C soluciona el defecto algebraico
de R de que existan ecuaciones polinómicas
con coeficientes reales que no tienen soluciones
reales. Ej. x2 + 1 = 0.
Girolamo Cardano
(1501-1576)
Ars Magna (1545)
Considerada como la fecha de
nacimiento de los números
complejos.
Resolución de ecuaciones de
tercer y cuarto grado.
“Divide 10 en dos partes,
de modo que una por la otra
dé 40.”
x(10-x)=40
Rafael Bombelli (1526-1572)
resolvió la situación operando
como lo hacemos hoy con números complejos.
Forma general de la
ecuación cúbica
y solución:
Funcionaba bien en algunos casos, como:
Pero en otros ... :
René Descartes
(1596-1650)
60 años después de Bombelli:
“A pesar de que podemos pensar
que la ecuación
x
3- 6x
2+ 13x - 10 = 0
tiene tres
raíces, únicamente una de ellas es
real, la cual es 2, y las otras dos…
son simplemente
imaginarias.”
“Los números imaginarios
son un excelente y
maravilloso refugio del
Espíritu Santo, una especie de
anfibio entre ser y no ser”
Gottfried von
Leibnitz
(1.646 – 1.716)
Otros términos que han sido
usados para referirse a los
números complejos incluyen :
“Sofisticados”
(Cardano)
“Sin sentido”
(Néper)
“Inexplicables”
(Girard)
“Incomprensibles”
(Huygens)
“Estos números no son nada,
ni menos que nada, lo cual
necesariamente los hace
imaginarios, o imposibles”.
“formulam littera i …”
Leonhard Euler (1777)
Leonhard Euler
(1.707 – 1.783)
Con Euler los imaginarios se
incorporan definitivamente en la
Matemática.
i
2= -1;
introdujo la notación binómica.
Demostró que el conjunto de los números
“imaginarios” era cerrado para las
Karl Friedrich
Gauss
(1777-1855)
“Números íntegros complexos”
K. F. Gauss (1831)
A los números enteros se
han agregado las fracciones;
a las cantidades racionales,
las irracionales;
a las positivas, las negativas;
y a las reales, las imaginarias”.
“¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta
satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la
Miguel de Guzmán
(1936-2004)
“
La visualización de los números
reales mediante los puntos de una
recta
o
de los números complejos
mediante los puntos del plano
no
solamente penetró sin gran resistencia
en el análisis, sino que se puede decir
con razón que, en el caso de los
números complejos, esta
visualización (Argand, Gauss)
fue
lo que hizo posible vencer la fuerte
oposición de la comunidad
matemática al dar carta de ciudadanía
a los números complejos
”.
El rincón de la pizarra: ensayos de
Un
número complejo
z
es un par ordenado de
números reales
a
y b,
escrito como
:
z =
(
a,b
)
(Notación en componentes o coordenadas cartesianas).
a se llama la parte real de z:
Re(z)
:= a
b se llama la parte imaginaria de z:
Im(z) :=b
Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e
imaginarias son iguales:
(x
1
,y
1
) = (x
2
,y
2
) sii x
1
= x
2
, y
1
= y
2
(0,1)
se llama la
unidad imaginaria
y se denota por:
Si a= 0, se dice que es un
imaginario puro
.
Si b= 0, z se comporta como un
número real
.
z = a + bi
Un número complejo
z = (a,b)
se escribe comúnmente
como :
(Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones con el símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica).
El plano complejo
(Plano z, de Argand o de Gauss)
Eje real
Eje imaginario
Ejemplo:
conjugado
El
conjugado
de un número complejo z = x + i y
se define como:
conjugado
opuesto
El
opuesto
de un número complejo
z = x + i y se define como:
Gráficamente el
opuesto
Suma y producto
Suma
Producto
Sean:
Parte real
Parte imaginaria
“En la facultad teníamos un profesor
cojo al que llamábamos el complejo.
Tenía una pierna real y otra imaginaria.”
Memorias de un estudiante
(1)
(2)
Ejemplos:
De modo que podemos sustituir siempre:
Potencias de i
Resta
División
(operación inversa a la suma)
(operación inversa al producto)
El cociente de dos números
Suma y resta de números complejos
en el plano complejo
En la suma (y la resta)
los números complejos
(1)
(2)
Ejemplos:
Sean:
z
1
=18 + 3i
z
2
= -7 + 2i
Calcular:
Re(z
1
) = 18,
Re(z
2
) = -7
Im(z
1
) = 3,
Im(z
2
) = 2
z
1
+z
2
= 11 + 5i,
z
1
-z
2
= 25+i
z
1
z
2
= (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i
Ejemplo:
Sean
z
1
=18 + 3i
z
2
= -7 + 2i
Ley de clausura:
z
1+ z
2y z
1z
2pertenecen a C.
Ley asociativa:
(z
1+ z
2) + z
3= z
1+ (z
2+ z
3)
(z
1z
2) z
3= z
1(z
2z
3)
Ley distributiva:
z
1(z
2+ z
3) = z
1z
2+ z
1z
3Propiedades algebraicas
La suma y el producto dotan
a C de estructura de cuerpo.
Ley conmutativa:
0+z = z+0 = z
(
Neutro para la suma
)
z
+(-z) = (-z)+z = 0
(
Opuesto para la suma
)
z ·1 = 1 · z = z
(
Identidad para el producto
)
z · z
-1
= z
-1
· z = 1
(
Inverso para el producto
)
{C,+,·} es un cuerpo.
No es posible ordenar el conjunto de los números complejos.
Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2
El plano complejo
(Plano z, de Argand o de Gauss)
Módulo
:
También llamado “valor absoluto”
(el módulo de un real es su valor absoluto)
Argumento
:
Eje real
Eje imaginario
Para z = 0, el ángulo θ no está definido. El 0 no tiene forma polar
z = (x,y)
Forma polar
argumento:
Ejemplo:
Escribir el siguiente número complejo
z
1=1+i
,
en forma
polar y trigonométrica:
módulo:
Ejemplo:
Dibujar el número complejo
z = -3-2i
en el plano complejo y
evaluar módulo y argumento
Módulo:
Argumento:
La calculadora
no distingue
Multiplicar por
i
es
equivalente a
Fórmula de Moivre
Potencias enteras de complejos
en forma polar:
El teorema de Moivre es una máquina de
generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:
Potencias iguales
Distintos números complejos pueden llevar al mismo
resultado al realizarles una misma potencia …
Potencias repetidas …
Raíces
Un número complejo tiene tantas
raíces como su índice
Raíces
se llama la raíz enésima de z a cualquier número
w que cumple:
w
n
= z, y se escribe como
Módulo de w
Ángulo de w
Sean w= R(cosα+ i sinα) z = r(cosθ + i sinθ)
Por el teorema de Moivre:
wn = Rn[cos(n α) + i sin(n α)]= r(cosθ + i sinθ) Igualando los módulos y los ángulos obtenemos
Raíces
Raíz cuarta …
Primer ángulo
Benoit
Mandelbrot
publicó en 1975 su primer ensayo sobre fractales
Su construcción se basa en la iteración de un número complejo, es decir se hace una operación y ésta se repite con el resultado ….
z z2 + C. (conjunto de Mandelbrot) Un fractal es un objeto geométrico cuya
estructura básica se repite en diferentes escalas
Benoit Mandelbrot (Polonia-1924) retomó los trabajos de Juliá en 1970
Mandelbrot y esposa Madrid-ICM 2006
El trabajo pionero en el juego de hacer iteraciones con números complejos fue
desarrollado por dos matemáticos franceses, Gaston Julia (a la izquierda)
El físico-matemático Antonio Brú ha modelado matemáticamente el crecimiento de los tumores, o
al menos, eso es lo que defiende. En 1998 publica la primera ecuación de crecimiento tumoral en la
mejor revista del mundo de física. “ … Este físico español ha logrado curar un cáncer de hígado terminal con una ecuación …” .
http://www.periodistadigital.com/salud/object.php?o=82957
En el cuerpo humano existen estructuras con geometría fractal, como son la red vascular,
Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de hasta un millar de pequeñas antenas.
Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas muchos teléfonos móviles o inalámbricos. Amén de ser más baratas de fabricar, operan en
múltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al teléfono, al tiempo que la antena puede quedar oculta en el interior del aparato.
http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/3_1.html
http://www-tsc.upc.es/eef/research_lines/antennas/fractals/fractal_antennas.htm
Los fractales han estado siendo usados comercialmente en la industria
cinematográfica, en películas como Star Wars y Star Trek.
http://starwars.ya.com/
Otros programas: Xaos
IfsAttrActoR Fractal hecho con
el programa apophysis. www.apophysis.org
http://www.arrakis.es/~sysifus/software.html
Visita la web de un artista:
http://home.wanadoo.nl/ laurens.lapre/
"¿La vibración de las alas de una mariposa en Brasil pue-de desencadenar un
Causas pequeñas
producen grandes efectos
A comienzos de la década del 60,
Lorenz
se puso a elaborar un modelo matemático para predecir fenómenos atmosféricos, y por casualidad descubrió que la misma herramienta matemática que utilizaba estaba fallando:los fractales son la
representación grafica
del caos.
Ejemplos de sistemas caóticos incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de
población.
En la década del 70 se empezaron a investigar comportamientos
Sir William Rowan
Hamilton (1805 - 1865)
Los
cuaterniones
son números
complejos en cuatro dimensiones
en lugar de dos (Hamilton 1843).
Así un cuaternión q se expresa
como: q = a+ib+jc+kd donde
a,b,c,d son números reales.
!La propiedad
conmutativa no se
cumple para el producto
de cuaterniones¡.
Los cuaterniones se emplean para
describir dinámicas en 3
dimensiones,
en física y en gráficospor ordenador (para hacer películas y juegos).
El software de vuelo del
Space Shuttle
usaba
Basada en la presentación de Bartolo Luque
http://www.disa.bi.ehu.es/ (nº complejos-archivo ppt)
http://www.arrakis.es/~sysifus/index.html (área fractal-varios) http://es.webfractales.com/ (imágenes-software)
http://www.divulgamat.net/weborriak/Exposiciones/ArteMate/Perry/artemate.asp (arte fractal) http://algorithmicbotany.org/vmm-deluxe/TableOfContents.html (laboratorio virtual de plantas)
http://www.quanta.net.py/zfractal/mainmenu.htm http://www.geocities.com/Paris/Rue/1195/gallery1.html
http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/htm/fractus.htm (fractales y caos)
