PLANTEL 01 “EL ROSARIO” ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

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(1)

COLEGIO DE BACHILLERES

PLANTEL 01 “EL ROSARIO”

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

PROBLEMARIO DE

MATEMÁTICAS I CLAVE 104

PLAN 2014

(

ARITMÉTICA Y ALGEBRA

)

VERSIÓN

1.0

SEMESTRE

2018A

(2)

MATEMÁTICAS I

El presente Problemario tiene la finalidad de mostrar ejercicios tipo extraordinario, así como el contenido esencial de la asignatura; de tal forma que este material puede ser utilizado para el programa REGULARIZATE y asesorías en general.

Este Problemario debe ser entregado en hojas blancas indicando el procedimiento completo para llegar a la solución de cada uno de los ejercicios.

Contenido

1.

ARITMÉTICA COMO HERRAMIENTA PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS COTIDIANOS

Operaciones con números Reales

Propiedades de campo de los números reales

Propiedades de la igualdad de los números reales

Razones y proporciones (incluyendo porcentajes)

Notación Científica en problemas algebraicos

Sucesiones y Series (aritméticas y geométricas)

2.

ÁLGEBRA: TRÁNSITO DEL LENGUAJE NUMÉRICO AL LENGUAJE ALGEBRAICO

Conversión del lenguaje numérico al lenguaje gráfico y algebraico.

Valor numérico de expresiones algebraicas.

Signos de agrupación

Leyes de los exponentes y radicales

Operaciones con Polinomios.

Productos Notables.

o

Binomio al cuadrado

o

Binomio con un término común

o

Binomios conjugados

Factorización.

o

Por factor común

o

Por agrupación de términos

o

Trinomio de la forma ax

2

+ bx +c; a≠0

Simplificación de expresiones algebraicas.

Transformación de igualdad aritmética a igualdad algebraica.

3.

MODELOS LINEALES: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Planteamiento y solución de ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas.

Interpretación algebraica

Interpretación gráfica

Planteamiento y solución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Métodos algebraicos (al menos dos métodos)

(3)

Jerarquía de operaciones

1. Realiza las siguientes operaciones:

a)

5 − {8 − (2 − 5) + 3(−5 + 1)} − [−(8 + 1)] − 2(5 × 1) =

b)

{−8 + 2(2 − 5) + 3(−5 + 1)} − 4[(10 − 9) − 3(8 + 1)] − 2(2 + 1) =

c)

3 + 2

3

− 6{1 + 3(−5 + 1)} − 2[(100 − 3

4

) − (8 + 1)] − 2(6 − 1) =

d)

8 − 2

3

− 6{1 + [3(−5 + 1)] + 9(0 − 5)} − 2[(6 + 1)(3 + 1)] − 4(6 − 1) =

e)

8

2

− (

100

50

) + [2 − (5 × 0) − (1 − 40)] − 1[(6 + 3 − 5 + 7 − 1) + (−4 + 5 − 8) + 2] =

2. ¿Cuál es el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas sí: a = 1 ; b = –1 ; c=2 y d=0 ?

a) 4a – [5 + ab – (2c – 1) + d] =

b) 6b + 2 + (c+b) – (5d – 3) +(a+b) =

c) 4𝑎 − 3𝑏 + 6𝑐 − 2𝑑 + (𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑) =

d) 𝑎𝑑− 𝑐𝑐− 5𝑐 + 8𝑎 − 7𝑐 + 𝑑 =

d) 𝑎 − [𝑎 − (2𝑐 − 3𝑑)] − (𝑎𝑏 − 𝑐) + 2𝑎 − 𝑎𝑑 + 𝑎 =

Porcentajes

3. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

4. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

5. El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

6. Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

7. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de

venta.

8. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el

10%.

9. En una ciudad de 23 500 habitantes, el 68% están contentos con la gestión municipal. ¿Cuántos ciudadanos son?

10. En el estacionamiento de unos grandes almacenes hay 420 coches, de los que el 35 % son blancos. ¿Cuántos coches hay no blancos?

11. Por haber ayudado a mi hermano en un trabajo, me da el 12% de los 50 € que ha cobrado. ¿Cuánto dinero recibiré?

12. Una máquina que fabrica tornillos produce un 3% de piezas defectuosas. Si hoy se han apartado 51 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado la máquina?

(4)

MATEMÁTICAS I

14. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante

ocho días?

15. Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de una barda de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una barda similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

16. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo similar de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

17. Seis llaves tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro llaves en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

18. Expresa las siguientes cantidades en notación científica solicitada:

a) 14500000000 como ___________× 109 b)5636000000___________× 108

c) 2147000000000___________× 1010 d) 984000000___________× 106

d) 0.0000002342___________× 10−9 e) 0.00006598___________× 10−5

f) 0.000000000002015___________× 10−14 g) 0.0000001112___________× 10−9

19. Desarrolla las cantidades expresadas en notación científica:

a) 148.45 × 108 b) 12.98 × 1012 c) 25.4 × 1012 d) 369 × 1013

e) 90.2 × 10−8 f) 4587.7 × 10−12 g) 8.45 × 10−18 h) 9.051 × 10−15

20. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a) (9𝑥4𝑦5

3𝑥2𝑦3) [

(2𝑥3𝑦2)2

𝑥3𝑦2 ] = b) (

12𝑥4𝑦5 4𝑥 𝑦4) [

(𝑥3𝑦2)4

𝑥2 ] = c) (

𝑎4𝑏5𝑐 3𝑎2𝑏3𝑐) [

(𝑎3𝑏2)2𝑐5 𝑎3𝑏2𝑐 ] =

d) (𝑎0𝑏5𝑐

𝑎0𝑏3𝑐) [

(𝑎3𝑏2) 𝑐5

𝑎1𝑏3𝑐 ] = e) (

10𝑎4𝑏5𝑐 𝑎2𝑏3𝑐 ) [

2(𝑎3𝑏2)2𝑐5

𝑎5𝑏4𝑐 ] = f) (

𝑎4𝑏5𝑐 𝑎2𝑏3𝑐)

2

[(𝑎3𝑏2)

4

𝑐5 𝑎 𝑏6𝑐 ] =

21. Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones algebraicas:

a) 5𝑚 + 2𝑛 − 15𝑚 − 8𝑚 − 𝑛 = b) 2𝑎 − 𝑏 + 3𝑏 + 8𝑏 − 5𝑎 − 7𝑏 + 96 − 12𝑏 − 20𝑎 =

c) 7𝑡2+ 5𝑡2− 8𝑚 − 3𝑡2+ 10𝑚 = d) 2𝑥 + 3𝑦 − 12𝑥 + 3𝑥 − 7𝑦 + 7𝑦 − 9𝑥 − 5𝑥 + 12𝑦 =

e) 16𝑚𝑝 − 13𝑚𝑟 + 8𝑚𝑟 − 15𝑚𝑟 − 12𝑚𝑝 + 3 − 12𝑚𝑝 − 𝑚𝑝 + 20 − 25𝑚𝑟 =

f) −3𝑎𝑏 − 10𝑎𝑑 + 15𝑎𝑑 − 15𝑎𝑐 − 12 + 6𝑎𝑐 − 4𝑎𝑑 − 4𝑎𝑏 + 200 − 𝑎 =

g) 20𝑥𝑦𝑧 − 40𝑦𝑧 − 30𝑥𝑦𝑧 − 75𝑦𝑧 − 120𝑥𝑦 + 80𝑥𝑦 − 35𝑦𝑧 − 6𝑥𝑦𝑧 + 2 − 85𝑦𝑧 =

(5)

22. Realiza las siguientes multiplicaciones:

a)

(−5𝑚

3

𝑥

2

)(𝑚

4

− 3𝑚

2

𝑛

2

+ 7𝑛

4

) =

b)

(2𝑏 + 5)(5𝑏

3

− 2𝑏

2

+ 8) =

c)

(7𝑚

3

𝑛

2

)(−3𝑚

2

𝑛 + 9𝑚𝑛 − 3𝑛 + 4) =

d)

(−3𝑝𝑞 + 5𝑝𝑟)(2𝑝

4

− 4𝑝

3

− 4𝑝 + 1)

=

e)

(

1

2

𝑥

3

𝑦

2

) (

5 3

𝑚𝑥

4

− 2𝑚𝑥

3

+ 4𝑚𝑥

2

− 10) =

f)

(2𝑥

2

+ 𝑥 − 3)(6𝑥

3

− 5𝑥

2

+ 7𝑥 − 1) =

23. Realiza las siguientes

Divisiones:

a)

𝑎

5−12𝑎2𝑏+9𝑎6𝑏8

3𝑎3

=

b)

18𝑐4+9𝑐3−3𝑐2

3𝑐

=

c)

27𝑏𝑥4+9𝑏2𝑥3−2𝑏3𝑥2

3𝑏𝑥2

=

d)

𝑥

2+2𝑥+1

𝑥+1

=

e

)

𝑥2+8𝑥+16

𝑥+4

=

f)

𝑎2−4𝑎−21 𝑎+3

=

24. Desarrolla los siguientes binomios:

a) (𝑎 + 4)2= b) (3𝑎 − 𝑏)2= c) (2𝑐 + 3𝑑)2= d) (𝑥 + 𝑦)2=

e) (1

3𝑥 − 6) 2

= f) (𝑚𝑛𝑥 + 𝑎𝑏)2= g) (𝑝3𝑞2− 𝑡)2= h) (9𝑥 − 5)2=

25. Desarrolla los siguientes binomios conjugados:

a) (𝑎 − 5)(𝑎 + 5) = b) (10 − 𝑥)(10 + 𝑥) = c) (𝑥3− 𝑎)(𝑥3+ 𝑎) =

d) (𝑎𝑏2𝑐 − 10)(𝑎𝑏2𝑐 + 10) = e) (2𝑥𝑦 − 𝑟𝑠)(2𝑥𝑦 + 𝑟𝑠) = f) (𝑧 − 1)(𝑧 + 1) =

26. Desarrolla el producto de binomios con un término común:

a) (𝑎 + 3)(𝑎 + 10) = b) (𝑥 + 20)(𝑥 − 1) = c) (𝑎𝑥 − 5)(𝑎𝑥 − 9) = d) (𝑥3− 4)(𝑥3+ 3) =

e) (𝑥𝑦𝑧 − 𝑎)(𝑥𝑦𝑧 + 𝑏) = f) (4 + 𝑥)(4 + 𝑦) = g) (𝑓 + 8)(𝑓 + 9) = h) (𝑎 +1

2) (𝑎 + 2 3) =

27. Usando factorización por término común, resuelve:

a)

3𝑥𝑦3− 15𝑛𝑥2𝑦3+ 21𝑛𝑥3𝑦3=

b)

2𝑎𝑦2− 4𝑎2𝑦3+ 80𝑎3𝑦3=

c)

3𝑚2𝑛 − 2𝑚𝑛2− 𝑚2𝑛2=

d)

3𝑥 − 4𝑥2+ 12𝑥5=

28. Comprueba si los trinomios son cuadrados perfectos, y si los son factorízalos:

a) 𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2= b) 𝑥2+ 2𝑥 + 1 = c) 𝑥2− 8𝑥 + 16 = d) 4𝑐2− 8𝑐 + 4 =

(6)

MATEMÁTICAS I

29. Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados:

a)𝑏2− 4 b) 4𝑎2− 9 c) a) 144 − 36𝑎2 d) 256𝑎2− 9𝑏2 d) 36𝑥8− 𝑦6

30. Factoriza los siguientes trinomios:

a) 𝑎2+ 𝑎 − 6 = b) 𝑏2− 2𝑏 − 8 = c) 𝑐2+ 9𝑐 + 20 = d) 𝑥2− 5𝑥 + 6 =

e) 𝑦2− 6𝑦 − 7 = f) 𝑦2− 10𝑦 − 11 = g) 𝑥2− 11𝑥 + 18 = h) 𝑎2− 3𝑎 − 4 =

31. Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 2𝑥 + 3𝑥 = 𝑥 + 2 b) 3𝑥 + 5(𝑥 + 2) = 7𝑥 − 3 c) 3𝑥2 = 5𝑥 + 1 d) 7(𝑦 + 1) = 7𝑦 + 2 + 𝑦

e) 3𝑚 + 𝑚 + 3 = 5𝑚 − 2 f) 5(3𝑎 + 4) − 𝑎 = 2𝑎 − 20 g) −10𝑥 + 3 + 2𝑥 = 25 + 𝑥

h) 𝑥 + 5 − 2𝑥 + 1 = 2𝑥 + 3𝑥 + 2 − 4𝑥

32. Resuelve los sistemas de ecuaciones y comprueba tu resultado:

a) −𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 = 10 b) 3𝑥 + 𝑦 = 122𝑥 − 𝑦 = 7 c) 3𝑥 + 2𝑦 = −95𝑥 − 2𝑦 = 1 d)−2𝑥 + 7𝑦 = −12𝑥 + 3𝑦 = 2 e) −𝑥 + 2𝑦 = 11𝑥 + 𝑦 = 10 f) −9𝑥 − 2𝑦 = −19𝑥 − 3𝑦 = 8 g) 5𝑎 − 3𝑏 = 8

−2𝑎 + 3𝑏 = 3 h)

Figure

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Referencias

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