MODELO PAU 2012-2013
OPCION A
Datos:
a)
b) ( )
Solución:
a) (Para calcular la velocidad inicial del movimiento no podemos usar las ecuaciones de cinemática para el MRUA, porque el objeto asciende a una altura demasiado alta como para considerar la aceleración g de la gravedad constante)
Justo después de lanzar el objeto, la única fuerza que actúa sobre él es la gravitatoria, que es conservativa. Por lo tanto, su energía mecánica será constante. (Vale lo mismo en el momento del lanzamiento, en el momento final en el que se para y en cualquier otro punto del camino)
(La energía potencial inicial es la que tiene en la superficie, a una distancia igual al radio del planeta)
(La energía cinética inicial es la que tiene en la superficie justo después de lanzarlo) (La energía cinética final es cero porque asciende hasta pararse)
(La energía potencial final es la que tiene a una altura h cuando se para)
Sustituyendo h:
Despejando :
√
Sustituyendo:
√
√
b) La aceleración de la gravedad es el valor del campo gravitatorio en ese punto, cuyo módulo es:
( )
La dirección del campo gravitatorio es vertical y el sentido, hacia el planeta.
Datos:
a)
¿Depende T de E inicial? b)
Solución:
a) La frecuencia de oscilación de una masa colgada de un muelle sólo depende del valor de la masa y de la constante elástica del muelle.
Como y
√
Entonces:
√
El periodo, inverso de la frecuencia, sólo depende de la masa y de la constante elástica. La energía inicial del movimiento influye en la amplitud con la que oscila la masa.
b) La máxima fuerza se producirá cuando el alargamiento del muelle sea máximo, es decir, en la amplitud.
Como ⃗
El módulo de la fuerza máxima es:
=
Solución:
Según la Ley de Lenz, el sentido de la corriente inducida es tal que se opone al cambio en el flujo magnético de la espira.
Como las líneas de campo magnético alrededor de un imán tienen la forma mostrada en el dibujo, al acercar o alejar el imán de la espira el flujo aumentará o disminuirá en el sentido del eje Z, produciendo una corriente inducida que a su vez producirá un campo magnético
inducido.
a) En este caso, en la espira aumenta el número de líneas de campo que atraviesan la superficie en el sentido Z negativo.
Luego el campo magnético inducido irá en sentido positivo del eje Z para oponerse a este cambio.
Entonces, la corriente inducida irá en sentido anti horario (visto desde arriba) para producir el campo magnético inducido descrito antes.
b) En este caso, en la espira disminuye el número de líneas de campo que atraviesan la superficie en el sentido negativo del eje Z.
Por lo tanto, el campo inducido tendrá que aparecer hacia el sentido negativo del eje Z para oponerse al cambio anterior.
La corriente inducida que crea este campo inducido es la que circula en sentido horario (visto desde arriba).
Solución:
a) Las lentes convergentes tienen su foco objeto a la izquierda de la lente y el foco imagen a la derecha.
Las imágenes de los objetos se forman al cruzarse en un punto los infinitos rayos que salen de cada del objeto.
Para construir las imágenes se usan tres rayos principales:
- El que saliendo del objeto entra paralelo al eje óptico, que sale de ella pasando por el foco imagen.
- El que saliendo del objeto entra pasando por el foco objeto, que sale paralelo al eje óptico.
En el caso de una lente convergente, en función de la posición del objeto se puede formar una imagen:
Real, invertida y menor:
Real, invertida e igual:
Real, invertida y mayor:
Virtual, derecha y mayor:
Imagen en el infinito:
Datos:
a) ( ) b) ( )
Solución:
a) Según la Ley de desintegración radiactiva, la masa de una muestra radiactiva que queda por desintegrar es
( )
En la expresión anterior, es la constante radiactiva del elemento, que se calcula a partir del periodo de semidesintegración:
( )
Luego: ( )
( )
Entonces, la masa que quedará al cabo de 10 años ( ) será: ( )
La masa desintegrada será la que había al principio menos la que se ha desintegrado: ( )
b) La actividad de la muestra es el número de núcleos de la muestra que se desintegran por segundo. Se calcula usando:
( )
O usando:
donde es el número de núcleos.
(para calcular correctamente el número de núcleos hay que usar la masa en gramos, puesto que el número másico del enunciado representa aproximadamente la masa en gramos que pesa un mol de núcleos de esa sustancia)
Entonces:
OPCION B
Datos:
G
a) b)
Solución:
a) Una nave orbitando alrededor de un planeta tiene una energía mecánica que depende de la distancia a la que orbite, de su masa y de la masa del planeta. Indirectamente también depende la velocidad que lleva en la órbita, pero esa velocidad a su vez depende de la distancia, así que la energía depende únicamente de la distancia y de las masas.
La expresión de la energía mecánica para órbitas circulares es:
( )
b) La velocidad angular de la nave se calcula a partir de la velocidad lineal. La velocidad lineal se calcula a partir de la 2ª Ley de Newton para movimientos circulares
uniformes: ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
√
√
La velocidad angular es:
Datos:
( ) ( ) a)
para que b) cuando
Solución:
a) En un instante determinado (una foto de la cuerda), la diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia (longitud de onda) es .
Si dos puntos tienen una diferencia de fase de radianes (la décima parte de ), entonces la distancia entre los puntos será .
De la ecuación, el número de onda es:
Luego la longitud de onda es:
Así que su diferencia de fase será:
b) Para un punto determinado, la diferencia de fase entre su estado de oscilación en dos instantes separados un tiempo (periodo) es de .
De la ecuación de onda, la frecuencia angular es:
Luego el periodo es:
Dos instantes separados están separados un tiempo (porque 5 ms es la
cuarta parte de ).
Datos:
para el apartado b:
a) ⃗⃗( ) ( ) b) cuando
Solución:
a) Como se trata de una carga no puntual, necesitamos el Teorema de Gauss para calcular el campo eléctrico.
Según el Teorema de Gauss, el flujo neto que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga encerrada dentro de la superficie, dividida por .
Se elige una superficie simétrica con respecto a la carga, es decir, otra esfera más grande que pase por el punto a la distancia r.
Se calcula el flujo eléctrico total que atraviesa esa superficie:
( ⃗⃗ ⃗)
Como hay que sumar los flujos en cada una de las superficies que componen la esfera y estas superficies son muy pequeñas, en lugar de un sumatorio ( ) se calcula con una integral:
∫ ⃗⃗ ⃗
Como ⃗⃗ y ⃗ son siempre paralelos para todas las superficies pequeñas en las que tenemos que calcular el flujo, entonces el producto escalar es el producto de los módulos (porque el coseno vale uno).
∫ ⃗⃗ ⃗ ∫ ∫
Como todas las superficies en las que calculamos el flujo están a la misma distancia, el campo eléctrico vale lo mismo en todas. Como estamos haciendo la suma de los flujos en todas las superficies, se puede sacar factor común el campo eléctrico y dejarlo fuera de la integral.
∫ ∫
La integral de dS es la suma de todas las superficies pequeñas que forman la esfera grande. Esa suma es igual a la superficie total de la esfera .
∫
Una vez que hemos calculado el flujo total, aplicamos el Teorema de Gauss:
La carga total encerrada dentro de la superficie grande es , la carga que tiene la esfera pequeña:
Despejamos , obteniendo la expresión del campo eléctrico creado por una esfera cargada a una distancia .
( )
El potencial lo calculamos usando la expresión que relaciona el campo y el potencial eléctrico, en una dimensión:
El signo menos indica que el sentido del campo eléctrico es el del potencial decreciente.
Luego el potencial será:
( )
El potencial en el punto es:
b) Si se envía una partícula desde una posición muy lejana, su energía potencial debida a la primera esfera será cero (posición muy lejana = distancia infinita).
Como durante todo el trayecto, la única fuerza que actúa es la eléctrica, que es una fuerza conservativa, la energía mecánica de la partícula se conserva.
La partícula parte del infinito con velocidad , y se para a una
distancia , donde habrá intercambiado toda su energía cinética en energía potencial.
( )
Solución:
a) La refracción es el fenómeno por el cual la luz cambia de velocidad al cambiar de medio por el que se propaga. Este cambio en la velocidad produce también un cambio en la dirección de propagación.
La desviación que sufre un rayo de luz al atravesar una frontera de separación entre dos medios depende del índice de refracción relativo de esos dos medios, que a su vez depende de la longitud de onda de la luz incidente.
Si la luz que incide está formada por varias longitudes de onda, entonces cada longitud de onda se desviará una cantidad diferente, fenómeno que se conoce como dispersión de la luz.
Un rayo de luz monocromática posee una única longitud de onda y, por lo tanto, un único índice de refracción. Esto implica que se puede producir refracción pero no dispersión.
b) Cuando un haz de rayos paralelos de luz atraviesa una lámina de caras planas y paralelas, todos los rayos salen paralelos de la lámina, formando un nuevo haz que emerge desplazado del incidente pero paralelo a él.
Para que se observe el fenómeno de dispersión, los rayos de diferentes longitudes de onda deben divergir, pero en la lámina de caras planas y paralelas todos los rayos salen paralelos.
Datos:
a) b)
Solución:
a) La función de trabajo de un metal es la energía que cuesta arrancar los electrones en el efecto fotoeléctrico. Es igual a la energía de la luz menos la energía cinética máxima con la que salen los electrones del metal. También se puede calcular usando la
expresión:
donde es la frecuencia umbral del metal.
Luego:
La energía cinética máxima de los electrones será la energía de la luz menos el trabajo de extracción:
b) El potencial de frenado es la diferencia de potencial que consigue que todos los electrones emitidos por el metal se frenen y no lleguen a la placa de enfrente. Para que ocurra esto, los electrones deben perder toda su energía cinética, ganando energía potencial:
