Líneas de espera pdf

Variación en Manufactura

Clientes: Entidad que solicita o requiere servicio.

Servidor: Persona o equipo que efectúa el proceso de

transformación del cliente.

Fila/Cola: El conjunto de

• Tasa de servicio (µ): Número de trabajos(clientes) por unidad de tiempo que procesa un servidor (persona, equipo).

• Tasa de llegadas(λ):Número de trabajos(clientes) por unidad de tiempo que llegan al sistema para solicitar servicio.

T_S= Tiempo de servicio

T_a= Tiempo entre llegadas consecutivas

 

  1



 

  1

•

Primero-en-Entrar-Primero-en-Salir

• _{Prioridad/Ponderación}

Inmediata (3)

Media (2)

Una etapa, varios servidores

Conceptos importantes

• _{Tiempo ciclo (CT, cycle time): período o lapso} que permanece un trabajo en el sistema.

• _{WIP (work in process): trabajo en proceso,} número de trabajos que esperan a ser

realizados. En líneas de espera se le conoce también como número de trabajos que

permanecen en la fila.

• _{Troughput (rendimiento, facturación por} unidad de recurso):número de trabajos

Tiempo total de permanencia

 

i

TC

 

i

 

T

 

i

 

1

TC







Tiempo promedio que permanece en la línea de la estación i

Tiempo permanencia

Considere una estación a donde llegan trabajos y son procesados.

El tiempo permanencia (tiempo de ciclo) para un intervalo de tiempo (a,b) (a<b) está dado por la ecuación (2).

Número de trabajos en el sistema

En una estación, el número promedio de

trabajos por unidad de tiempo dentro de un intervalo (a,b) se calcula como sigue:

   

  ab _{TCab TCab}

a b N b a WIP a,b a,b b a WIP                  , 3 ) a( permanenci promedio Tiempo tiempo de unidad por ) ( llegan Trabajos de promedio Numero ,

 

a

,

b

TC

 

4

WIP





ANÁLISIS COMO

Considere la siguiente situación:

En una empresa se cuenta con una estación de trabajo la cual realiza un trabajo a la vez.

La operación es como sigue: los trabajos llegan a la estación, si el equipo está libre entonces pasa directamente a la máquina, una vez que se ha realizado la operación la pieza se envía a otra sección de la planta. Si el equipo está ocupado realizando un trabajo entonces las piezas se forman en espera de ser procesadas. La empresa usa como política que no pueden permanecer más de 3 trabajos en en el sistema.

Suponga que el sistema cumple con las siguientes condiciones:

1. Tasa de llegadas es

aleatoria con distribución exponencial.

2. Tasa de servicio es

aleatoria con distribución exponencial.

3. Disciplina de servicio: FIFO.

Análisis de la línea de espera

Estados: Número de clientes en el sistema.

En una operación prolongada, si se presenta una llegada, entonces el numero de trabajos en el sistema aumenta, en caso contrario cuando se finaliza un servicio, el número de trabajos disminuye (flujo entrada-salida).

El flujo de entrada-salida de trabajos al sistema se puede modelar con un sistema de ecuaciones lineales.

0

1





Incrementos a estados

superiores Decrementos a

Gráfica de estados del sistema

0

1

2

3







Construcción de las ecuaciones de

balance: análisis por nodo

0

1

2

3









_

_

p

p







  Rapidez serviciosPrde salir delestadoi 1

i estado el en permanecer de Pr llegadas

Rapidez _  

  

Construcción de las ecuaciones de

balance: análisis por nodo

0

1

2

3









_

_

2

1

p

p



Construcción de las ecuaciones de

balance: análisis por nodo

0

1

2

3









_

_

3

2

p

p



Ecuaciones de flujo

0

1

2

3









_

_

• _{Sistema de n-1 ecuaciones de flujo + una}

ecuación de normalización

1

3 2

1

0  p  p  p 

RESUELVA EL SISTEMA PARA

ENCONTRAR P

EN FUNCIÓN DE

Las ecuaciones para cada caso se obtienen mediante un análisis con gráfica o bien

realizando un balance de flujo entrada-salida en cada estado (Ley de Little). 1. Estado estable.

Propiedad Definición Relaciones M/M/1

L / WIPs Cantidad esperada de clientes / trabajos en el sistema

Lq /WIP_q Cantidad esperada de clientes / trabajos en la fila

W /TC Tiempo medio de espera en el sistema (Tiempo de ciclo)

Wq /TC_q Tiempo medio de espera en la fila (Tiempo de ciclo)

Congestión Tiempo de servicio Tiempo entre llegadas Throughput

   e q S S i i S WIP TC WIP ip WIP     0    e S q q i i q WIP TC WIP ip WIP     1

 S q

S TC E t

TC  

 S S

q TC E t

TC  



1



S

t ta  _1

 

  _e  

Ejemplo 1 de un sistema M/M/1

Considere un sistema con un solo servidor donde el tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio son variables aleatorias con distribución exponencial

(M/M/1). Suponga que llegan 4 trabajos por hora y el tiempo de servicio es de 1/5 de hora.

Ejemplo 2 de un sistema M/M/1

Considere un sistema con un solo servidor donde el tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio son variables aleatorias con

distribución exponencial (M/M/1). Suponga que llegan 5 trabajos por hora.

Calcule WIP_s ,TC_s, y ρ para los siguientes

valores de tiempo de servicio: 5.5, 6, 7, 8, 9 y 10.

Ejemplo 3

Con los datos obtenidos de su muestreo obtenga: el factor de uso(ρ), el numero de trabajos en el sistema(WIP_s), el tiempo-ciclo en el sistema(TC_s), el tiempo de permanencia en la línea de espera(TC_q), la probabilidad de que el sistema esté vacío(p₀).

CASOS PARTICULARES.

APROXIMACIONES PARA

Análisis de una línea con un solo canal, un servidor y capacidad ilimitada en la línea de

espera

Suponga que el sistema cumple con las

siguientes condiciones: 1. Tasa de llegadas es aleatoria con

distribución exponencial.

Ecuación de Pollaczeck – Khintchine

para obtener el numero de trabajos en

el sistema

El número de trabajos en el sistema (WIP) en un sistema tipo M/G/1 es:

Donde N es el número de trabajos en espera del sistema y σ_ts es la desviación estándar del

tiempo de servicio.

Ciclo tiempo para un sistema

M/G/1

El ciclo tiempo una línea tipo M/G/1 es:

Donde T es el tiempo que el trabajo

permanece en la línea de espera y σ_t es la desviación estándar del tiempo de servicio.

Ejemplo 4 Sistema M/G/1.

Retome los datos de su muestreo. Aplique la aproximación Pollaczeck – Khintchine para calcular WIP_s y TC_q suponiendo que se trata de un sistema M/G/1.

Análisis de una línea con un solo canal, un servidor y capacidad limitada en la línea de

espera

Suponga que el sistema cumple con los

siguientes supuestos:

1. Tiempo entre

llegadas aleatorio media ta y varianza σ2_a.

Ciclo tiempo para una línea G/G/1

El ciclo tiempo una línea tipo G/G/1 es:

Donde C_a2 y C_s2 son los coeficientes de

variación del tiempo entre las llegadas y del tiempo de servicio respectivamente.

   / /1

2 1 / / 2 2 M M TC C C G G

TC_q a s _{ q}

      

 

Ejemplo 5 Sistema G/G/1.

Ejemplo 6 sistema G/G/1

Considere un sistema con tiempos entre

llegadas aleatorias con distribución gamma con media de 15 minutos y con desviación estándar de 30 minutos. Suponga que el

tiempo de servicio es ajustado con una

función Erlang-4 con media de 12 minutos. Calcule TC_q .

Las propiedades de Erlang-k son:

     

k x

C k

x V

x ; ; 2 1

2

 



Ejemplo 7 Sistema con población

finita

En una empresa se lleva un registro de los tiempos de paro de los equipos y del tiempo que transcurre entre cada falla. Una vez que se presenta la falla el supervisor registra la hora y el mecánico de turno registra la hora en que se finaliza la reparación.

a. En la planta existen 6 equipos. Bajo estas condiciones

determine el número de equipos que esperan a ser reparados, el tiempo promedio de espera.

b. Suponga que el sueldo del mecánico es de $15 por hora y

que el costo de espera es de $100 por cada equipo que permanece sin reparar. Determine el costo de operación.

c. Calcule el número de mecánicos que minimizan el costo

suponiendo que son iguales.

Costo de operación

Suponga que el costo por atender un cliente es

C_servicio. Suponga también que el costo por esperar en la línea es C_espera .

El costo total de operación de una estación de trabajo con 1 servidor será la suma costo de trabajos que

esperan en la línea mas el costo del servicio.

  espera   servicio

operación trabajoesperanC TrabajosrealizadosC

CostoTotal  #  #

 

 

servicio espera

operación C C

CostoTotal _

  

 

 

Para un sistema M/M/1 la

Costo de un sistema M/M/1

Considere un sistema con un solo servidor donde el tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio son variables aleatorias con distribución exponencial (M/M/1). Suponga que llegan 4 trabajos por hora y el tiempo de servicio es de 1/5 de hora.

Suponga que el costo de servicio es de $0.75 por-cliente. Suponga que cada producto finalizado se vende en $4.50. El gerente considera que cada trabajo en la línea de espera es una venta perdida y por lo tanto para efectos prácticos es un costo.

• Calcule el costo de operación bajo estas condiciones.

• Obtenga la tasa de servicio que minimiza el costo de

• _{Con la tasa de servicio original, obtenga el número de}

servidores que minimiza el costo y compare con el resultado anterior. Obtenga la probabilidad de que un cliente deba esperar.

• _{Derive la ecuación de costo con respecto a la tasa de}

servicio y obtenga el valor de µ que minimiza el costo.

      c n c c c n n c c                           1 0 ! 1 ! 1 !

Cálculo del número de servidores

1. Minimizando el costo de operación, el número de servidores es el óptimo.

2. Heurístico. Se establece una meta y se

Énfasis en la calidad 1. Se fija el nivel de

intensidad de tráfico deseado.

2. Se agregan servidores de tal manera que se

mantenga constante la intensidad de tráfico

Equilibrio en la calidad del servicio y la eficiencia

• Se fija una meta relativa al nivel de congestión (Probabilidad de que un cliente tenga que

esperar).

• _{Se agregan servidores}

hasta que se cumple la meta.

Objetivo

c









Se agregan servidores hasta que el sistema es estable

El supuesto de capacidad infinita en una línea difícilmente se cumple. La capacidad en la línea de espera se presenta:

1. Cuando existe espacio limitado para recibir clientes. 2. Cuando el responsable decide mantener una cierta cantidad de trabajos frente a la estación (buffer). Dicho material

mantiene la máquina en operación en caso de una falla en el suministro. 3. Notación Kendall: M/M/1/K , M/M/c/K.

4. La tasa de llegadas (salida) debe corregirse ya que una cierta parte del tiempo, el equipo estará bloqueado y no recibirá material.

K = 4

Propiedad Ecuación

WIP

Probabilidad de tener n clientes en el sistema

Salida (Throughput)





















e   1 p







1  

 

 _ n

p _K

n

n  

Considere un equipo que procesa piezas a razón de 20 por hora. En la actualidad se considera un “buffer” para mantener material listo para ser alimentado al equipo y evitar que se detenga.

El espacio destinado al procesamiento de piezas tiene capacidad para 10 unidades. La demanda de piezas es de 15 por hora.

El gerente de operaciones desea saber: 1. La probabilidad de que la máquina se bloquee (“buffer” lleno). 2. El número promedio de piezas en la máquina (incluyendo la que está siendo procesada). 3. La tasa de salida real de la máquina (throughput) 4. Realice un análisis económico de la estación con los datos de la tabla:

Costo

servicio Costo espera Cliente perdido Ingreso