Trigonometria (ejercicios resueltos)

(1)

TEMAS 4 Y 5 – TRIGONOMETRÍA

UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO 1

a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70 rad y 3,5rad 6

7 : ángulos los

grados a

Pasa

b) 

Solución:

rad 6 7 rad 180 210 210

a)       rad

18 7 rad 180 70

70     

 

210 180 6 7 rad 6 7

b) 

    

3 5rad 35 180 20032'7"



    , ,

EJERCICIO 2 : Completa la tabla:

Solución:

rad 18 13 rad 180 130

130      



240 180 3 4 rad 3 4

     

rad 6 11 rad 180 330

330      15rad 15 180 8556'37"



    , ,

Por tanto:

ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA

EJERCICIO 3 : y esunánguloqueestáenelprimercuadrante,calcula(sinhallar ): 3

1

Si tgα  α α



α



tg



α



tg



α



tg



α



tg 180 b) 180 c) 360 d) 360

a)

Solución:





3 1 180

a)tg  tg 





3 1 180

tg

b)  tg 





3 1 360

c)tg  tg 





3 1 360

d)tg  tg 

EJERCICIO 4 : Si sen  0,35 y 0 <  < 90 halla sin calcular :



α



cos



α



sen 180  b) 180

a)

Solución:



180



035

a)sen  sen  ,







cos

cos 180 b)

Necesitamos saber cuánto vale cos: 2 2 1 0352 2 1

 

 

  

 cos , cos sen

8775 0 1

1225

0, cos2  cos2  , cos 0,94 (espositivo,pues 0 90)



180



094

: tanto

(2)

EJERCICIO 5 : Sabiendo que sen 50 0,77, cos 50 0,64 y tg 50 1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora:

 

310 d)

230 c)

310 b) 130

a)cos tg cos sen

Solución:



180

150



50

0 ,

64

130 a)

cos





cos











cos









360

50



50

1 ,

19

310 b)

tg





tg











tg









180

50



50

0 ,

64

230 c)

cos





cos











cos









360

50



50

0 ,

77

310 d)

sen





sen











sen







RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

EJERCICIO 6 : En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos.

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto:

cm

9 b

81

144

225 b

144

15 b

12 c

b

a

2



2



2



2



2



2





2





2











Hallamos los ángulos: 06 36 52'12" 15

9 

  

 

 senBˆ , Bˆ c

b Bˆ

sen Aˆ 90Bˆ 537'48" Por tanto:

a



12 cm;

A

ˆ



53



7 '

48"

;

b



9 cm;

B

ˆ



36



52 '

12 "

;

c



15 cm;

C

ˆ



90



EJERCICIO 7 : Para sujetar un mástil al suelo como indica la figura hemos necesitado 10 metros de cable.

Halla la altura del mástil y la distancia entre los puntos A y B.

Solución:





_

  

 



      

  

h sen z

z h sen

 

35 10

60

10 35 60







   

 ₁₀ ₃₅ ₆₀ ₁₀ ₃₅ ₃₅

60 z sen zsen sen zsen

sen

z     



 





 

 ₃₅ ₁₀ ₃₅ ₆₀ ₃₅ ₁₀ ₃₅

60 zsen sen zsen sen sen

sen

z       398 m

35 60

35 10

, sen

sen sen

z 



 _ _



m 45 3 35 60

60 35

10

60 ,

sen sen

sen z

h 

 

 _ _

 



 La altura del mástil es de 3,45 m Para hallar la distancia entre A y B, tenemos que hallar x e y:

m 99 1 60

45 3 60

60 ,

tg , tg

h y y

h

tg     _  _ 

m 93 4 35

45 3 35

35 ,

tg , tg

h x x

h

tg     _  _ 

(3)

EJERCICIO 8 : Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 55. Alejándose 7 metros en línea recta, el ángulo es de 40. ¿Cuál es la altura de la antena?

Solución:





_

  

 



    

  

h tg

x

h tg

x

x h tg

 

40 7 55

7 40

55

 xtg55 



x7



tg40  xtg55 xtg407tg40



 





 



40 7 40 55

40 7 40

55 xtg tg xtg tg tg

tg

x       9 97 m

40 55

40 7

, tg

tg tg

x 



 _ _



m 24 14 40 55

55 40 7

55 ,

tg tg

tg tg tg

x

h 

 

 _ _

  

 La altura de la antena es de 14,24 metros.

EJERCICIO 9 : Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos.

Solución:

Hallamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:7252 l2  l2 74  l 8,6 cm

Hallamos los ángulos: 35 32'16" 90 54 27'44" 7

5   

    



 Aˆ Bˆ Aˆ

Aˆ tg

Los ángulos del rombo miden:

" 29 ' 55 108 ˆ 2

" 31 ' 4 71 ˆ 2

 

  B A

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

EJERCICIO 10 : En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas

señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 80. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?

Solución

: Bˆ

ángulo el

Hallamos Bˆ 180



Aˆ Cˆ



35

Hallamos los valores de a y c aplicando el teorema de los senos:

km 79 35

65 50 35

50

65     



 

sen sen a

sen sen

a

km 85 85 35

80 50 35

50

80 sen ,

sen c

sen sen

c

 



 _



 

(4)

EJERCICIO 11 : Resuelve este triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos:

Solución:

Hallamos el lado c con el teorema del coseno:

85 48 16 25 90

50 4 5 9 2 4 5 9

2

2 2 2

, ,

c

cos ,

, c

Cˆ cos ab b a c

  

     

  



 c257,4  c7,58 cm

Como conocemos los tres lados, la solución es única. :

ˆ ángulo el

Hallamos A

58 7

50 5 9 50

58 7 5 9

, sen , Aˆ sen sen

, Aˆ sen

,

Cˆ sen

c Aˆ sen

a 

  

 

 senAˆ 0,96  Aˆ 7345'24"





56 14'36" 180    

 Aˆ Cˆ

Bˆ

Por tanto:

a



9 ,

5 cm;

A

ˆ



73



45 '

24 "

;

b



4 cm;

B

ˆ



56



14 '

36 "

;

c



7 ,

58 cm;

C

ˆ



50



EJERCICIO 12 : Halla los lados y los ángulos de este triángulo:

Solución:

: senos los de teorema el

con ángulo el

Hallamos Bˆ

Bˆ sen sen

Bˆ sen

b Aˆ sen

a 8

108 15

 

 _ 

46" ' 28 30 507

0 15

108

8  

  

 sen , Bˆ

Bˆ sen

relación). una

hay solo agudos, ser

de han ˆ y ˆ obtuso, es

ˆ

(Como A B C

: ˆ ángulo el

Hallamos C Cˆ180



Aˆ Bˆ



4131'14" Calculamos el lado c:





108 1046 m

15 "

14 ' 31

41 sen c ,

sen c Aˆ

sen a Cˆ sen

c

  



 _ _

Por tanto:

a



15 m;

A

ˆ



108



;

b



8 m;

B

ˆ



30



28 '

46 "

;

c



10 ,

46 m;

C

ˆ



41



31 '

14 "

EJERCICIO 13 : Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

Solución:

Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de los otros dos, existe solución única. Hallamos los ángulos A y B con el teorema del coseno:

Aˆ cos bc c b

a2 2 22  51,8412,253642cosAˆ

84 51 36 25 12

42cosA ,   ,  42cosAˆ 3,59 "

12 ' 54 94 85

0

0   



 , Aˆ

Aˆ cos

Bˆ cos , ,

, Bˆ

cos ac c a

b2  2  2   1225518436864 

875 0 25

12 36 84 51 4

86, cosBˆ  ,   ,  cosBˆ  , Bˆ2858'7"



ˆ ˆ



56 7'41" 180

ˆ  

  

 A B

C

Por tanto:

a



7 ,

2 cm;

A

ˆ



94



54 '

12 "

;

b



3 ,

5 cm;

B

ˆ



28



58 '

7 "

;

c



6 cm;

C

ˆ



56



7 '

41 "

(5)

Solución:

Hallamos la distancia, x, aplicando el teorema del coseno:

38 209 1 704 2 156 1

110 52

34 2 52 34

2

2 2 2

, x

cos x

  

    

 



km 20 71

38 5069

2

, x

 

Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 71,20 km.

EJERCICIO 15 : Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B,

B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es

de 50, y el ángulo en A es de 75. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ?

Solución:

: ángulo el

Hallamos Cˆ Cˆ180



AˆBˆ



55

Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos:

m 92 117 55

75 100

55 100

75 sen ,

sen a

sen sen

a

 

 

 _



 

m 52 93 55

50 100

55 100

50 sen ,

sen b

sen sen

b

 

 

 _



 

Por tanto, la distancia entre B y C es de 117,92 m y la distancia entre A y C es de 93,52 m.

EJERCICIO 16 : Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:

Solución:

: senos los de teorema el

con ángulo el

Hallamos Bˆ

Bˆ sen sen

Bˆ sen

b Aˆ sen

a 6

105 10

 

 _ 

" 9 ' 25 35 58

0 10

105

6  

  

 sen , Bˆ

Bˆ sen

solución). una

hay solo agudos; ser

de han y obtuso, es

(Como Aˆ Bˆ Cˆ

: de ángulo el

Hallamos Cˆ Cˆ180



AˆBˆ



3934'51" Calculamos el lado c:





105 6 6 m

10 "

51 ' 34

39 sen c ,

sen c Aˆ

sen a Cˆ sen

c

  



 _ _

Por tanto:

a



10 m;

A

ˆ



105



;

b



6 m;

B

ˆ



35



25 '

9 "

;

c



6 ,

6 m;

C

ˆ



39



34 '

51 "

EJERCICIO 17 : Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140. ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo?

Solución:

: será ángulo

El Cˆ Cˆ180



25140



15

Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y:

m 35 248 15

140 100

15 100

140 sen ,

sen x

sen sen

x

 



 _



 

m 29 163 15

25 100 15

100

25 sen ,

sen y

sen sen

y

 



 _

 



(6)

DEMOSTRAR IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 18 : Demuestra que:

a) x sen x cos x cos x cos x sen x sen x cos 2 2 1 2 1 1 1     

 b) 2 1

1 2

2 2 

  

 

 cosx

x cos

c) sen



xy



sen



xy



sen2xsen2y d)





sen x x sen x cos x cos x cos x sen 2 1 2     

e) cosx

x cos x sen x 2 tg x sen 2   2 Solución:

a)











_                 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 x cos x sen x cos x sen x cos x cos x sen x cos x sen x cos x cos x sen x sen x sen x cos x cos x sen x sen x cos x sen x os c x os c 2 2 1 2 1   

b) 1 1

2 1 2 1 2 2 1 2 2 2                   

 cosx cosx cosx cosx cosx

x cos

c)



xy



sen



xy

 

 senxcosycosxseny



senxcosycosxseny

 

 senxcosy



2



cosxseny



2 

sen







   

 

sen2xcos2y cos2xsen2y sen2x sen2y cos2xsen2y sen2x sen2xsen2y

1



sen2x



sen2y sen2x sen2xsen2y sen2y sen2xsen2y sen2x sen2y

1      



d)







 













         x sen x cos x sen x cos x cos x cos x sen x cos x sen x sen x cos x cos x cos x

sen 2 2









         x cos x cos x cos x sen x cos x sen x sen x cos x cos x cos x sen 2 2 2

2 2 2

2 2 2 x sen x cos x sen x cos x sen x cos x

sen2  2 2 12 1 2



e)    

x cos x sen x cos x sen x sen x cos x sen x tg x

sen 2 2

2 2 2 2

2





      x cos x sen x cos x sen x sen x cos x sen x cos x sen x sen x cos x

sen 2 2 2 2

2 2 2 2 2 cosx x cos x cos x cos x sen x sen x cos x cos x sen x cos x sen x cos         2 2 2 2 2 2 2

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 19 : Resuelve:

a) sen



x45



sen



x45



1 b) sen 2x  cos x  0

c) cos x sen 2x  sen x  0 d) cos3x3cosx 3cosxsenx

e) 4cos2x 13cosx f) sen2xcos2x1cosx2sen2x

Solución:

a) sen



x45



sen



x45



1senxcos45cosxsen45senxcos45cosxsen451 1

45 2senxcos   

2 2 2 1 1 2 1 2 2

2 senx  senx  senx  

          k x k k x     360 135 donde 360 45 Z b)

(7)

                              donde 360 330 360 210 2 1 0 1 2 360 270 360 90 0 Z k k x k x x sen x sen k x k x x cos     

c)

cos

x

sen

2 x



sen

x



0 

cos

x



2 sen

x

cos

x



sen

x



0 

sen

x



2 cos

2

x



1





0

                         2 2 2 1 2 1 0 1 2 360 180 360 0 0 2 2 x cos x cos x cos k x k x x

sen _ _

                             k x k x x cos k x k x x cos         360 225 360 135 2 2 360 315 360 45 2 2

Por tanto, las soluciones son:

. donde 360 225 360 315 360 180 360 135 360 45 360 0 Z              k k x k x k x k x k x k x            

d) cos3x3cosx3cosxsenxcos3x3cosx3cosxsenx0cosx



cos2x33senx



0



1sen2x33senx



0

x

cos cosx



sen2x3senx2



0cosx



sen2x3senx2



0

                 0 2 3 360 270 360 90 0 2 x sen x sen k x k x x

cos _ _

                      vale) (no 2 1 2 1 3 2 1 3 2 8 9 3 x sen k x x

sen 1  270360 Por tanto las soluciones son:

          Z siendo 360 270 360 90 k k x k x    

e)

4 cos

2 x



1 

3 cos

x



4



cos

2

x



sen

2

x





1 

3 cos

x



4 cos

2

x



4 sen

2

x



1 

3 cos

x



1 cos

x



1

3 cos

x

4 x

cos

4

2



2







4 cos

2

x



4 

4 cos

2

x



1 

3 cos

x



8 cos

2

x



3 cos

x



5 

0

                 1 8 5 16 13 3 16 169 3 16 160 9 3 x cos                         k x x cos k k x k x x cos       360 180 1 siendo 360 " 56 ' 40 308 360 " 4 ' 19 51 8 5 Z

f) sen2xcos2x1cosx2sen2x2senxcosxcos2xsen2x1cosx2sen2x

0 2

1

2senxcosxcos2xsen2x cosx sen2x 2senxcosxcos2xsen2x1cosx0

0 1

1

2senxcosx  cosx  2senxcosxcosx0cosx



2senx1



0

                               k x k x x x k k x k x x         360 150 360 30 2 1 sen 0 1 sen 2 siendo 360 270 360 90 0 cos Z

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 20

a Representa la siguiente función trigonométrica:         2  x cos y

(8)

Solución:

a Hacemos una tabla de valores:

La gráfica sería:

b La gráfica corresponde a la función y cos x.

EJERCICIO 21

a Escribe la ecuación de la función correspondiente a esta gráfica:

b Representa la siguiente función: y  cos x  

Solución:

a La gráfica corresponde a la función ysen x. b Hacemos una tabla de valores: