Definición de Mínimo Absoluto: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor mínimo absoluto en su dominio D del plano xy si existe algún punto (x

101

UNIDAD 4

VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES CONTENIDOS:

Funciones dos veces diferenciables. Funciones Clase C2 .Teorema de Young sobre la permutabilidad del orden de las derivaciones.

Definición de extremos relativos (libres), puntos críticos. Prueba de la segunda derivada.

Máximo o mínimo absoluto. Teorema del valor extremo para funciones de dos variables.

Valores extremos de funciones sometidas a una restricción; multiplicadores de Lagrange. Condiciones de Kuhn-Tucker.

102

DESARROLLO:

FUNCION CONTINUAMENTE DIFERENCIABLE:

Una clase diferenciable, es una clasificación de una función de acuerdo a las propiedades de sus derivadas. Una función es de clase uno y su denotación es: C1, si sus derivadas son continuas y se las denomina diferenciables continuas. Una función es de clase n



n1



y constante, Cn, si sus derivadas parciales de orden n, son continuas y se las denomina diferenciables finitas. Una función es denominada continuamente diferenciable, si es de clase n Cn para todo n o lo que es lo mismo es C∞

En este capítulo, en el cual se pretende abordar algunos temas de optimización de funciones de varias variables, la funciones dos veces diferenciables, permiten la discusión de la naturaleza de los extremos locales y el estudio de las funciones convexas.

La noción de aplicación diferenciable dos veces se plantes sólo en el caso de funciones de varias variables reales, tomando como base la diferenciabilidad de las derivadas parciales.

El Teorema de Young afirma, que bajo condiciones generales, no importa el orden que se realiza que se realiza la diferenciación parcial para evaluar las derivadas parciales de segundo orden, y arribando a la conclusión que ambas son coincidentes.

Teorema de Young (Vera) Sea f Ω: → R definida en un abierto Ω ⊂ R2(caso particular del teorema). Se supone que a ∈ posee un entorno Va ⊂ Ω, donde existen las derivadas parciales Dif , Djf (i ≠ j) y ambas son diferenciables en a. Entonces se verifica

Dijf (a) = Djif (a).

La demostración se basa en el Teorema de Schwarz, desarrollado en el capítulo tres. Extremos absolutos de funciones de dos variables:

Definición de Máximo Absoluto: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor máximo absoluto en su dominio D del plano xy si existe algún punto (x0;y0) en D tal que f



x0;y0



 f

   

x;y x;y D. En tal caso f



x0;y0



es el valor máximo

absoluto de f en D.

Definición de Mínimo Absoluto: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor mínimo absoluto en su dominio D del plano xy si existe algún punto (x0;y0) en D tal que f



x0;y0



 f

   

x;y x;y D. En tal caso f



x0;y0



es el valor mínimo absoluto

de f en D.

Extremos relativos/libres de funciones de dos variables:

Definición de Máximo Relativo: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor máximo relativo en el punto (x0;y0) si existe un disco abierto B





x0;y0



;r



tal que

103

Definición de Mínimo Relativo: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor mínimo relativo en el punto (x0;y0) si existe un disco abierto B





x0;y0



;r



tal que



x y



f

   

x y x y B f 0; 0  ;  ;  .

Teorema: Si f(x;y) existe en todos los punto de algún disco abierto B





x₀;y₀



;r



y si tiene un extremo relativo en (x0;y0), entonces si fx



x0;y0



y f



x0;y0



existen,



x₀;y₀



0 y f



x₀;y₀



0 f_x

Definición de Punto Crítico:

Si f(x;y) existe en todos los punto de algún disco abierto B





x₀;y₀



;r



el punto (x0;y0) es un punto crítico de f, si una de las siguientes condiciones se cumple:

a) fx



x0;y0



0y f



x0;y0



0 b) fx



x₀;y₀



o f



x₀;y₀



no existen

Un punto crítico de una función no necesariamente proporciona un extremo relativo de la función, y en tal caso se dice que es un punto silla de la función f.

Condiciones Necesarias y Suficientes para la Existencia de Extremos Relativos o Libres:

Condiciones Necesarias: Dada una función f, que admite derivadas parciales en (x0;y0) interior a su dominio, para que la función admita máximo o mínimo relativo en f(x0;y0), es necesario que:



x0;y0



0y f



x0;y0



0

fx y

Si se toma la función de una sola variable: ) ( ) ;

(x y0 g x

f 

Y si

 



;





0; 0



0

´ 0

´ 0 ´

0

 



 f x y

y x f x

g x _{x x} x ; la función sería creciente en (x0;y0) y por

consiguiente no podría tener allí ni máximo ni mínimo, pues en el entorno habría valores mayores que f(x0;y0) a la derecha y menores que f(x0;y0) a la izquierda. Igualmente si

 



;





0; 0



0

´ 0

´ 0 ´

0

 



 f x y

y x f x

g x _{x x} x ; la función sería decreciente en

(x0;y0) y por consiguiente no podría tener allí ni máximo ni mínimo, pues en el entorno habría valores mayores que f(x0;y0) a la izquierda y menores que f(x0;y0) a la derecha. Queda entonces como única alternativa que f_x



x₀;y₀



0 . Con razonamiento análogo, interceptando la superficie funcional con un plano x x₀, se llega a que



x₀;y₀



0

f_y .

Condiciones Suficientes:

104

 



























f

x

y

x

f

x

y

x

y

f

x

y

y



T

 

x

y

y

y

x

f

x

y

x

f

y

x

f

y

x

f

yy xy xx y x

;

;

;

2

;

2

1

;

;

;

;

3 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0





























Si el punto (x0;y0) es un punto crítico de f, en el que se cumple que:



x0;y0



0y f



x0;y0



0

fx , se tiene entonces que:

  

x

y

f

x

y





f



x

y



x

f



x

y



x

y

f



x

y



y



T

 

x

y

f

_xx

;

2

_xy

;

_yy

;

;

2

1

;

;



_{0 0}



_{0 0}



2



_{0 0}







_{0 0}



2



₃

Si la función f de dos variables tiene un valor máximo relativo en el punto (x0;y0) entonces existe un disco abierto B





x0;y0



;r



tal que

  

x;y f x0;y0



0

 

x;y B,

f     mientras que si tiene un valor mínimo relativo en el punto (x0;y0) dicha diferencia será positiva o nula.

Estudiar el signo de la diferencia que figura en el primer miembro de la expresión, equivale a estudiar el signo de la expresión que figura entre corchetes en el segundo miembro puesto que

T

₃

 

x

;

y

un valor despreciable para valores próximos a (x0;y0). A los efectos de simplificar las notaciones, se define una nueva denotación, como a continuación se detalla:























0 0



0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0

;

;

;

;

;

2

;

y

x

f

C

y

x

f

B

y

x

f

A

y

y

x

f

y

x

y

x

f

x

y

x

f

R

yy xy xx yy xy xx





















Por lo tanto:

2 2

2

B

x

y

C

y

x

A

R















A

y

AC

y

x

AB

x

A

R

A

Si

2 2 2

2

0



















Si se completa el trinomio cuadrado perfecto en el numerador sumando y restando

2 2

y

B  , se arriba a una nueva expresión de R:

105

El factor AC-B2 que se denotará por H(x0;y0), recibe el nombre de hessiano de f(x;y) en f(x0;y0), y puede expresarse por medio del determinante que surge de la matriz conformada por la derivadas parciales segundas de la función especializada en (x0;y0) :







_



_



_



_

0 0 ´´ 0 0 ´´ 0 0 ´´ 0 0 ´´ 0 0 ; ; ; ; ; y x f y x f y x f y x f C B B A y x H yy yx xy xx  

Téngase presente que se conserva el signo de H(x0;y0) en un entorno de (x0;y0) si las derivadas segundas con continuas en (x0;y0) y si H(x0;y0) es distinto de cero; puesto que H(x0;y0) es continua.

Debe tenerse presente que el signo de R sólo depende de A y de H; y pueden presentarse las siguientes alternativas:

A1)



















x

y



Mínimo

lativo

f

R

SiA

lativo

Máximo

y

x

f

R

SiA

y

B

AC

y

y

B

x

A

y

x

SiH

Re

;

0

0

Re

;

0

0

0

0

;

0 0 0 0 2 2 2 0 0



































A2)

Si H(x0;y0)<0; el signo de R depende de Δx y de Δy, por lo tanto no existe entorno de (x0;y0) en el cual se conserve el signo de R (y por lo tanto el signo del término que proviene de las terceras derivadas parciales). Estas variaciones de signo para los diversos valores de los incrementos, indican que si H(x0;y0)<0, en (x0;y0) no hay máximo relativo ni mínimo relativo; se dice que existe punto de silla o de ensilladura. A3) Si H(x0;y0)=0; se está ante un caso dudoso, y para estudiar la existencia de extremos habría que remitirse a los otros términos del desarrollo de Taylor, analizando las derivadas parciales de orden superior, o bien estudiar el comportamiento de la función en un entorno del punto.

En los ejercicios 1°) a 3°) determine los valores extremos relativos de f, si existen, y su naturaleza.

1°) f

 

x,y 4x32y224x22y8 Solución:

Para obtener los extremos, si existen, debemos encontrar los posibles puntos de

2

 críticos; para ello debemos ver en dónde se anulan las derivadas parciales de orden uno.

 





4 x 0 x 0 4 x x 12 0 x 48 x 12 y , x

fx 2

106

 

2 1 y 0 2 y 4 y , x f_y      

Por lo tanto los pares ordenados críticos posibles son:

                 2 1 ; 0 P 2 1 , 4

P_{1 2}

Ahora bien, para analizar qué tipo de situación se presenta realmente; debemos recurrir a las derivadas de orden dos. Por lo tanto:

 

 

 

 

 

x,y f

 

x,y



f

 

x,y





24x 48



4 f 0 y , x f y , x f 4 y , x f 48 x 24 y , x f 2 xy yy xx yx xy yy xx          

Analicemos qué sucede en el par 

       2 1 , 4

P₁ :



24 4 48



4 0 2 1 , 4 f 2 1 , 4 f 2 1 , 4 f 2 xy yy

xx      

                         

  . Luego, en 

       2 1 , 4 P₁

existe un mínimo o máximo relativo. Pero si analizamos qué sucede con el signo de

 

x y

f_xx , en este par, determinaremos la naturaleza del extremo.

 

_  

   

  0

y , x f 2 1 , 4

xx Mínimo relativo en dicho par.

Y el valor que toma en dicho par es:

5 , 120 2 1 , 4

f 

     

Analicemos qué sucede en el par 

107



24 0 48



4 0 2

1 , 0 f 2 1 , 0 f 2 1 , 0 f

2 xy

yy

xx      

  

 

       

       

    

  . Luego, en





2 1 , 0

2  

P

existe un punto de silla. Analizar los valores para pares cercanos a los pares críticos.

La gráfica correspondiente es:

2°)

 

2 ,

2xy

e y x

f 

Solución:

 

 

x

,

y

xe

0

x

0

f

0

y

0

ye

y

,

x

f

xy 2 y

xy 2 x

















Por lo tanto, el par crítico posible es P₁

 

0,0 .

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

-1 -59,5 -20 1,5 8 2,5 -12 -32,5 -56 -79,5 -100 -114,5 -120 -113,5 -92 -52,5 8 92,5

-0,75 -59,875 -20,375 1,125 7,625 2,125 -12,375 -32,875 -56,375 -79,875 -100,375 -114,875 -120,375 -113,875 -92,375 -52,875 7,625 92,125

-0,5 -60 -20,5 1 7,5 2 -12,5 -33 -56,5 -80 -100,5 -115 -120,5 -114 -92,5 -53 7,5 92

-0,25 -59,875 -20,375 1,125 7,625 2,125 -12,375 -32,875 -56,375 -79,875 -100,375 -114,875 -120,375 -113,875 -92,375 -52,875 7,625 92,125

0 -59,5 -20 1,5 8 2,5 -12 -32,5 -56 -79,5 -100 -114,5 -120 -113,5 -92 -52,5 8 92,5

0,25 -58,875 -19,375 2,125 8,625 3,125 -11,375 -31,875 -55,375 -78,875 -99,375 -113,875 -119,375 -112,875 -91,375 -51,875 8,625 93,125

0,5 -58 -18,5 3 9,5 4 -10,5 -31 -54,5 -78 -98,5 -113 -118,5 -112 -90,5 -51 9,5 94

0,75 -56,875 -17,375 4,125 10,625 5,125 -9,375 -29,875 -53,375 -76,875 -97,375 -111,875 -117,375 -110,875 -89,375 -49,875 10,625 95,125

1 -55,5 -16 5,5 12 6,5 -8 -28,5 -52 -75,5 -96 -110,5 -116 -109,5 -88 -48,5 12 96,5

Series1

-150 -100 -50 0 50 100

-1,5 -1 -0,5

0

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

108

 

 

 

 

   



 



2 2 2 4xy 2xy 2xy 2

xy yy

xx

xy 2 xy

2 yx

xy

xy 2 2 yy

xy 2 2 xx

)

xye

2

e

(

e

y

x

4

y

,

x

f

y

,

x

f

y

,

x

f

xye

2

e

y

,

x

f

y

,

x

f

e

x

2

y

,

x

f

e

y

2

y

,

x

f





















Con lo cual f_xx(0,0).f_yy(0,0)



f_xy(0,0)



2 1

Es decir, que en P₁ (0,0) existe un punto silla Analizar los valores para pares cercanos a los pares críticos.

La gráfica correspondiente es:

1,798319863 1,532427 1,305848 1,11277 0,94824 0,808037 0,688564 0,586755 0,5 0,426072 0,363075 0,309392 0,263646 0,224664 0,191446 0,16314 0,139019 1,532427102 1,332228 1,158183 1,006876 0,875336 0,760981 0,661565 0,575137 0,5 0,434679 0,377892 0,328523 0,285605 0,248293 0,215855 0,187656 0,16314 1,305848237 1,158183 1,027217 0,911059 0,808037 0,716665 0,635625 0,563748 0,5 0,44346 0,393314 0,348838 0,309392 0,274406 0,243376 0,215855 0,191446 1,112770464 1,006876 0,911059 0,824361 0,745912 0,674929 0,610701 0,552585 0,5 0,452419 0,409365 0,370409 0,33516 0,303265 0,274406 0,248293 0,224664 0,94824044 0,875336 0,808037 0,745912 0,688564 0,635625 0,586755 0,541644 0,5 0,461558 0,426072 0,393314 0,363075 0,33516 0,309392 0,285605 0,263646 0,808037201 0,760981 0,716665 0,674929 0,635625 0,598609 0,563748 0,530918 0,5 0,470882 0,44346 0,417635 0,393314 0,370409 0,348838 0,328523 0,309392 0,688563882 0,661565 0,635625 0,610701 0,586755 0,563748 0,541644 0,520405 0,5 0,480395 0,461558 0,44346 0,426072 0,409365 0,393314 0,377892 0,363075 0,586755435 0,575137 0,563748 0,552585 0,541644 0,530918 0,520405 0,510101 0,5 0,490099 0,480395 0,470882 0,461558 0,452419 0,44346 0,434679 0,426072

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,426071894 0,434679 0,44346 0,452419 0,461558 0,470882 0,480395 0,490099 0,5 0,510101 0,520405 0,530918 0,541644 0,552585 0,563748 0,575137 0,586755 0,363074519 0,377892 0,393314 0,409365 0,426072 0,44346 0,461558 0,480395 0,5 0,520405 0,541644 0,563748 0,586755 0,610701 0,635625 0,661565 0,688564 0,309391696 0,328523 0,348838 0,370409 0,393314 0,417635 0,44346 0,470882 0,5 0,530918 0,563748 0,598609 0,635625 0,674929 0,716665 0,760981 0,808037 0,263646212 0,285605 0,309392 0,33516 0,363075 0,393314 0,426072 0,461558 0,5 0,541644 0,586755 0,635625 0,688564 0,745912 0,808037 0,875336 0,94824 0,224664482 0,248293 0,274406 0,303265 0,33516 0,370409 0,409365 0,452419 0,5 0,552585 0,610701 0,674929 0,745912 0,824361 0,911059 1,006876 1,11277 0,191446443 0,215855 0,243376 0,274406 0,309392 0,348838 0,393314 0,44346 0,5 0,563748 0,635625 0,716665 0,808037 0,911059 1,027217 1,158183 1,305848 0,163139897 0,187656 0,215855 0,248293 0,285605 0,328523 0,377892 0,434679 0,5 0,575137 0,661565 0,760981 0,875336 1,006876 1,158183 1,332228 1,532427 0,13901865 0,16314 0,191446 0,224664 0,263646 0,309392 0,363075 0,426072 0,5 0,586755 0,688564 0,808037 0,94824 1,11277 1,305848 1,532427 1,79832

Series1 Series6

Series11 Series16

0 0,5 1 1,5

2

109

3°) f(x,y)4xy2 2x2yx

Solución: Puntos críticos:

      

2 1 , 0

P1 y 

      

2 1 , 0 P1

No son ni máximos ni mínimos.

Se adjuntan gráfica con distintas visiones y tabla valores cercanos a los puntos críticos:

Series1 Series4

Series7

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

-1,5 -1 -0,5 0 _{0,5 1}

1,5 _{2 2,5} 3

110

4°) Determinar el punto del plano 3x2yz5 que esté más cerca del punto



1,2,3



y calcule la mínima distancia.

Solución:

El punto del plano 3x2yz5 que está más próximo al punto



1,2,3



es el que, también, pertenece a la recta normal.

Para determinar la recta normal al plano debemos resolver las derivadas de primer orden, o sea:

1 2 3

   

z y x

F F F

La ecuación de la recta normal está dada por:

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

-1,5 0,5

2,5

25-30 20-25 15-20 10-15 5-10 0-5 -5-0 -10--5

0 -1 -1 0 2 5 9 14 20 27

1,5 0,25 -0,25 0 1 2,75 5,25 8,5 12,5 17,25

2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9

2,25 1,25 0,5 0 -0,25 -0,25 0 0,5 1,25 2,25

1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3

0 0,25 0,25 0 -0,5 -1,25 -2,25 -3,5 -5 -6,75 -2,25 -1 -0,25 0 -0,25 -1 -2,25 -4 -6,25 -9 -5,25 -2,75 -1 0 0,25 -0,25 -1,5 -3,5 -6,25 -9,75

111

1 2

3

0 0

0

    

x y y z z x

Por lo tanto:

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

z

3

x

z

3

x

z

3

z

3

x

x

1

z

z

3

x

x

y

3

x

2

y

3

x

2

y

3

y

3

x

2

x

2

2

y

y

3

x

x





















































Con lo cual al ser x0 1 y0 2 z0 3 De la primera relación surge que:

3 8 2 8

3

2x y  y x

Y de la segunda:

3 10 10

3     



x z z x

Por lo tanto el punto de intersección de la recta normal con el plano, deberá satisfacer la siguiente igualdad:

5

3

10

x

3

8

x

2

2

x

3























De donde resulta que 14 41

x , por lo que

14 33 z 7 5 y 

Por lo tanto, la distancia mínima entre el plano y el punto



1,2,3



es la distancia

existente entre 

  



 _



14 33 , 7 5 , 14 41

0

112





14 14 9 3

14 33 2

7 5 1

14 41 ,

2 2

2

0  

  

  _     

 _{ } 

   

  _ 

P P D

5°) Hallar la mínima distancia del punto (1;2;3) al plano 2x – y + z =5

Solución:

3 6  D

APLICACIONES ECONÓMICAS

6°) Un fabricante monopolista vende dos tipos de esencias. Ha analizado sus anteriores operaciones y ha decidido que si produce x litros de esencia A e y litros de esencia B, se pueden vender respectivamente a



2004x



y a



2506y



dólares cada litro. El costo total de la fabricación de las esencias está dado por C

 

x,y 24x22y8xy dólares. ¿Cuántos litros de cada esencia debe fabricar a fin de obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es dicha utilidad?

Solución:

Definamos las funciones que se necesitan para realizar el estudio en cuestión:

  

 



      

x y I x y C x y x x

 

y y



x y xy U

y y

x x

y x I

8 22 24 6

250 4

200 ,

, ,

6 250 4

200 ,

    

 

 

 

 

Como x es la producción de esencia A e y la producción de esencia B: x 0 , y0

Además las expresiones ( 200 – 4x ) y ( 250 – 6y) representan dinero, por lo tanto









6 250 y 0 y 6 250

50 x 0 x 4 200

   

113

Por lo tanto, si definimos el dominio de U

 

x,y se tiene que:

   

   



 _{     }



6 250 0

50 0

/ ,

,y x y 2 x y

x DomU

Esta función es continua, por lo tanto se puede aplicar el teorema del valor extremo.

Si resolvemos ambas ecuaciones, es posible encontrar el par que cumple conjuntamente con las mismas. Siendo dicho par

 

9;13 .

Ahora debemos analizar las derivadas parciales de orden dos:

 

 

 

x;y U (x;y) 8 U

12 y

; x U

8 y ; x U

yx xy

yy xx

  

 

 

Resultando U_xx(9;13)U_yy(9;13)



U_xy(9;13)



2 320

Por lo tanto, en el par en cuestión puede haber un mínimo o un máximo relativo. Pero como U_xx(9;13)0 podemos afirmar que en el par (9:13) la función alcanza un máximo relativo.

Para poder afirmar que efectivamente es un máximo, debemos ver qué sucede con los valores funcionales en los bordes del dominio y comparar con el valor funcional en

 

9,13 .

 

9,13 2274 U

Analicemos qué sucede en los “bordes” del dominio de la función:

a- U

 

x,0 176x4x2. Analicemos cómo es esta función.

 

 

x,0 8 0 Endichopuntolafunciónalcanza unmáximo U

22 x 0 x 8 176 0 , x U

    

114



22,0



1936

U . Pero 19362274

b- U

 

0,y 228y6y2. Analicemos cómo es esta función.

 

 

0,y 12y 0 Endichopuntolafunciónalcanzaunmáximo U

19 y 0 y 12 228 y

, 0 U

19

y  

  

     



 

0,19 2166

U . Pero 21662274

c- Para 

  

 

6 250 , x

U con x



0,50



y para U(50;y) con y_ _ 6 250 ;

0 , los puntos críticos no se encuentran en los dominios respectivos.

Por lo que concluimos que U

 

9;13 es máximo absoluto.

A continuación se presenta una tabla de pares funcionales y la gráfica correspondiente a tres vistas distintas de la función a maximizar en el dominio consignado al inicio del problema

Series1 Series8

Series15

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500

-3 -1 1 3 5 7 9 _{11 13 15 17 19 21}

115

7°) Suponga que cuando la producción de una mercancía requiere xhoras-máquina y de yhoras-persona, el costo de producción está dado por

 

x,y 2x3 6xyy2 500

C . Determine el número de horas máquina y de horas-persona necesarios para producir la mercancía a un costo mínimo.

Determinemos, primero, si existen pares críticos. Para ello recurramos a obtener las derivadas parciales y ver si existen valores para los cuales éstas toman valor nulo –

Se

rie

s1

Se

ri

es

4

Se

rie

s7

Se

rie

s10

Se

rie

s13

Se

rie

s16

Se

ri

es

19

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500

-3 6

15

2000-2500 1500-2000 1000-1500 500-1000 0-500 -500-0 -1000--500 -1500--1000

Se

ries

1

Se

rie

s3

Se

ries

5

Se

rie

s7

Se

rie

s9

Se

rie

s11

Se

rie

s13

Se

rie

s15

Se

rie

s17

Se

rie

s19

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500

-3 6 15

116

recuerde que estamos hablando de valores funcionales para los cuales la pendiente de la recta tangente a la gráfica es nula; o sea, es paralela al eje correspondiente -.

 

 

 2 y

) 1 ( 2

2 x

x

3

y

0

y

2

x

6

y

,

x

C

0

y

x

0

y

6

x

6

y

,

x

C

























Reemplazando (2) en (1) se tiene:

3 x 0 x

0 x 3 x2

   

 

Por lo tanto:

9 0 

 y y

Luego, los pares ordenados son P₁ 

 

0,0 P₂ 

 

3,9 y el dominio de la función es

   

x,y 



x,y 2/x0,y0



domC .

Pasando al análisis de las derivadas de segundo orden, se tiene:

6 2 12

   

xy yy xx

C C

x C

Aplicamos, ahora, el Hessiano a los pares hallados: a-



C C C



_{ }60

0 , 0 2 xy yy

xx punto de silla; descartamos este caso para

nuestro objetivo.

b-



 



_{ } 0

9 , 3 2 xy yy

xx C C

C en este par puede haber máximo o mínimo relativo.

117

 3,9 360 xx

C Se trata de un mínimo relativo

 

3,9 473

C 

Por lo tanto, si la cantidad de horas-máquina es 3 y la cantidad de horas-persona es 9, se producirá la mercancía al costo de 473 u.m. y será el costo menor de todos los posibles valores de costos; en el entorno de dicho par.

Tabla de pares funcionales:

Gráficamente:

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2 464 490 504 518 544 594 680 814 1008

-1 473 493 501 509 529 573 653 781 969

0 484 498 500 502 516 554 628 750 932

1 497 505 501 497 505 537 605 721 897

2 512 514 504 494 496 522 584 694 864

3 529 525 509 493 489 509 565 669 833

4 548 538 516 494 484 498 548 646 804

5 569 553 525 497 481 489 533 625 777

6 592 570 536 502 480 482 520 606 752

7 617 589 549 509 481 477 509 589 729

8 644 610 564 518 484 474 500 574 708

9 673 633 581 529 489 473 493 561 689

10 704 658 600 542 496 474 488 550 672

11 737 685 621 557 505 477 485 541 657

12 772 714 644 574 516 482 484 534 644

Series1 Series6 0

200 400 600 800 1000 1200

-2 -1 0 1 2 3 _{4 5 6 7 8 9}

10 11 12

118

8-1 Desarrollar un número positivo a en tres sumandos de manera tal que el producto de éstos tenga el valor máximo.

8-2 Suponga a=21; obtenga P₀ y el valor máximo que alcanza el producto. 8-3 Suponga a=1; obtenga P₀ y el valor máximo que alcanza el producto.

Respuesta:

1- 

  

  

3 , 3 , 3

0

a a a

P máximo relativo y el resultado del producto es

3

3

   a

.

2- _

  

  

3 21 , 3 21 , 3 21

0

P máximo relativo y el resultado del producto es 343.

3- 

  

  

3 1 , 3 1 , 3 1

0

P máximo relativo y el resultado del producto es

3

3 1

     

9- Si las funciones de demanda para x e y son p363x q405y y la

función de costo conjunto es

 

2 2

3 2

,y x xy y x

C    , determinar las cantidades y precios que maximicen las utilidades para el monopolista. Evaluar la utilidad empresarial máxima.

Respuesta:

 

4,2 U

 

4,2 100

P0   : máximo absoluto. No olvide evaluar qué sucede en el

contorno del dominio para poder afirmar que es un extremo absoluto.

10- Suponiendo que la función de producción es 16z652



x5



2 4



y4



2, que los precios unitarios de los insumos x,y(en una situación de competencia pura) son 16 y 8 respectivamente; y que el precio unitario del satisfactor producido es 64, determinar la utilidad máxima.

119 157 4 15 , 4 ; 4 15 , 4

0 

            U P

En los ejercicios 11 a 14, localizar los puntos críticos – si existen – y determinar su naturaleza en caso de su existencia.

11- f



x,y,z



x2 2xy2y2 2xz4z2 2z

Obtengamos las tríadas donde las derivadas de orden uno se anulan:











, ,



2 8 2 0 0 4 2 , , 0 2 2 2 , ,             z x z y x f y x z y x f z y x z y x f z y x

Resolviendo el sistema se llega a _

    _{ }  2 1 , 2 1 , 1 0 P .

Obtengamos las segundas derivadas:























, ,



2 0 , , 2 , , 8 , , 4 , , 2 , ,        z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f xz zy yx zz yy xx

Se tiene, entonces, el Hessiano:

8 0 2 0 4 2 2 2 2    H

120

16 8 0 2

0 4 2

2 2 2

4 4 2

2 2

2 2

3 2 1

 

 

 

 

 

H H H

Vemos que todos ellos son mayores a cero, condición que implica la presencia de un mínimo. En el caso de que alguno de ellos fuera nulo, estaríamos ante una situación de carencia de información y por lo tanto se debería recurrir al estudio en la vecindad del punto crítico. En el caso de que alguno de ellos fuera negativo, estaríamos ante el caso de un máximo.

El valor mínimo que se obtiene, entonces, es:

2 1 2 1 , 2 1 ,

1 

  

 _{ } f

12-





2 2

5 2 4

,

,y z x xy y xz z x

f     

Respuesta:

   

  

20 1 ; 4 1 ; 2 3

0

P . No se puede sacar una conclusión respecto al punto crítico, se debe realizar un análisis en la vecindad. H₁ 0,H₂ 16,H₃ 152.

13- f



x,y,z



2x2 xy4y2 xzz2 10 Respuesta:



0;0;0



0 

121

14-





2 2 2

2 2 2 16 ,

,y z x y z

x

f    

Respuesta:



0;0;0



0 

P es un máximo relativo. H₁ 4,H₂ 16,H₃ 64.

15- Una empresa fabrica tres productos rivales. Las funciones de demanda de cada uno de los productos son

3 2 1 3

3 2 1 2

3 2 1 1

p 2 p p 5000 q

p p 3 p 6000 q

p p p 2 4000 q

   

   

   

,

donde qi es la cantidad demandada del producto i, en un año, y pi su precio.

Determine si es posible, los precios que producen el ingreso máximo (asegúrese que se trate de un máximo). ¿Qué cantidades deberían producirse a dichos precios? En tal caso, ¿cuál es el ingreso máximo total?

Respuesta:

   

  

3 22500 ; 3 29999

0

P , Q



2000,3000,2500



, I_MÁX 65.166.690

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Dentro de la problemática de optimización, uno de los métodos que abarca, es el de

los multiplicadores de Lagrange, el cual es un procedimiento para encontrar los

máximos y/o mínimos de funciones de varias variables sujetas a condiciones específicas o restricciones. Las restricciones son relaciones de igualdad; con las mismas el método reformula el problema sobre n variables que está restringido por las k restricciones, a uno sin restricciones de n + k variables. Estas k nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. De acuerdo al método, los puntos donde la función tiene un extremo condicionado por las k

122

para los cuales todas las derivadas parciales de primer orden se anulan (puntos estacionarios).

Supóngase que se va a optimizar la función:



x x xn



f 1, 2,....,

y que la misma está sometida a las siguientes restricciones:



x x xn

 

g x x xn



gk



x x xn



g_{1 1}, ₂,...., ; _{2 1}, ₂,...., ;... ₁, ₂,....,

Se genera la función lagrangiana F



x₁,x₂,....,x_n



, como una combinación lineal a partir de todas aquéllas:















 

 k

j

n j

j n

n f x x x g x x

x x x F

1

1 2

1 2

1, ,...., , ,....,  ,....

Donde los _i,1ik son los multiplicadores de Lagrange, incógnitas independientes, cada uno de ellos, de las n variables.

Para determinar todas las incógnitas, se procede a derivar parcialmente la función lagrangiana, con respecto a todas las incógnitas, e igualarlas a cero:



x x



j k g

g f

F

n i x

g

x f x F

n j

k

m j

m m j

j

k

j i

j j i

i

   

  

   



     

    





 

1 , 0 ,....,

1 , 0

1 1

1

  





Y se resuelve el sistema obtenido. Obsérvese, que



x x



j k

g F

n j

j

   

 

1 , 0 ,....,

1



En algunas situaciones, los valores de los multiplicadores de Lagrange, no son de interés y no se determinan, o sea son multiplicadores indeterminados; el método analiza entre los posibles valores máximos o mínimos, con el objetivo de elegir sólo aquellos que satisfacen las restricciones.

Cuando el hessiano es menor o igual a cero, la prueba falla.

16- f

 

x,y  x23xy6y

sujeta a x y42.

123



, ,



 23 6 



 42



y x y xy x y

x

L   donde es el multiplicador de Lagrange

indeterminado; si aseguramos que xy 42 cualquier valor de  dará



x y



f

 

x y L , ,  , .

Si obtenemos las derivadas parciales se tiene:











, ,



42 0

0 6

3 , ,

0 3

2 , ,

    

   

   

y x y

x L

x y

x L

y x y

x L

y x



 

 



Automáticamente garantiza el cumplimiento de la condición subsidiaria.

El problema de optimizar una función sujeta a una restricción, desde el punto de vista matemático, produce el efecto de reducir el dominio y por consiguiente, el rango de la función objetivo.

Con este sistema que hemos generado, debemos encontrar si es que existen, las soluciones. Si tomamos la primera ecuación y restamos la segunda se obtiene:

Si reemplazamos en la tercera condición tendremos:

9 y 0 42 y 6 y

3      



Si volvemos a (1):

33

 x

Y para obtener el valor de  podemos tomar la segunda ecuación del sistema inicial:

 1

6 3 0

6

3     

 y x y

124

93 0

6 33 3 6

x

3      

Ahora bien, debemos analizar si estamos ante un máximo o ante un mínimo relativo. Para ello, obtenemos las derivadas de segundo orden de la función, las derivadas parciales de la función de restricción y armamos el hessiano:











, ,



3 0 , ,

2 , ,

  

  

y x L

y x L

y x L

xy yy xx

Nótese que las derivadas parciales de g

 

x,y c son constantes e igual a uno en ambos casos. Entonces:

0 4 0 3 1

3 2 1

1 1 0

L L L

L L L

L L L H

yy yx y

xy xx x

y x

  



 

  

Lo que nos indica que existe un máximo relativo restringido en el par



33,9



y que dicho valor está dado por:



33,9



1926 f

La primera ventaja del método es que nos proporciona el valor del multiplicador. Además, en estos casos,  es una medida de sensibilidad de la funciónLrespecto a un cambio en la

restricción:

c L

  



Es, entonces, la medida del efecto de una variación del parámetro cde la restricción sobre el valor óptimo de la función objetivo: L



x,y,



 f

 

x,y 



g

 

x,y c



Además,  es el equivalente a un peso sombra en programación lineal. Es decir, es el grado en que cambiará el valor óptimo de la función objetivo si el miembro derecho de la restricción aumentara en una unidad. Representa, entonces, el valor económico de contar

125

17-





2 2

2 20 3

,y x xy y x

f    sujeta a x y100.

Sea L



x,y,



3x22y220xy



xy100



donde  es el multiplicador de Lagrange indeterminado si aseguramos que x y100.

Si obtenemos las derivadas parciales se tiene:











, ,



100 0

0 20

4 ,

,

0 20

6 ,

,

    

    

    

y x y

x L

x y y

x L

y x y

x L

y x



 

 



Automáticamente garantiza el cumplimiento de la condición subsidiaria.

De las dos primeras condiciones – restando la primera a la segunda – obtenemos que:

y 13 12 x 0 y 24 x

26    



Si esta condición la expresamos en la tercera ecuación:

52 y 100 y y 13 12

0    

Por lo tanto, x48.

Queda, entonces, el punto crítico P



48,52



.

Si obtenemos el hessiando de acuerdo a las pautas ya señaladas:

0 50 4 20 1

20 6 1

1 1 0

     

yy yx y

xy xx x

y x

L L L

L L L

L L L H

 

  

126

APLICACIONES ECONÓMICAS:

18- Una compañía ha recibido una orden de 200 unidades para uno de sus productos. El pedido será efectivizado con la producción combinada de sus dos plantas. La función conjunta de costo de fabricación de este producto es C



q₁,q₂



2q₁2q₁q₂q₂2500 donde q₁,q₂ son las cantidades producidas por las plantas 1 y 2 respectivamente. Si el objetivo es minimizar los costos totales sujeto a la condición de suministrar las 200 unidades de la orden, ¿qué cantidades deberá producir cada planta?

Se quiere minimizar la función de costo dada sujeta a la condición de suministrar 200 unidades de su producto en total. Por lo tanto, la relación a plantear es: q1q2 200. La función Lagrangiana será :



, ,



2 500



1 2 200



2 2 2 1 2 1 2

1 q  q qq q   q q 

q

L   .

Entonces:

0 200

0 2

0 4

2 1

2 1

2 1

2 1

    

   

   

q q L

q q L

q q L

q q



 

De las dos primeras condiciones – restando la primera a la segunda – obtenemos que:

1 2

2

1

q

0

q

3

q

q

3









Si esta condición la expresamos en la tercera ecuación:

50

q

200

q

3

q

₁



₂





₁



127

Por lo tanto el punto crítico es P



50,150



.

Para analizar si éste es un valor mínimo, debemos armar el hessiano correspondiente:

0 4 2 1 1

1 4 1

1 1 0

L L L

L L L

L L L H

yy yx y

xy xx x

y x

   



 

  

.

Efectivamente, en



50,150



el costo alcanza un mínimo y es de C



50,150



35500

Entonces, para producir las 200 unidades conjuntamente en condiciones que el costo sea mínimo – en el entorno correspondiente – la planta 1 deberá producir 50 unidades y la planta 2, 150 unidades y el costo de la operación sería el mínimo e implicará 35500 u.m.

19- Una fábrica elabora dos clases de productos. La función conjunta del costo es

 

x y x y xy

C ,  22 2

donde C es el costo de producción semanal en miles de pesos, xey son las cantidades producidas por semana de cada producto. Si la producción combinada es de 16 unidades por semana, hallar las cantidades semanales de cada producto que dan por resultado el costo total mínimo.

Generamos las función Lagrangiana: L



x,y,



x22y2xy



xy16



. Luego:











, ,



16 0

0 4

, ,

0 2

, ,

    

   

   

y x y

x L

x y y

x L

y x y

x L

y x



 

 



De las dos primeras condiciones – restando la primera a la segunda – obtenemos que:

x 5 3 y 0 y 5 x

3    

128

10 x 16 x x 5

3 _{   }

Por lo tanto, y6 14.

Queda, entonces, el punto crítico P 



10,6



. Si obtenemos el hessiano;

0 8 4 1 1

1 2 1

1 1 0

L L L

L L L

L L L H

yy yx y

xy xx x

y x

   

 



 

  

Entonces P



10,6



genera un valor mínimo relativo de la función costo en cuestión, sujeta a la restricción de producir 16 unidades semanales en forma combinada. El costo de dicha producción es:



10,6



112 C

Además hemos visto que si se aumentara a 17 unidades la producción semanal combinada, el costo aumentaría aproximadamente en 14 u.m.

20- Una empresa necesita de 2 insumos básicos en su línea de producción de zapatos. Para ser competitiva en el mercado debe asegurarse de minimizar los desperdicios de los insumos. Si su función de producción en la línea de productos es

 

2 2

9

,y x xy y x

f

P_e    

Y la de su principal competidor es P_c g

 

x,y 9x3xyx

129

Si armamos la función lagrangiana para la empresa propia, se tiene



x,y,



9x2 y2xy



xy90



L   .

Luego:











, ,



90 0

0 2 , , 0 18 , ,              y x y x L y x y x L y x y x L y x      

Si resolvemos el sistema convenientemente llegamos a P_e 



5;85



con 175 Si obtenemos el hessiano:

mín P L L L L L L L L L H e yy yx y xy xx x y x : 0 18 

       

Analicemos, qué sucede para la empresa de la competencia.



x,y,



9x 3xy y



x y 90



L       

Luego:











x,y,



x y 90 0 L 0 1 x 3 , y , x L 0 y 3 9 , y , x L y x                   

Si resolvemos el sistema convenientemente llegamos a _

      3 131 ; 3 139

P_c con 140

Si obtenemos el hessiano:

0 6 L L L L L L L L L H yy yx y xy xx x y x        

130

21- Obtener los máximos y mínimos (si los hubiera) de la función





2 2

3 12

,y xy y x x

f    sujeta a xy16. Explique qué mide el valor del

coeficiente . Respuesta:

 

9,7

0 

P es un máximo restringido con 66 y f

 

9,7 528

22- Bajo cierta combinación de tierra y capital, un país construye su isocuanta. Si la forma funcional de la misma es

 

2 2

16 2

,k k t kt t

f    con una restricción presupuestaria o isocoste de kt 10. ¿Cuál es la combinación de tierra y capital que permite al país llegar a su mayor curva de indiferencia social?

23- Maximizar _f



_x,y



₂₅_y2_x2 _{sujeta a}

y x 2 4 . Respuesta:

      

5 4 , 5 8

0

P es un máximo relativo restringido con

5 8

 

 y f

 

P₀ 21,8.

ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN DE ALLEN-UZAWA:

Dada una función de utilidad U



x₁;x₂;...x_n



; un ingreso M donde





 n

i i ix

p M

1

y el problema es maximizar la utilidad sujeta al ingreso, que como se ha visto el método correspondiente a tal objetivo es el de los multiplicadores de Lagrange.

131







; ;.... ; )



1 ) ; ;.... ;

2 1

2 1

M P P P

n i M P P P X x

n n i

i

  

  

Donde las n primeras ecuaciones denotan funciones de demanda. Cuando en la i-ésima función de demanda se fijan todos los precios de las mercancías excluyendo al de la i-ésima mercancía, y asimismo el ingreso del consumidor (M)), se obtiene la curva de demanda de la i-ésima mercancía. En el caso de fijar todos los precios y sólo varía el ingreso, se obtiene la curva de Engel.

Las elasticidades de la demanda, son medidas de la sensibilidad de la cantidad demanda de una mercancía a las variaciones de los precios y del ingreso.

Se define la elasticidad-precio de la demanda del producto i-ésimo con respecto al precio del producto j-ésimo (pj) como:

j i i

j j i ij

p X x

p p X

ln ln *

   

 



Cuando i es distitnto de j, se está definiendo la elasticidad precio cruzada, caso contrario se está definiendo la elasticidad precio directa.

Se define la elasticidad-ingreso de la demanda del producto i-ésimo como:

M X x

M M

X _i

i i i

ln ln *

   

  

Un requisito para la consistencia de la teoría de la utilidad es que las funciones de demanda sean todas ellas, homogéneas de grado cero.

Dividiendo ambos términos de la igualdad que resulta de aplicar el teorema de Euler a cada una de las funciones de demanda por la demanda de la mercancía correspondiente, se llega a:

n

i

i n

j

ij













1

;

0

1





La suma de todas las elasticidades precio con la elasticidad ingreso de un bien, debe ser nula para cada bien.

La participación del bien i en el gasto total del consumidor, viene dada por: n

i M

p x_{i i}

i  1 

132

La denominada elasticidad de Hicks-Allen o elasticidad de la curva de demanda compensada, se define como:

i j ij

ij









*





Las elasticidades de Hicks-Allen, son una buena medida de los efectos que producen los cambios en los precios cuando el consumidor es compensado mediante un cambio en el ingreso que lo devuelva al mismo nivel de utilidad anterior a la variación del precio. La elasticidad de sustitución de Allen-Uzawa se define como:

j ij

ij 

   *

La elasticidad de sustitución de Allen-Uzawa, es una medida de sustitución entre dos bienes, que no sólo no depende de las unidades escogidas, propiedad que comparte con cualquier otra elasticidad, sino que tampoco depende del orden en que sean considerados los bienes, como ocurre con la elasticidad de Hicks-Allen. En el caso bidimensional, es la que se conoce simplemente como elasticidad de sustitución.

Independencia Del Orden De Consideración De Los Bienes:

ji i ji j ij

ij _ 

 



   

* *

i i

j i j i

i i

j j

i j

j i

i i

j i

j

j i

i j ij

j i j ij

j ij ij

x

M

M

X

x

x

M

p

X

x

M

M

X

M

p

x

x

p

p

X

x

M

M

X

x

p

p

X

















































*

*

*

*























Se define derivada del producto i-ésimo compensado con respecto al precio del producto j-ésimo, como:

M

X

x

p

X

p

X

_i

j j i

j C i

133 Ahora bien: ij i i i j j i j j i j i j j j i j j i j j i j i j j i j j i j j C i x M M X x x M p X p x M x p M X x p x M x p p X p x M x p M X x p X p x M x p p X                               * * * * * * * * * *

Asímismo vale que:

i C j j C i p X p X     

Con lo cual resulta que:

ji i i j i i C j i j i C j j j i j i C j j j i j j C i ij p x M x p p X x x M p X p x M x p p X p x M x p p X _               * * * * * * *

ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN DE MORISHIMA

Algunos autores plantean que la elasticidad de sustitución de Allen es una generalización matemática de una medida de sustitución que es razonable para dos inputs, pero que pierde su significado económico en un contexto de más de dos inputs; en por ello que recomiendan el uso de la elasticidad de sustitución de Morishima, que se puede definir como:



ij ji



n k k k j j ij x f x f

M   



1

Donde f es una función de producción.

La elasticidad de sustitución de Morishima, al contrario que la de Allen, no es simétrica, es decir, Mij  Mji. Asimismo, dos factores complementarios según la elasticidad de Allen pueden ser sustitutivos según la de Morishima.

134

 

 

1 1

(1)

O sea es constante, cuya magnitud depende de ρ; y si se tiene presente que si este parámetro tiende a cero la función coincide con la función de producción de Cobb-Douglas, se puede entonces afirmar que la elasticidad de sustitución de la misma es uno.

En el caso que ρ, crezca ilimitadamente; la función se transforma en una de proporciones fijas, por lo que no hay posibilidad de sustitución entre los factores; se puede concluir que se combinan como complementos perfectos y las isocuantas forman ángulos rectos.

Para ρ positivo, situación no común, existe sustitución entre factores, y para el caso de negatividad de ρ, situación más común, existe sustitución entre factores, siendo ésta perfecta cuando ρ tiende a -1.

Para verificar la igualdad presentada anteriormente en (1), se analizará el problema de hallar la combinación de inputs de mínimo costo para la producción de un nivel específico de output Q , que represente, por ejemplo, un pedido especial de un cliente. ₀ Dada una función de producción diferenciable con dos inputs variables, Q = Q(x;y) , dondeQ_x,Q_y 0y suponiendo que los precios de los dos inputs ( P_x y P_y ) son exógenos, se desea minimizar el costo C(x;y)=xP_x yP_y sujeto a la restricción

) y ; x ( Q Q0 

Con lo cual la función Lagrangiana resulta :

L



x;y;



xPx  yPy 



Q

 

x;y Q₀



El par que minimiza el costo deberá satisfacer las siguientes igualdades:











; ;



 

; 0 0 ;

;

0 ;

;

0 

 

  

  

Q y x Q y

x L

Q P y

x L

Q P y

x L

y y y

x x x



 

 



De las dos primeras ecuaciones se deduce que  

y y x x

Q P

Q P