , yn ) yn+1 = g(xn , yn ), con n = 1, 2, . . .. (12). donde f : I × J → J y g : I × J → J son funciones continuamente diferenciable e I, J son algunos intervalos de números reales. Además, una solución {(xn , yn )}∞ n del sistema (12) esta únicamente determinado por la condición inicial (x0 , y0 ) ∈ I × J. Un punto fijo de (12) es un punto (x∗ , y ∗ ) que satisface x∗ = f (x∗ , y ∗ ) y ∗ = g(x∗ , y ∗ ) Los puntos fijos de este sistema se hallan x∗ = y∗ =. αx∗ −βx∗ y ∗ 1+γx∗ δy ∗ +x∗ y ∗ 1+ηy ∗. 18.

(31) 2.2 TEOREMA RESULTADO DE LA LINEALIZACIÓN.. 19. Despejando x∗ y y ∗ se obtienen P1 = (0, 0) P2 = ( −1+α , 0) γ ) P3 = (0, −1+δ η , γ(−1+δ)+(−1+α) ) P4 = ( β−βδ+(−1+α)η β+γη β+γη El punto P4 es el único punto fijo positivo del sistema, si α > 1, δ ≤ 1, > . α > 1, δ > 1, η > γ−γδ α−1. γ−γδ α−1. o. Definición 7. Sea (x∗ , y ∗ ) un punto fijo del sistema (12). Un punto de equilibrio o fijo (x∗ , y ∗ ) es estable si para cada > 0 existe δ > 0 tal que para cada condición inicial (x0 , y0 ) se cumple que k(x0 , y0 ) − (x∗ , y ∗ )k < δ entonces k(xn , yn ) − (x∗ , y ∗ )k < para todo n > 0, donde k, k es la norma euclidiana en R2 Un punto fijo (x∗ , y ∗ ) es inestable si no es estable. Un punto fijo (x∗ , y ∗ ) es asintóticamente estable si existe η > 0 tal que k(x0 , y0 ) − (x∗ , y ∗ )k < η y (xn , yn ) → (x∗ , y ∗ ) cuando n → ∞. Un punto fijo (x∗ , y ∗ ) se dice atractor global si (xn , yn ) → (x∗ , y ∗ ) cuando n → ∞. Un punto fijo (x∗ , y ∗ ) se dice atractor global asintótico si es atractor global y estable.. 2.2 Teorema resultado de la linealización. Teorema 8. Suponga que f es continuamente diferenciable en una vecindad abierta G ⊂ Rk+1 de (x∗ , x∗ , x∗ , . . . , x∗ ), donde x∗ es un punto fijo de x(n + 1) = f (x(n), x(n − 1), . . . , x(n − k)).. (13). Entonces las siguientes proposiciones son ciertas. Si todas las raíces características de (13) se encuentran dentro del disco unitario en el plano, entonces, el punto de equilibrio x∗ de (13) es localmente asintóticamente estable. Si al menos una raíz característica de (13) esta fuera del disco unitario en el plano, el punto de equilibrio es inestable.. 19.

(32) 2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA.. 20. Demostración. (Ver en [2]) ⇒Puesto que el punto es asintóticamente estable, existe un entorno G al punto tal que si x0 ∈ G y xm = Am x0 entonces xm → 0 cuando m → ∞. En particular, si v0 ∈ G es un autovector de A, entonces vm = Am v0 = λm v0 , es decir, kvm k = |λ|m kv0 k . Y como kvm k → 0 cuando m → ∞, necesariamente se ha de tener |λ| < 1, para todo autovalor. ⇐Si |λ| < 1 para todo autovalor, entonces descomponemos A en su forma canónica de Jordan: A = P −1 JP y sabemos que se cumple: Am = P −1 J m P Como cada autovalor tiene módulo |λ| < 1, todos los elementos de J m toman la forma α(m) |λ|m−n , donde α(m) es un coeficiente que depende polinómicamente de m. La suma de los módulos de los elementos de una fila o columna se comporta como β(m)|λ|m−n → 0 cuando m → ∞. En otras palabras, unas de las normas subordinadas de la matriz A es menor que 1, y esto significa que Am tiende a la matriz nula cuando m → ∞, y se sigue inmediatamente que xm = Am x0 → 0 cuando m → ∞ para cualquier x0 ∈ G Para la segunda parte véase la misma referencia. . 2.3 Análisis del modelo discreto de Lotka-Volterra. Proposición 9. Sea α < 1 y δ < 1 entonces el único punto localmente asintótico estable es E0 = (0, 0). Demostración. La matriz Jacobiana del sistema es " α−βy(n). −βx(n) 1+γx(n) δ−x(n) (1+ηy(n))2. (1+γx(n))2 −y(n) 1+ηy(n). # (14). Esta matriz evaluada en el punto E0 es " J(E0 ) =. 20. α 0 0 δ. #.

(33) 2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA.. 21. y el polinomio característico relacionado a la matriz es λ2 − λ(α + δ) + αδ.. Luego los autovalores son λ1 = α y λ2 = δ como α < 1 y δ < 1 entonces por el teorema (8) el punto E0 = (0, 0) es localmente asintótico estable. , 0 es El Jacobiano evaluado en el punto E1 = −1+α γ " J(E1 ) =. β−αβ αγ (α−1)+δγ γ. 1 α. 0. luego los autovalores asociados son λ1 = α1 y λ2 = λ1 > 1 así por el teorema (8) E1 es inestable. Ahora sea. " J(E2 ) =. β−βδ+αη η (−1+δ) δη. 0. # , γδ−+α γ. como α < 1 entonces. #. 1 δ. la matriz Jacobiana evaluada en el punto E2 = 0, −1+δ . η Los autovalores asociados a la matriz son λ1 = el teorema (8) el punto E2 es inestable.. 1 δ. y λ2 =. β−βδ+αη η. como δ > 1 por. Proposición 10. . −1+α , entonces el punto de equilibrio E = , 0 es a) Si α > 1, δ < 1 y < γ−γδ 1 α−1 γ localmente asintótico estable. −1+δ b) Si α < 1 , δ > 1 entonces el punto de equilibrio E2 = 0, η es localmente asintótico estable. Demostración. a) La matriz (14) evaluada en el punto E0 es " J(E0 ) =. α 0 0 δ. #. y el polinomio característico relacionado a la matriz es λ2 − λ(α + δ) + αδ. Luego los autovalores son λ1 = α y λ2 = δ 21.

(34) 2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA.. 22. como α > 1 y δ < 1 entonces por el teorema (8) el punto E0 = (0, 0) es inestable. , 0 es El Jacobiano evaluado en el punto E1 = −1+α γ ". 1 α. J(E1 ) =. 0. β−αβ αγ (α−1)+δγ γ. # ,. luego los autovalores asociados son λ1 = como α > 1 entonces λ1 < 1 y asintótico estable.. 1 γδ − + α y λ2 = α γ. γδ−+α γ. Ahora sea. < 1 así por el teorema (8) E1 es localmente. " J(E2 ) =. β−βδ+αη η (−1+δ) δη. 0. #. 1 δ. . la matriz Jacobiana evaluada en el punto E2 = 0, −1+δ η Los autovalores asociados a la matriz son λ1 =. 1 β − βδ + αη y λ2 = , δ η. como λ1 > 1 por el teorema (8) el punto E2 es inestable. Así el único punto de equilibrio bajo estas condiciones es E1 . b) La matriz 14 evaluada en el punto E0 es ". α 0 0 δ. #. y el polinomio característico relacionado a la matriz es λ2 − λ(α + δ) + αδ. cuyos autovalores son λ1 = α y λ2 = δ como α < 1 y δ > 1 entonces por el teorema (8) el punto E0 = (0, 0) es inestable.. 22.

(35) 2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA. El Jacobiano evaluado en el punto E1 = ". 1 α. 0. . . −1+α ,0 γ. β−αβ αγ (α−1)+δγ γ. 23. es. # ,. luego los autovalores asociados son λ1 =. γδ − + α 1 y λ2 = α γ. como α < 1 entonces λ1 > 1 y así por el teorema (8) E1 es inestable. Ahora sea. ". β−βδ+αη η (−1+δ) δη. 0. #. 1 δ. la matriz Jacobiana evaluada en el punto E2 = 0, −1+δ . Los autovalores asociados η a la matriz son 1 β − βδ + αη λ1 = y λ2 = <1 δ η como λ1 < 1 por el teorema (8) el punto E2 es inestable. Proposición 11. Sea α > 1, δ > 1, y η > −β+βδ , entonces el único punto de equilibrio −1+α η(α−1)−βδ+β γ(δ−1)+(α−1) E3 = ( γη+β , ) es localmente asintótico estable si γη+β Ω < (β(γ − γδ + ) + αγη)2 (γδη + (β + (−1 + α)η)) Donde. β 3 (γ 2 δ 3 + αγδ 2 + (5α + δ))2 )+ Ω = β 2 (γ 3 δ 2 + γ(1 + α(5 + 2α + 7δ))2 + 3α2 3 )η+ βγ(γ 2 (2α + δ 2 ) + αγ(7 + (3 + α)δ) + (1 + α2 + α3 )2 )η 2 + αγ 2 (γ(1 + α + δ) + α)η 3 Demostración. La matriz Jacobiana evaluada en el punto E3 = ( η(α−1)−βδ+β , γ(δ−1)+(α−1) ) γη+β γη+β es " # (βε+γη) β(αη+β(1−δ)−η) − (αγη+β(ε−γ(δ−1))) (αγη+β(ε−γ(δ−1))) ε(αε+γ(δ−1)−ε) − (αεη+βε+η(γδ−ε)) − (αεη+βε(1−2δ)−η(γδ+ε))(βε+γη) (αεη+βε+η(γδ−ε))2. El polinomio característico relacionado con la matriz Jacobiana evaluado en el punto E3 23.

(36) 2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA. es λ2 − (A − B + C)λ + D − E + F − G + H. donde A= B= C= D= E= F = G= H=. α(βε+γη)2 , (αγη+β(ε−γ(δ−1)))2 β(αε+γ(δ−1)−ε)(βε+γη) , αγη+β(ε−γ(δ−1))2 −(αεη+βε(1−2δ)−η(γδ+ε))(βε+γη) , (αεη+βε+η(γδ−ε))2 αδ(βε+γη)4 , (αγη+β(ε−γ(δ−1)))2 (αεη+βε+η(γδ−ε))2 3 βδ(αε+γ(δ−1)−ε)(βε+γη) , (αγη+β(ε−γ(δ−1)))2 (αεη+βε+η(γδ−ε))2 αε(αη+β(1−δ)−η)(βε+γη)3 , ((αγη+β(ε−γ(δ−1)))2 (αεη+βε+η(γδ−ε))2 ) βε(αε+γ(δ−1)−ε)(αη+β(1−δ)−η)(βε+γη)2 , ((αγη+β(ε−γ(δ−1)))2 (αεη+βε+η(γδ−ε))2 ) (βε+γη) , (αεη+βε+η(γδ−ε)). Las raíces del polinomio característico son λ1, 2 =. A−B+C ±. p. (A − B + C)2 − 4(D − E + F − G + H) 2. Como para que el punto sea asintóticamente estable es necesario que |λ| < 1 A−B+C ±. p (A − B + C)2 − 4(D − E + F − G + H) <1 2. Ahora trabajando la desigualdad a derecha e izquierda tenemos −2 −2 − (A − B + C) 2 (−2 − (A − B + C)) 4 + 4(A − B + C) + (A − B + C)2 4 + 4(A − B + C) + (A − B + C)2 4 + 4(A − B + C) 1 + (A − B + C). < < < < < < <. p A − B + C + (A − B + C)2 − 4(D − E + F − G + H) p (A − B + C)2 − 4(D − E + F − G + H) (A − B + C)2 − 4(D − E + F − G + H) (A − B + C)2 − 4(D − E + F − G + H) (A − B + C)2 − 4(D − E + F − G + H) −4(D − E + F − G + H) −(D − E + F − G + H). y. A−B+C +. p (A − B + C)2 − 4(D − E + F p (A − B + C)2 − 4(D − E + F (A − B + C)2 − 4(D − E + F (A + B + C)2 − 4(D + E + F (A − B + C)2 − 4(D − E + F −4(D − E + F −(D − E + F. − G + H) − G + H) + G + H) − G + H) − G + H) − G + H) − G + H). 24. < < < < < < <. 2 2 − (A − B + C) 2 (2 − (A + B + C)) 4 − 4(A − B + C) + (A − B + C)2 4 − 4(A − B + C) + (A − B + C)2 4 − 4(A − B + C) 1 − (A − B + C). 24.

(37) 2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA.. 25. así |−(D + E + F + G + H) − 1| < −(A + B + C). Luego |λ| < 1 cuando (A − B + C) < 1. β 3 (γ 2 δ 3 + αγδ 2 + (5α + δ))2 )+ β 2 (γ 3 δ 2 + γ(1 + α(5 + 2α + 7δ))2 + 3α2 3 )η+ (A−B+C)(αγη+β(ε−γ(δ−1)))(αεη+βε+η(γδ−ε))2 = βγ(γ 2 (2α + δ 2 )+ αγ(7 + (3 + α)δ) + (1 + α2 + α3 )2 )η 2 + αγ 2 (γ(1 + α + δ) + α)η 3. entonces (A − B + C) < (αγη + β(ε − γ(δ − 1)))(αεη + βε + η(γδ − ε))2 así queda probado que el punto E4 es localmente asintótico estable si Ω<(αγη+β(ε-γ(δ-1)))(αεη+βε+η(γδ-ε))2 . En el siguiente capítulo se harán algunos ejemplos en Geogebra con el fin de evidenciar gráficamente estas proposiciones.. 25.

(38) 3 Simulación Numérica. En esta parte, se representaran ejemplos de las proposiciones del capítulo anterior, de las siguientes tres maneras: ? presa y depredador vr tiempo, en esta gráfica se evidencia que la solución de las ecuaciones en diferencias esta dada por sucesión de puntos. ? presa vr depredador. ? El campo direccional de las ecuaciones y se señalan los cuatro puntos fijos (en rojo). Sea xn+1 = yn+1 =. 0,5xn −0,7xn yn 1+2,3xn 0,7yn +4,2xn yn 1+6,8yn. (15). con condiciones iniciales x0 = 0, 1 y y0 = 0, 1. Se observa que el punto (0, 0) es asintóticamente estable.. 26.

(39) Simulación.. 27. Figura 6: Punto (0, 0) es asintóticamente estable del modelo (15).. Figura 7: Punto (0, 0) asintóticamente estable. 27.

(40) Simulación.. 28. Figura 8: Campo Direccional. Punto (0, 0) asintóticamente estable Tomando α = 1, 5 y δ = 0, 5 el punto (x, 0) es asintóticamente estable en el sistema xn+1 =. 1, 5xn − 0, 7xn yn 1 + 2, 3xn. yn+1 =. 0, 5yn + 2xn yn 1 + 6, 8yn. con condiciones iniciales x0 = 0, 1 y y0 = 0, 1 si < γ−γδ = 2, 3. α−1 Entonces el punto α−1 , 0 = (217391304, 0) es asintóticamente estable. γ. 28. (16).

(41) Simulación.. 29. Figura 9: Punto (x, 0) asintóticamente estable del modelo (16). Figura 10: Presa vr Depredador. El punto (x, 0) es asintóticamente estable. 29.

(42) Simulación.. 30. Figura 11: Campo direccional, punto (x, 0) es asintóticamente estable Con α = 0, 5 y δ = 1, 5 se tiene xn+1 = yn+1 =. 0,5xn −0,7xn yn 1+2,3xn 1,5yn +2xn yn 1+6,8yn. con condiciones iniciales x0 = 0, 1 y y0 = 0, 1 el punto de equilibrio es (0, −0, 073529412). 30. (17) . 0, −1+δ η. . =.

(43) Simulación.. 31. Figura 12: Punto (0, y), asintóticamente estable en el modelo (17). Figura 13: Depredador vr Presa. Punto (0, y) asintóticamente estable del modelo (17). 31.

(44) Simulación.. 32. Figura 14: Campo direccional, punto (0, y) es asintóticamente estable Como se ve en las siguientes gráficas, que representan el modelo con α = 2, 5 y δ = 2, 7. xn+1 =. 2, 5xn − 0, 7xn yn 1 + 2, 3xn. yn+1 =. 2, 7yn + 4, 2xn yn 1 + 6, 8yn. (18). cuyas condiciones iniciales son x0 = 0, 84 y y0 = 0, 5 El punto de equilibrio (x∗ , y ∗ ) = (0, 484930032, 0, 549515608) es asintótiamente estable.. 32.

(45) Simulación.. 33. Figura 15: El punto (x, y) es asintóticamente estable el modelo (18). Figura 16: Presa vr Depredador, el punto (x, y) es asintóticamente estable. 33.

(46) Simulación.. 34. Figura 17: Campo direccional, punto (x, y) es asintóticamente estable. 34.

(47) 4 Conclusiones 1. Se ha supuesto que el tamaño del paso (h) en el método de Euler es tan pequeño como se quiera, el autor nunca lo menciona pero los parámetros del modelo discretizado son factor de h. 2. El autor del artículo analiza el punto positivo (o punto interior)con ayuda del teorema de Rouche, en este trabajo se realiza el mismo análisis pero con el método tradicional para dicho punto, (hallar el polinomio característico, sus raíces y observar cuando son menores que 1). Llegando a la misma conclusión, esto se realiza con el fin de observar los dos métodos. 3. Al hacer la comparación entre el modelo continuo y el discreto, se puede observar que tienen la misma cantidad de puntos críticos (o fijos) y el proceso utilizados para evaluarlos y analizarlos es similar, también se concluye que en el modelo continuo los puntos de equilibrio (0, 0) y (x, 0) no pueden ser asintóticamente estable mientras que en el modelos discreto, eligiendo los parámetros adecuados cualquiera de los cuatro puntos puede ser asintóticamente estable.. 35.

(48) A Cálculo de los puntos fijos, caso discreto. Obtenemos los puntos fijos así αx∗ −βy ∗ x∗ 1+γx∗ ∗ ∗. x∗ = x∗ (1 + γx∗ ) = x∗ =. y∗ = y ∗ (1 + ηy ∗ ) = y∗ =. (α − βy )x ∗. α−βy −1 γ. δy ∗ +x∗ y ∗ 1+ηy ∗ ∗ ∗. (δ + x )y δ+x∗ −1 η. reemplazando x∗ en y ∗ y viceversa tenemos ∗. x =. α−β. x∗ =. . δ+x∗ −1 η. −1. ∗. y =. γ η(α−1)−βδ+β γη+β. y∗ =. δ+. . α−βy ∗ −1 γ. . −1. η γ(δ−1)+(α−1) γη+β. El punto de equilibrio trivial O = (0, 0) es un punto fijo. Si x∗ = 0 entonces y ∗ = Si y ∗ = 0 entonces x∗ =. δ ( δ−1 η ) 1+η ( δ−1 η ) α( α−1 γ ) 1+γ ( α−1 γ ). así y ∗ =. δ−1 . η. así x∗ =. α−1 . γ. Y el punto positivo es cuando x∗ > 0 y y ∗ > 0 es como η, β, γ y son reales positivos ó α > 1 y δ ≤ 1 η(α − 1) − βδ + β > 0 η(α − 1) > β(δ − 1). γ(δ − 1) + (α − 1) > 0 γ(δ − 1) > −(α − 1) γ(δ−1) > − α−1 γ−γδ < α−1. óα>1 y δ>1 η(α − 1) − βδ + β η(α − 1) η. 36. >0 > β(δ − 1) > β(δ−1) (α−1).

(49) B Cálculo de la discretización del modelo de Lotka-Volterra. Sea n dx dt dy dt. = ax − bxy − ex2 = cy + dxy − f y 2. Las ecuaciones del modelo. Utilizando el método de Euler, donde el término x2 se reemplaza por xn xn+1 tenemos xn+1 = xn + h(axn − bxn yn − exn xn+1 ) xn+1 = xn + ahxn − bhxn yn − ehxn xn+1 xn+1 + ehxn xn+1 = xn + ahxn − bhxn yn xn+1 (1 + ehxn ) xn + ahxn − bhxn yn xn +ahxn −bhxn yn xn+1 = 1+ehxn (ah+1)xn −bhxn yn xn+1 = 1+ehxn α = ah + 1, con β = como los parámetros a, b, e ∈ R+ y h es el tamaño del paso y este bh, γ= eh. es positivo, (el tiempo es positivo ti+1 − ti ), entonces estos nuevos parámetros también lo son. yn+1 = yn + h(cyn + dxn yn − f yn ynn+1 ) yn+1 = yn + chyn + dhxn yn − f hyn ynn+1 yn+1 + f hyn yn+1 = yn + chyn + dhxn yn yn+1 (1 + f hyn ) = yn + chyn + dhxn yn yn +chyn +dhxn yn xn+1 = 1+f hyn (1+ch)yn +dhxn yn 1+f hyn. xn+1 = 37.

(50) 38 δ = ch + 1, con = como los parámetros c, d, f son reales positivos y h es el tamaño dh, η= f h. del paso y este es positivo, entonces estos nuevos parámetros también lo son. como podemos observar estos dependen del paso del tiempo que se tome, en este trabajo lo tomaremos tan pequeño como se quiera, pero, ¿qué sucederá cuando h toma distintos valores?. 38.

(51) Bibliografía [1] Cancela, A. C. (15 de Junio de 2011). Recuperado en Febrero de 2015, de http://espacio.uned.es/fez/eserv/bibliuned:masterMatavanz-Acano/Documento.pdf [2] Elaydi, S. (2005). An Introduction to Diference Equations (3rd ed.). New York: Springer. Recuperado en el 2015, de http://ruangbacafmipa.staff.ub.ac.id/files/2012/02/An-introduction-to-differenceequation-by-Elaydi.pdf [3] Qamar Din, (2013). Recuperado en Febrero del http://www.advancesindifferenceequations.com/content/2013/1/95. 2015,. de. [4] Kreider, Kuller, Ostberg(1973) Ecuaciones Difrenciales. Fondo Educativo Interamericano, S.A. [5] Nieves Jiménez Jiménez, (16 de septiembre del 2002) Estabilidad en sistema de ecuaciones diferenciales. Universidad de Sevilla. Se extrajo documento de http://personal.us.es/niejimjim/tema06.pdf. [6] PPLANE 2005.10 Copyright 1994 - 2005, John C. Polking, Rice University Author: John Polking - Professor, Dept of Mathematics, Rice University. Supporting Programmer: Joel Castellanos, Rice University. [7] Maria Teresa González Manteiga. Recuperado en Febrero 2015, de http://escalera.bio.ucm.es/recursos/claroline/claroline/backends/download.php? url=L1RlbWE3L3Q3MS5wZGY%3D&cidReset=true&cidReq=MBB2010 [8] Nicolas Bacaër. (2011). A short history of mathematical population dynamics.Francia: Springer. [9] Richard L. Burden J.Douglas Faires (2002) Análisis Numérico(7ma ed) México: Thomson. 39.

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(53)