ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA
“PROPUESTA DE INICIALIZACION CON PESOS EN EL ALGORITMO LMS EN UN ARREGLO DE ANTENAS”
T
E
S
I
S
Q U E P A R A O B T E N E R E L T I T U L O D E :
I N G E N I E R O E N C O M U N I C A C I O N E S Y E L E C T R Ó N I C A
P R E S E N T A
ALONDRA JAZMIN PONS FLORES
ASESORES: M. en C. MARCO ANTONIO ACEVEDO MOSQUEDA Dra. MARIA ELENA ACEVEDO MOSQUEDA
Objetivo ……….………1
Objetivos Particulares ……….………1
Justificación ……….………... 1
Introducción ……….…... 3
Capitulo 1.- Sistema adaptativo de antenas dipolo ………..……..……… 4
1.1.- Arreglo de antenas tipo dipolo ………...………...7
Capitulo 2.- Algoritmo LMS ………... 13
2.1.-Algoritmo LMS convencional ………...… 13
2.2.- Filtrado adaptativo y su relación con el algoritmo LMS ………. 14
2.3.- Desajustes con la adaptación LMS ……..……….. 16
2.4.- Sistemas LTI en tiempo discreto en el dominio de la transformada………..17
2.5.- Filtros digitales con respuesta de magnitud ideales ……… 18
3.2.- Respuesta en frecuencia ……….. 26
3.3.- Filtro Pasa Bandas ………. 31
3.4.- Modificación del Patrón de Radiación ………. 36
3.5.- Comparación del Error Cuadrático Medio ………. 40
Capitulo 4.- Costos ………..………… 44
4.1.- Recursos Humanos ……… 44
4.2.- Recursos de infraestructura ………... 45
4.3.- Viáticos ………... 45
4.4.- Costo total del proyecto ………... …….. 46
4.5.- Información sobre la actividad de vinculación ………. 46
4.5.1.- Nombre y modalidad de la actividad ………..……….. 46
4.6.- Exposición de motivos ………. 47
4.6.1.- Describir el objeto del proyecto vinculado ……… 47
4.6.2.- Beneficios académicos ………... 47
4.6.3.- Impacto tecnológico, económico, social o ambiental ….………... 47
4.6.4.- Curricula del responsable técnico ………..………..……….. 48
4.6.5.- Descripción de la metodología y criterios …..……… 48
4.6.6.- Relación de los alumnos del IPN ……….. 49
4.6.7.- Infraestructura disponible en el plantel ……… 49
Capitulo 5.- Conclusiones ……… 50
Lista de figuras ………..…………. 51
Lista de tablas ……….. 53
1
OBJETIVO
Utilizar los coeficientes de un filtro pasa bandas para la inicialización de los pesos del algoritmo LMS (Least Mean Squares Algorithm) para obtener la solución de Wiener disminuyendo el número de iteraciones.
Objetivos Particulares
• Realizar diferentes arreglos de antenas para introducir nulos en direcciones específicas.
• Implementar filtros pasa bandas con el método de truncamiento.
• Implementar programas en MATLAB para el filtro truncado y el algoritmo LMS.
• Comparar resultados, inicializando el vector de pesos del Algoritmo LMS, con valores iguales a unos y con valores iguales al filtro truncado.
JUSTIFICACIÓN
Hoy en día los sistemas de radar tienen muchas aplicaciones, como en aeropuertos, aplicaciones militares y marítimas entre otras. El arreglo de antenas de un radar, por un lado recibe una señal que contiene ruido, y por otro lado señales de interferencias producidas por objetos fijos o que se mueven lentamente donde regularmente se conoce su posición a priori.
Por ejemplo, en el caso de un radar en las costas, donde se pueden presentar objetos grandes (como barcos cargueros o de turistas) la señal reflejada provoca interferencia en el radar. Se conoce entonces su posición a priori y se modifica el patrón de radiación para colocar un “nulo” en dicha dirección y así evitar esta señal de interferencia.
Otro ejemplo, es el radar de los guarda costas, donde se pueden identificar varias embarcaciones. Estos objetos pueden ser pescadores o embarcaciones sospechosas, por lo que se requiere poner especial atención solo en aquellas de interés.
2 Para la inserción de nulos en el patrón de radiación se requiere un algoritmo adaptivo que permita realizar estos cambios, sin necesidad de alterar el arreglo de antenas. Además, estos cambios deben realizarse de una forma rápida para adaptar el patrón de radiación casi en tiempo real.
Una aplicación del algoritmo LMS es modificar de forma adaptiva el patrón de radiación. La forma en que el algoritmo LMS modifica el patrón de radiación es calculando “pesos” asociados a cada elemento de antena del arreglo. Para obtener un patrón de radiación sin modificaciones los pesos asignados a cada elemento de antena tiene un valor igual a uno. Mientras que para modificar el patrón de radiación los valores de los pesos cambian.
En la actualidad la inicialización de estos pesos solo se puede hacer de tres formas, uno tomando los valores iguales a cero o a uno, asignándoles un número aleatorio o tomando en cuenta la matriz de auto correlación de la señal de entrada. Este último método requiere de un tiempo mucho mayor que los anteriores.
El tiempo que emplea el algoritmo LMS para calcular los pesos y adaptar el patrón de radiación depende del método seleccionado para inicializar los pesos.
En este trabajo se propone un método diferente a los mencionados que consiste en inicializar los pesos con valores calculados por un filtro pasa banda truncado. El tiempo de cálculo de los coeficientes del filtro es menor al empleado por el método de auto correlación de la señal de entrada y casi igual a los otros métodos.
La ventaja de inicializar con los coeficientes que entrega el filtro truncado es que el algoritmo LMS requiere de menos iteraciones para encontrar los pesos y adaptar el patrón de radiación. Al necesitar de menos iteraciones el LMS se puede utilizar en aplicaciones que requieren de una adaptación en tiempo real.
En este trabajo se presenta una comparación entre el método de inicializar los pesos con valores igual a uno y el método propuesto. Se toma un arreglo de antenas con diferente número de elementos a los cuales se les calcula los pesos en diferentes direcciones. Se demuestra que el número de iteraciones que se requiere para adaptar el patrón de radiación es menor con el método que aquí se propone.
3
INTRODUCCIÓN
Existen diversas técnicas para la eliminación de señales de interferencia. En este trabajo se pretende no sólo eliminar las señales de interferencia, si no además lograr una disminución en el tiempo de ejecución del sistema. Esto se logrará mediante la conjunción del algoritmo LMS con un filtro pasa banda. El cual proporcionará valores para inicializar el sistema provocando que este converja más rápido. Esto se traduce como un número menor de iteraciones.
En el capítulo número uno, se presentan los sistemas adaptativos de antenas tipo dipolo. Además, se describen los elementos que conforman los sistemas lineales de antenas. Así como su principio de funcionamiento. También se mostrarán los patrones de radiación. Y los componentes del sistema adaptivo de antenas.
Se describirán expresiones matemáticas las cuales proporcionan los parámetros que se deberán modificar para lograr la optimización del sistema.
En el capítulo número dos, se presenta el algoritmo LMS. Se describen sus propiedades, ecuaciones y elementos básicos que más adelante permitirán continuar con el desarrollo de los experimentos.
Durante el capítulo 3 se describirá la metodología que se siguió, se mostrarán las figuras y tablas de datos que se fueron generando y que ayudarán a respaldar y a comprender de una manera más completa los resultados obtenidos.
Se observarán dos formas distintas de graficar los patrones de radiación (coordenadas polares y coordenadas rectangulares). Con esto se darán a conocer las direcciones correspondientes a cada uno de los lóbulos secundarios.
Posteriormente se encontraran las frecuencias de corte solo para los lóbulos principales, estas frecuencias definirán los límites del filtro pasa banda truncado.
El uso de este filtro proporciona valores para inicializar el vector de pesos. Esto influirá en una mejor aproximación entre la señal deseada y la señal de salida.
Se mencionarán en el capítulo cuatro algunos datos importantes referentes a costos. Cabe mencionar que en este caso se tendrán en cuenta costos de investigación.
4
CAPITULO 1. SISTEMA ADAPTATIVO DE ANTENAS DIPOLO
Los sistemas de radar son los medios más utilizados para la localización de objetivos, ya sean aéreos, marítimos o terrestres, y cuentan con gran variedad de aplicaciones, debido a esto resulta relevante el estudio y análisis de los parámetros de antenas como son: patrón de radiación, ganancia, etc.
Gran parte de estos sistemas dependen de medios mecánicos para poder rotar el patrón de radiación, producido por una antena. Por tal motivo, la presente investigación pretende hacer el análisis de un sistema adaptivo de antenas, que proporcione otra alternativa para sustituir dichos medios por un solo arreglo de antenas. Esto facilita adecuar el patrón de radiación, producido por dicho arreglo, de acuerdo a las necesidades de trabajo. Esta modificación del patrón de radiación da la posibilidad de eliminar interferencias del medio en donde se encuentre instalado el radar. Este proceso de adaptación se basa en la minimización del error cuadrático medio mediante el algoritmo LMS. Este sistema opera con el conocimiento de la dirección de llegada y el espectro de la señal, pero sin el conocimiento especifico de la fuente que origina dicha señal de ruido.
El sistema propuesto, y los elementos que lo conforman como lóbulos secundarios, lóbulo principal, distancia entre dipolos, elementos de antena, etc. se muestra en la figura 1.1.
5 Se puede observar en la figura 1.1 un arreglo de antenas de 7 elementos equidistantes. Los elementos de antena pueden ser considerados como fuentes isotrópicas, cuyo campo radiado esta dado por la multiplicación del campo total del elemento simple por el factor de arreglo y se aplica únicamente a arreglos de elementos idénticos.
Como se puede apreciar, el patrón de radiación generado esta formado por un lóbulo principal y una serie de lóbulos secundarios. Este patrón será la base del sistema de radar, ya que este determinará la dirección y la distancia del objeto detectado por el radar.
Los lóbulos secundarios o laterales por lo general son lóbulos no deseados, ya que radian información o energía electromagnética en una o más direcciones, así que es necesario eliminar dichos lóbulos. Como se muestra en la figura 1.2 el primer lóbulo secundario se encuentra a 24º con respecto al máximo valor del lóbulo principal. Supóngase que la señal recibida a un ángulo de 45.5º, que coincide con el segundo lóbulo secundario, es una señal de interferencia o ruido y se desea eliminarla. Para lograrlo se usan filtros adaptivos, los cuales hacen nulos estos lóbulos, eliminando así la interferencia generada por las posibles fuentes de ruido, donde se refleja la energía radiada por los lóbulos secundarios del radar.
6 Esta acción de modificar el patrón de radiación también proporciona la posibilidad de rotarlo. Es decir, no solo se puede modificar para eliminar las interferencias sino que, además, se puede utilizar procesamiento para dirigirlo a determinada dirección.
El término “Adaptivo“ se usa para describir un sistema el cual extrae una señal desconocida del ruido, donde la forma de onda de la señal se repite frecuentemente en intervalos de tiempo, estos intervalos de tiempo pueden ser desde un instante hasta un largo periodo, de tal forma que interviene durante la transmisión o recepción de información.
Estas señales se utilizan para el cálculo de pesos, los cuales se obtienen por un procesador adaptivo (LMS) eliminando así el ruido que incide en el arreglo de antenas. El sistema para rotar el patrón de radiación y eliminar el ruido se muestra en la figura 1.3.
[image:10.612.175.442.305.703.2]
7 El filtro adaptivo está formado por 7 entradas, la señal recibida por cada una de los elementos de antena tiene una frecuencia f0 y es retardada 1/(4f0), misma
que produce un cambio en fase de π/2 en la señal recibida y multiplicada por un
peso.
El arreglo de la figura 1.2 utiliza un cambio de fase de π/2, ya que esto no
modifica el patrón de radiación original. Sin embargo, se puede utilizar otro cambio de fase (retardo δ) para rotar el patrón de radiación como lo muestra la figura 1.3. Si se requiere rotar el patrón de radiación para orientar el lóbulo principal a la dirección deseada basta con cambiar los retardos δ e igualar todos los pesos a 1.
También se puede dejar el patrón de radiación sin rotar y hacer el cálculo de los pesos para colocar un nulo en la dirección del segundo lóbulo secundario eliminado así la señal de ruido o interferencia.
De la figura 1.3 se debe hacer notar que los elementos del arreglo están ordenados del centro hacia fuera. A la derecha se tienen los elementos pares y a la izquierda los elementos impares Se deben respetar este orden ya que la fase y su ubicación geométrica pueden modificar el patrón de radiación.
1.1 Arreglo de antenas tipo dipolo.
Un Sistema Adaptivo de Antenas esta formado por un arreglo de antenas (sistema lineal de elementos) y un procesador adaptivo, el cual mejora el filtrado en los dominios de espacio y frecuencia, interfiriendo así las fuentes de ruido direccional. Para un sistema de radar, estas fuentes de ruido pueden ser ocasionadas por arrecifes de coral, pequeñas embarcaciones, aves marinas, etc.
Para la generación del patrón de radiación se necesita calcular el factor del arreglo y es necesario conocer el número de elementos y el espaciamiento entre cada uno de los elementos del arreglo lineal.
Para obtener el patrón de radiación utilizando 7 elementos tipo dipolo como los mostrados en la figura 1.4, primero se obtiene el campo total utilizando el principio de superposición y tomando como referencia la figura 1.1.
El principio de superposición de los campos establece que el campo producido por un conjunto de fuentes es la suma de los campos de las fuentes individuales.
En la figura 1.4 se muestra el arreglo lineal de n elementos con un
8
[image:12.612.90.522.63.339.2]Figura 1.4.Representación física del arreglo lineal de n elementos.
El factor que representa las características direccionales debidas a la superposición de los campos de las antenas se le conoce como factor de arreglo (FA). El factor de arreglo se obtiene considerando a los elementos como fuentes
isotópicas, no obstante si no son fuentes isotópicas el factor de arreglo se puede obtener multiplicando el campo total del elemento simple por el factor de arreglo; esta es la regla del factor de multiplicación, y se aplica únicamente a arreglos de elementos idénticos.
Donde es la magnitud de campo eléctrico del elemento simple, los coeficientes son en general números complejos, en este caso se toman valores reales ya que la fase de alimentación será progresiva, y el factor del arreglo esta dado por la siguiente ecuación:
(1.1)
9 es el desfasamiento total, es el desfasamiento debido a la distancia para cada campo. Donde es el número de elemento, es la distancia
entre elementos (para el presente caso ), el número de onda
y es la diferencia de fase de la corriente de la antena con respecto a la de la antena 0.
De la expresión anterior puede observarse que existen dos tipos de desfasamiento, uno de los cuales depende de la diferencia de fase en las corrientes de alimentación de las antenas y esta dado por la expresión:
Siendo la relación entre las magnitudes de las corrientes:
El otro tipo de desfasamiento presente es el que existe entre las radiaciones de ambas antenas debido a su posición con respecto a un punto P como se
muestra en la figura 1.4. Este desfasamiento esta dado por . El ángulo
es el ángulo formado entre el plano de las antenas (línea del arreglo) y la línea trazada de la antena correspondiente al punto de observación.
En la figura 1.3 se mostró el patrón de radiación para 7 elementos, es un arreglo lineal uniforme y se tiene una fase progresiva y las amplitudes de las corrientes en todos los elementos son iguales, con estos elementos se formará el factor de arreglo y se utilizarán en la implementación del algoritmo LMS. Una fase progresiva implica que la fase en el elemento es de modo que:
α
α
n = nDe acuerdo a la ecuación (1.2) a la entrada de los elementos del arreglo de antenas para 7 elementos se tiene:
( )
∑
=+ Ω
=
Nn
a d jn n
n
e
a
FA
0
cos
β
ψ
(1.3)
(1.4)
(1.5)
10 α β α β α
β 6 cos 6
6 1 cos 1 1 0 cos 0 0 + Ω + Ω + − Ω
+
+
+
=
j d j d j de
a
e
a
e
a
L
De acuerdo a la figura 1.3 y respetando la ubicación de cada elemento de antena: α β α β α β α β α β α β
ψ
3 cos 3 6 2 cos 2 4 cos 2 0 cos 1 2 cos 2 3 3 cos 3 5)
(
+ Ω + Ω + Ω − Ω − − Ω − − Ω −+
+
+
+
+
+
=
d j d j d j d j d j d je
a
e
a
e
a
a
e
a
e
a
e
a
FA
Inmediatamente después de los elementos de antena de debe aplicar un retardo en tiempo, para esto:
) 2 ( cos 1 ) ( 2 cos 2 3 3 cos 3 5 0 0 0
)
(
ψ
=
a
e
−j βd Ω− αe
jωt+
a
e
−j βd Ω− αe
jωt−δ+
a
e
−jβd Ω−αe
jωt− δFA
) 5 ( 2 cos 2 4 ) 4 ( cos 2 ) 3 ( 0 0 00 δ β α ω δ β α ω δ
ω −
+
Ω+ −+
Ω+ −+
j t j d j t j d j te
e
a
e
e
a
e
a
) 6 ( 3 cos 3 6 0 δ ω α β Ω+ −+
j d j te
e
a
Donde y es el tiempo.
Para poder rotar el patrón de radiación a otro ángulo θ ≠ 0 se debe calcular el retardo , de acuerdo a la figura 1.4.
(
)
c sen
d θ*π180
δ =
Después, el factor de arreglo se verá afectado por un nuevo desfasamiento de π/2, y multiplicado por los pesos W1, W2, W3, ... , Wn .
(1.7)
(1.8)
11
2 0
0 3 cos 3
5 2 3 cos 3 5 1
W
)
(
ψ
=
a
e
−j βd Ω− αe
jωt+
W
a
e
−j βd Ω− αe
jωt−δFA
) ( 2 cos 2 3 4 ) ( 2 cos 2 3 3 2 0 0W
− β Ω− α ω −δ+
− β Ω− α ω −δ−δ+
j d j t j d j te
e
a
W
e
e
a
) 2 ( cos 1 6 ) 2 ( cos 1 5 2 0 0W
− β Ω−α ω − δ+
− β Ω−α ω − δ−δ+
j d j t j d j te
e
a
W
e
e
a
) 4 ( cos 2 9 ) 3 ( 0 8 ) 3 ( 0 7 0 2 0 0W
ω − δ+
ω − δ−δ+
β Ω+α ω − δ+
j t j t j d j te
e
a
W
e
a
W
e
a
) 5 ( 2 cos 4 11 ) 4 ( cos 2 10 0 20 δ δ β α ω δ
ω α
β Ω+ − −
+
Ω+ −+
j d j t j d j te
e
a
W
e
e
a
W
) 6 ( 3 cos 3 6 13 ) 5 ( 2 cos 2 4 12 0 20 δ δ β α ω δ
ω α
β Ω+ − −
+
Ω+ −+
j d j t j d j te
e
a
W
e
e
a
W
) 6 ( 3 cos 3 6 14 20 δ δ
ω α
β Ω+ − −
+
j d j te
e
a
W
donde δ2 es el retardo de 1/(4fo), mismo que produce un cambio en fase de
π/2: Considerando que a1 = a2 = … = a6 = 1, la salida del arreglo es:
+
+
+
=
− Ω− − Ω− − − 2 cosΩ−2 ( − )3 3 cos 3 2 3 cos 3 1 0 2 0 0
)
(
ψ
W
e
j βd αe
jωtW
e
j βd αe
jωt δW
e
j βd αe
jωt δFA
+
+
+
− Ω− − − Ω− − − − − − Ω− cos ( 2 )
6 ) 2 ( cos 5 ) ( 2 cos 2 4 2 0 0 2
0 δ δ β α ω δ β α ω δ δ
ω α
βd j t j d j t j d j t
j
e
e
W
e
e
W
e
e
W
+
+
+
+
− − Ω+ − Ω+ − −− cos ( 4 )
10 ) 4 ( cos 9 ) 3 ( 8 ) 3 ( 7 2 0 0 2 0
0 δ ω δ δ β α ω δ β α ω δ δ
ωt j t j d j t j d j t
12
+
+
+
Ω+ − − Ω+ − − −Ω 3 cos 3 ( 6 )
13 ) 5 ( 2 cos 2 12 ) 5 ( 2 cos 2 11 0 2 0
0 δ β α ω δ δ β α ω δ
ω α
βd j t j d j t j d j t
j
e
e
W
e
e
W
e
e
W
) 6 ( 3 cos 3 14 2 0 δ δ ω αβd Ω− j t− −
j
e
e
W
Se puede observar que el factor de arreglo ahora depende de los valores de los pesos.
Aunque tanto los filtros IIR como FIR se han considerado para el filtrado adaptativo, el filtro FIR es por mucho el más practico y ampliamente utilizado.
La razón de esta preferencia es bastante simple: el filtro FIR sólo tiene ceros ajustables: por tanto, no presenta los problemas de estabilidad que tiene asociados los filtros IIR, que tienen tanto polos como ceros ajustables.
Por el contrario el filtro depende críticamente del algoritmo empleado para ajustar sus coeficientes. Una consideración importante en el uso de un filtro adaptativo es optimizar el funcionamiento del sistema que se este trabajando, mediante los parámetros ajustables del filtro.
El criterio no solo debe proporcionar una medida significativa del rendimiento del filtro, sino también debe dar como resultado un algoritmo que sea realizable en la práctica.
Este sistema se va a usar para eliminar lóbulos secundarios. Con ayuda del factor de arreglo, ya que esté nos proporcionará los parámetros que se tendrán que modificar para obtener el patrón de radiación modificado, es decir, sin el lóbulo en donde existía el ruido.
13
CAPITULO 2. ALGORITMO LMS
Este algoritmo fue propuesto por primera vez por Widrow y Hoff en el año de 1960 y actualmente es ampliamente conocido como el algoritmo de mínimos cuadrados LMS (Least Mean Squares Algorithm). Evidentemente, se trata de un algoritmo estocástico de gradiente.
El algoritmo LMS es relativamente simple de implementar. Por tanto, se ha empleado en muchas aplicaciones de filtrado adaptivo. Sus propiedades y limitaciones también han sido investigadas. En la siguiente sección se mencionarán algunas de las propiedades de este algoritmo.
2.1 Algoritmo LMS convencional
El sistema adaptivo de referencia con una señal piloto presentado por Bernard Widrow forma un haz principal, lóbulos secundarios y nulos. El patrón de radiación adaptivo no solo recibe la señal deseada (señal de datos), además recibe señales de interferencia y ruido térmico.
El algoritmo LMS convencional se basa en el método de la pendiente descendiente. El vector de los pesos de ponderación el cual se actualiza, de acuerdo con Widrow como:
(2.1)
Donde es la previa estimación de los pesos en el momento , es la actualización del vector de los pesos en el momento , es el factor de convergencia de los pesos que determina el tamaño de la pendiente, estabilidad y convergencia, es la señal de entrada del vector, y es la señal de error.
La estabilidad y convergencia que condicionan la ecuación 2.1 es:
(2.2)
Donde es el máximo eigen valor de la matriz de correlación de la señal de entrada. Esta es una forma más limitada del factor de convergencia del máximo eigen valor .
Asimismo, se entiende que la dinámica de convergencia de la serie del algoritmo LMS es limitado por la señal de potencia.
0 1
p pμ
MAX e
MAX e
14 El algoritmo LMS se resume a través de los siguientes pasos que realiza para lograr la convergencia del sistema:
1. Inicializa el vector de pesos w(k) con unos.
2. Calcula el filtro de salida.
3. Calcula el error aproximado e(k) cuando d(k) es la señal deseada.
4. Calcular el siguiente vector de pesos del filtro.
5. Si el sistema no convergió para entonces es conveniente regresar al paso 2.
2.2 Filtrado adaptativo y su relación con el algoritmo LMS.
Cuando se habla de "filtrado" se hace referencia a un proceso lineal diseñado para alterar el contenido espectral de una señal de entrada (o una secuencia de datos) de un modo específico. La magnitud y/o fase satisfacen ciertas especificaciones en el dominio de la frecuencia.
El término "filtrado adaptativo" implica que los parámetros que caracterizan al filtro cambian con el tiempo, esto es, los coeficientes, también llamados pesos, de los filtros adaptativos cambian con el tiempo, en contraposición a los coeficientes de los filtros fijos que son invariantes con el tiempo.
Un filtro adaptivo es aquel cuyos coeficientes son actualizados mediante un algoritmo que cumple con un criterio de rendimiento predefinido, que puede ser minimizar el error cuadrático medio, como es el caso del LMS. La frecuencia de esta adaptación puede variar según la implementación y el tipo de señales que se manejen.
Es evidente que una actualización de coeficientes con mayor frecuencia permite obtener una mejor adaptación del filtro, por eso es usual que se vuelvan a calcular los coeficientes con cada muestra.
El algoritmo LMS se usa en filtros adaptativos para encontrar los coeficientes del filtro que permiten obtener el valor esperado mínimo del cuadrado de la señal de error, definida como la diferencia entre la señal deseada y la señal producida a la salida del filtro.
15 Una característica importante del LMS es su simplicidad. No requiere medidas de las funciones de correlación, ni tampoco inversión de la matriz de auto correlación. Recordando que el algoritmo LMS comprende dos procesos básicos:
• Un proceso de filtrado, que implica el cálculo de la salida generada por un filtro transversal, y la generación de una estimación del error comparando esta salida con la respuesta deseada.
• Un proceso adaptativo, que realiza el ajuste automático de los coeficientes del filtro de acuerdo con la estimación del error.
Recordando que el LMS está dado por la ecuación 2.1. Esta expresión puede usarse directamente para la adaptación de pesos para sistemas digitales.
La figura 2.1 muestra el circuito de reajuste de los pesos en un sistema de antenas.
[image:19.612.119.493.294.703.2]
16 2.3 Desajustes con la adaptación LMS
Todo proceso adaptivo o sistemas de aprendizaje capaces de adaptarse en intervalos de tiempo real experimentan pérdidas en rendimiento. Esto debido a que sus sistemas de ajuste están basados en promedios estadísticos tomados con muestras de tamaño limitado.
Cuando se utiliza el algoritmo LMS con el elemento adaptivo básico de la figura 2.1, el nivel esperado del error cuadrático medio será mayor que el del sistema óptimo de Wiener. Para conseguir el rendimiento de Wiener, es decir, para alcanzar el error cuadrático medio mínimo, se tendría que conocer la dirección de la señal de entrada a priori.
Cuando se usa la adaptación del algoritmo LMS habrá un excedente del error cuadrático medio. Una medida del grado al cual el sistema adaptivo se desajusta comparado con el sistema óptimo de Wiener, se determina en un sentido de rendimiento. Este sentido de rendimiento se expresa por la relación entre el excedente del error cuadrático medio y el minino error cuadrático medio. Esta medida adimensional de la pérdida en rendimiento se define como el “desajuste” M. Para la adaptación LMS del elemento básico adaptivo, el desajuste mostrado por Widrow es:
∑
= = N P P M Desajuste 1 1 2 1τ
El valor del desajuste depende de las constantes de tiempo del filtro. De nuevo, en el caso especial cuando todas las constantes de tiempo son iguales, M es proporcional al número de pesos e inversamente proporcional a la constante de tiempo. Esto es:
mse n M n M τ τ 4 2 = =
Aunque los resultados anteriores específicamente aplican a procesos estacionarios estadísticamente, el algoritmo LMS puede también ser usado con procesos no estacionarios. Esto es mostrado por Widrow que, bajo ciertas condiciones, el rango de adaptación se optimiza cuando la pérdida de rendimiento resultante de la adaptación rápidamente sea igual a dos veces la pérdida en rendimiento resultante de una adaptación lenta.
(2.3)
17 Si las señales radiadas recibidas por los elementos de un arreglo adaptivo de antena se componen de las señales más el ruido no deseado, la señal sería reproducida (y el ruido eliminado). Esto sería lo mejor que podría pasar en el sentido de mínimo cuadrático si la respuesta deseada del procesador adaptivo fuera la señal misma. Esta señal generalmente no está disponible para propósitos de adaptación. Sin embargo, si estuviera no habría la necesidad de un receptor y un arreglo de recepción.
En este trabajo se utilizará el algoritmo LMS para colocar nulos en los lóbulos secundarios correspondientes a las señales de ruido. Básicamente funciona como un ajustador automático de los coeficientes.
Posteriormente los coeficientes del filtro pasa bandas se utilizarán para inicializar al vector de pesos del algoritmo LMS.
El algoritmo LMS también se aplicará en la obtención de los coeficientes iníciales del filtro. Los cuales permitirán reducir en lo más posible al error cuadrático medio.
2.4.- Sistemas LTI en tiempo discreto en el dominio de la transformada
La clasificación en el dominio del tiempo de una función de transferencia digital basada en la longitud de su secuencia de respuesta al impulso, conduce a funciones de transferencia de respuesta al impulso finita (FIR, por sus siglas en inglés) y de respuesta al impulso infinita (IIR, por sus siglas en inglés). Se describen aquí varios tipos más de clasificaciones que se basan en el comportamiento de las respuestas de magnitud y de fase de la función de transferencia.
Hay varios tipos de clasificaciones de funciones de transferencia que se fundamentan en sus características de magnitud. En el caso de funciones de transferencia digitales con respuesta en frecuencia selectiva en frecuencia, suelen definirse cuatro tipos de filtros ideales con base en la forma de la función de magnitud . Estos filtros ideales tienen respuestas al impulso doblemente infinitas y son irrealizables cuando no son causales. En la práctica es posible efectuar aproximaciones realizables a los filtros ideales. Otra clasificación se basa en el valor máximo unitario de la función de magnitud.
18 importante se sustenta en la linealidad de la función de fase. Como consecuencia de que existen varias funciones de transferencia con la misma función de magnitud, éstas se clasifican de acuerdo con sus respuestas de fase relativas.
En varias aplicaciones, estos filtros simples son bastante adecuados y ofrecen desempeños satisfactorios. Se señala la importancia de las funciones de transferencia con fase lineal y se discuten las posibles realizaciones de estas funciones de transferencia con filtros FIR. Luego se consideran funciones de transferencia con características complementarias.
Las funciones de transferencia de sistemas LIT en tiempo discreto suelen clasificarse de acuerdo con las características de sus respuestas de fase o de magnitud.
2.5.- Filtros digitales con respuestas de magnitud ideales
Una clasificación común de las funciones de transferencia se basa en la respuesta de magnitud ideal. Aunque este tipo de funciones de transferencia no son realizables, es posible aproximarlas en la práctica con ciertas tolerancias aceptables. Un filtro digital diseñado para dejar pasar componentes de señal de ciertas frecuencias sin ninguna distorsión debe tener una respuesta en frecuencia de valor igual a uno a esas frecuencias y una respuesta en frecuencia de valor igual a cero para todas las demás frecuencias, de manera que bloquee por completo las componentes de la señal con dichas frecuencias. El intervalo de frecuencias donde la respuesta en frecuencia toma el valor de uno se denomina banda de paso, y el intervalo de frecuencias donde la respuesta en frecuencia es igual a cero, se conoce como banda de supresión del filtro.
Las respuestas en frecuencia del filtro pasa banda digital ideal con coeficientes de respuesta al impulso reales se presenta en la figura 2.2. La región de la banda de paso del filtro pasa banda de la figura 2.2 es , y las
19
Figura 2.2.- Filtro pasa banda ideal.
Las frecuencias , y se denominan frecuencias de corte. Un filtro ideal tiene una respuesta de magnitud igual a la unidad en la banda de paso y cero en la banda de supresión y una fase cero en todos lados.
La inversa de la transformada de Fourier en tiempo discreto está dada por:
20
CAPITULO 3. IMPLEMENTACIÓN Y PRUEBAS EN MATLAB
En este capítulo se describirán las actividades realizadas para la implementación en el trabajo de tesis. Para realizar estas actividades se realizarán algunos programas en MATLAB. Además, en este capítulo se describe el procedimiento y los resultados obtenidos en cada punto. También se mostrarán las imágenes de los patrones de radiación resultantes de cada una de las pruebas realizadas.
En la figura 3.1 se muestra el sistema en condiciones iníciales, aquí se muestra el patrón de radiación para un arreglo de 7 elementos, y con una señal de ruido en la dirección de 24°. Además, se observa que los pesos con los que el sistema esta inicializado son unos. A lo largo de este trabajo, se realizaran diversos cambios tanto en estos pesos de inicio, como en el número de elementos del sistema, entre otros. Esto con el único fin de lograr que el sistema trabaje mejor y en menos tiempo.
[image:24.612.193.421.335.694.2]
21
La siguiente ecuación es el factor de arreglo perteneciente al sistema que se muestra en la figura 3.1. La ecuación 1.11 se reescribe quedando de la siguiente manera.
+
+
+
=
− 3 cosΩ−3 0 − 3 cosΩ−3 0 − 2 − 2 cosΩ−2 ( 0− )1
1
1
)
(
ψ
e
j βd αe
jωte
j βd αe
jωt δe
j βd αe
jω t δFA
+
+
+
− Ω− − − Ω− − − − − − Ω− 2 cos 2 ( 0 2)
1
cos ( 0 2 )1
cos ( 0 2 2)1
e
j βd αe
jω t δ δe
jβd αe
jω t δe
jβd αe
j ω t δ δ+
+
+
+
− − Ω+ − Ω+ − −−3 ) ( 3 ) cos ( 4 ) cos ( 4 )
( 0
1
0 21
01
0 21
e
jω t δe
j ωt δ δe
jβd αe
jωt δe
jβd αe
jω t δ δ+
+
+
Ω+ − − Ω+ −− −
Ω 2 ( 5 ) 2 cos 2 ( 5 ) 3 cos 3 ( 6 )
cos
2 0
1
0 21
01
e
j βd αe
j ω t δe
j βd αe
j ωt δ δe
j βd αe
j ω t δ) 6 ( 3 cos
3 0 2
1
e
j βd Ω− αe
jωt− δ−δ3.1 Patrón de radiación.
En este punto se conocerán los patrones de radiación para cada uno de los arreglos de dipolos.
Se obtendrán los patrones de radiación de cada uno de los arreglos de antenas, identificando la posición y número de lóbulos secundarios. Se compararán los patrones de radiación graficándolos en coordenadas polares y coordenadas rectangulares.
La razón por la que los patrones de radiación se grafican en coordenadas polares, es para conocer el ancho del haz principal. Así mismo se identificará la dirección que presenta cada uno de los lóbulos secundarios.
En las figuras siguientes 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 y 3.7 se pueden observar los patrones de radiación en coordenadas polares para los diferentes tipos de arreglos lineales.
Además, se observará con mayor detalle el ancho del haz principal, los lóbulos secundarios y las características que presentan, como son:
22 b) Escalas: Magnitud (color rojo), Grados (color negro).
El valor del ángulo de media potencia se expone en el recuadro verde, En donde el valor de “X” indica el ángulo en ese punto, y el valor de “Y” indica la magnitud del factor de arreglo.
[image:26.612.332.517.200.389.2]Figura 3.2 Patrón de radiación para una antena
de 3 elementos.
Figura 3.4 Patrón de radiación para una antena
de 7 elementos.
[image:26.612.94.280.200.392.2]Figura 3.3 Patrón de radiación para una antena
de 5 elementos.
Figura 3.5 Patrón de radiación para una antena de 9 elementos.
[image:26.612.95.281.429.633.2] [image:26.612.336.517.429.615.2]
23
[image:27.612.101.525.69.281.2]
Figura 3.6 Patrón de radiación para una antena de 11 elementos.
Figura 3.7 Patrón de radiación para una antena
de 13 elementos.
En las figuras anteriores se observan varios aspectos importantes. A medida que se aumenta el número de elementos, los lóbulos secundarios aumentan y se aproximan más al haz principal. De la misma forma el ancho del haz principal disminuye, provocando que este sea más directivo.
Además, se observa que sólo el primer secundario y el haz principal sobrepasan el 20% de la magnitud del patrón de radiación.
Al comparar las gráficas se logra observar que el haz principal se va haciendo mas directivo según se vayan incrementando el número de elementos en el arreglo.
Para fines de este trabajo se utiliza un arreglo de dipolos que genere un patrón de radiación con un ancho de haz conveniente Esto debido a que para un sistema de radar (aplicación particular de este trabajo) un haz principal angosto implica poca detección de señales, y un sistema con un haz principal ancho detecta muchas señales u objetos presentes.
Por lo cual se utilizará el arreglo de 7 elementos. Debido a que su haz principal presenta las caracteristicas apropiadas, no es ni muy ancho ni muy angosto..
24 En la figura 3.8 se muestran los puntos que servirán para ubicar el ángulo de cada lóbulo del patrón de radiación para un arreglo lineal de 7 dipolos.
El ángulo exacto en donde se encuentra ubicado cada uno de los puntos máximos, es lo que se denominará como dirección del lóbulo. La dirección de los lóbulos secundarios es de suma importancia en este estudio ya que es aquí en donde se colocará un nulo.
Un nulo es un cero. Es decir, donde se coloca un nulo, se elimina el lóbulo para que no exista radiación en ese punto.
[image:28.612.189.425.257.565.2]
Figura 3.8. Direcciones en un patrón de radiación.
Siguiendo con el análisis es necesario conocer las direcciones exactas para cada lóbulo secundario. Por lo cual el patrón de radiación se graficará ahora en coordenadas rectangulares.
25
Figura 3.9 Puntos máximos de cada lóbulo secundario.
Continuando con el ejemplo se muestran en la tabla siguiente los ángulos o direcciones exactas de los lóbulos secundarios para un arreglo de 7 elementos.
Primer lóbulo secundario
Segundo lóbulo secundario
[image:29.612.93.522.73.316.2]Tercer lóbulo secundario
Tabla 3.1 Cálculos para los lóbulos secundarios para un patrón de radiación de 7 elementos.
En los cálculos anteriores se observa una sustracción de 90°, debido a la geometría que presenta el arreglo líneal de la antena.
26 Las direcciones que se obtuvieron se consideran tomando como valor inicial de los pesos a 1. Visto de otra manera los pesos originales o pesos iniciales (por llamarlos de otra forma) están igualados con la unidad . En el caso de 7 elementos tendremos 14 pesos por lo tanto .
Por último, se muestra en la tabla 3.2 una relación de todos los ángulos en los que se encuentran posicionados los lóbulos secundarios para cada tipo de arreglo.
Arreglo 1er Secundario
2do Secundario
3er Secundario
4to Secundario
5to Secundario
6to Secundario 3 85.5° No hay No hay No hay No hay No hay 5 35.5006° 85.5° No hay No hay No hay No hay 7 24.2477° 45.5° 85.5° No hay No hay No hay 9 18.501° 33.2489° 50.752812° 85.5° No hay No hay 11 15.0002° 26.7516° 56.4365° 54.7520° 85.5° No hay 13 12.7485° 22.2481° 32.252° 43.7512° 57.7486° 85.5°
Tabla 3.2 Relación de direcciones para cada lóbulo secundario.
Hay que recordar que para los lóbulos secundarios considerados en la tabla anterior se tomó como referencia el haz de radiación principal.
Además se consideró solo la parte izquierda del patrón de radiación debido a que es simetrico. Por lo anterior se entiende que el primer secundario, es el primer lóbulo que se encuentra al lado izquierdo del haz principal del patrón de radiación.
3.2 Respuesta en frecuencia
Como se ha mencionado en el capítulo uno, el factor de arreglo se obtiene multiplicando el campo total del elemento simple por el factor de arreglo.
27 Teniendo en cuenta esta ecuación se puede notar que tiene un término exponencial similar al término de la transformada de Fourier. Debido a esto se puede decir que el factor de arreglo tiene un comportamiento similar a dicha transformada.
Tomando los coeficientes como las muestras de la respuesta al impulso se puede encontrar la respuesta en frecuencia de cada arreglo. Por ejemplo, para el arreglo de 3 dipolos .
De acuerdo con lo anterior se graficará la respuesta en magnitud de cada . Por ejemplo, para el arreglo de 3 elementos cuyo valor de h[n] es:
por lo tanto la expresión de respuesta en magnitud queda de la siguiente forma:
En la tabla 3.3 se muestran las fórmulas para graficar la respuesta en magnitud para cada uno de los arreglos de antenas.
Arreglo 3
5
7
9
11
13
Tabla3.3 Relación de w[n] y la respuesta en magnitud
[image:32.612.84.512.142.381.2]
28 En las figuras 3.10 a 3.15, se muestran: a) El patrón de radiación y b) La respuesta en magnitud de cada arreglo.
Figura 3.10 a)Patrón de radiacción en coordenadas polares, b)Respuesta en frecuencia para un arreglo de 3 elementos.
[image:32.612.94.523.449.686.2]
29
[image:33.612.89.525.98.339.2]
Figura 3.12. a)Patrón de radiacción en coordenadas polares, b)Respuesta en frecuencia para un arreglo de 7 elementos.
[image:33.612.89.523.406.651.2]
[image:34.612.94.523.96.335.2]
30
Figura 3.14.a)Patrón de radiacción en coordenadas polares, b)Respuesta en frecuencia para un arreglo de 11 elementos.
Figura 3.15. a)Patrón de radiacción en coordenadas polares, b)Respuesta en frecuencia para un arreglo de 13 elementos.
[image:34.612.96.519.404.644.2]
31 (3.2) lóbulos secundarios, esto permitiría que el sistema trabajara menos, es decir, tendría que calcular un número menor de pesos. Ya que sólo calcularía los pesos para el haz principal.
Es por esto que se procedió a diseñar un filtro que permitiera el paso del lóbulo principal y la eliminación de los lóbulos secundarios. Para este fin se ocupara un filtro pasa bandas.
Para realizar este diseño del filtro es necesario conocer las frecuencias de corte. Cabe mencionar que para cada caso se tendrán unas frecuencias de corte particulares. Todo esto se verá en el siguiente punto.
3.3 Filtro de pasa bandas
Con el filtro pasa banda se obtendrán valores de pesos diferentes a los iníciales. Se busca que estos pesos propuestos por el filtro provoquen que el sistema converja más rápidamente. Estos valores se ingresarán en el algoritmo LMS para inicializar su vector de pesos.
La fórmula que define al filtro pasa banda es la siguiente:
Para aplicar la fórmula anterior se utilizarán las frecuencias de corte para cada arreglo de dipolos estas frecuencias se muestran en la tabla 3.4.
Arreglo
3 0.0001 0.4613
5 0.0001 0.2888
7 0.0001 0.2013
9 0.0001 0.1487
11 0.0001 0.1313
[image:35.612.215.398.534.691.2]13 0.0001 0.1138
32 Una vez que se aplican las frecuencias de corte de la tabla 3.4, se obtendrá la respuesta del filtro pasa banda la cual se graficará en conjunto con la respuesta en magnitud para que de esta manera se observe la reducción de lóbulos secundarios que provoca el filtro. Dichas gráficas se mostrarán mas adelante.
Los pesos que se generan cuando se utiliza el filtro se ocuparán para inicializar el vector de los pesos del LMS. Se nombrarán a estos pesos como .
Para reducir más el error cuadrático medio y obtener mejores resultados, se aumentó la ganancia 2.5 veces, multiplicando el filtro por este valor. Estos pesos generados se muestran en la tabla 3.5.
DIPOLOS PESOS DEL FILTRO PASA BANDA 3
(85.5º) 0.1468 0.14165 0.12684 0.10422 0.076568 0.047165
5 0.091896 0.090624 0.086869 0.080819 0.072772 0.063119
(85.5º) 0.052325 0.040898 0.029362 0.018225
7 0.064044 0.063612 0.062327 0.06022 0.057341 0.05376
(45.5º) 0.049563 0.044848 0.039726 0.034315 0.028737 0.023118
0.017578 0.012234
9 0.047301 0.047127 0.046606 0.045746 0.044559 0.043059
(33.2489º) 0.041266 0.039205 0.036901 0.034384 0.031687 0.028845
0.025891 0.022864 0.0198 0.016736 0.013708 0.010751
11 0.041762 0.041642 0.041284 0.04069 0.039867 0.038824
(26.7516º) 0.037571 0.036122 0.03449 0.032692 0.030747 0.028674
0.026494 0.024227 0.021897 0.019524 0.017133 0.014745
0.012382 0.010065 0.0078153 0.0056508
13 0.036192 0.036114 0.03588 0.035492 0.034954 0.034269
(22.2481º) 0.033442 0.03248 0.031391 0.030183 0.028864 0.027446
0.025938 0.024351 0.022699 0.020992 0.019244 0.017467
0.015673 0.013876 0.012087 0.01032 0.0085855 0.0068951
[image:36.612.99.516.253.560.2]0.0052597 0.0036894
Tabla 3.5 Pesos propuestos por el filtro pasa banda
[image:37.612.118.517.76.352.2]
33
Figura 3.16. Comparación de las respuestas de cada filtro en azul se grafican los pesos igualados con uno, en rojo los pesos igualados con los pesos del filtro (para 3 elementos)
Figura 3.17. Comparación de las respuestas de cada filtro en azul se grafican los pesos igualados con uno, en rojo los pesos igualados con los pesos del filtro (para 5 elementos)
[image:37.612.135.477.398.679.2]
34
[image:38.612.116.520.72.354.2]Figura 3.18. Comparación de las respuestas de cada filtro en azul se grafican los pesos igualados con uno, en rojo los pesos igualados con los pesos del filtro (para 7 elementos)
[image:38.612.137.477.406.683.2][image:39.612.129.516.75.356.2]
35
Figura 3.20. Comparación de las respuestas de cada filtro en azul se grafican los pesos igualados con uno, en rojo los pesos igualados con los pesos del filtro (para 11 elementos)
[image:39.612.132.481.401.680.2]
36 Como se observo en las gráficas anteriores el filtro efectivamente disminuye los lóbulos secundarios.
3.4 Modificación del patrón de radiación
En esta parte del estudio por primera vez se modificará el vector de pesos del LMS. El nuevo valor de este será diferente de uno, ahora el valor de los pesos se tomará de los pesos arrojados por el filtro. También se modificará el patrón de radiación, colocando un nulo en una dirección específica.
A partir de este punto se comenzarán a utilizar datos obtenidos anteriormente, por ejemplo utilizaremos las direcciones exactas de cada uno de los lóbulos secundarios mostradas en la tabla 3.2.
El objetivo de inicializar los pesos con un valor diferente de uno es hacer que el sistema trabaje un poco menos y obtenga mejores resultados. Esto es que la señal de salida se aproxime más a la señal deseada, pero con un menor número de iteraciones. Y a su vez se comprobará que efectivamente dicho algoritmo es capaz de eliminar lóbulos secundarios conociendo la ubicación exacta de estos. De esta manera se reducirá el número de iteraciones provocando una disminución en el tiempo de ejecución del programa.
Cabe mencionar que en todo el medio existen muchas señales pero conocemos la dirección de ruido a priori.
Los pesos que el sistema arroja cuando se inicializa el vector de pesos con unos, se muestran en la tabla siguiente
DIPOLOS PESOS ARROJADOS CUANDO SE INICIALIZA EN UNOS
3 w1 = 0.081814‐0.0011603i w2 = 0.80913‐0.0002412i w3 = 0.32143‐3.0809e‐013i (85.5º) w4 = 0.85894‐6.4045e‐014i w5 = 0.081814+0.0011603i w6 = 0.80913+0.0002412i
5 w1 = 0.010957‐0.000804 w2 = 0.7944‐0.00016731i w3 = 0.09406+0.00040245i (85.5º) w3 = 0.09406+0.00040245i w4 = 0.81167+8.3661e‐005i w5 = 0.010949‐1.0146e‐013i
w6 = 0.7944‐2.1091e‐014i w7 = 0.09406‐0.00040245i w8 = 0.81167‐8.3661e‐005i w9 = 0.010957+0.00080486i w10 = 0.7944+0.00016731i
7 w1 = ‐0.030722+0.0086474i w2 = 0.78573+0.0017976i w3 = ‐0.0029577‐0.022406i
(45.5º) w4 = 0.79151‐0.0046577i w5 = 0.0049335+0.018495i w6 = 0.79315+0.0038448i
w7 = ‐0.03239‐7.5263e‐014i w8 = 0.78539‐1.5646e‐014i w9 = 0.0049335‐0.018495i
w10 = 0.79315‐0.0038448i w11 = ‐0.0029577+0.022406i w12 = 0.79151+0.0046577i
w13 = ‐0.030722‐0.0086474i w14 = 0.78573‐0.0017976i
9 w1 = ‐0.055065+0.009464i w2 = 0.78067+0.0019674i w3 = ‐0.048722‐0.014911i
37 w7 = ‐0.038919+0.016409 w8 = 0.78403+0.0034111i w9 = ‐0.058027‐5.9316e‐014i
w10 = 0.78006‐1.233e‐014i w11 = ‐0.038919‐0.016409i w12 = 0.78403‐0.0034111i
w13 = ‐0.025586+0.0049584i w14 = 0.7868+0.0010307i w15 = ‐0.048722+0.014911i
w16 = 0.78199+0.0030996i w17 = ‐0.055065‐0.009464i w18 = 0.78067‐0.0019674i
11 w1 = ‐0.070842+0.0092662i w2 = 0.77739+0.0019263i w3 = ‐0.072205‐0.0076713i
(26.7516º) w4 = 0.77711‐0.0015947i w5 = ‐0.055687‐0.01166i w6 = 0.78054‐0.002424i
w7 = ‐0.049169+0.004032i w8 = 0.7819+0.00083817i w9 = ‐0.063652+0.012919i
w10 = 0.77889+0.0026856i
w11 = ‐0.07469‐4.8817e‐
014i w12 = 0.77659‐1.0148e‐014i
w13 = ‐0.063652‐0.012919i w14 = 0.77889‐0.0026856i w15 = ‐0.049169‐0.004032i
w16 = 0.7819‐0.00083817i w17 = ‐0.055687+0.01166i w18 = 0.78054+0.002424i
w19 = ‐0.072205+0.0076713i w20 = 0.77711+0.0015947i w21 = ‐0.070842‐0.0092662i
w22 = 0.77739‐0.0019263i
13 w1 = ‐0.082612+0.0082012i w2 = 0.77495+0.0017049i w3 = ‐0.085734‐0.0035866i
(22.2481º) w4 = 0.7743‐0.00074558i w5 = ‐0.075954‐0.010871i w6 = 0.77633‐0.0022598i
w7 = ‐0.065554‐0.0045047i w8 = 0.77849‐0.00093643i w9 = ‐0.067592+0.0075178i
w10 = 0.77807+0.0015628i w11 = ‐0.07951+0.0101i w12 = 0.77559+0.0020997i
w13014i = ‐0.086342‐4.1392e‐ w14 = 0.77417‐8.6046e‐015i w15 = ‐0.07951‐0.0101i
w16 = 0.77559‐0.0020997i w17 = ‐0.067592‐0.0075178i w18 = 0.77807‐0.0015628i
w19 = ‐0.065554+0.0045047i w20 = 0.77849+0.00093643i w21 = ‐0.075954+0.010871i
w22 = 0.77633+0.0022598i w23 = ‐0.085734+0.0035866i w24 = 0.7743+0.00074558i
[image:41.612.89.525.514.727.2]w25 = ‐0.082612‐0.0082012i w26 = 0.77495‐0.0017049i
Tabla 3.6. Pesos obtenidos cuando el vector se inicializa en unos
A continuación se mostraran los valores de los pesos que arroja el LMS cuando este se inicializa con los valores obtenidos por el filtro.
DIPOLOS PESOS CUANDO SE INICIALIZA CON LOS PESOS DEL FILTRO 3 w1 = 0.29198‐0.00043928i w2 = 0.33853‐9.1317e‐005i w3 = 0.44048‐0.0010429i
w4 = 0.28621‐0.0002168i w5 = 0.1164+0.0014822i w6 = 0.10232+0.00030811i
5 w1 = 0.20583‐0.00020562i w2 = 0.22159‐4.2744e‐005i w3 = 0.25953‐0.00032849i
w4 = 0.21085‐6.8287e‐005i w5 = 0.15802+0.00043614i w6 = 0.15283+9.0664e‐005i
w7 = 0.17316‐0.00097018i w8 = 0.11105‐0.00020168i w9 = 0.049513+0.0010777i
w10 = 0.040595+0.00022403i
7 w1 = 0.1526+0.0077413i w2 = 0.15747+0.0016093i w3 = 0.17023‐0.018224i
w4 = 0.15355‐0.0037884i w5 = 0.16451+0.01508i w6 = 0.1388+0.0031348i
w7 = 0.11477‐0.00031446i w8 = 0.11022‐6.537e‐005i w9 = 0.12105‐0.0145i
w10 = 0.090306‐0.0030143i w11 = 0.08553+0.018511i w12 = 0.06064+0.0038481i
w13 = 0.036756‐0.0082996i w14 = 0.029091‐0.0017253i
9 w1 = 0.11773+0.0080104i w2 = 0.11771+0.0016652i w3 = 0.1207‐0.012152i
38 w7 = 0.11606+0.013383i w8 = 0.10069+0.0027821i w9 = 0.089101+0.00029451i
w10005i = 0.085306+6.1223e‐ w11 = 0.09143‐0.013586i w12 = 0.07465‐0.0028242i
w13 = 0.088339+0.003697i w14 = 0.062068+0.00076852i w15 = 0.054304+0.012355i
w16 = 0.042839+0.0025684i w17 = 0.033358‐0.0075441i w18 = 0.026688‐0.0015683i
11 w1 = 0.1045+0.0075298i w2 = 0.10412+0.0015653i w3 = 0.10205‐0.0060985i
w4 = 0.10148‐0.0012678i w5 = 0.11177‐0.0094606i w6 = 0.099577‐0.0019667i
w7 = 0.11143+0.0031183i w8 = 0.093941+0.00064822i w9 = 0.092138+0.010406i
w10 = 0.08296+0.0021633i w11 = 0.073775+0.00010206i w12 = 0.071043+2.1217e‐005i
w13 = 0.071914‐0.010402i w14 = 0.061748‐0.0021624i w15 = 0.072165‐0.0033761i
w16 = 0.052433‐0.00070182i w17 = 0.055149+0.0093208i w18 = 0.039423+0.0019376i
w19 = 0.029934+0.0062576i w20 = 0.024951+0.0013008i w21 = 0.019461‐0.0073953i
w22 = 0.014111‐0.0015373i
13 w1 = 0.091522+0.00674i w2 = 0.090501+0.0014011i w3 = 0.08782‐0.0025284i
w4 = 0.08834‐0.0005256i w5 = 0.09302‐0.0086902i w6 = 0.086843‐0.0018065i
w7 = 0.097757‐0.0040081i w8 = 0.084143‐0.0008332i w9 = 0.091453+0.0056387i
w10 = 0.078154+0.0011722i w11 = 0.075744+0.0081368i w12 = 0.069359+0.0016915i
w13 = 0.062613+0.00034947i
w14 = 0.060415+7.2648e‐
005i w15 = 0.059581‐0.0079449i
w16 = 0.05307‐0.0016516i w17 = 0.060527‐0.0063312i w18 = 0.046248‐0.0013161i
w19 = 0.053669+0.0031643i w20 = 0.037701+0.00065779i w21 = 0.036661+0.0086182i
w22 = 0.027139+0.0017916i w23 = 0.01985+0.0031822i w24 = 0.016902+0.00066151i
[image:42.612.86.527.66.417.2]w25 = 0.013583‐0.0063179i w26 = 0.0093137‐0.0013134i
Tabla 3.7. Nuevos valores de los pesos obtenidos por el LMS, cuando los pesos se inicializaron con los propuestos por el filtro pasa banda.
Los pesos mostrados en la tabla 3.7 son los valores finales que entrega el sistema LMS. Es evidente que existe una variación en los pesos cuando el vector se inicializa con unos y cuando se inicializa con los pesos del filtro. Los pesos de la tabla 3.6 son simétricos, y los de la tabla 3.7 no lo son. Al ser los pesos simétricos (tabla 3.6) la respuesta del sistema ante estos pesos, será una campana de gauss. Pero los pesos de la tabla 3.7 no son así, debido a que la respuesta que nos entrega el filtro pasa bandas (debido al tamaño tan pequeño de la banda que se utilizó) no es una respuesta que obedezca a la campana de gauss.
De esta manera se eliminará la interferencia de prioridad en la dirección en donde se coloca el nulo. En las gráficas siguientes se observa el patrón de radiación original (en color azul) y el patrón de radiación con un nulo (en color rojo). En cada gráfica se intentó eliminar el segundo lóbulo secundario. Para realizar lo anterior se utilizaron los pesos arrojados por el filtro pasa bandas
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Figura 3.22. Colocación de un nulo en el ángulo de 85.5º.
Figura 3.24 Colocación de un nulo en el ángulo de 45.0003°.
Figura 3.26 Colocación de un nulo en el ángulo de 26.7516°.
Figura 3.23 Colocación de un nulo en el ángulo de 85.5°.
[image:43.612.106.267.500.678.2]
Figura 3.25 Colocación de un nulo en el ángulo de 33.2489°.
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Como se puede observar en las gráficas anteriores, el sistema aún con los
pesos inicializados con los valores que proporcionó el filtro intenta colocar un nulo en la dirección del segundo lóbulo secundario.
Con lo anterior se logra una modificación al patrón de radiación como se muestra en color rojo. Donde se observa que realmente existe una alteración, y con lo cual se puede decir que se logra cumplir uno de los objetivos deseados en este análisis, que es colocar un nulo (en este caso) en el segundo lóbulo secundario.
Para demostrar que el sistema obtuvo una mejora en la rapidez se mostrará una comparación del error cuadrático medio. Se comparan los errores producidos cuando:
• Los pesos del sistema son inicializados con unos
• Los pesos del sistema son inicializados con los propuestos por el filtro.
3.5. Comparación del error cuadrático medio
El error cuadrático medio es la diferencia que existe entre la señal ideal y la señal que nos entrega el sistema. Por lo anterior el error cuadrático medio ayudará a verificar que el sistema llega a un cierto resultado, en tiempos distintos, según sus pesos iníciales. Debido a que el número de iteraciones disminuye cuando se inicializa el vector con los valores de los pesos generados por el filtro (para este caso filtro pasa banda). Por lo tanto los pesos del LMS son diferentes de uno.
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Figura 3.28.- Error cuadrático medio para una Figura 3.29.- Error cuadrático medio para una antena de 3 elementos antena de 5 elementos
Figura 3.30.- Error cuadrático medio para una Figura 3.31.- Error cuadrático medio para una antena de 7 elementos antena de 9 elementos
42 En las figuras (3.28, 3.29, 3.30, 3.31, 3.32, 3.33) se muestran los errores cuadráticos medios obtenidos para los distintos arreglos de antenas. En el caso cuando los pesos son inicializados en unos (grafica en azul), y cuando los pesos son inicializados con los pesos arrojados por el filtro pasa bandas (grafica en rojo). El error cuadrático medio cuando el vector de pesos esta inicializado con unos, varia en su punto máximo desde 0.23 hasta 0.33 aproximadamente. Sin embargo cuando el vector de pesos se inicializa con los pesos del filtro el error cuadrático medio se reduce considerablemente oscilando entre 0.0507 (para un arreglo de 3 elementos) y 0.005803 (para un arreglo de 13 elementos).
Es claro que así como el error cuadrático medio en su punto máximo se reduce, también se reducen el número de iteraciones variando desde 9 iteraciones con los pesos iniciales en unos, hasta 3 iteraciones con los pesos iníciales del filtro. Esto nos dice que efectivamente el sistema trabaja menos y trabaja mucho mejor. Para entender mejor esto nos enfocaremos al arreglo de 7 elementos
[image:46.612.125.488.316.576.2]Figura 3.34.- Error cuadrático medio para un arreglo de 7 elementos
43 cuando los pesos iníciales son los pesos del filtro, así como el número de iteraciones en que se presenta cada punto máximo.
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Capítulo 4
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Costos
Las consideraciones económicas aquí mostradas nos permiten observar los principales factores o recursos que intervinieron en la realización del proyecto, de la misma manera aportan una base para un posible seguimiento en un futuro. Este análisis no es estrictamente financiero ya que sólo se hace mención de algunos factores que formaron parte en su realización.
Como este proyecto fue de investigación, los costos generados por el mismo son en su mayoría los generados por las asesorías técnicas, y costos de papelería (fotocopias, impresiones, renta de internet), consultas en bibliotecas y viáticos.
En los puntos siguientes se hace una breve descripción de los principales recursos que se ocuparon para la realización del proyecto.
4.1 Recursos Humanos
En este punto se considera principalmente el tiempo que duró el proyecto. El cual fue de 800hrs en 10 meses, por lo tanto se desglosarán los costos estimados que implicaron cada uno de los recursos humanos.
El costo por hora del asesor técnico es de $ 500 H/H y se tomaron 400 horas, por lo que el total es de $ 200,000.
En cuanto al asesor metodológico el costo por hora fue de $ 175 H/H y se tomaron 120 sesiones de 1.5 horas cada una durante la realización del proyecto. Lo que nos arroja un total de 180 horas. El total que se generó fue de $ 31,500.
Para poder obtener el costo de ingeniero de proyecto el costo por hora es de $ 300 H/H. Se tomaron en cuenta las horas dedicadas por semana que fueron alrededor de 20 haciendo un total de 800 horas. Por lo que el total que se generó fue de $ 240,00.
En la tabla 4.1 se hace una relación de los costos totales referentes a los recursos humanos.
Recursos Humanos Costos/Hora (M/N)
Asesor Técnico $ 200,000
Asesor Metodológico $ 31,500
Ingenieros de proyecto ( 1 integrante) $ 240,000
Total $ 471,500
