Proporcionalidad Teoría Completo

Tema 6. Proporcionalidad

1. Unarazón, es el cociente indicado de dos números. Por ejemplo, a_b; con b 6=0; es la razón entre los números a y b:Sirve para comparar dos cantidades:

5

4 =1:25;es decir, 5 es 0.25 veces mayor que 4 (un cuarto mayor). En toda razón, las cantidades que di-vidimos tienen nombre propio:

a b

antecedente consecuente

Aunque representemos las razones con una notación fraccionaria, debemos notar que una razón es una di-visión indicada, y en general no tiene porqué ser una fracción. Por ejemplo, _pπ

2 es una razón, y en modo alguno puede ser una fracción (pues una fracción es el cociente indicado de dos números enteros, y niπ

nip2 son enteros).

En general, si la razón es de números positivos y es mayor que 1, es debido a que el antecedente es mayor estrictamente que el consecuente. En caso contrario, si la razón es menor o igual que 1, deducimos sin di-ficultad que el antecedente es menor o igual que el consecuente.

2. La razón inversa de una razón a_b es la razón b_a: Nótese la analogía entre razones y fracciones.

3. Unaproporciónes cualquier igualdad entre dos ra-zones. En general,

a

b =

c d

es una proporción. En toda proporción, los elemen-tos intervinientes tienen nombre propio:

a

b =

c

d

medios proporcionales

extremos proporcionales

En rojo, los elementos llamados "extremos propor-cionales", o también "extremos de la proporción". En azul, los llamados "medios proporcionales" o "medios de la proporción". La razón anterior se lee: "a es a b lo que c es a d", o también "a es a b como c es a d". Por ejemplo, la siguiente proporción:

1:3 2:6 =

3 6;

se lee: 1,3 es a 2,6 como 3 es a 6, queriendo decir con ello que cada comparación (cada razón) es idén-tica para cada pareja de números.

Dos razones a_b y _dc se dicen que forman una pro-porción, o queestán en proporción, si a_b = _dc. Es decir, son iguales y así determinan una proporción, en el sentido definido más arriba. Por ejemplo, según hemos visto, las razones 1:3_2:6 y 3₆ forman una propor-ción.

4. Al valor común de toda proporción se le denom-inarazón (o constante) de proporcionalidad. Del ejemplo anterior,

1:3 2:6 =

3

6= 0.5 razón de proporcionalidad

5. Propiedad fundamental de las proporciones. En toda proporción, el producto de los extremos propor-cionales coincide con el producto de los medios de la proporción:

a

b =

c

d ) a d=b c

Por ejemplo, la proporción 1:3_2:6=3₆ verifica:

1:3 6=7:8=2:6 3

Las razones 3₄ y 1₂ no forman proporción:

3 4

?

= 1

2 !

3 2=6

4 1=4 !66=4! 3 4 6=

1 2

6. Formas de obtener razones que están en propor-ción con otras dadas. Seaa_b una razón. Entonces:

(a) La razón a c_{b c}, con c₆=0;está en proporción con a

b:En efecto: a c

b c=

a

b pues (a c) b= (b c) a;

el producto de extremos coincide con el pro-ducto de medios. Así, 1:2_2:4=2:4_4:8 =3:6_7:2;etc.

(b) La razón a:c_b:c, con c₆=0;está en proporción con a

b:En efecto:

(a : c) b=a

c b=

a b

c =

b

c a= (b : c) a;

(c) Dada una proporción con catidades positivas a

b = c

d;entonces una razón que está en propor-ción con ellas es _b+da+c:Es decir:

a

b =

c

d =

a+c b+d

Para comprobarlo, demostremos por ejemplo que

a

b =

a+c

b+d ,a(b+d) =b(a+c):

En efecto, como ad=bc;tenemos:

a(b+d) =ab+ad=ab+bc=b(a+c):

Por ejemplo,

2 5 =

3 7:5 =

2+3 5+7:2 =

5 12:5:

(d) De igual manera, y en las mismas condiciones que en (c),

a

b =

c

d =

a c

b d;

siempre que ni a c ni b d sean nulos. La prueba de la propiedad anterior es similar a la del apartado (c). Por ejemplo:

5 4=

1:25 1 =

5 1:25

4 1 =

3:75 3 :

7. Formas de obtener nuevas proporciones a partir de una proporción dada. Considerando la propor-ción a_b=_dc;es posible obtener nuevas proporciones a partir de ella:

(a) Intercambiando los extremos proporcionales, es decir, a_c = b_d es también una proporción. La prueba es evidente (los productos "cruzados" son iguales trivialmente, si lo eran los de la pro-porción original). Por ejemplo,

2 3 =

4 6,

6 3 =

4 2:

(b) Intercambiando los medios proporcionales, es decir, d_b = c_a es también una proporción. La demostración es inmediata. Por ejemplo,

2 3 =

4 6,

2 4 =

3 6:

(c) Intercambiando tanto los extremos como los medios proporcionales:

a

b =

c

d ,

d

c =

b a:

En este caso, lo que se obtiene es que a partir de una proporción, la igualdad entre las razones inversas también es otra proporción. Ejemplo:

2 3=

4 6,

6 4 =

3 2:

8. Dados cuatros números a;b;c;d;se dice que están en proporción, o queforman proporción, si a es a b lo que c es a d:Es decir, si:

a

b =

c d:

Por ejemplo, los números 2;4;8 y 16 forman propor-ción, pues 2₄ =₁₆8 =0:5:

9. Una proporción se dice que escontinuasi los medios proporcionales son iguales. Es decir,

a

b=

b c

es una proporción continua. Por ejemplo,

2 5 =

5 12:5

es una proporción continua pues 2 12:5=25=5 5; y los medios proporcionales son iguales.

10. Dados tres números a;b;c;sucuarto proporcional es un número x tal que los números a;b;c y x forman una proporción, es decir, tal que

a

b=

c x:

Por ejemplo, el cuarto proporcional de 2, 4 y 7 es x=14, pues:

2 4 =

7

x )x=

4 7 2 =14:

Esto significa que los números 2, 4, 7 y 14 forman una proporción.

11. Dados dos números a;b;sutercero proporcionales un número x tal que los números a;b;x forman una proporción continua, lo que significa que debe ser:

a

b =

b x:

Por ejemplo, el tercero proporcional de los números 2 y 4 es:

2 4 =

4

x )x=

12. Dados dos números positivos a y b;sumedio pro-porcionales el número positivo x tal que a;x;b for-man una proporción continua, es decir, tales que

a

x =

x

b)x

2_{=a b}

)x=pa b:

Al número x=pa b también se le llamamedia geo-métrica de los números a y b:Se suele representar por MG:Por ejemplo, el medio proporcional (media geométrica) de los números 2 y 8 es

MG=

p

2 8=p16=4:

En general, la media geométrica de tres números a;b;c se define por:

MG=p3abc;

y la de n números x1;x2; :::;xnes:

MG=pnx1 x2 ::: xn

13. Magnitudes. Una magnitud es cualquier cosa que sea susceptible de ser cuantificada, es decir, que pueda medirse/describirse numéricamente. Son ejemplos de magnitudes la velocidad de un vehículo, la distancia entre dos puntos, el peso de un objeto (casos particulares de magnitudes físicas), el número de entradas al cine, el tiempo en realizar un trabajo, etc. Es habitual encontrarnos con magnitudes que se relacionan entre sí, y que lo hagan de manera que a un valor de una magnitud le corresponde un único valor de la otra magnitud. Esta relación es llamada también relación funcional.

14. Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes que están relacionadas entre sí se dice que son directamente proporcionales (DP) si al multiplicar (respectivamente dividir) un valor de una magnitud por una cantidad no nula, el correspondi-ente valor de la otra magnitud también debe multipli-carse (respectivamente dividirse) por dicha cantidad. En el ejemplo siguiente:

A 1 2 3 4 B 2 4 6 8

Las magnitudes A y B son directamente propor-cionales. Multiplicando un valor cualquiera de A por una cantidad, el que le corresponde de B al nuevo valor obtenido se obtiene de idéntica manera,

multi-plicando por dicha cantidad:

x2

x2 x3

x3 x4

x4

En el ejemplo, si dividimos los valores correspondi-entes de las magnitudes, la razón es constante:

1 2=

2 4 =

3 6 =

4

8 =0:5=rAB 2

1 = 4 2 =

6 3=

8

4 =2=rBA

El valor rABes la razón o constante de proporcional-idad directa, de la magnitud A respecto de la magni-tud B. En el segundo caso, el valor rBA es la razón (constante) de proporcionalidad directa de la magni-tud B respecto de la magnimagni-tud A:Obsérvese que en general es siempre cierto que:

rAB= 1 rBA

;

para cualesquiera magnitudes directamente propor-cionales A y B:

15. Repartos directamente proporcionales. Repartir una cantidad A de manera directamente proporcional a las cantidades no nulas a1; a2; :::;an; consiste en fraccionar la cantidad A en n partes x1;x2; :::;xn de manera que su suma sea la cantidad total A;y las can-tidades ai sean proporcionales a las cantidades xi;es decir, tal que:

x1 a1

= x2

a2

=:::= xn

an :

La forma de hacerlo es la siguiente:

(a) En primer lugar sumaremos las cantidades de referencia a1+a2+:::+an:

(b) A continuación, dividiremos la cantidad a repartir por la suma obtenida. Sea k el cociente obtenido:

k= A

a1+a2+:::+an :

(c) Finalmente, las cantidades que habrá que asig-nar se obtendrán multiplicando los xipor la can-tidad k encontrada:

x1 = k a1

x2 = k a2

.. .

Que las cantidades xi obtenidas son proporcionales a las ai es evidente, de hecho, la constante de pro-porcionalidad directa es precisamente el valor encon-trado, k:

x1 a1 =

x2

a2 =:::= xn an =k:

Además, la suma de las cantidades obtenidas es el total de la cantidad que deseábamos repartir:

x1+x2+:::+xn = ka1+ka2+:::+kan

= k(a1+a2+:::+an)

= _a1+a2A_+:::+an(a1+a2+:::+an)

= A

Por ejemplo, si deseamos repartir 1000 euros en partes directamente proporcionales a 2, 3 y 5, oper-ariamos de la siguiente forma:

Sumamos las cantidades de referencia propor-cional: 2+3+5=10:

Dividimos la cantidad a repartir por la cantidad obtenida: 1000₁₀ =100:

Multiplicamos la cantidad obtenida por las can-tidades de referencia proporcional:

2 100=200e; 3 100=300e; 5 100=500e.

16. Porcentajes. Unporcentajemide la razón entre los valores respectivos de dos magnitudes, indicando la cantidad que corresponde a una de ellas cuando la otra vale 100. Para designar un porcentaje, se uti-liza el símbolo % y se lee "tanto por ciento". Para entendernos, un porcentaje o tanto por ciento de una cantidad A;es el valor x de manera que la razón _Ax es proporcional a la razón entre el tanto por ciento y 100. Por ejemplo, el 4% de 20 sería aquel valor x tal que:

x 20 =

4 100:

Obsérvese que en tal caso x=4 20₁₀₀ =0:8:Diríamos que el 4% de 20 es 0.8, o sea, el 4 por ciento de 20 es 0.8.

Otro ejemplo. El 30% de 50 es aquel valor x tal que

x 50 =

30 100:

Se obtiene sin dificultad que x=15:Esto significa que el 30% de 50 es 15.

17. Tanto por uno. Una manera de obtener cualquier porcentaje de una cantidad es multiplicar el tanto por ciento por la cantidad y dividir entre 100. Sea Y %

el porcentaje que deseamos aplicar a una cantidad A: Entonces el valor correspondiente se calcula por:

x

A =

Y

100,x= Y A

100;

es decir, debemos multiplicar la cantidad por el por-centaje y dividir por 100. Observemos que

x=Y A

100 ,x= Y 100 A:

A la razón ₁₀₀Y se la llama tanto por uno (T PU ) correspondiente al tanto por ciento Y %:Es decir, el tanto por ciento de una cantidad se obtiene, sin más, multiplicando el tanto por uno por dicha cantidad. Ejemplos:

15% de 40= 15

100

|{z}

T PU

40=0:15_|{z} T PU

40=6:

23% de 92= 23

100

|{z}

T PU

92=0:23_|{z}

T PU

92=21:16

A partir del tanto por uno, obtener el tanto por ciento es inmediato, sin más que multiplicar dicho TPU por 100. Unas reglas mnemotécnicas que nos ayudan a recordar la relación entre un T PU y su % son las siguientes:

T PU = %

100,T PU 100=%

18. Aumentos y disminuciones porcentuales.

(a) Aumento porcentual. Aumentar un x% una can-tidad A, consiste en sumarle a dicha cancan-tidad su x%: Se calcula sumándole al 100% (que rep-resenta a la cantidad A) su x%; y calculando este porcentaje sobre la cantidad original. En tal caso la cantidad pasa a ser:

A+x%_!A+ x

100A= 1+ x 100 A=

100+x 100 A: Por ejemplo, si queremos aumentar un 35% el precio de un pantalón, de 30 euros, deberemos calcular el 135% de dicho precio:

30e +35%_! 100+35 100 30

= 135

100 30=1:35 30=40:5e

(b) Disminución porcentual. Disminuir un y% una cantidad A;consiste en restarle a dicha cantidad su y%:Se calcula restándole al 100% (que rep-resenta a la cantidad A)su y%:La cantidad que se obtiene así es:

A y%_!A y

100A= 1 y 100 A=

Por ejemplo, si queremos rebajar un 15% el precio de una camisa de 35 euros, deberemos calcular el 100% 15%=85% de su valor:

35e 15%_! 100 15 100 35

= 85

100 35=0:85 35=29:75e

19. Porcentajes encadenados.El cálculo de porcentajes encadenados consiste en determinar varios aumen-tos y/o disminuciones porcentuales consecutivos, en sucesivos pasos. Se obtienen sin más que multiplicar los tantos por uno correspondientes en cada paso. Por ejemplo, supongamos que unos zapatos de 45 euros sufrieron las siguientes variaciones porcentuales: au-mentaron un 10% y al mes siguiente tuvieron una re-baja del 5% ¿Cuál será el valor final de los zapatos y la variación porcentual global tras el proceso? El si-guiente diagrama nos muestra los pasos que debemos seguir:

45+10%_! 1:10 45 5%_!0:95 1:10 45=47:025

Por lo que los zapatos pasarían a costar 47.03 euros. Observemos que como el producto de los tantos por uno involucrados es:

0:95 1:10=1:045;

razonamos que, globalmente, los zapatos aumen-taron un 4.5% su valor. En efecto, multiplicando el TPU obtenido por 100 se obtiene el % final:

1:045 100=104:5%:

Lo que significa que el precio aumentó en todo el proceso un 104:5% 100%=4:5%:

20. Interés simple y compuesto. Losintereses banca-rios son las cantidades satisfechas por un préstamo o por un depósito dinerario, durante cierto tiempo. La cantidad depositada, o prestada, se llamacapital inicial. El total del capital más los intereses genera-dos se llamacapital final. Las cantidades satisfechas obedecen a un porcentaje del capital prestado (o de-positado) llamadorédito, que se aplica generalmente en periodos anuales (pueden ser distintos).

Existen dos formas esenciales de aplicar los por-centajes en el tiempo. La primera es no acumulando los intereses generados con el capital inicial, en cuyo caso el rédito se aplica, anualmente, siempre sobre la misma cantidad (el capital inicial). La segunda es acumulando los intereses generados con el capi-tal inicial, con lo que, con cada periodo de tiempo, el porcentaje se aplica a cantidades cada vez mayores.

(a) Interés simple. Representando por C al capi-tal inicial y por r al rédito (%), las cantidades acumuladas en este tipo de interés son las sigu-ientes:

1oaño: C_! C+₁₀₀r C=C 1+₁₀₀r

2oaño: C! C 1+₁₀₀r +₁₀₀r C=C 1+₁₀₀2r

3oaño: C_! C 1+₁₀₀2r +₁₀₀r C=C 1+₁₀₀3r

..

. ... ...

t años: C! C 1+₁₀₀r t

Llamando Cf al capital final acumulado tras t años, tenemos que dicho capital es:

Cf =C 1+

r t 100 ;

y los intereses generados durante ese periodo, que representaremos por I;serán:

I=Cf C=C 1+

r t 100 C;

es decir:

I=C r t

100

Por ejemplo, el capital acumulado y los intere-ses generados, al depositar en un banco 3000 euros a un interés simple del 5% durante 4 años serían:

Cf=C 1+

r t

100 =3000 1+ 5 4

100 = 3600e.

I=C r t

100 =Cf C=3600 3000= 600e.

(b) Interés compuesto.Con la misma notación del apartado anterior, las cantidades acumuladas con este tipo de interés son las siguientes:

1o_{año: C! C+} r

100C=C 1+ r 100 2oaño: C_! C 1+₁₀₀r ₁₀₀r +C=C 1+₁₀₀r 2

3oaño: C! C 1+₁₀₀r 2₁₀₀r +C=C 1+₁₀₀r 3

..

. ... ...

t años: C_! C 1+₁₀₀r t

Llamando Cf al capital final acumulado tras t años, tenemos que dicho capital es:

Cf =C 1+

r 100

t ;

y los intereses generados durante ese periodo, que representaremos por I;serán:

I=Cf C=C 1+

r 100

es decir:

I=C 1+ r

100 t

1

Por ejemplo, el capital acumulado y los intere-ses generados, al depositar en un banco 3000 euros a un interés compuesto del 5% durante 4 años serían:

Cf = C 1+

r 100

t

=3000 1+ 5

100 4

= 3646.50e.

I=Cf C=3646:50 3000= 646.50e.

Como se aprecia, el capital final acumulado por este tipo de interés es obviamente superior, siempre, que el acumulado en el caso del interés simple.

21. Magnitudes inversamente proporcionales. Dos magnitudes que están relacionadas entre sí se dice que soninversamente proporcionales(IP) si al mul-tiplicar (respectivamente dividir) un valor de una magnitud por una cantidad no nula, el correspondi-ente valor de la otra magnitud debe dividirse (respec-tivamente multiplicarse) por dicha cantidad. En el ejemplo siguiente:

A 1 2 4 8 16 B 8 4 2 1 0.5

Las magnitudes A y B son inversamente propor-cionales. Multiplicando un valor cualquiera de A por una cantidad, el que le corresponde de B al nuevo valor obtenido se obtiene dividiendo por dicha canti-dad:

En el ejemplo, si multiplicamos los valores corre-spondientes de las magnitudes, el producto resultante siempre es constante:

1 8=2 4=4 2=8 1=16 0:5=8=k

El valor k obtenido (en el ejemplo es igual a 8) se llama constante de proporcionalidad inversa. En general, el producto de los valores correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales es

siempre constante, y se llamaconstante de propor-cionalidad inversa. Aquí no la llamaremos razón, pues no se obtiene como el cociente de cantidades.

22. Repartos inversamente proporcionales. Repartir una cantidad A de manera inversamente proporcional a las cantidades no nulas a1; a2; :::;an; consiste en fraccionar la cantidad A en n partes x1;x2; :::;xn de manera que su suma sea la cantidad total A;y las can-tidades xisean proporcionales a las cantidades _ai1 (las inversas de las ai) es decir, tal que:

x1 1 a1

= x₁2

a2

=:::= x₁n

an :

Resumidamente, un reparto inversamente propor-cional a las cantidades a1; a2; :::;an; es un reparto directamente proporcional a las cantidades

1 a1;

1 a2; :::;

1

an:La forma de hacer este tipo de repartos es la que sigue:

(a) En primer lugar sumaremos los inversos de las cantidades de referencia _a11 +_a21 +:::+_an1: (b) A continuación, dividiremos la cantidad a

repartir por la suma obtenida. Sea k el cociente obtenido:

k= ₁ A

a1+ 1 a2+:::+

1 an :

(c) Finalmente, se multiplicarán los inversos de los aipor la cantidad k encontrada, para obtener los correspondientes xi del reparto:

x1 = k 1

a1

x2 = k

1 a2 .. .

xn = k 1

an

Que las cantidades xi obtenidas son proporcionales a las cantidades _ai1 es evidente. Obsérvese que

x1 1 a1

= x2₁

a2

=:::= xn₁

an

=k:

Además, la suma de las cantidades obtenidas es el total de la cantidad que deseábamos repartir:

x1+x2+:::+xn=k 1 a1+k

1

a2+:::+k 1 a2

= k 1

a1

+ 1

a2

+:::+ 1

an

= 1 A

a1+ 1 a2+:::+

1 an

1 a1

+ 1

a2

+:::+ 1

an

Por ejemplo, si deseamos repartir 31000 euros en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 5, ope-rariamos de la siguiente forma:

Sumamos las inversas de las cantidades de re-ferencia proporcional: 1₂+1₃+1₅=31₃₀

Dividimos la cantidad a repartir por la cantidad obtenida:

31000 31 30

=30000:

Multiplicamos la cantidad obtenida por las in-versas de las cantidades de referencia propor-cional:

1

2 30000=15000e 1

3 30000=10000e 1

5 30000=6000e.

23. Problemas de regla de tres. Son problemas en los que aparecen magnitudes relacionadas entre sí, donde se pretende obtener un valor desconocido a partir de ciertos datos conocidos de esas magnitudes. La regla de obtención del valor desconocido se llama regla de tres. Las relaciones entre las magnitudes son de proporcionalidad directa o inversa. En esen-cia, son de dos tipos:

Tipos de problemas de regla de tres

8 > > < > > :

Simples Directas Inversas

Compuestas

(a) Reglas de tres simples. Son problemas donde se relacionan sólo dos magnitudes. Si las magnitudes son directamente proporcionales, el problema se dirá que es de regla de tres simple directa. Si por el contrario las magnitudes em-parentadas son inversamente proporcionales, el problema será de regla de tres simple inversa. Para resolver este tipo de problemas, primero se estudia si las magnitudes relacionadas son DP o IP. Para ello nos haremos la siguiente pregunta: ¿qué pasa si duplico, triplico, etc. un valor de una magnitud?. Si la respuesta es que "la otra hay que duplicarla, tripicarla, etc.", entonces las magnitudes serán DP. Si la respuesta fuese "la otra hay que dividirla por dos, por tres, etc.", entonces las magnitudes serán IP.

A continuación, se presentarán los datos co-rrespondientes de las dos magnitudes, no en una tabla, sino mostrando líneas (o flechas) que liguen los datos relacionados, donde repre-sentaremos usualmente por x el valor descono-cido que se desea calcular. Finalmente, se hace

uso de la relación que hay entre los datos de las magnitudes, a saber, si son DP las razones de datos correspondientes son iguales, o si son IP el producto de dichos datos es constante. Se despejará la incógnita y así el problema quedará resuelto. Vemos seguidamente dos ejemplos aclaratorios.

Regla de tres simple directa. Una familia de 8 personas consume 24 m3 de agua diariamente. ¿Cuánto consumirá una fa-milia de 12 personas si las condiciones de consumo individual son las mismas? Ten-emos dos magnitudes: número de personas y consumo de agua diario, en m3: Si du-plicásemos el número de personas, en las condiciones del problema, se debería du-plicar el consumo de agua, etc. Es decir, las magnitudes son DP. Ahora presentamos los datos:

8 p _!

vaya 24 m

3

12 p _!

vaya x m

3

9 = ;

Como las magnitudes son DP, las razones de datos correspondientes son iguales:

8 24=

12 x : Despejamos x:

x=24 12

8 = 36 m 3 _;

que es la solución del problema.

Regla de tres simple inversa.Si 10 obreros se demoran 4 días en pavimentar una calle, ¿cuánto tardarán 16 obreros en hacer el trabajo? Claramente, si du-plicásemos el número de obreros, el tiempo en realizar el trabajo se reduciría a la mitad (si todos trabajan al mismo ritmo). Luego las magnitudes son IP. Presentamos los datos:

10 obr. _!

vaya 4 días 16 obr. _!

vaya x días

9 = ;

Como las magnitudes son IP, los produc-tos de daproduc-tos correspondientes son iguales:

10 4=16 x:

Despejamos x :

x=10 4

16 = 40

16 =2:5 días ,

(b) Reglas de tres compuestas. Son problemas donde se relacionan más de dos magnitudes. Son muy variados, y pueden resolverse usando el método de reducción a la unidad, o bien relacionando razones de datos del problema. En ellos se trata también de obtener un valor desconocido de alguna magnitud. Una man-era directa de realizar este tipo de problemas, consiste en analizar en primer lugar la relación existente entre las magnitudes involucradas, pasando después a establecer una relación ar-itmética entre las razones de los datos de cada magnitud. Se seguirán por tanto las siguientes pautas.

Se analiza la relación existente entre la magnitud correspondiente al dato descono-cido, con cada una de las otras magni-tudes individualmente, suponiendo que las restantes son fijas o constantes.

Se igualará posteriormente la razón de los datos de la magnitud relativa al dato de-sconocido, con el producto de las razones de los datos de las otras magnitudes que sean DP, y de sus inversas cuando sean magnitudes IP.

De la igualdad (ecuación) obtenida por el procedimiento anterior, podrá despejarse el valor desconocido solicitado en el prob-lema.

Por ejemplo, resolveremos por este método el siguiente problema.

Un agricultor envió a 30 hombres a su huerto para plantar árboles. Si ellos pueden plantar 1000 árboles en 9 días, ¿en cuántos días 36 hombres plantarán 4400 árboles?. Se tiene la

siguiente relación de datos del problema:

Las relaciones DP e IP se razonan así: para un número de hombres fijo, si se duplica el número de árboles, se duplicaría el doble de días en plantarlos, etc., luego son magnitudes DP:Por otra parte, a un número de árboles fijo, si du-plicamos el número de hombres, el tiempo en plantarlos se reduciría a la mitad, etc., luego las magnitudes serían IP:A continuación pro-cedemos a igualar la razón 9_x de los datos donde aparece la incógnita, con las razones de las otras magnitudes, pero teniendo en cuenta que como el número de hombres y el número de días son magnitudes IP; la razón de hombres que habrá que poner será la inversa:

9

x =

1000 4400

36 30:

Obsérvese que la razón36₃₀es la razón inversa de la que correspondería según los datos del prob-lema, mostrados en el gráfico anterior. Despe-jamos ya el valor de x:

x=9 4400 30