UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID COMPORTAMIENTO MICROMECÁNICO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

COMPORTAMIENTO MICROMECÁNICO

Carlos Navarro

CONCEPTOS Y TIPOS DE TENSION Y DEFORMACIÓN

0 L

l

l

∆

=

ε

h

tg

γ

≈

γ

=

δ

A

F

=

σ

Ω

F

=

EFECTO POISSON

R R l

transversa n

deformaci

l l al

longitudin n

deformaci

T l

∆ =

∆ =

= ó

=

ó

0 ε

ε

L

T

=

−

νε

ε

E

σ

=

Leyes de comportamiento (material elástico-lineal e isótropo):

Ley de Hooke

γ

τ

=

G

(

+

ν

)

=

1

2

INTRODUCCIÓN

Fibras largas unidireccionales

Fibras largas con orientación aleatoria

Fibras cortas alineadas _{Fibras cortas con} orientación aleatoria

x y z

E₂ ; Y

E₁ ; X _E

1 >> E2 X >> Y

X,1 Y,2 Z,3

1 2 3

Direcciones materiales en una lámina

ANISOTROPIA

Micromecánica

Macromecánica Lamina

Laminado

Matriz Fibras

X,1 Y,2 Z,3 1 2 3 ANISOTROPIA

32

23

31

13

21

12

23

13

12

3

2

1

ν

ν

ν

ν

ν

ν

G

G

G

E

E

E

ν_ji = − εj

ε_i

i = dirección de carga

j = dirección perpendicular a la de carga

ν

E

=

ν

ANISOTROPIA

Material heterogéneo Material homogéneo anisótropo equivalente

Contenido volumétrico de refuerzo

1

=

+

f

V

V

de fibras

Volumen total

f

Volumen

V

=

de matriz

Volumen total

m

Volumen

V

=

Contenido másico de refuerzo

1

f m

M

+

M

=

Masa de fibras

Masa total

f

M

=

de matriz

Masa total

m

Masa

M

=

Relación V_f y M_f

f f f

f _m

f m

M

V

M

_M

ρ

ρ

ρ

=

+

f f f

f f m m

V

M

V

V

ρ

ρ

ρ

⋅

=

⋅

+

⋅

MICROMECANICA DE LA LAMINA

Fibras: V_f , M_f

ρ_f, E_f, ν_f, G_f

Matriz: V_m, M_m

ρ_m, E_m, ν_m, G_m

E₁, E₂, G₁₂, ν₂₁, ν₁₂ Propiedades de los constituyentes

FIBRAS

Vidrio E Kevlar Carbono H.R. Carbono H.M.

Efl (MPa) 74000 130000 230000 390000

Eft (MPa) 74.000 5.400 15.000 6.000

Gf (MPa) 30.000 12.000 50.000 20.000

νftl 0,25 0,40 0,30 0,35

1

=

+

_m

f

V

V

MICROMECANICA DE LA LAMINA

Regla de las mezclas:

m

f

Prop.

matriz

V

V

fibra

Prop.

lámina

Prop.

=

×

+

×

Densidad de la lámina:

m m

f

f

⋅

V

+

⋅

V

=

ρ

ρ

PROCESO DE FABRICACIÓN Vf (%)

Por contacto 30

Por presión 40

Por enrollamiento continuo (filament winding) 60-85

m m

f

f

⋅

V

+

⋅

V

=

ρ

ρ

ρ

M

V

ρ

=

f

f

M

V

ρ

=

m

m

M

V

ρ

=

f m

M

M

V

ρ

=

+

Regla de las mezclas CONCEPTOS BÁSICOS

CONCEPTOS BÁSICOS

Nivel de porosidad

teo f

V

V

ρ

=

ρ

⋅

+

ρ

⋅

exp

%

100

poros

teo

V

ρ

ρ

x

ρ

−

=

Afecta a las propiedades mecánicas

Rigidez y resistencia a cortadura Resistencias a compresión

Resistencia a tracción transversal Resistencia a la fatiga

Resistencia a la humedad

2-10% ↓

) (hexagonal 3

2

2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

R r

V_f π (cuadrado)

4

2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

R r V _f

π

CONCEPTOS BÁSICOS

Relación V_f - geometría

Hipótesis

MICROMECÁNICA DE LAMINAS UNIDIRECCIONALES

MICROMECÁNICA DE LAMINAS UNIDIRECCIONALES Celdilla unidad L w w d r 2 m

w wm ₂ f w 2 2 f

r

V

w

π

⋅

=

d

V

w

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

_{⎝ ⎠}

f f

MICROMECANICA DE LA LAMINA

Hipótesis de Isodeformación:

F F

Consideremos una barra, fabricada de dos materiales distintos, sometida a tracción:

Alzado Sección

Si las áreas de la sección transversal de cada uno de los materiales son:

A_{a y} A_b

el área total será:

A = + a b

MICROMECANICA DE LA LAMINA

F F

La tensión uniforme aparente a la que estaría sometida la barra sería:

σ

σ

σ

L

F F

L

∆

Los dos materiales sufren la misma deformación:

ε

L

MICROMECANICA DE LA LAMINA

σ

L

∆

Por lo que las tensiones que deben soportar los dos materiales

serán distintas entre sí porque cada uno de ellos tendrá un módulo

de elasticidad diferente:

E_a y

Las tensiones que soportan cada uno de los materiales serán:

= L

L

∆

E_b

E_a E_b

MICROMECANICA DE LA LAMINA Por lo que las tensiones en cada material quedarán como:

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Debiendo cumplirse que:

σ

σ

A_a + A_b = L

L

∆

E_b

A_a L

L

∆

E_a + A_b =

=

σ

A = A E_ap L

L

∆

E_ap= Aa ₊

A A

A_b E_a E_b

E_ap= Aa ₊

A A

A_b

E_a E_b

MICROMECANICA DE LA LAMINA La ecuación anterior puede escribirse como:

L L L

L donde:

A_a L = V_a (Volumen del material a) A_bL = V_b (Volumen del material b) A L = V (Volumen total del material) por lo que:

L L

1

∆ =

ε σf = Ef ⋅εf = Ef ⋅ε1 1 m m

m

m = E ⋅ε = E ⋅ε

σ 1 f f m m

m f A A A F F F ⋅ σ + ⋅ σ = ⋅ σ + = A A E A A E E A E A E A E m m f f 1 m 1 m f 1 f 1 1 ⋅ + ⋅ = ⋅ ε ⋅ + ⋅ ε ⋅ = ⋅ ε ⋅

₍

₎

1

E

V

E

1

V

E

=

⋅

+

⋅

−

MICROMECANICA DE LA LAMINA

Hipótesis de Isotensión:

F

F

Consideremos una barra, fabricada de dos materiales distintos, sometida a tracción:

MICROMECANICA DE LA LAMINA

F

F

La tensión uniforme aparente a la que estaría sometida la barra sería:

σ

σ

σ

Ω

σ

σ

W_b

MICROMECANICA DE LA LAMINA

σ

σ

σ

σ

W_a/2

W_a/2

σ

Ω

Los dos materiales sufren la

MICROMECANICA DE LA LAMINA

ε

Por lo que las deformaciones que sufren los dos materiales

serán distintas entre sí porque cada uno de ellos tendrá un módulo

de elasticidad diferente:

E_a y

Las deformaciones que sufren cada uno de los materiales serán: E_b

σ

MICROMECANICA DE LA LAMINA La variación de espesor que experimentará el material será:

∆W_a =

σ

σ

La variación de espesor que experimentará el conjunto vendrá dada por: ∆W = ∆W_a + ∆W_b =

σ

Si definimos como módulo de elasticidad aparente, en la dirección de

carga a:

E_ap =

σ

ε

σ

∆W W

=

σ

/ E_a W_a

σ

MICROMECANICA DE LA LAMINA

E_ap =

/ E_a

W_{a +} W_b/ E_b 1

W 1/ por lo que:

Como: _W

Ω

a = Va (Volumen del material a)

= V_b (Volumen del material b) = V (Volumen total del material)

Ω

W_b

Ω

W W_a

W =

W_a

W =

Ω

Ω

V_a V

y Wb

W =

W_b

W =

Ω

Ω

V_b V E_ap =

/ E_a

f 2 f E σ = ε m 2 m E σ = ε 2 2 2 E σ = ε m m f f

2 ⋅W=ε ⋅W +ε ⋅W

ε m m f f 2 m m f f 2 V V W W W W ⋅ ε + ⋅ ε = ε ⋅ ε + ⋅ ε = ε ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ σ + ⋅ σ ⋅ = ε ⋅ = σ _m m 2 f f 2 2 2 2 2 V E V E E E

(

)

Obtención de E₂ (Hipótesis de isotensión)

MICROMECÁNICA DE LAMINAS UNIDIRECCIONALES

Obtención de E₂

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E 2

(GP

a

)

V

f

Datos experimentales

Modelo micromecánico

Material boro/epoxi E_f = 414 GPa

ν_f = 0,2

E_m= 4,14 GPa

ν_m = 0,35

Z. Hashin, 1970

Efecto de la

concentración de Poisson

Ecuación de Halpin-Tsai

(

)

1

1

f f f m

m m

m

E E

E

E

V

V E

E

E

ν

⋅

=

⋅ −

+

⋅

=

−

1

1

V

E

E

V

E

E

E

E

ξ η

η

η

ξ

+ ⋅ ⋅

=

⋅

− ⋅

−

=

+ ⋅

ξ₁ = Eficiencia del refuerzo 1

1

< <

ξ

2

MICROMECÁNICA DE LAMINAS UNIDIRECCIONALES

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E 2

(GP

a

)

V

f

Datos experimentales

Modelo micromecánico

Ecuación de Halpin-Tsai

Obtención de E₂

Material boro/epoxi E_f = 414 GPa

ν_f = 0,2

E_m= 4,14 GPa

ν_m = 0,35

Z. Hashin, 1970

NASA Technical Report NAS1-8818

1 2

21

ε

ε

−

=

ν

1 21

2

W

W

W

=

−

⋅

ε

=

⋅

ν

⋅

ε

∆

m f

W

W

W

=

∆

+

∆

∆

1 m m

m

W

V

W

=

⋅

⋅

ν

⋅

ε

∆

1 f f

f

W

V

W

=

⋅

⋅

ν

⋅

ε

∆

(

)

Obtención de ν₂₁

1

21

2

12

E

E

ν

ν

=

Teorema de reciprocidad Obtención de ν₁₂

MICROMECANICA DE LA LAMINA

MICROMECANICA DE LA LAMINA Obtención de G₁₂ o G₂₁

τ

τ

τ

τ

τ

m m G τ = γ f f G τ = γ 12 G τ = γ W ⋅ γ = ∆ W V_m m

m = γ ⋅ ⋅

∆

W V_f

f

f = γ ⋅ ⋅

∆

f m +∆

∆ = ∆ f f m

m

⋅

V

+

γ

⋅

V

γ

=

γ

Obtención de G₁₂ o G₂₁

MICROMECANICA DE LA LAMINA

τ

τ

f f

m

m = −_WF y σ = _WF

σ

0

=

+

m

m

W

σ

W

σ

T E

T

E _m m

m f

f

f _{α ∆} σ _{α ∆}

σ

ε₁ = + = +

(

)

∆

α

ε

m m f f m m m f f f V E V E V E V E + + = α α α₁

(

_{) (}

₎

m f f

m

f m m

f f

f m

m

V E V

E

E E

V

V

α

ν

ν

α

α

α

α

+ − +

+ =

2

Obtención de α₂

MICROMECANICA DE LA LAMINA

Módulo de elasticidad (dirección 1):

m

m

f

f

V

E

V

E

E

₁

=

⋅

+

⋅

Módulo de elasticidad (dirección 2):

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

f f

m m

m

V

E

E

V

E

MICROMECANICA DE LA LAMINA Módulo de corte (direcciones 1-2):

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

=

f

f

m

m

m

V

G

G

V

G

G

G

₁₂

₂₁

1

Coeficiente de Poisson (ν₂₁):

m

m

f

f

⋅

V

+

⋅

V

=

ν

ν

ν

₂₁

Coeficiente de Poisson (ν₁₂):

MICROMECANICA DE LA LAMINA Módulo de elasticidad en una dirección cualquiera:

E_x = 1

cos4θ

E₁ +

sen4θ

E₂ +2 cos

2θ

sen2θ 1 2G₁₂ −

ν₂₁

E₁ ⎛

⎝

⎜ ⎞

⎠ ⎟

E₁