Transferencia de Calor
Cap. 3
Juan Manuel Rodriguez Prieto
Conducción de calor en estado
estacionario
•
Con frecuencia es de interés la razón de transferencia de calor a través
de un medio, en condiciones y temperaturas superficiales estacionarias.
•
Los problemas de conducción de calor se resuelven con facilidad sin la
intervención de ecuaciones diferenciales, mediante la introducción de
los
conceptos de resistencia térmica
, de manera análoga a los problemas
sobre circuitos eléctricos.
•
la resistencia térmica -- resistencia eléctrica
•
la diferencia de temperatura - - tensión
•
la rapidez de la transferencia de calor -- corriente eléctrica.
•
Relaciones de la resistencia térmica para condiciones de
Conducción de calor en estado
estacionario en paredes planas
Consideremos la conducción
estacionaria de calor a través de las
paredes de una casa durante un día
de invierno.
La habitación pierde calor en forma
continua hacia el exterior a través
de la pared.
La transferencia de calor a través de
la pared es en la
dirección normal
a la
superficie de ésta y no tiene lugar
alguna transferencia de calor
significativa en ella en otras
direcciones.
La transferencia de calor a través de
la pared de una casa se puede
considerar como
estacionaria
y
Balance de energía en la pared
La razón de la transferencia de calor a través de la pared debe ser constante.
Considere una pared plana de
espesor L y conductividad térmica
promedio k. Las dos superficies de la pared se mantienen a temperaturas constantes de T1 y T2.
La ley de Fourier se puede expresar como:
El gradiente de temperatura a través de la pared es constante, lo cual significa que la temperatura a través de la pared varia linealmente con x.
Razón de la
transferencia de calor
hacia la pared
⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = Razón de la transferencia de calor
hacia afuera de la pared ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ !
Qcond,pared = −k dT
dx A
Balance de energía en la pared
!
Qcond,pared = kAT1 −T2
L (W)
La razón de la conducción de calor a través de una pared plana es
proporcional a la conductividad térmica promedio, al área de la
pared y a la diferencia de temperatura, pero es inversamente
proporcional al espesor de la pared.
El concepto de resistencia térmica
!
Qcond,pared = T1 −T2
Rpared (W)
Rpared = L kA
I = V1 −V2
Re (W)
Resistencia a la conducción
El concepto de resistencia térmica
Resistencia a la convección
!
Qconv = Ts −T∞
Rconv (W)
Rconv = 1 hAs Considere la transferencia de calor
por convección de una superficie sólida de área As y temperatura Ts
hacia un fluido cuya temperatura en un punto suficientemente lejos de la superficie es T∞, con un coeficiente de transferencia de calor por convección h.
!
Qconv = h T
(
s −T∞)
A(W)El concepto de resistencia térmica
Resistencia a la radiación
hrad = εσ(Ts +Talred)(Ts2 +Talred2 ) !
Qrad = εσ
(
Ts4 −Talred4)
A(W) Q!rad = hrad(
Ts −Talred)
A(W)Rrad = 1
hradA =
1
εσ(Ts +Talred)(Ts2 +Talred2 )A
!
Qrad = Ts −Talred
El concepto de resistencia térmica
Radiación-‐convección
Una superficie expuesta al aire circundante comprende convección y radiación de manera simultanea y la transferencia de calor total en la superficie se determina al sumar (o restar, si tienen direcciones opuestas) las componentes de radiación y de convección. Las resistencias a la convección y a la radiación son paralelas entre sí, como se muestra en la figura 3-5 y p u e d e n p r o v o c a r a l g u n a s complicaciones en la red de
resistencias térmicas. h= h
rad +hconv
El concepto de resistencia térmica
!
Q = h1(T∞1 −T1)A= kAT1 −T2
L = h2(T2 −T∞2)A
!
Q= (T∞1−T1)
1 /h1A =
T1−T2
L/kA =
(T2 −T∞2) 1 /h2A
= (T∞1−T1)
Rconv1 =
T1−T2
Rcond =
(T2 −T∞2)
Rconv2
!
Q = (T∞1 −T∞2)
Rtotal
R
total=
R
conv1+
R
cond+
R
conv2Al sumar los numeradores y los denominadores da
Donde
la caída de temperatura a través de cualquier capa es proporcional a la resistencia térmica de ésta.
El concepto de resistencia térmica
!
Q = h1(T∞1 −T1)A= k1AT1 −T2
L1 = k2A
T2 −T3
L2 = h2(T3 −T∞2)A
!
Q= (T∞1−T1)
1 /h1A =
T1−T2 L1/k1A =
T2 −T3 L2 /k2A =
(T3−T∞2) 1 /h2A
= (T∞1−T1)
Rconv1 =
T1−T2 Rcond =
(T2 −T∞2) Rconv2
!
Q = (T∞1 −T∞2)
Rtotal
R
total=
R
conv1+
R
cond1+
R
cond2+
R
conv2Al sumar los numeradores y los denominadores da
Donde
la caída de temperatura a través de cualquier capa es proporcional a la resistencia térmica de ésta.
El concepto de resistencia térmica
Ejemplo 1
!
Q = kAT1 −T2 L
Considere una pared gruesa de 3 m de alto, 5 m de ancho y 0.30 m de espesor, cuya
conductividad térmica es k=0.9 W/m· °C. Cierto
día, se miden las temperaturas de las superficies interior y exterior de esa pared y resultan ser de 16°C y 2°C, respectivamente. Determine la razón de la pérdida de calor a través de la pared en ese día.
!
Q = 0.9 *15(16−2)
El concepto de resistencia térmica
Ejemplo 2
Rcond = L kA =
0.008
0.78 *1.2 = 0.00855ºC /W
Considere una ventana de vidrio de 0.8 m de alto y 1.5 m de ancho, con un espesor de 8 mm y una
conductividad térmica de k=0.78 W/m · °C.
Deter mine la razón estacionaria de la transferencia de calor a través de esta ventana de vidrio y la temperatura de su superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 20°C, en tanto que la temperatura del exterior es de -10°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor de las superficies interior y
exterior de la ventana como h1 =10W/m2 ·°C y
h2=40W/m2·°C, los cuales incluyen los efectos de la radiación.
Rconv1 = 1 h1A =
1
10 *1.2 = 0.08333ºC /W
Rconv2 = 1
h2A =
1
40 *1.2 = 0.02083ºC /W
!
Q = T∞1 −T∞2
Rtotal =
20−(−10)
0.1127ºC /W = 266W
Rtotal = Rconv1 + Rcond + Rconv2
El concepto de resistencia térmica
Tarea
El concepto de resistencia térmica
Tarea
El concepto de resistencia térmica
Tarea
El concepto de resistencia térmica
Tarea
El concepto de resistencia térmica
Se puede usar el concepto de resistencia térmica o la
analogía eléctrica para resolver problemas de transferencia de calor en estado estacionario que comprenden capas en paralelo o disposiciones combinadas serie-paralelo.
Considere la pared compuesta, la cual consta de dos capas paralelas.
!
Q =Q!1 +Q!2
!
Q1 = k1A1T1 −T2
L =
T1 −T2 R1
!
Q2 = k2A2 T1 −T2
L =
T1 −T2 R2
!
Q1 = T1 −T2
Rtotal
El concepto de resistencia térmica
Se puede usar el concepto de resistencia térmica o la
analogía eléctrica para resolver problemas de transferencia de calor en estado estacionario que comprenden capas en paralelo o disposiciones combinadas serie-paralelo.
Considere la pared compuesta, la cual consta de dos capas paralelas.
!
Q =Q!1 +Q!2
!
Q1 = T1 −T∞
Rtotal
Rtotal = R1R2
R1 + R2 + R3 + R4
R1 = L
k1A1 R2 = L k2A2
R3 = L
k3A3 R4 =
1
El concepto de resistencia térmica
Ejemplo
Una pared de 3 m de alto y 5 m de ancho consta de ladrillos de 16 por 22 cm de sección
transversal horizontal (k=0.72 W/m · °C)
separados por capas de mortero (k=0.22 W/m ·
°C) de 3 cm de espesor. También se tienen capas de mortero de 2 cm de espesor sobre cada lado
del ladrillo y una espuma rígida (k =0.026 W/m ·
°C) de 3 cm de espesor sobre el lado interior de la pared, como se muestra en la figura 3-21. Las temperaturas dentro y fuera son de 20°C y 10°C, respectivamente, y los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre los
lados interior y exterior son h1=10 W/m2 · °C y
h2=25 W/m2 · °C, respectivamente. Si se supone
El concepto de resistencia térmica
Ejemplo
1 Renmedio =
1 R3 +
1 R5 +
1 R6
Renmedio = R3R4R5
R4R5 +R3R5 + R3R4
Rtotal = Ri + R1 + R2 + Renmedio + R6 + Ro
Ri = 0.4 ºC
W R1 = 4.6 ºC W
R2 = 0.36ºC
W Renmedio = 0.97 ºC W
R6 = 0.36ºC
El concepto de resistencia térmica
Ejemplo
Rtotal = Ri +R1 + R2 + Renmedio + R6 + Ro
Ri = 0.4ºC
W R1 = 4.6 ºC W
R2 = 0.36ºC
W Renmedio = 0.97 ºC W
R6 = 0.36ºC
W Ro = 0.16 ºC W
Rtotal = 6.87ºC
W
!
Q = T∞1 −T∞2
Rtotal =
30
El concepto de resistencia térmica
cilindro
!
Q = T1 −T2
Rcond,cil Rcond,cil =
El concepto de resistencia térmica
esfera
!
Q = T1 −T2
Rcond,esf Rcond,esf =
El concepto de resistencia térmica
esfera
!
Q = T∞1 −T∞2 Rtotal
Rtotal = Rconv,1+ Rcond,cil + Rconv,2 Considere ahora el flujo unidimensional de calor
en estado estacionario a través de una capa cilíndrica o esférica que está expuesta a la convección en ambos lados hacia fluidos que
están a las temperaturas T∞1 y T∞2, con
coeficientes de transferencia de calor h1 y h2, respectivamente
Rcond,cil =
ln(r2 /r1)
2πLk Rconv,1=
1
2πr1Lh1 Rconv,2 =
1 2πr2Lh2
cilindro
esfera
Rtotal = Rconv,1+ Rcond,esf + Rconv,2
Rcond,esf = r2 −r1
4πr1r2k Rconv,1=
1 4πr12
h1 Rconv,2 =
1 4πr2 2
Cilindros y esferas con capas
múlAples
Rtotal = Rconv,1+ Rcond,cil,1+ Rcond,cil,2 + +Rcond,cil,3+ Rconv,2
Rcond,cil,1=
ln(r2/r1)
2πLk1
Rconv,1=
1 2πr1Lh1
Rconv,2 = 1 2πr4Lh2
esfera
Rcond,cil,2=
ln(r3/r2)
2πLk2
Rcond,cil,3=
ln(r4 /r3)
Cilindros y esferas con capas
múlAples
Al agregar aislamiento a un tubo cilíndrico o a una capa esférica, el aislamiento adicional incrementa la resistencia a la conducción de la capa de aislamiento pero disminuye la resistencia a la convección de la superficie debido al incremento en el área exterior. La transferencia de calor del tubo puede aumentar o disminuir, dependiendo de cuál sea el efecto que domine.
Considere un tubo cilíndrico de radio exterior r1 cuya temperatura de la superficie exterior, T1, se mantiene constante. Ahora se aísla el tubo con un material cuya conductividad térmica es k y su radio exterior es r2. Se pierde calor del tubo hacia el medio circundante que está a la temperatura T∞, con un coeficiente de transferencia de calor h por convección. La velocidad de la transferencia de calor del tubo aislado hacia el aire circundante se puede expresar como
!
Q = T1−T∞ Rtotal
Rcond,cil =
ln(r2/r1) 2πLk Rconv= 1
2πr2Lh
Cilindros y esferas con capas
múlAples
(radio criAco)
La razón de la transferencia de calor del cilindro
aumenta con la adición de aislamiento para r2 <
Cilindros y esferas con capas
múlAples
(radio criAco)
La razón de la transferencia de calor del cilindro
aumenta con la adición de aislamiento para r2 <
Aletas
La razón de la transferencia de calor desde una superficie que está a una temperatura Ts
hacia el medio circundante que está a T∞ se expresa por la ley de Newton del enfriamiento
como
Supongamos Ts y T∞ se fijan por consideraciones de diseño.
Existen dos maneras de incrementar la razón de la transferencia de calor: aumentar el
coeficiente de transferencia de calor por convección, h, o aumentar el área superficial A.
El aumento de h puede requerir la instalación de una bomba o ventilador, pero este procedimiento puede no ser practico o adecuado.
La alternativa es aumentar el área superficial al agregar unas superficies extendidas llamadas
aletas, hechas de materiales intensamente conductores como el aluminio.
!
Ecuación de la aleta
d
2θ
dx
2−
α
2
θ
=
0
Donde
θ
=
T
−
T
∞Ecuación de la aleta
Solución
T
(
x)
−
T
∞T
b−
T
∞=
e
−( hp/kA)x
Aleta infinitamente larga
T
(
L
→ ∞
)
=
T
∞T
(0)
=
T
b!
Q
aleta=
hpkA
(
T
b−
T
∞)
Punta de la aleta aislada
T
(
x
)
−
T
∞T
b−
T
∞=
cosh
m
(
L
−
x
)
cosh
mL
dT
dx
(
L
)
=
0
T
(0)
=
T
b!
Q
aleta=
hpkA
(
T
b−
T
∞)tanh(
mL
)
m
=
2
h
/
kt
Punta de la aleta en convección y radiación
Una manera práctica de tomar en cuenta la pérdida de calor desde la punta es reemplazar la longitud
L de la aleta en la relación para el caso de punta aislada por una longitud corregida definida como
