Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007

05) Cinemática 1-D

0503) Movimiento Rectilíneo

Vertical

Desarrollado por el Profesor Rodrigo

Vergara Rojas

En los tiempos previos a las investigaciones del físico renacentista italiano Galileo Galilei, se sostenía la creencia (heredada de Aristóteles) de que un cuerpo “pesado” se demora menos al caer que uno “liviano”. Galileo refutó esta creencia al hacer el siguiente análisis. Sean A un cuerpo “pesado” y B un cuerpo “liviano”, como los ilustrados en la figura 20. Si unimos A y B con un hilo, formando el cuerpo AB y lo dejamos caer desde gran altura, la suposición de que “A cae con mayor velocidad que B” lleva a dos conclusiones contradictorias entre sí (reducción al absurdo)

• B es más liviano que A ⇒ B cae más lento que A ⇒ En AB, B “frena” a A ⇒AB cae más lento que A.

• AB es más pesado que A ⇒AB cae más rápido que A.

Para corroborar su razonamiento, Galileo Galileo se subió a la Torre de Pisa (ver figura 1), y dejó caer dos cuerpos de diferente peso. Ante la sorpresa de todos, los dos cuerpos llegaron juntos al suelo.

Si usted deja caer una moneda y un trozo de papel estirado desde una misma altura inicial, la moneda llegará primero. Pero si arruga el trozo de papel formando una “pelota” y repite el experimento, ambos cuerpos llegarán al mismo tiempo (ver figura 2). Esto se debe a que aire opone resistencia a la caída de los cuerpos. Mientras más liviano sea el cuerpo, mayor es la resistencia. Al respecto, Galileo formuló la siguiente teoría: Dos cuerpos cualesquiera que se dejan caer simultáneamente en el vacío, van cayendo siempre juntos, con iguales velocidades. Esto se aprecia en el clásico experimento de laboratorio ilustrado en la figura 3, en el cual se dejan caer dos cuerpos de diferente peso dentro de un recipiente sellado de cristal. Cuando está llena de aire, el cuerpo más pesado llega antes al suelo, pero cuando se repite el experimento después de extraer el aire del recipiente

con una bomba de vacío, ambos cuerpos caen al mismo tiempo. Este efecto fue verificado en 1969, durante el primer viaje del hombre a la Luna.

El modelo para el movimiento vertical que mostraremos a continuación supone que no existe resistencia del aire. En la realidad existe (ver figura 4), y su efecto es una aceleración de frenado que depende directamente de la velocidad de caída. Transcurrido un tiempo de la caída, el peso

y la resistencia del aire se igualan y el cuerpo cae con velocidad constante.

Figura 1) Experimento de Galileo en la Torre de Pisa

Figura 2) Experimento de la moneda y el trozo de papel

Figura 3) Caída de cuerpos en el aire y en el vacío

Figura 4) Efecto de la resistencia del aire en la

A) Ecuaciones del Movimiento Vertical

El sistema de referencia general para el movimiento vertical se muestra en la figura 5. Las ecuaciones del movimiento vertical están dadas por:

( )

2 0

0 gt

2 1 t V Y t

Y = + − [1a]

( )

t V gt V = ₀ − [1b]

( )

t g A =− [1c]

Donde

• Y(t): altura del móvil en función de t. • V(t): velocidad del móvil en función de t. • A(t): aceleración del móvil en función de t. • X0: altura del móvil en t=0.

• V0: velocidad del móvil en t=0.

• g: Aceleración de gravedad. Para movimientos a nivel terrestre se considera constante (suposicion que se

justificará cuando veamos gravitación) y de valor 9,8 [m/s2_{], aunque para efectos de cálculo}

se suele usar 10,0 [m/s2_].

El movimiento vertical es un caso particular de MRUA donde a0 =

-g, por lo que todos los conceptos vistos para el MRUA son válidos para el movimiento vertical.

Dependiendo del valor de V0, el movimiento vertical se puede

clasificar en tres tipos:

• Lanzamiento vertical hacia abajo (V0 < 0):

Caracterizado por enunciados del tipo “se lanza (tira) un cuerpo hacia abajo”.

• Caída Libre (V0 = 0): Caracterizado por enunciados del

tipo “se suelta (deja caer) un cuerpo”.

• Lanzamiento vertical hacia arriba (V0 > 0):

Caracterizado por enunciados del tipo “se lanza (tira) un cuerpo hacia arriba”.

Para el caso de problemas en los cuales solamente haya cuerpos en caída libre y/o lanzamiento vertical hacia abajo, resulta conveniente usar el sistema de referencia mostrado en la figura 6. En él, las cantidades positivas apuntan hacia abajo, y las

ecuaciones de altura, velocidad y aceleración quedarían expresadas de la siguiente manera:

Y

0

g

V

0

Y

Figura 5) Sistema de referencia general para el

movimiento vertical.

Y

0

g

Y

V

0

Figura 6) Sistema de referencia para el movimiento

[image:3.612.89.526.139.674.2]

( )

2 0

0 gt

2 1 t V Y t

Y = + + [2a]

( )

t V gt V = ₀ + [2b]

( )

t g A = [2c]

B) Lanzamiento vertical hacia arriba

En la figura 7 podemos distinguir tres instantes claves en el lanzamiento vertical hacia arriba:

• Instante 1 (t = 0): El cuerpo se lanza velocidad de magnitud V0

hacia arriba desde la altura inicial Y0, y empieza su ascenso. • Instante 2 (t = Tmáx): El cuerpo alcanza su altura máxima Ymáx.

Se “detiene” en el aire, por lo que su velocidad tiene magnitud cero. Después empieza su descenso.

• Instante 3 (t = 2·Tmáx): El cuerpo vuelve a pasar por su nivel

de lanzamiento Y0, y su velocidad tiene magnitud V0 hacia

abajo.

En este caso, podemos distinguir dos parámetros importantes:

• La altura máxima (Ymáx) que puede alcanzar el cuerpo

• El tiempo máximo (Tmáx) que es el tiempo, a partir del instante

de lanzamiento, que el cuerpo demora en llegar a Ymáx.

Aplicando la condición V(Tmáx) = 0 a la ecuación [1b] se llega a

(

)

g V T

0 T g V T

V 0

máx máx

0

máx = − ⋅ = ⇒ = [3]

Sabiendo que Ymáx = Y(Tmáx), y reemplazando [3] en [1a]:

(

)

2g V Y 2g V g V Y g

V g 2 1 g V V Y

T g 2 1 T

V Y T

Y Y

0 0 0 0 0 2 0 0

0 0

2 máx máx

0 0 máx máx

2 2

2

+ = − + =

     

⋅ ⋅ − ⋅ + =

⋅ ⋅ − ⋅ + = =

[4]

En la figura 8 se visualizan los gráficos de posición y velocidad para un lanzamiento vertical hacia arriba. Se aprecia que, para el instante t =Tmáx, el cuerpo alcanza su altura máxima Ymáx y tiene

velocidad cero, mientras que para t = 2Tmáx, el cuerpo vuelve a pasar por su altura inicial de

lanzamiento Y0, a una velocidad de magnitud V0, pero dirigida hacia abajo, en sentido opuesto al del

lanzamiento inicial.

1

3

2

[image:4.612.84.505.188.622.2]

Ejercicio:

En la figura 9 se aprecian dos cuerpos A y B que caen desde gran altura. Mientras el movimiento de A es de caída libre, el de B es un lanzamiento vertical hacia abajo con V0B = 5 [m/s]. Además, A

está inicialmente H = 3 [m] más abajo que B. Considere g = 10 [m/s2_{]. Usando el sistema de}

referencia indicado en la figura 2:

a) Si ambos cuerpos parten simultáneamente, calcule el instante en

Y(t)

V(t)

t

t

0

0

T

_máx

T

_máx

2T

_máx

2T

_máx

V

₀

-V

₀

Y

₀

Y

_máx

2g

V

₀2

Figura 8) Gráficos de altura y velocidad para un lanzamiento vertical hacia arriba.

H

V

0B

A

B

y

g

[image:5.612.103.482.90.694.2]

b) Si B sale con 3 [s] de retraso con respecto a A, ¿Lo alcanzará?

c) Calcule el retardo T de B para que, a partir de t = T, la distancia entre A y B sea constante.

Desarrollo:

Pregunta a) En este caso, conviene usar el sistema de referencia ilustrado en la figura 26, en el cual todas las cantidades con dirección hacia abajo se definen como positivas. Así, las ecuaciones de posición de A y B son:

( )

2 2 2

A 10 t 3 5 t

2 1 3 t g 2 1 H t

Y = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = + ⋅

( )

2 2 2

B

B 10 t 5 t 5 t

2 1 t 5 t g 2 1 t V t

Y = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

En el instante en que B alcanza a A, YA(t) = YB(t). Luego:

[ ]

s 5 3 t t 5 3 t 5 t 5 t 5

3+ ⋅ 2 = ⋅ + ⋅ 2 ⇒ = ⋅ ⇒ =

Reemplazando en la ecuación para YB(t), se obtiene la distancia recorrida por B hasta alcanzar a A.

[ ]

m 4.8 5 3 5 5 3 5 5 3 Y 2

B  =

     ⋅ +       ⋅ =      

Pregunta b) En este caso, hay que considerar que B parte con 3 [s] de retraso. Luego, las ecuaciones de posición de A y B son:

( )

2 2 2

A 10 t 3 5 t

2 1 3 t g 2 1 H t

Y = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = + ⋅

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t 6 t 9

)

5 t 15 5 t 30 t 45 5 t 25 t 30 5 15 t 5 3 -t 5 3 -t 5 3 -t 10 2 1 3 -t 5 3 -t g 2 1 3 -t V t Y 2 2 2 2 2 2 B B + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ + − ⋅ = + ⋅ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =

En el instante en que B alcanza a A, YA(t) = YB(t). Luego:

[ ]

s 25 27 t 27 t 25 30 t 25 3 30 t 25 t 5 t 5

Hasta aquí todo parece similar a la pregunta a), pero hay un detalle: como B parte en t = 3 [s],

tendría que alcanzar a A en un instante posterior a ese, y el resultado obtenido para t es claramente menor que 3, por lo que no corresponde a una solución físicamente válida.

Para analizar bien esta situación, veamos qué sucede con la velocidad de A en el instante en que B se lanza hacia abajo. La velocidad de A es igual a:

( )

t g t 10 t V_A = ⋅ = ⋅

Al evaluar en t = 3 [s], obtenemos una velocidad de 30 [m/s] hacia abajo. Además, en ese instante, la posición de A es Y

( )

3 3 5 32 48

[ ]

m

A = + ⋅ = .

Así, la situación (que se ilustra en la figura 10), sería la siguiente: En t = 3 [s], A parte con 48 [m] de ventaja

sobre B, su velocidad inicial es 6 veces mayor que la de B, y tienen la misma aceleración (g). En esas condiciones, resulta evidente que B jamás va a alcanzar a A, y que lo que sucederá es que A se alejará cada vez más de B.

Pregunta c) En este caso, hay que considerar que B parte con T [s] de retraso. Luego, las ecuaciones de posición de A y B son:

( )

2 2 2

A 10 t 3 5 t

2 1 3 t g 2 1 H t

Y = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = + ⋅

( )

(

)

(

)

2

(

)

(

)

2

(

)

(

)

2 B

B 10 t-T 5 t-T 5 t-T

2 1 T -t 5 T -t g 2 1 T -t V t

Y = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

Ahora lo que se busca es que, después de t = T, la distancia entre A y B permanezca constante, esto es YA(t) –YB(t) = constante. Restando las dos ecuaciones de posición:

( )

( )

[

(

)

(

)

]

[

(

)

]

[

]

[

(

)

]

(

)

2

(

)

2

2 2 2 T 5 T 5 3 5 -T 10 t T 5 T 5 T 10 -5 t t 5 t 5 3 T 5 T 5 T 10 -5 t t 5 t 5 3 T 5 t T 10 -t 5 T 5 -t 5 t 5 3 T t T 2 -t 5 T 5 -t 5 t 5 3 T -t 5 T -t 5 t 5 3 t Y t Y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B A ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⋅ + ⋅ − ⋅ + = −

Para que se cumpla la condición de diferencia constante, el factor que acompaña al tiempo t tiene que ser igual a cero. Luego, 10⋅T -5=0⇒T =0.5

[ ]

s .

48 [m]

5 [m/s]

A

B

y

g

30 [m/s]

t = 3 [s]

( )

t g t 10 t V_A = ⋅ = ⋅

( )

t V g

(

t-T

)

5 10

(

t -0,5

)

V_B = _B0 + ⋅ = + ⋅

En t = T, se aprecia que VA(T) = VB(T) = 5 [m/s]. Además, en ese instante, la posición del cuerpo A

es Y

(

0.5

)

3 5 0.52 4.25

[ ]

m

A = + ⋅ = .

En la figura 11 se ilustra la situación para t = T. Los dos cuerpos tienen la misma aceleración (g) y la misma velocidad inicial (5 [m/s]), por lo que sus movimientos serán iguales. Y como A está a 4.25 [m] delante de B, se concluye que ambos cuerpos estarán distanciados a 4.25 [m] durante todo el trayecto.

Para este caso, se puede establecer que:

• Para t < T, el cuerpo B se acerca a A a medida que ambos caen, hasta que en mmento dado lo alcanza. • Para t = T, los cuerpos B y A se mantienen a

distancia constante durante su caída.

• Para t > T, A se va alejando de B a medida que ambos van cayendo.

4.25 [m]

5 [m/s]

A

B

y

g

5 [m/s]

t = T [s]