Resumen de Geometría Diferencial de Curvas y
Supercies
E: Espacio euclídeo de dimensión 2 ó 3 (Rn, δ) con δ como producto escalar euclídeo
Norma de un vector u∈E: |u|=hu, ui12
1. Curvas planas
C∞ o diferenciable: es una función f : (a, b) → R tal que en todos los puntos existen
derivadas de todos los órdenes
Curva parametrizada: es una aplicaciónα:I →E, conα ∈C∞denida por componentes
comoα(t) = (x(t), y(t), z(t)) dondex, y, z ∈C∞(I) Parámetro: es la variable t de una curva parametrizada Traza: Es el conjunto imagenα(I) = {α(t)/t∈(a, b) = I}
Curva regular: Es una curva parametrizada planaα :I →E con α0(t)6= 0 para todot∈I,
dondeα0(t) = (x0(t), y0(t), z0(t))
Vector tangente o velocidad: Es el vectorα0(t) que es tangente aα ent
Puntos singulares de una curva: son los puntos t∈I tales que α0(t) = 0 Longitud de arco de una curva:s(t) =Rtot |α0(t)|dt con t ∈(t
0,∞) que es derivable y su derivada es ∂s
∂t =|α
0(t)|
Longitud de la curva α entre a y b: Lα(a,b) =
Rb
a|α
0(t)|dt
Reparametrización: si ∃t : (c, d) → (a, b) con t0(s) 6= 0 para todo s ∈ (c, d) siendo t
difeomorsmo tal queβ(s) =α(t(s)). Si t0(s)>0 se le llama reparametrización positiva, si
t0(s)<0se le llama reparametrización negativa
Lema: si β es reparametrización de α⇒ambas tienen la misma longitud
Teorema: Si α : [a, b] → E es diferenciable en [a, b] = I⇒ ∀ε > 0,∃δ > 0/ si |P| < δ,
entonces, |L(α, P)−Rb a|α
0(t)|dt| < ε donde L(α, P) es la longitud de la poligonal inducida
por una partición deI sobre la curva
Curva parametrizada por el arco (ppa): Cuando|β0(s)|= 1. Siempre se puede encontrar
Vector tangente: T(s) =α0(s)
Vector normal: N(s) =J(T(s)) donde J : (u1, u2)7→(−u2, u1)
Diedro de Frenet: {T(s), N(s)} forman base ortonormal y det(T(s), N(s)) = 1
Lema: CuandoU(s)yV(s)son campos de vectores sobre la curva se tiene que:hU(s), V(s)i0 =
hU0(s), V(s)i+hU(s), V0(s)i
Curvatura: Es uuna funciónk :I →R dada pork(s) = hT0(s), N(s)i
Ecuaciones de Frenet:
(
T0(s) =k(s)N(s)
N0(s) =−k(s)T(s)
Movimiento rígido (o euclídeo): Es una isometría del espacio afín euclídeo que conserva la distancia (M(x) = Ax+b siendo A∈O2 del grupo ortogonal)
Indicatriz de tangentes: Es el vector tangente considerado como una curva enR2,T :I → R2. Se obtiene que T(s) = (cos(θ(s)), sen(θ(s)). Además, k(s) =θ0(s)
Teorema fundamental de la teoría local de curvas planas: k :I →R con k ∈C∞⇒ ∃α:I →R2 p.p.a. tal que su curvatura esk. Además, α es única salvo movimientos rígidos Teorema de la función implícita (1ª versión): SeaU abierto deR2, f :U →
R, f ∈C∞, (x0, y0)∈U/f(x0, y0) = 0con ∂f∂y(x0, y0)6= 0⇒ ∃V abierto con(x0, y0)∈V ⊆U/∂f∂y(x, y)6= 0 para todo (x, y) ∈ V, un abierto I con x0 ∈ I ⊆ R y una única g : I → R con g ∈ C∞ tal que g(x0) =y0 y f(x, y) = 0 en V ⇐⇒ y=g(x) enI
Circunferencia osculatriz: Es la circunferencia de centroβ(s)y radio k(1s) [conαuna curva
p.p.a]
Evoluta: Es la curva formada por los centrosβ(s);β(s) = α(s) +k(1s)N(s) [conα una curva
p.p.a]
Evolvente (que pasa por c): γ(s) = α(s)−(s−c)α0(s)[con α una curva p.p.a]
Lema: si α:I →R2 es regular, no necesariamente p.p.a. ⇒k
α(t) =
hα00(t),J α0(t)i |α0(t)|3
Evolvente: β(t) =α(t)−(s(t)−s(c))|αα00((st))|
Evoluta: γ(t) =α(t) + k1(t)J α|α0(0(st))|
2. Curvas en el espacio
Producto vectorial: Es la aplicación bilineal ∧:R3×R3 →
R3 denida por (x, y) = x∧y y determinada implícitamente por hx∧y, zi=det(x, y, z), y dada explícitamente como
x∧y=
e1 e2 e3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
Propiedades inmediatas:
(1) Anticonmutatividad: x∧y=−y∧x
(2) Bilinealidad:(x+y)∧z =x∧z+y∧z
(3) x e y son linealmente dependientes ⇐⇒ x∧y = 0
(4) hx∧y, xi= 0 = hx∧y, yi(el producto vectorial de dos vectores es otro vector
perpendi-cular a ambos)
Lema:hx∧y, u∧vi=
hx, ui hy, ui hx, vi hy, vi
Corolario: Si{x, y}forman una sistema ortonormal deR3, entonces{x, y, x∧y}es una base ortonormal orientada positivamente
Lema:(x∧y)∧z =hx, ziy− hy, zix
Curvatura:k(s) = |α00(s)|si α es curva p.p.a.
Vector normal:s∈I/k(s)6= 0 ⇒α00(s)6= 0y dene un vector unitarioN(s)en la dirección deα00(s) determinado por α00(s) =k(s)N(s)
Plano osculador: Es el plano generado por{T(s), N(s)}que pasa por α(s) Vector binormal:B(s) =T(s)∧N(s)
Triedo de Frenet: Es la base ortonormal orientada positivamente dada por{T(s), N(s), B(s)}
Lema:α una curva p.p.a. con k >0⇒B0(s) =τ(s)N(s) para alguna función diferenciable
τ
Torsión: Es la aplicación τ dada por B0(s) = τ(s)N(s)
Ecuaciones de Frenet:
T0(s) =k(s)N(s)
N0(s) = −k(s)T(s)−τ(s)B(s)
B0(s) =τ(s)N(s)
Movimiento euclídeo directo: Es una aplicación M : R3 → R3 con M(x) = Ax +B siendo B ∈R3 jo y A ∈ SO(3) matriz del grupo especial ortogonal donde A es un giro en el espacio y B una traslación
Proposición: Si M es un movimiento euclídeo directo y α una curva p.p.a. ⇒ β = M α es
p.p.a. y tiene mismak y τ
Teorema: Sea el sistema de ecuaciones diferenciales dado por X0(s) = A(S)X(s) +B(s) siendo A, B continuas en I⇒ ∃!X : I → Rn solución dada la condición inicial X(s0) = X0.
Además, siA, B son diferenciables, entonces, X también lo es
Teorema fundamental de la teoría de curvas: k, τ :I →R diferenciables con k(s)>0 para todo s ∈I⇒ ∃α : I → R3 una curva p.p.a. cuya curvatura y torsión son k, τ. Además
α es única salvo movimientos euclídeos directos
Plano normal: Es el determinado por {N(s), B(s)}
Lema:α :I →R3 una curva regular con parámetro arbitrario tal queα0(t)∧α00(t)6= 0 para
todo t∈I, entonces:
(1) T(t) = |αα00((tt))|
(2) B(t) = |αα00((tt))∧∧αα0000((tt))|
(3) N(t) = B(t)∧T(t) (4) k(t) = α0(|αt)0∧(tα)|003(t)
(5) τ(t) = −det(α|α0(0t()t),α∧00α(00t()t,α)|0002(t))
Lema: Si α es una curva p.p.a. ⇒τ(s) =−det(α0(t)k,α(s00)(2t),α000(t))
3. Supercies regulares
Teorema de la función inversa: U abierto deRn,p∈U y f :U →
Rn, f ∈Ck con k ≥1. Si det(dfp) 6= 0 ⇒ ∃V entorno de p y otro W de f(p) tal que f : V → W tiene inversa f−1 :W →V con f−1 ∈Ck
Supercie regular: Es un espacio topológico S ⊆ R3 tal que para cada p ∈ S, existen abiertosU ⊆R2 y V ⊆S con p∈V y una aplicación ϕ:U →
R3 con ϕ∈C∞ que verica: (1) ϕ:U →V es un homeomorsmo (biyección con continuidad propia y de la inversa)
(2) dϕp :R
2 →
R3 es inyectiva para cadaq ∈U
Carta o sistema local de coordenadas: Es la aplicación ϕ del teorema, o bien, el par
(ϕ, U)
Dominio de la carta: Se le denomina así al abierto U del teorema Enrorno coordenado: Se le denomina así a Im(ϕ(U))
Construcción de ejemplos:
(1) Mediante la gráca de una función: SiU es abierto deR2 yf :U →
R,conf ∈C∞, entonces gr(f) = {(u, v, f(u, v)/(u, v) ∈ U} es una supercie regular con la topología de
subespacio. Observación: Se esta haciendo uso del teorema de la función implícita. (2) Imagen inversa de un valor regular:
Sea U ∈Rn un abierto y f :U →
Rm con f ∈C∞
Punto regular de f: Es un punto p∈U tal que dfpRn→Rm es sobreyectiva. Es decir, en
R3, dfp 6= 0
Punto crítico de f: Es un punto p∈U tal que dfpRn →Rm no es sobreyectiva. Es decir,
enR3, dfp = 0
Valor crítico de f: Es la imagen por f de un punto crítico
Aplicación regular: Es una aplicación denida en U tal que todos los puntos de U son
regulares
Teorema: SiU abierto de R3,f :U →Res C∞ y a∈f(U) es un valor regular⇒f−1(a)es una supercie regular
Lema: Si S es una supercie regular con p ∈ S, existe un abierto W de S que contiene
a p tal que W es la gráca de una función diferenciable de alguno de los siguientes tipos z=f(x, y);y=g(x, z);x=h(y, z)
Lema: Por cada punto de una supercie regular, pasan al menos dos planos paralelos a los planos coordenados que intersean a la supercie en la gráca de una función diferenciable cuya variable es una de las funciones coordenadas
Lema: Sean (U, ϕ),(V, ψ) dos cartas de una supercie regular S, y sea un punto p ∈ S tal
quep∈ϕ(U)∩ψ(V). Entonces el cambio de coordenadas ϕ−1◦ψ :ψ−1(W)→ϕ(W)donde
W =ϕ(U)∩ψ(V), es un difeomorsmo, es decir, es biyectiva, C∞, y con inversaC∞
Representación coordenada de f: Es la aplicación f ◦ϕ : U → R dada la función f :S →R y una carta (U, ϕ)de S
Diferenciable o C∞ en p ∈ S: (Cuando f es una función denida sobre una supercie
regular S) cuando existe una carta(U, ϕ) tal quep∈U y la representación coordenada def
de dicha carta es C∞ enϕ−1(p)
Diferenciable enW abierto de S: Es una aplicaciónf :W →S0 tal que dadas dos cartas
(U, ϕ)y(V, ψ)tales quep∈ϕ(U)⊆W yf(ϕ(U))⊆ψ(V),la aplicaciónψ−1◦f◦ϕ:U →V
es diferenciable enq =ϕ−1(p)
Representación coordenada de f en las cartas dadas: Es la aplicación ψ−1 ◦f ◦ϕ :
U →V
Difeomorsmo: Es una aplicación entre supercies regularesf :S →S0 que es biyectiva, y
tanto f como f−1 son diferenciables
Supercies difeomorfas: Son dos supercies regulares tales que existe un difeomorsmo entre ellas
Lema: Sean S1 y S2 dos supercies regulares y f :V → R3 una aplicación diferenciable en un abierto deR3 tal que S1 ⊆V y f(S1)⊆S2. ⇒ la restricción f que cierra el diagrama es diferenciable:
V −→f R3
S1
f −→S2
Curva sobre S diferenciable: en t0 ∈ I cuando existe una carta (U, ϕ) de S con α(t0)∈
ϕ(U) tal que la representación coordenada ϕ−1◦α: (t0−ε, t0+ε)→U esC∞ en t0
Lema: Si α : I → R3 es una curva C∞ en el espacio con α(I) contenida en una supercie
regular S⇐⇒ la restricción α:I →S es una curva diferenciable sobre S
Vector tangente a S en p: Es el vector α0(0) dada una curva diferenciable α :I →S con α(0) =p
Plano tangente a S en p:TpS es el conjunto de todos los vectores tangentes a S en p
Lema: Sea (U, ϕ) una carta de una supercie regular S y q ∈U. El subespacio vectorial de
dimensión 2 dϕq(R2) =Tϕ(q)S
Base coordenada: Es la formada por los vectores dϕq(e1) =ϕu(q) y dϕq(e2) =ϕv(q)
Proposición: Sea f :R3 →Runa función C∞, si S es la imagen inversa de un valor regular
def, entonces para cadap∈S, se tiene que TpS =Ker(dfp)
Diferencial de f en p: Sea f : S1 → S2 una aplicación diferenciable entre supercies regulares. Si w ∈ TpS1y αes una curva en S1 que lo representa, entoncesβ(t) = f ◦α(t) es una curva en S2 que representa a β0(0)∈Tf(p)S2. La aplcación es dfp :TpS1 →Tf(p)S2 dada por dfp(w) =β0(0)
Observación: La aplicación diferencial está bien denida y, además, es lineal
Regla de la cadena: Sea S1, S2, S3 tres supercies regulares yf :S1 →S2,g :S2 →S3 dos aplicaciones diferenciables entre supercies⇒la composición g◦f :S1 → S3 es diferenciable y se verica: d(g◦f)p =dgf(p)◦dfp
Métrica o primera forma fundamental deS en p: Es la aplicaciónh,ip :TpS×TpS →R
dada por hv, wip :=hv, wi donde hv, wi es el producto escalar enR3
Coecientes de la métrica en la base coordenada asociada a la carta (U, ϕ): Son las aplicaciones gij(p) = gji(p) = ϕui, ϕuj
