EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 6 (Espacios vectoriales II)

EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 6

(Espacios vectoriales II)

1.-

Entre los espacios vectoriales U y V sobre el cuerpo R se considera la aplicación lineal

: U V

f → dada por:

f(e1)=u1–2u2+u3

f(e2)=u2+u3+2u4

f(e3)=u1–u4

siendo BU={e1, e2, e3} una base de U y BV={u1, u2, u3,u4} una base de V. Si se consideran las

nuevas bases :

(

)

(

)

(

)

{

1 1 2 2 2 3 3 1 2 3

}

B_U′ = e′= e +2e ,e′ = e −e ,e′ = e + +e e

y

(

)

(

)

(

)

{

1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

}

B_V′ = u′= u +u ,u′ = u +u ,u′ = u +u ,u′ =u

se pide determinar la expresión matricial de la aplicación en las bases B_U′ y B_V′ .

Solución:

Siendo x=

(

x x x₁, ₂, ₃

)

_{un vector genérico de U referido a la base BU e}

(

)

1, 2, 3, 4 y= y y y y un vector genérico de V referido a la base BV, se tiene:

1 1 2 2 3 3 4

1 0 1

2 1 0

1 1 0 0 2 1 y x y x y x y         ₋      ₌       _{ }    ₋      

Al realizar el cambio de base en U y en V:

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4

1 0 0 0 1 0 1

1 1 0 0

2 1 1 ;

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1

y y x x y y x x y y x x y y ′      ′      _{    } ′   ₌  _′ _{ =  }      _{    ′}    ₋  _′ _{    }      _′       Por tanto: 1 1 2 2 3 3 4

1 0 0 0 1 0 1

1 0 1

1 1 0 0 2 1 0

2 1 1

0 1 1 0 1 1 0

0 1 1

0 0 1 1 0 2 1

y x y x y x y ′       ′        _′ ₋         ₌  _′        _′  _{  } ′ −     _′  ₋        

1 1

1 1

2

2 2

3

3 3

4

1 0 0 0 1 0 1 1 1 2

1 0 1

1 1 0 0 2 1 0 1 2 3

2 1 1

0 1 1 0 1 1 0 4 1 5

0 1 1

0 0 1 1 0 2 1 0 4 4

y

x x

y

x x

y

x x

y

−

′ −

       

′ ′

    

 _′   ₋  _{− −} 

    

  ₌    _{′ =}  _′

    

 _′    _{  }  ₋ _{ }

′ ′

−

     _{  }  _{ }

′    −   − 

 

2.-

En R3se considera el endomorfismo f que transforma el vector

(

α , α , α

_{1 2 3}

)

en el

(

α , α , α

1 2 3

) (

β ,β ,β

1 2 3

)

f

=

, refiriéndonos siempre a la base canónica. Sabiendo que:

(

1,1,1

) (

1, 0,1 ;

)

(

0,1,1

) (

1, 2,3 ;

)

(

1,1, 0

) (

2, 2, 4

)

f

=

f

=

f

=

,

se pide:

a) Determinar la expresión matricial del endomorfismo en la base canónica.

b) Obtener unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas y una base de la imagen de f.

c) Obtener unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas y una base del núcleo de f.

d) Se considera la base

B

=

{

(

1,1, 0 , 0,1,1 , 0, 0,1

) (

) (

)

}

. Determinar la expresión matricial de f en la base B.

Solución:

a)

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

1 2 3 1 2 3

2 3 2 3

1 2 1 2

1,1,1 1, 0,1

0,1,1 1, 2, 3

1,1, 0 2, 2, 4

f f f f f

f f f f

f f f f

= + + = + + = 



= + = + + = 



= + = + + = 

e e e e e e

e e e e

e e e e

de donde:

( ) (

1

0, 2, 2 ;

)

( ) (

2

2, 4, 6 ;

)

( ) (

3

1, 2, 3

)

f

e

=

− −

f

e

=

f

e

= − − −

Por tanto, un vector de R3de componentes

(

α , α , α

_{1 2 3}

)

se transforma en el vector de

1 1

2 2

3 3

0

2

1

2

4

2

2

6

3

β

−

α



 







_{β = −}

 

₋



_α





 







_β

 

₋

₋



_α





 





a)

1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

2

2

4

2

2

6

3

β =

α

−

α





β = − α +

α

−

α





β = − α +

α

−

α



Ecs. Paramétricas de Im( )f .

Si se eliminan α α₁, ₂ y α₃:

1 2 3 0

β + β −β = Ecs. Implícitas de Im( )f

Una base de Im( )f es:

(

) (

)

{

−

1,1, 0 , 1, 0,1

}

c)

2 3

1 2 3

1 2 3

0

2

0

2

4

2

0

2

6

3

=

α

−

α





= − α +

α

−

α





= − α +

α

−

α



Ecs. Implícitas de ker( )f .

Si restamos la segunda ecuación a la tercera:

2 3

1 2 3

2 3

0

2

0

2

4

2

0

2

=

α

−

α





= − α +

α

−

α





=

α

+

α



,

vemos que la primera y la tercera ecuaciones son iguales. Por tanto, unas ecuaciones

implícitas equivalentes a las primeras obetenidas son:

1 2 3

2 3

0

2

4

2

0

2

= − α +

α

−

α





=

α

+

α



Y tomando como parámetro α₃:

1 2

2 2

3 2

4

2

2

α =

α = λ





α =

α = λ





α = − α = − λ



Ecs. Paramétricas de ker( )f .

b) Realicemos el cambio de base dado en R3:

Un vector u de componentes

(

x x x

₁

,

₂

,

₃

)

en la base canónica tiene por componentes

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3

1 1 1 1

2 1 2 2 2

3 2 3 3 3

1 0 0 1 1 0 0 1 1

u x e x e x e y y y y e e y e e y e

y e y y e y y e

x y x y

x y y x y

x y y x y

= + + = ε + ε + ε = + + + + =

= + + + + ⇒

=

     

     

⇒ _{ = +} ⇒ _{  =  }

 _{= +}     

     

por tanto, la expresión del endomorfismo en la nueva base es:

1 1

2 2

3 3

1

0

0

0

2

1

1

0

0

1

1

0

2

4

2

1

1

0

0

1

1

2

6

3

0

1

1

′

′

β

−

α





 











_{β = −}

_′

 

₋





_α

_′







 











_β

_′

 

₋

₋





_α

_′







 







donde el vector

(

α , α , α

₁

′ ′ ′

_{2 3}

)

se transforma en el

f

(

α , α , α

₁

′ ′ ′

_{2 3}

) (

=

β ,β ,β

₁

′ ′ ′

_{2 3}

)

referidos a la base B. Operando:

1

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 0 0 0 2 1 1 0 0 2 3 1

1 1 0 2 4 2 1 1 0 4 5 1

0 1 1 2 6 3 0 1 1 0 2 2

−

′ ′ ′

β − − α − − − α

           

 _′      _′    _′

β = − − α = − α

           

_β′   _{− −}  _α′   _α′

           

3.-

Entre los espacios vectoriales V y W sobre R se define una aplicación lineal fdada por:

( )

( )

( )

1 1 2 3

2 2 3 4

3 1 2 3 4

2

2 4

f

f

f

= + +

= − +

= + + +

e u u u

e u u u

e u u u u

,

siendo

{

e e

₁

,

₂

,

e

₃

}

_{una base de V y}

{

}

1

,

2

,

3

,

4

u u

u

u

_{una base de W. Se pide:}

a) Expresión matricial de la aplicación en las bases dadas.

b) Determinar la imagen de la aplicación indicando su dimensión y una base de la misma. c) Determinar el núcleo de la aplicación indicando su dimensión y una base de la misma.

Solución:

Dado un vector genérico

(

x x x

₁

,

₂

,

₃

)

de V y otro

(

y y y y

₁

,

₂

,

₃

,

₄

)

de W, la expresión matricial

de la aplicación en las bases dadas es:

1

1 2

2 3

3 4

1

0

2

1

2

4

1

1

1

0

1

1

y

x

y

x

y

x

y



 









 









 

₌









 

₋



_

_



 

  









1 1 3

2 1 2 3

4 1 2 3

5 2 3

2

2

4

y

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

=

+





=

+

+





=

−

+

_



=

+



y los vectores (1,1,1,0), (0,2,-1,1) y (2,4,1,1) forman un sistema generador de la imagen. Veamos cual es el rango de este conjunto de vectores:

1

1

1 0

1

1

1 0

0

2

1

1

0

2

1

1

2

4

1

1

0

2

1

1

−

⇒

₋

−

Por tanto, el rango de Im(f) es 2 y los vectores (1,1,1,0) y (0,2,-1,1) son una base de la misma.

Unas ecuaciones implícitas del núcleo son:

1 3

1 2 3

1 2 3

2 3

0

2

0

2

4

0

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

+





=

+

+





=

−

+

_



=

+



Triangularizamos el sistema precedente:

1 3 1 3

1 2 3 2 3 1 3

1 2 3 2 3 2 3

2 3 2 3

0

2

0

2

0

2

4

0

2

2

0

2

0

0

0

2

2

0

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

+



=

+







=

+

+



=

+



=

+



⇒

⇒







=

−

+



=

−

−



=

+







=

+



=

+



Por tanto, la dimensión de ker(f) es 1 y (2,1,-1) una base del mismo.

4

.- De un endomorfismo 3 3

:

f R →R se sabe que, trabajando en la base canónica:

(

1,1,1

) (

2, 4, 4 ;

)

(

0,1,1

) (

1, 2,3 ;

)

(

1,1, 0

) (

1,1, 2

)

f

=

f

=

f

=

Se pide:

e) Determinar la expresión matricial del endomorfismo en la base canónica.

g) Obtener unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas y una base del núcleo de

f

.

h) Se considera la base

B

=

{

(

1,1, 0 , 0,1,1 , 0, 0,1

) (

) (

)

}

. Determinar la expresión matricial de f en la base B.

Solución:

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

1 2 3 1

2 3 2

1 2 3

1,1,1 2, 2, 4 1, 0,1

0,1,1 1, 2,3 0,1,1

1,1, 0 1,1, 2 1,1, 2

f f e f e f e f e

f f e f e f e

f f e f e f e

= + + =   =

 

= + = _ ⇒ _{ =}

 

= + = _{ } =

Por tanto, la expresión matricial es:

1 1

2 2

3 3

β

1

0

1

α

β

0

1

1

α

β

1

1

2

α



 







 





=



 







 







 





equivalente a:

1 1 3

2 2 3

3 1 2 3

β α α

β α α

β α α 2α

= +

= +

= + +

que son unas ecuaciones paramétricas de la imagen. Eliminando

α , α , α

_{1 2 3} de ellas:

1 2 3

β + − =β β 0

que son unas ecuaciones implícitas de la imagen.

Dando a β₂y β₃ los valores 1 y 0 y 0 y 1, respectivamente, se obtienen los vectores

(–1,1,0) y (1,0,1) que forman una base de la imagen de f

.

Para determinar el núcleo basta recordar:

( )

{

3

( )

}

ker f = ∈u R / f u =0

1

2

3

0

1

0

1

α

0

0

1

1

α

0

1

1

2

α

  





  

₌





  





  





  





equivalente a:

1 3

2 3

1 2 3

0

α

α

0

α

α

0

α

α

2α

=

+





=

+





=

+

+



y, como la tercera ecuación es igual a la primera más la segunda, unas ecuaciones implícitas del núcleo son:

1 3

2 3

0

α

α

0

α

α

=

+





=

+



Tomando como parámetro

α

₃:

1

2

3

α

α

α

λ

λ

λ

= −





= −





=



,

que son unas ecuaciones paramétricas del núcleo. Por tanto, una base del núcleo es el vector (-1,-1,1).

La matriz de cambio de base es:

1

0

0

1

1

0

0

1

1





















Por lo tanto:

1 1

2 2

3 3

α

1

0

0

α'

α

1

1

0

α'

α

0

1

1

α'



 

 





 

 



=



 

 





 

 





 

 



siendo

(

α , α , α

_{1 2 3}

)

las componentes de un vector genérico

u

_{en la base canónica y}

1 1

2 2

3 3

1

0

0

β'

1

0

1

1

0

0

α'

1

1

0

β'

0

1

1

1

1

0

α'

0

1

1

β'

1

1

2

0

1

1

α'





 

 









 

₌

 









 

 









 

 









 

 





,

es decir,

1

1 1 1

2 2 2

3 3 3

β' 1 0 0 1 0 1 1 0 0 α' 1 1 1 α'

β' 1 1 0 0 1 1 1 1 0 α' 0 1 0 α'

β' 0 1 1 1 1 2 0 1 1 α' 2 2 2 α'

−

           

           

= =

           

           

           

Que es la expresión matricial del endomorfismo si referimos los vectores a la base B

.

5.

En R3 se consideran los siguientes subespacios vectoriales:

(

)

{

}

(

)

{

}

1 1 2 3 1 2 3

2 1 2 3 1 2 3

α , α , α / α α α 0

α , α , α / α α α 0 W

W

= − + =

= + − =

y se pide:

a) Determinar la dimensión y una base de W₁∩W₂

b) Determinar la dimensión y una base de W₁+W₂

Solución:

Los vectores de W₁∩W₂ deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones de ambos

subespacios, por lo que

1 2 3

1 2 3

α

α

α

0

α

α

α

0

− +

=





+ −

=



son unas ecuaciones implícitas de W₁∩W₂. Si tomamos α₃ como parámetro:

1 2 1

1 2 2

3 3

α

α

α

0

α + α

α

α

α

λ

λ

λ

λ

λ

−

= −



=







=

_

⇒

₌

_





son unas ecuaciones paramétricas de W₁∩W₂. Una base de W₁∩W₂ está formada por el

vector (0,1,1) y dim(W₁∩W₂)=1.

Por otra parte,

{

}

1 2 1 2

/

1 1

,

2 2

W

+

W

=

u

= +

u

u

u

∈

W

u

∈

W

por lo que un sistema generador del mismo se puede construir uniendo las bases de W₁ y de

2

W . Una base de W₁ es:

(

) (

)

{

}

1

1,1, 0 ,

1, 0,1

B

=

−

y una base de W₂ es:

(

) (

)

{

}

2

1,1, 0 , 1, 0,1

B

= −

Por tanto, los vectores

{

(

1,1, 0 ,

) (

−

1, 0,1 ,

) (

−

1,1, 0 , 1, 0,1

) (

)

}

forman un sistema generador de

1 2

W +W del que se puede extraer, por ejemplo, la base

{

(

1,1, 0 , 0,1,1 , 0, 0,1

) (

) (

)

}

y

dim(W₁+W₂)=3.

6.-

La matriz

1 0 1 0 2 0

0 1 1

 

 

=_{ }

 

 

A

representa un endomorfismo _{f : R}3→_R3_{. Se pide determinar sus valores propios y los}

subespacios propios asociados a ellos.

Solución:

El polinomio característico es:

(

)

(

)

(

)(

)

2

1 0 1

1 1

det 0 2 0 2 2 1

0 1

0 1 1

λ _λ

λ λ λ λ λ

λ λ

−

−

− = − = − = − −

− −

A I

Cuyas raíces son λ=1 (doble) y λ=2 (simple). Veamos ahora los subespacios propios.

1 3

2 2

3 1 1

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0 1 0 0

x x

x x

x x x

=

     

     _{= ⇒ =}



    



     ₌

     

Es decir, una base de V(1) es {(1,0,0)} y, por tanto, dim(V(1))=1.

2 λ=

1

2 1 2 3

3

1 0 1 0

0 0 0 0

0 1 1 0

x

x x x x

x −

    

    _{= ⇒ = =}

    

 ₋    

    

Es decir, una base de V(2) es {(1,1,1)} y, por tanto, dim(V(2))=1.