UT VI : TRABAJO Y ENERGÍA

Contenidos

 Trabajo realizado por una fuerza constante. El producto escalar.

 Trabajo realizado por una fuerza variable.

 Teorema de la Energía Cinética. Energía Cinética.

 Potencia. Potencia Media. Potencia en función de la fuerza y la velocidad. El kWh.

 Conservación de la energía. Fuerzas conservativas. Sistemas conservativos en una dimensión.

 Energía potencial gravitatoria. Energía potencial elástica. Análisis gráficos de los sistemas conservativos.

 Energía Mecánica. Conservación de la energía mecánica.

 Fuerzas no conservativas y trabajo interno. Ley de conservación de la energía.

Bibliografía

 FISICA CLASICA Y MODERNA. Gettys w., Keller f, y Skove M. Ed. McGraw Hill

 FUNDAMENTOS DE FISICA. Tomo I. Halliday y Resnick -Ed. C.E.C.S.A .

 FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIAS. Tomo I. Serway R. y Jewett J. Ed. Thomson.

 FISICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA. Tomo I. Tipler - Mosca. Ed. Reverté. 2008.

 CURSO DE FISICA COU. Peña Sainz y Garzo Pérez. Ed. Mc. Graw Hill

Trabajo de una fuerza Constante

Se define al trabajo W realizado por una fuerza constante que aplicada a un cuerpo produce un desplazamiento al producto escalar:

F

r

cos( )

El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo

a) Un hombre sostie ne una valija de pie, sin desplazarse; Δr =0 => W=0

b) El hombre que sostiene la valija se desplaza caminando (horizontalmente) una cierta distancia Δr ;

cos(θ) = 0 => W=0

cos( ) 0 0

W F r F

cos(90º ) 0 0

c) Un hombre empuja un carrito con valijas,

desplazándolo una distancia Δr;

cos(0º) = 1 => W > 0

d) Un hombre detiene el carrito que se desplaza hacia la

derecha con velocidad V,

deteniéndolo en una distancia Δr ; cos(180º) = -1 => W < 0

cos(0º ) 0

W F r F r

cos(180º ) 0

Unidades

Magnitud c.g.s S.I. Técnico

Fuerza (F) dina(din) [g · cm/s2_]

Newton (N) [kg · m/s2_]

kilogramo fuerza ( kgf - )

Trabajo [W]=[F][L]

dina cm = ergio (erg) 1 erg = 1 din · cm

= 1 g · cm2_/s2

N m=Joule (J) 1 J = 1 N · m

= 1 kg · m2_/s2

kgf m =

kilográmetro (kgm) 1 kgm = 1 kgf · m

Conversión de unidades

2 2

7 7 7

2

7 7

7

1 1 1 1000 100 100

10 10 10

1 10 1 10

1 1 9,8 9,8 9,8 10

m cm

J N m kg m g cm

s s

cm

g cm din cm erg

s

J erg

erg J

kgm kgf m N m J erg

7

7

1 9,8 9,8 10 1 1 9,8 1 1 10 9,8

kgm J erg

J kgm

Trabajo realizado por una fuerza variable

F

( ) ( )

x x

W F r F x i x i F x x

donde (x x ) /

x f i

n

W F x x n x

variable en módulo y dirección a lo largo del desplazamiento, y

 Si aumentamos el número n de intervalos, Δx se hace más pequeño y el resultado será más aproximado al valor exacto.

 Si n→∞ => x → dx → 0 y el resultado es exacto.

si ( ) ( )

( ) f ( )

i

x x

x

x x

x n

x dx

n F x F x

F x x F x dx

( )

f i

x

x x

Si la trayectoria es curvilínea entre Po(xo,yo,zo) y P1(x1,y1,z1), dividimos la trayectoria en desplazamientos infinitesimales dr

cos( ) cos( )

dW F dr

dW F dr F dl

Trabajo elemental

1 1

cos( )

P P

t

Po Po

( )

si ( )

( )

x y

z

F F x

F F y

F F z

1 1 1

0 0 0

x y z

x y z

x y z

W

F dx

F dy

F dz

Podemos descomponer la integral y nos queda:

1 1 1

0 0 0

1 1 1( , , )

( , , )

P P P x y z

x y z

Po Po Po x y z

W

dW

F dr

F dx

F dy

F dz

x y z

Fuerza recuperadora elástica. Ley de Hooke.

El módulo de la fuerza recuperadora elástica de un resorte es directamente proporcional a elongación el mismo

F

k x

El signo negativo se debe a que el sentido de la fuerza

recuperadora es contrario al del alargamiento del resorte.

k es la constante elástica, y sus dimensiones son [fuerza/long].

Trabajo realizado por la fuerza deformadora

1 1 1

0

0 0

2 2 2

1 0

0 2

1

1

1

(

)

2

2

0

₁

si

2

x x x

x _x

x x

W

F dx

k x dx

k x

k x

x

x

W

k x

Potencia

 La magnitud física que relaciona el trabajo realizado y el tiempo empleado en ello se denomina Potencia, y se define como el trabajo realizado en la unidad de tiempo.

 Es una magnitud escalar

 Potencia media: Es el cociente entre el trabajo total realizado y el tiempo empleado en realizarlo

media media

W F r

P P F v

t t

Magnitud c.g.s S.I Técnico

Potencia ergio/s = din cm/s

vatio(W) = J/s

N m/s kgm/s

Una nueva unidad de Trabajo

 De la formula de la potencia podemos despejar ΔW = P Δt => [W]=[P][t], Si expresamos la potencia en kw y el tiempo en horas tenemos [W] = kw . h = kwh (kilovatio hora).

6

1 1000 3600 3.600.000

1 3.600.000 3,6 10

J

kwh w s s

s

kwh J J

Un kwh es el trabajo realizado por un agente (motor) que tiene una potencia de 1000 w (1 kw) en una hora

3

Potencia instantánea

 Si el trabajo realizado varía con el tiempo, definimos la

potencia instantánea P como el límite del valor que toma la potencia media cuando Δt→0.

media

t t

W

dW

P

Lim P

Lim

F v

t

dt

0 0

La potencia P nos da la rapidez con que se realiza el trabajo. es la velocidad instantánea

Energía

La Energía es un concepto abstracto, pero se le puede describir ya que presenta una serie de rasgos básicos : ¿Qué es la energía?

¿Qué quieren decir los físicos cuando hablan de energía?

Siempre está relacionada con procesos de transformación. La Naturaleza siempre está cambiando: cambios de posición, de velocidad, de estado físico .... Todo cambio va acompañado de algo, que nosotros llamamos energía. La Energía es una

propiedad de los cuerpos que permite que estos se

Energía movimiento

curso de agua (río) Puedemover una turbina Ejemplos

tornado Puede levantar y transportar objetos

¡¡Capacidad de realizar trabajo!!

Una definición: Energía es la capacidad de realizar trabajo

El agua que hace girar la turbina de un generador es

retardada en su movimiento y pierde energía. La turbina se pone en marcha y, consecuentemente, gana energía.

En la vida diaria mencionamos diferentes tipos de energía, según el origen de la misma:

• energía eléctrica

• energía solar

• energía eólica

• energía nuclear

• energía hidroeléctrica

• energía química

• energía electromagnética, etc.

En mecánica, la clasificamos como:

La energía que posee un cuerpo móvil debido a su movimiento se llama Energía Cinética (Ec).

Un cuerpo en reposo puede potencialmente realizar un trabajo, por ejemplo un resorte comprimido o el agua

almacenada en una represa. Este tipo de energía asociada a la condición o posición se denomina Energía Potencial (Ep).

Ejemplos:

• Camión en movimiento => energía cinética

• Resorte comprimido => energía potencial elástica

• Roca en la ladera de una montaña => energía potencial gravitatoria

Un cuerpo puede poseer simultáneamente ambos tipos de energía

La energía total, suma de la energía cinética más la energía potencial, se la denomina energía mecánica.

M C P

Volvamos al concepto de trabajo. Dada la definición de energía podemos afirmar que:

Si se realiza un trabajo positivo sobre un sistema (cuerpo), se transfiere energía al mismo

Si se realiza un trabajo negativo sobre un sistema

Una forma de energía puede convertirse en otra

mar + calor => nube => lluvia => rio => mar + calor . . . rio => turbina => electricidad => foco = luz + calor . . .

La energía puede almacenarse.

Hoja, madera: toman la energía calórica del sol y la almacenan transformándola en química.

Al comer las hojas transformamos su energía en calor y mecánica, y la madera al quemarse libera calor y luz.

La energía siempre se conserva.

La energía no puede ser

creada ni destruida, pero

puede ser transformada de

una forma en otra.

Teorema de la energía cinética

f f f f

i i i i

x x x v

x x x v

dv

W

F dx

ma dx

m

dx

m v dv

dt

2 2 2

1

1

1

2

2

2

f i

v

f i

v

W

m v

m v

m v

Energía Cinética

dW

F dx

Trabajo

Definimos a la energía cinética como:

2

1

2

Ec

mv

La energía cinética es siempre positiva

Podemos escribir el Teorema de a Energía cinética como:

T Cf Ci C

W

E

E

E

( ) ( ) cos(0) f f i i r r r r

x y z

x y z

y

x z

x y z

x x y y z z

W F dr m a dr

a dr a i a j a k dx i dy j dz k

a dx a dy a dz

dv

dv dv dx dy dz

dx dy dz dv dv dv

dt dt dt dt dt dt

v dv v dv v dv v dv v dv v dv

2 2

1

1

2

2

W

m v

m v

Ec

Ec

Ec

Energía Cinética

2 2 2

1

1

1

2

2

2

f f i i v v f i v v

Las unidades de trabajo y de energía son las mismas, y las conversiones entre sistemas son las que ya vimos para el trabajo.

Unidades

W = ΔEc => [W] = [Ec] = [Energía]

Es importante destacar que no hemos puesto ninguna

restricción en cuanto al tipo de fuerza que realiza el trabajo. Es decir que el teorema de la energía cinética vale para

Conservación de la energía.

Sistemas conservativos.

La ley de conservación de la energía es una de las leyes fundamentales de la Física. Que algo se conserva, implica en física que mantiene el mismo valor en el tiempo.

Las fuerzas que actúan sobre una partícula pueden clasificarse en conservativas y no conservativas.

Fuerzas conservativas: Son aquellas que

Ejemplo: Pelota que se mueve hacia arriba y luego retorna al punto de partida

max

max max

max max

cos( )

y

=

cos(180º )

cos(0º )

0

ascenso

descenso

total ascenso descenso

W

F

r

F

r

F

P

mg

r

h

W

P h

P h

W

P h

P h

W

W

W

En una dimensión, una fuerza es conservativa cuando solo depende de la coordenada del objeto sobre el cual es

aplicada. Ej: Fuerza restauradora elástica (Ley de Hooke) 2 2

1

2

trayectoria cerrada

0

f i

i f

W

k x

x

x

x

W

Un ejemplo de fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento, cuyo trabajo es negativo en todo momento.

Trabajo que realiza la fuerza restauradora

Si en un sistema, todas las fuerzas que realizan trabajo son conservativas, se dice que el sistema es conservativo.

En los sistemas conservativos existe una relación sencilla entre el trabajo realizado por las fuerzas y la conservación de la energía.

(

) (

)

T f i

W

F

r

m g j

y

y

j

(

)

T f i

W

m g y

y

2 2

1

1

2

2

T f i

W

Ec

m v

m v

Teorema de la Energía Cinética

2 2

1

1

(

)

2

mv

2

mv

m g y

y

2 2

1 1

2 m vi m g yi 2 m vf m g yf

El termino mgy tiene dimensiones de energía, y lo denominamos energía potencial gravitatoria Ep.

Depende de la posición y, de la masa y del valor de la gravedad.

ci pi cf pf i f

La energía mecánica inicial es igual a la

energía mecánica final. Como los instantes t

y

t

son arbitrarios concluimos que:

E

Ec

Ep

Cte

Para sistemas

_{conservativos}

Energía Potencial y conservación de la Energía

Mecánica.

Vimos que en el caso de la energía potencial gravitatoria, su cambio es igual al trabajo negativo realizado por la fuerza gravitatoria.

(

)

(

)

T f i f i

W

m g y

y

m g y

m g y

En los sistemas conservativos, un cambio de la energía cinética es compensado por un cambio de igual magnitud y signo opuesto de la energía potencial, de modo que la energía mecánica permanezca invariada.

(

)

T pf pi p

Sea F_x(x) una fuerza conservativa (unidimensional), el trabajo que realiza la misma esta dado por:

( )

f i

x

x x

W

F x dx

Definimos el cambio de energía potencial (E_pf – E_pi)

debido a una fuerza conservativa como el valor negativo del trabajo realizado por la fuerza.

( )

f i

x

f i x

x

Ep

Ep

Ep

F x dx

Energía Potencial Gravitatoria y Elástica

Si movemos un objeto desde una posición y_i hasta otra y_f, el cambio de energía potencial gravitatoria es:

si

0 e

f i f i

i f

Ep

Ep

Ep

m g y

m g y

y

y

y

Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria depende de la masa, del valor de la gravedad y de la posición con respecto al sistema de

referencia considerado. Depende del sistema de referencia.

Vimos que el trabajo realizado por la fuerza recuperadora elástica era:

2 2

2 2 2 2

1

(

)

2

1

1

1

(

)

2

2

2

f i

f i f i f i

W

k x

x

Ep

Ep

Ep

k x

x

k x

k x

Energía potencial elástica

La energía potencial elástica depende en forma directa de la constante elástica y del cuadrado del apartamiento con

respecto a la posición de equilibrio.

2

1

2

Ep

k x

 Si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas la Energía Mecánica se conserva.

Teorema de conservación de la

Energía Mecánica

Análisis gráfico de los sistemas conservativos

Sistema Masa - Resorte _{Si no hay rozamiento la energía} mecánica se conserva.

x = 0 posición de equilibrio.

x p x p

W

F

x

E

F dx

dE

dEp

Ep

m y g

F

m g

dy

fuerza gravitatoria

Energía potencial y fuerza elástica

p x

dE

F

dx

2

1

2

dEp

Ep

k x

F

k x

dy

•En x = 0 es F = 0 => x = 0 punto de equilibrio.

•Si x > 0 la derivada es negativa => fuerza positiva : objeto se aleja del origen hacia +x. Se aleja del punto de equilibrio.

•Si x < 0 la derivada es positiva => fuerza negativa : objeto se aleja del origen hacia – x. Se aleja del punto de equilibrio.

x = 0 punto de equilibrio inestable.

En los puntos de equilibrio inestable la energía potencial del sistema es máxima.

Equilibrio y estabilidad

Un objeto esta en equilibrio si la fuerza resultante

aplicada sobre el es nula

p x

dE

F

El diagrama representa la energía potencial elástica del sistema masa-resorte. x=0 es la posición de

equilibrio.

Si x>0 la derivada es positiva y la fuerza negativa : si apartamos el cuerpo de la posición de equilibrio tiende a volver a ella.

Si x<0 la derivada es negativa y la fuerza positiva : si apartamos el cuerpo de la posición de equilibrio tiende a volver a ella.

En x=0 el equilibrio es estable. En dicho punto la energía potencial del sistema es mínima.

Fuerzas conservativas en tres dimensiones

En tres dimensiones, una trayectoria cerrada C es cualquiera que se cierre sobre si misma. Si la fuerza es conservativa, el trabajo realizado a lo largo de una trayectoria de este tipo será nulo

0 si

es conservativa

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza

entre dos puntos arbitrarios es independiente de la

trayectoria que se emplea para unirlos

(1) (2)

(1) (2) (2)

0

f i

C i f

f i f

i f i

F dr

F

dr

F

dr

F

dr

F

dr

F

dr

(1) (2)

f f

Fuerzas no conservativas

Si una fuerza no conservativa realiza trabajo sobre un sistema, la energía mecánica no se conserva y cambia durante el movimiento.

T cons no cons f i

W

W

W

Ec

Ec

Ec

El teorema de la energía cinética es válido para cualquier tipo de fuerzas, conservativas y no conservativas.

Si actúan ambos tipos de fuerzas, el trabajo total será la suma del trabajo de las fuerzas conservativas más el trabajo de la fuerzas no conservativas

cons f i

W

Ep

Ep

Ep

ecuación anterior Teorema

f i no cons f i

Ep

Ep

W

Ec

Ec

(

) (

)

no cons f f i i f i

W

Ec

Ep

Ec

Ep

E

E

no cons f i

W

E

E

E

Movimiento de un satélite. Velocidad de escape.

M m

F

G

r

2

cos( ) cos( ) cos( )

1 1

p f i i f f f if i i f if i f i

E E E W

W F dl F dl

dl dl dr

M m

W G dr G M m

r r

1 1

( )

p p f p i

f i

i

p f

E E E G M m

r r

r _{M m}

E r G

r r _r

Para un satélite de masa m, la energía potencial gravitatoria esta dada por esta ecuación. Su energía mecánica lo largo de la trayectoria elíptica se conserva y es igual a:

2 1 2 T c p M m

E E E m v G

r

Para que una nave escape de la atracción gravitatoria de la tierra la distancia mínima a la que debe detenerse (Ec = 0) debe ser tal que Ep = 0, es decir el infinito. La energía

2

1

0

0

2

T

inicial i i

i

m M

E

E

E

m v

G

r

2

G M

v

r

1

2

m M

m v

G

r

Velocidad de escape

La velocidad de escape depende de la posición inicial. No depende de la masa del objeto. La velocidad de escape en la superficie de la Tierra es:

M_T=5,97 1024 _{kg, R}

T=6,37 106 m, G=6,6725985 10-11 m3 kg-1 s-2

11 3 1 2 24

6

2 6, 6725985 10 5,97 10

11.184 6.37 10

i

m kg s kg km

v

s m

RESUMEN

TRABAJO

FUERZA CONSTANTE

FUERZA VARIABLE

cos( )

W

F

r

F

r

( )

W

F x dx

1 1 1

0 0 0

( , , )

( , , )

x y z x y z

W

F dr

F

k x

ENERGÍA CINÉTICA

TEOREMA DE LA ENERGÍA CINÉTICA POTENCIA

2

1

2

Ec

mv

T Cf Ci C

W

E

E

E

dW

P

F v

La energía potencial elástica almacenada en resorte de constante elástica k es

gravitatoria

Ep

mg y

2 elástica

1

Ep

k x

2

•

Una fuerza es

conservativa

si el trabajo realizado

sobre una partícula moviéndose entre dos puntos es

independiente del camino tomado para realizarlo.

•

Una fuerza es

conservativa

si el trabajo realizado

sobre una partícula que se mueve en una trayectoria

cerrada arbitraria es nulo.

La energía mecánica total del un sistema se define como:

E

Ec Ep

( )

f i

x

f i _x x

Ep

Ep

Ep

W

F x dx

La función Energía Potencial solo puede ser asociada a fuerzas conservativas.

Si una fuerza conservativa actúa sobre una partícula desde x_i

hasta x_f, el cambio ΔEp de la energía potencial es igual al trabajo W realizado por la fuerza cambiado de signo:

x

dEp

F (x)

no cons 2 1

W

E

E

E

Si no actúan fuerzas externas sobre el sistema, y hay fuerzas no conservativas actuando dentro del mismo, la variación de la energía mecánica es igual al trabajo realizado por fuerzas no conservativas. Para dos instantes arbitrarios t₁ y t₂ se

cumple:

1 2 1 1 2 2

E

E

Ec

Ep

Ec

Ep

Bibliografía

 FISICA CLASICA Y MODERNA. Gettys w., Keller f, y Skove M. Ed. McGraw Hill

 FUNDAMENTOS DE FISICA. Tomo I. Halliday y Resnick -Ed. C.E.C.S.A .

 FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIAS. Tomo I. Serway R. y Jewett J. Ed. Thomson.

 FISICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA. Tomo I. Tipler - Mosca. Ed. Reverté. 5º Edición. 2008.

 CURSO DE FISICA COU. Peña Sainz y Garzo Pérez. Ed. Mc. Graw Hill