OBJ 2 PTA 2 Determina los valores de “p” para los cuales converge la integral

(1)

Elaborado por: Chanel Chacón Evaluador: Florymar Robles

Universidad Nacional Abierta _{Matemáticas III (Cód. 733)}

Vicerrectorado Académico _{Cód. Carrera: 236 - 280}

Área de Matemática _{Fecha: 01-02-2014}

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 01 al 08. OBJ 1 PTA 1 Calcula





d x

b a

x x



 2 .

Solución:







_   _



dx

b a

b b a a

x d b a

b a

x x

x x x x

x x

x

x 2 2 2

2

C x Lnb Lna

a b

Lnb Lna

b

a x x

  

       

     

2

Por lo tanto,













x C

Lnb Lna

a b Lnb

Lna b

a x

d b a

b a

x x

  

 

 



2

OBJ 2 PTA 2 Determina los valores de “p” para los cuales converge la integral



Lnx



dx

x p



  

2

1

.

Solución:

Calculemos la integral I considerando p  1:

Por definición de integral impropia en un intervalo infinito (pág. 93 del libro Matemática III (Cód. 733) de la UNA) se tiene que,





x



Lnx



dx

lím x d x Ln x

b

b p

p



 



 

2 2

1 1

Al hacer el cambio de variable u = Ln x , du = x

x d

y cuando

x = b  u = Ln b ; x = 2  u = Ln 2. Entonces,











 







  



 Lnb

Ln p

b b

b _u

u d lím

x d x Ln x lím

x d x Ln

x p 2 p 2

2

1 1

   

 

    

    



 ₁

) 2 ( 1

)

( 1 1

p Ln p

b Ln lím

p p

b

Si p > 1 , p < 0





0 1

1

 



 

 _p

b Ln lím

p

b . Por lo tanto, la integral I converge al valor ₁

) 2

( 1



p

Ln p

y

(2)

Si p = 1 se tiene la integral.

 





 

 Lnb

Ln b b

b _u

u d lím

x Ln x

x d lím

x Ln x

x d

2 2

2 









   

  

  

  

 ( ) ( 2)

2

Ln Ln b

Ln Ln lím u

Ln lím

b b Ln

Ln b

Luego, para p = 1 la integral I diverge. Por lo tanto, la integral I converge para p > 1.

OBJ 3 PTA 3 Encuentre el área de la superficie generada por la rotación de la curva de ecuación y =1 x1 ,  x  2; alrededor de la recta y = 1.

Por la simetría de la curva con respecto a la recta x = 1, podemos calcular el área de la superficie del lado izquierdo y luego multiplicar por 2 para obtener el área total.

Entonces,











 

 2 2

2 2

4 1

2 4 1

1 1

2 2

1

0 2 1

0 1

0 _ 

 

 

 

 





x dx



x dx x x

A

Por lo tanto,

2

2  unidades de área



A

OBJ 4 PTA 4 Calcula el área encerrada por la curva dada por las ecuaciones paramétricas   

 

t y

t sen x

cos 2 Solución:

La gráfica de la curva es: Por la simetría de la curva con respecto al eje x y al origen podemos calcular el área de la región limitada por la curva en el primer cuadrante y multiplicar por 4 para obtener el área total.

Hallemos la variación del parámetro t : para (1 ,0 ) se tiene las ecuaciones:

1 = sent y 0 = 2 cost ,

Por tanto t = ¡Verifícalo!. Y para (0, 2) se tiene las

ecuaciones:

0 = sent y 2 = 2 cost ,

luego t = 0 ¡Verifícalo! y

x 1

1 2

2

y

2

1

-2 -1 0 1 2 3 x y = 2  x

(3)

 



_

t tdt

_

tdt

A 2 2

0 2 0 2cos cos 8 cos

4

 



 

2 2

2 4

2 2

0 0

     

  

sen t

t

Por lo tanto, A2

OBJ 5 PTA 5 Calcula el centro de masa de una curva C determinada por la unión de una semicircunferencia con dos segmentos de recta como se muestra en la figura:

Solución: La curva es simétrica respecto de la recta y = x, luego el centro de masa está sobre dicha recta. Por lo tanto, es suficiente hallar x .

El semicírculo C1 de radio 2 lo podemos expresar en término de las ecuaciones paramétricas:

4 3 4

, 2

cos 2

x 

   

   

 

 

sen

y .

(ver págs. 221 y 222 del texto Matemática III de Ingeniería de la UNA).

y =

C1: x2 + y2 = 2

C2

(4)

Sabemos que la longitud de un semicírculo es r , donde r es el radio del círculo. Así que, en nuestro caso, la longitud es 2 y si consideramos que la densidad de masa del semicírculo es constante, entonces tendremos que m = 2 (masa del semicírculo).

Ahora, calculemos el momento con respecto al eje OY (My):

 

 



_

 

4 3

4 4

3

4

cos 4

) cos (

4 cos

2 2 2



 











xds sen d d

M b

a y





4 2

2 2 2

2 4 4 4

3 4

4

4 3

4

 

 

 





    

 

 

   

 

             

   



sen sen

sen

Luego, y

m M

x  y   

  

 2 2

2 2 4

Para los segmentos de rectas C2 y C3: si la densidad es constante, el centro de masa de cada segmento

se localiza en su punto medio, entonces

Para C2: 

  



  



2 3 2 , 2

3 2 )

,

(x y y la longitud de C2 es L2 = 22.

Para C3: 

  



   



2 3 2 , 2

3 2 )

,

(x y y la longitud de C3 es L3 = 22.

Luego, el centro de masa de la curva C = C1  C2 C3 es la suma de los momentos:

y

x 

  



   



 _

    



_ _

       

22 2 2

22 3 2 4 22

2 2

2 3 2 22 2

3 2 22 2

2 2

 

.

Por lo tanto,





_

  

 

  

 

22 2 2

22 3 2 4 , 22 2 2

22 3 2 4 ,

 

y

x .

OBJ 6 PTA 6 Sea V el espacio vectorial de los polinomios en x con coeficientes reales. a) Escribe el polinomio P(x) = x2 + 4x – 3 como combinación lineal de los polinomios:

P1(x)= x2 2x + 5 , P2(x)= 2 x2 3x , P3(x)= x + 3

b) Determina si los polinomios P1 , P2 , P3 son linealmente independientes.

Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente ambas partes. Solución:

a) Sean 1, 2 y 3 escalares tales que,

P(x) = 1P1(x)+ 2 P2 (x)+3 P3 (x)

Entonces, x2 + 4x – 3 = 1 (x2 2x + 5) + 2(2 x2 3x ) +3(x + 3)

x2 + 4x – 3 = (1 + 22)x2 + ( 21 32 + 3)x+ (51 + 33)

Al Igualar los coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones:

(5)

    

    

      

   

3 3

5

4 3

2

1 2

3 1

3 2 1

2 1

Una manera de resolver este sistema es por el método de sustitución.

Despejando 1 de la primera ecuación: 1 = 1  22 y sustituyendo en la segunda y tercera ecuación: 

 de donde 2 + 3 = 6



de éstas dos últimas ecuaciones, despejamos 2 de la primera: 2 = 6 - 3 y sustituyendo en la

segunda, tenemos:

 de donde 3= 4

13 52 _

, luego 2 = 4

y



Así que,

(x). P3 4 (x) P2 2 3P1(x)

-P(x)   

b) Supongamos que existen escalares 1, 2 y 3 , tales que, 1P1(x)+ 2 P2 (x)+3 P3 (x) = 0

1 (x2 2x + 5) + 2(2 x2 3x ) +3(x + 3) = 0

(1 + 22)x2 + ( 21 32 + 3)x+ (51 + 33) = 0

de donde se obtiene el sistema de ecuaciones:

   

 

   

 

0 3 5

0 3

2

0 2

3 1

3 2 1

2 1

 

  

 

,

resolviendo el sistema por el método de eliminación.

Al multiplicar la primera ecuación por 2 y luego sumando con la segunda ecuación: 2142 0

2132 3 0

0 + 2 + 3 = 0 [4]

Al multiplicar la primera ecuación por – 5 y luego sumando con la tercera ecuación:

0 10

5 ₁ ₂ 

  

0 3 5₁  ₃ 

(6)

Al multiplicar la ecuación [4] por – 10 y luego sumando con la ecuación [5]: 



 de donde 3 = 0,

sustituyendo 3 en [5], se obtiene 2 = 0 y por lo tanto 1 = 0.

Luego, los polinomios

P1(x)= x2 2x + 5 , P2(x)= 2 x2 3x , P3(x)= x + 3,

son linealmente independientes. (ver pg. 412 del texto Mat.III de Ingeniería . UNA).

OBJ 7 PTA 7 Considera las funciones, 

                    t arctg t t t t g t t t t tg t

f( ) 2 , 1 , , ( ) cos , , 2

2

Calcula , ( ) 0 f g t lím

t   .

Solución:

Realizamos el producto escalar de f y g: (ver pg. 430 del texto Mat. III de Ingeniería. UNA)

                         t arctg t t t t t t t tg t g t

f( ), ( ) 2 , 1 , , cos , , 2

2           t arctg t t t t t tg 2 1 cos 2 ₂

Ahora, 

                 

 _t t tarctg _t

t t tg lím t g f lím t t 2 1 cos 2 ) ( , 2 0

0 

             

t sen lím t 2 1 2 2 0 Como, 2 2 2 0

0   

 _t t sen lím t t sen lím t

t , límt011 , 0

2 0   t lím t y 2 2 2 que ya 0 2 0   _               

 tarctg _t arctg _t

lím t . Entonces,                    

t sen lím t g f lím t t 2 1 2 ) ( , 2 0 0 3 2 1 2 0 2 0 0

0 

          

 _t lím límt límtarctg _t

t sen lím t t t t .

Por lo tanto, , ( ) 3

0  

 f g t

lím

(7)

OBJ 8 PTA 8 Considera la función vectorial 

  

 

 sen t t t

t

F( ) 4 , 3 ,cos4

 , calcula su curvatura en el

punto (0 , 3 , 1).

Solución:

Hallamos el número t0 para el cual F(t0) = (0, 3, 1), entonces

   

 

 0 ₀

0

0 ,cos4

3 , 4 )

(t sen t t t

F

 = (0, 3, 1)

de donde sen 4t0 = 0 ;

0

3t

= 3 y cos 4t0 = 1. De la ecuación

0

3t

= 3 se obtiene t0 = , y es el

único valor que satisface a las tres ecuaciones simultáneamente.

Ahora, determinemos el vector curvatura de dicha curva en el punto F(), dado por

) (

) ( )

(

  

F T k

 

 , donde

) (

) ( )

(

  

F F T

  

 .(ver págs. 568 y 569 del texto Mat. III de Ingeniería.

UNA).

Como 

  

 

 sen t t t

t

F( ) 4 , 3 ,cos4

 entonces 

 



 _



 t t sen t

F() 4cos4 , 3, 4 4

 .

Al evaluar en t =  se obtiene:

) 1 , 3 , 0 ( 4 cos , 3 , 4 )

( 

  

 

 

  

 sen

F ,

) 0 , 3 , 4 ( 1 0 , 3 , 4 4

4 , 3 , 4 cos 4 )

( 

 



 

  

      



 _



 sen

F .

9 16

1 ) 9 16

( 1 )

(  ₂ 2   2 

 

 

F .

Luego, (4 ,3,0)

9 16

1 )

( ) ( )

(

2 

 

 

   

F F

T y

) 0 , 3 , 4 ( 9 16 9

16 1

) 0 , 3 , 4 ( 9 16

1

) (

) ( )

( ₂

2 2

 



 

  

 

  

  

F T

k . (Vector curvatura)

Hallamos la norma del vector curvatura para encontrar la curvatura de F en el punto t0 = , entonces





2 2

2 ₂

( ) . 16 9

16 9 ₁₆ ₉

k    

 _

 

 _ _  



   .

Por lo tanto, la curvatura de F en el punto F() es

9 16

) (

2



  

k