DETECCIÓN DE DAÑO EN EDIFICIOS UTILIZANDO SUBMATRICES DE DAÑO

SCT

XV CNIS

MÉXICO 2005

DETECCIÓN DE DAÑO EN EDIFICIOS

UTILIZANDO SUBMATRICES DE DAÑO

Ramsés Rodríguez, José Alberto Escobar S. y Roberto Gómez (1)

Artículo XV-04

RESUMEN

Se presenta un nuevo método llamado Submatrices de Daño para localizar y determinar la magnitud de daño en términos de pérdida de rigidez, de los elementos estructurales de edificios. Para ello, se compara información del estado dañado de la estructura con el no dañado. Se resuelve un sistema rectangular de ecuaciones lineales y se aplica descomposición por valores característicos a las llamadas submatrices de daño. Estas contienen información de daño estructural asociado a cada elemento. Se estudian dos estructuras con el propósito de corroborar la eficiencia del método propuesto para identificar daño y se discuten los resultados obtenidos.

ABSTRACT

A new method to localize and determine magnitude of damage, expressed as the loss of stiffness, in structural elements of buildings called Damage Submatrices Method is presented. Stiffness information from both states of the structure damaged and undamaged is compared. A non-squared system of linear equations is solved and eigenvalue computations are applied to the called submatrices of damage. These submatrices contain damage information corresponding to each structural element. In order to corroborate the efficiency of the proposed method to assess damage two structures are studied.

INTRODUCCIÓN

Se presenta un nuevo método de identificación de daño para localizar y determinar magnitud de degradación de rigidez en elementos estructurales de edificios. Se basa en el cálculo de valores y vectores característicos asignándole a cada elemento de la estructura un indicador de daño. El método propuesto se aplica a un marco plano de tres niveles y a una estructura tridimensional de dos. Los casos estudiados muestran la eficiencia del método propuesto para identificar daño en elementos estructurales de edificios y medir su magnitud.

El seguimiento del estado de daño estructural de edificios ha progresado en la última década, sin embargo, aún se sigue tratando de solucionar algunos problemas. Por ejemplo, Kim y Stubbs (2000) presentaron un método aplicado a estructuras de concreto para identificar longitudes de grietas. Este método necesita conocer los cambios en frecuencias naturales antes y después de que se origine la grieta, lo cual es difícil de determinar en la práctica.

El método de Matriz de Transformación (Escobar et al., 2001, 2004, 2005) identifica daño utilizando cambios en las características dinámicas de las estructuras. Este método hace uso de una matriz de transformación que obtiene la matriz de rigidez condensada de la estructura. El método fue calibrado considerando efectos de ruido, información modal limitada y porosidad en las matrices de rigidez. Una ventaja del método es que el trabajo computacional es independiente del número de elementos dañados. Este método es exacto cuando se conocen todos los modos de vibración de la estructura.

La técnica de ondeletas fue utilizada por Patsias y Staszewski (2002) para medir modos de vibración de estructuras y con estos detectar daño. Este método ofrece la ventaja de que describe a los modos de vibración de una manera más detallada que los obtenidos con instrumentación clásica, lo cual permite una detección de daño más precisa. Sin embargo, se necesita de deflexiones grandes.

Lu y Gao (2004) propusieron un modelo auto-regresivo en el dominio del tiempo. Este método compara aceleraciones experimentales y simuladas para localizar daño calculando la desviación estándar del error residual entre los dos tipos de aceleraciones. Una desventaja de este método es que no identifica magnitud de daño. Además, cuando el punto de excitación del modelo está cercano a la zona de daño los resultados no son adecuados.

El método de Índice de Daño (Choi y Stubbs, 2004) mide los cambios en los modos de vibración y en las matrices de rigidez de la estructura y ha sido aplicado experimentalmente (Farrar y Jauregui, 1998). Ofrece la ventaja de que sólo necesita tres o menos modos de vibración de la estructura y no tiene limitaciones de número de elementos estructurales.

Escobar et al., (2004) incorporaron descomposición por valores singulares al método Matriz de Transformación (Escobar et al. 2001) para mejorar la determinación de la magnitud de daño.

Chang y Chen (2005) identificaron ubicación y profundidad de grietas en elementos estructurales de concreto reforzado utilizando teoría de ondeletas. Una desventaja de este método es que no detecta grietas en las zonas de la frontera de los elementos.

Todos los métodos anteriores se ven afectados por incertidumbres que complican la detección de daño, tales como ruido en la señal, técnicas de procesamiento de señales, contribución dinámica de elementos no estructurales e interacción suelo-estructura. A continuación se presenta un nuevo método de detección de daño con el cual es posible tener en cuenta todas estas incertidumbres.

MÉTODO DE SUBMATRICES DE DAÑO

De acuerdo con Escobar et al. (2001, 2004, 2005) la matriz de rigidez de la estructura dañada

[

Kd

]

de gl

grados de libertad, se puede calcular a partir de la diferencia entre la matriz de rigidez de la estructura sin daño

[ ]

K y la contribución de las matrices de rigidez

[ ]

K _i sin daño del i-ésimo elemento a la matriz

[ ]

K

[

] [ ]

∑

[ ]

1 = = ne i i K i x K

Kd (1)

donde ne es el número de elementos de la estructura. La ecuación anterior se puede expresar como:

[ ] [

K - Kd

]

=x₁

[ ]

K ₁+x₂

[ ]

K ₂+_Lx_i

[ ]

K _iLx_ne

[ ]

K _ne (2)

Representando cada xi de la ec. (2) en forma matricial, se tiene:

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

k _ne

ne x 0 0 ne x i k i x 0 0 i x 2 k 2 x 0 0 2 x 1 k 1 x 0 0 1 x Kd K ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + =

− O O L O O (3)

El segundo miembro de la ec. (3) se puede reconstruir en forma de producto matricial como:

[ ] [

K - Kd

] [ ][

= x Ks

]

(4)

donde

[ ]

x contiene submatrices cuadradas correspondientes a cada indicador de daño xi y es de orden

(

glxne

)

glx . Similarmente,

[

Ks

]

contiene submatrices correspondientes a cada

[ ]

K _iy su orden es transpuesto al de

[ ]

x . Explícitamente, las dos matrices anteriores son de la forma:

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ne i ne i x x x x x x x x x 0 | | 0 | | 0 | 0 | | | | | 0 | | 0 | | 0 | 0 2 1 2 1 O L O L O

O (5)

[

]

[

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

]

T

ne K i K K K

Ks = _{1 2 L L} (6)

dondeTsignifica transpuesta. Al resolver el sistema de ecuaciones planteado en la ec. (4), por medio de la pseudo inversa de

[ ]

Ks , se obtiene la matriz

[ ]

x que contiene ne submatrices cuadradas

[ ]

xsicon

información de los indicadores de daño llamadas submatrices de daño. Explícitamente la matriz

[ ]

x tiene la siguiente forma:

[ ]

x =

[

[ ]

xs₁ |

[ ]

xs₂ | _L |

[ ]

xs_i | _L |

[ ]

xs_ne

]

(7)

Cada submatriz de daño

[ ]

xs_ise factoriza utilizando descomposición por valores y vectores característicos. Los indicadores de daño identificados xi* serán los valores característicos de mayor

aplicación. Un marco plano de tres niveles y en una estructura tridimensional de dos pisos.

Marco plano de tres niveles

El método descrito se aplicó a un marco plano de concreto reforzado que forma parte de un edificio de oficinas de tres niveles localizado en la zona del lago del D.F. (Fierro et al., 1999, 2001). En la figura 1 se muestra la configuración estructural y numeración de elementos. La sección transversal de las columnas es de 30x40cm y la de las vigas de 30x60cm.

Figura 1. Marco plano de tres niveles.

Tabla 1. Detección de daño del marco plano de tres niveles utilizando el MMT y el MSD. Daño

calculado (%)

Error relativo (%) Estado

de daño

Elemento dañado

Daño simulado

(%)

MMT MSD MMT MSD

Iteración

1 10 10 10 0 0

1

2 20 20 20 0 0 6

1 50 50 50 0 0

2

2 30 30 30 0 0 6

7 30 30.1 30 0.3 0

8 20 20 20 0 0

3

9 50 50.5 50 1 0

3

En la Tabla 1 se presentan los estados de daño simulado y sus correspondientes resultados calculados con el método de Submatrices de Daño, MSD, así como los de Fierro et al. (1999) con el método de Matriz de Transformación, MMT. Se puede observar que ambos métodos identificaron correctamente los elementos dañados y sus respectivas magnitudes de degradación de rigidez con errores relativos que no exceden 1%. Además, para el mismo número de iteraciones que el MMT, el MSD presentó errores relativos iguales a cero lo cual demuestra su eficiencia para estimar magnitud de daño.

6.0 m

3.5 m

3.5 m

3.5 m

1 ₂

3 4

5 6

Estructura tridimensional de dos niveles

Con el objetivo de evaluar la aplicación del método propuesto en sistemas estructurales tridimensionales se estudió el modelo de Sohn y Law (1997) mostrado en la figura 2. Las propiedades de los elementos estructurales son: E=207 GPa; I=8324 cm4 y A=161.3 cm2 (Sohn y Law, 1997). En esta figura, también se muestra la numeración de los elementos estructurales.

Figura 2. Estructura tridimensional de dos niveles.

Tabla 2. Detección de daño de la estructura tridimensional de dos niveles aplicando el MSD. Estado

de daño

Elemento dañado

Daño (simulado)

(%)

Daño (calculado)

(%)

Error relativo

(%)

Iteración

1 2 60 60 0 5

2 4 20 20 0 3

3 1 40 40 0

4 20 20 0 3

4 1 50 50 0

2 45 45 0 3 60 59.9 -0.1 4 55 55 0 5 40 40 0 6 30 30 0

6

En la Tabla 2 se presentan los resultados de detección de daño aplicando el MSD. Los estados de daño estudiados son los presentados por Escobar et al. (2005). Se puede observar que el método propuesto identificó ubicación y magnitud del daño para todos los elementos estructurales y estados de daño analizados con errores relativos menores a 1%. El valor máximo del error relativo producido por el MSD en el cálculo de la magnitud de daño fue -0.1% correspondiente al elemento con mayor porcentaje de degradación de rigidez. Este error se redujo a cero en la octava iteración del algoritmo.

14.6 m 21.9 m

7.3 m

1 2

3 4

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Se presentó y evaluó un nuevo método para detección de daño en edificios denominado Método de Submatrices de Daño. Este permite localizar y estimar la pérdida de rigidez de elementos estructurales dañados a partir de las características dinámicas de las estructuras mediante un proceso iterativo. En este, se involucra la descomposición por valores y vectores característicos de las submatrices de daño asociadas a cada elemento.

El Método de Submatrices de Daño se aplicó a un marco plano y a una estructura en tridimensional. En ambas estructuras se identificó correctamente tanto la ubicación como la magnitud de daño de sus elementos estructurales dañados. Para estos casos, el método propuesto demostró excelente precisión al calcular magnitudes de daño con valores de error relativo iguales a cero cuando se conocen todos los modos de vibración de la estructura.

En estudios posteriores, se recomienda estudiar el efecto que el número limitado de modos de vibración medido en las estructuras reales, y el efecto que el ruido en las mediciones, tienen sobre el método de detección de daño.

RECONOCIMIENTOS

Los autores agradecen grandemente al Prof. J.N. Dyer sus comentarios sobre métodos numéricos.

REFERENCIAS

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Fierro, F, J A Escobar y R Gómez (1999), “Detección de daño en edificios”, XII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, Morelia Michoacán, Vol. 2, pp. 727-735.

Fierro F., J A Escobar y R Gómez (2001), “Detección de daño estructural”, 2do Congreso Iberoamericano de Ingeniería Sísmica, Madrid España.

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Lu, Y y F A Gao (2004), “A novel time-domain auto-regressive model for structural damage diagnosis”,

Journal of Sound and Vibration,Vol. 283, No. 3, pp. 1031-1049.

Patsias, S y W J Staszewski (2002), “Damage detection using optical measurements and wavelets”,

Structural Health Monitoring, SAGE publications, Vol. 1, No. 1, pp. 7-22.

Sohn, H y K H Law (1997), “A bayesian probabilistic approach for structure damage detection”,