Presentaciones para calculo I (Tema 2) 2017.rar

Tema 2

Funciones Reales de

Variable Real

Función y Catálogo de Funciones Básicas

 

_f

_R

_R

D

Tema 2:

Funciones Reales

de Variable Real



Objetivos Generales:



Identificar y reconocer las principales funciones

reales de variable real y sus características.



Comprender y hallar y/o resolver operaciones

algebraicas de funciones y composición

funciones reales de variable real, hallar

dominios.



A partir de la inyectividad entender la función

inversa de funciones reales de variable real.



Comprender y operar transformaciones de

traslación, compresión, dilatación y reflexión

con las funciones reales elementales de

SESIONES



SESIÓN 1 - 3:

Funciones y catálogo de

funciones básicas



SESIÓN 4:

Algebra de funciones



SESIÓN 5:

Función Inyectiva y función

Inversa



SESIÓN 6:

Modificaciones a la gráfica de



Definición de función



Gráfica de una función



Ejemplos



Prueba de la recta vertical



Dominio y Rango de una función



Ejemplos y ejercicios



Estudio del Signo de una la función



Ejemplos y ejercicios

Definición de Función

Una función

f

es una regla que

asigna a cada elemento

x

de un

conjunto

A

”exactamente

un

elemento”, llamado

f

(x)

, de un

conjunto

B

. Se escribe

f

: A



B

y

y=f(x)

es la regla de

correspondencia.

Definición de Función R



R

Una función

f

real de variable real

es

una regla que asigna a cada elemento

x

de un subconjunto de

R

”exactamente un elemento”, llamado

f

(x)

, de

R

. Esto se escribe:

f

: D(f) C R



R

Función Real de Variable Real

La

gráfica cartesiana de una

función es el conjunto de pares

ordenados

tales

que:

e

.



_x

_,

_y



_

_R

2

 

f

D

Función Real de Variable Real

 

x

x

f



1

a.

 

x



2

x



1

f

b.

 

2

₂

1

t

t

t

f





c.

Una manera geométrica de

comprobar si

una curva es función

es atravesar el

plano, imaginariamente, con rectas

verticales (paralelas al eje

0y

) a lo largo

de la gráfica; si alguna recta toca más de

una vez la curva, entonces la curva no es

función

Prueba de la Recta vertical

Si

es función

Dominio y Rango de una Función



Dominio de una función f:

es el mayor

subconjunto de

R

para el cual la ecuación

y =

f(x)

tiene sentido en

R

. Se denota por

D

ó

D(f)

.

Geométricamente se identifica como los puntos

del eje OX que tienen imagen (altura).



Rango de una función f:

es el subconjunto de

R

EJERCICIO



Identifica geométricamente el

dominio y rango de las siguientes

funciones:

1)

2)

3)

(0,0)

(0,0)

4)

(0,0)

 

 



 



1

,

1



f

R

R

f

D

  



 

 

f

R

R

f

D













,

5

3

 

 

 

 

0

0









R

f

R

R

f

D

 





 

f

R

R

R

f

D







Dominio de F(x) Analíticamente

Ejemplo:

Dominio de F(x) Analíticamente

 



5

₅



0

₀

5

2

2

















x

x

x

x

x

x

x

f

0

5

R

  

_f







_,

₀

 



₅

_,





Ejercicios:



Halle el dominio de las siguientes

funciones:

 

 

 

4

4

2

3

5

2

3

64

2

1

5



















x

x

x

x

x

k

x

j

x

x

x

i

x

 





 

_















































2

1

1

1

log

x

x

x

h

x

2

x

g

4

x

5x

ln

1

f(x)

2

 

  

 



 





 

 

  







 



1

,

5



Signo de la función

+

+

+

-

--3

-1

2

5



Algunas características de funciones



Función Par y Función Impar (Simetría)



Función Periódica



Función creciente y decreciente



Funciones acotadas



Igualdad de funciones



Catálogo de funciones conocidas (parte I)



Dominio Simétrico

:

Un conjunto D de números reales es

Simétrico respecto al origen

si y sólo

si para cada x de D se tiene que –x

pertenece a D.

Simetría

0

x

Función Par y Función Impar



Función Par y Función Impar:

Sea

f

una función con

dominio

D(f)

simétrico

, Entonces:



f

es par

si y sólo si f(x) = f(-x) para

todo x del dominio de f



F es impar

si y sólo si f(x) = -f(-x)

 

_x

_x

2

f



_f

 

_x

_

_x

3

PAR

_IMPAR

 

x

f

 

x

f





_f

_{ }

_

_x

_

_

_f

_{ }

_x

Función Par y Función Impar

Par o impar

, analizamos el

resultado de evaluar la función en -x

Función Par y Función Impar

Analíticamente

Si

f(-x) =

f(x) f par

-f(x) f impar

Función Par y Función Impar:

Analíticamente

Ejemplos

 

 

 

x

f

x

x

x

f

x

x

f













2

2

2

)

(

 

 

 

x

f

 

x

x

x

f

x

x

f

















3

3

3

)

(

PAR

IMPAR

 

   

 

 

x

f

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

x

f































2

3

2

3

2

3

1

1

)

(

1

Ejercicios

1.

Determine la simetría de las siguientes funciones:

 

1

)

₂





x

x

x

f

a

 

1

)

₄

2





x

x

x

f

b

 

1

)





x

x

x

f

c

 

x

x

x

f

d

)



_e

₎

_f

 

_x

_

₁

_

₃

_x

2

_

_x

4

_f

₎

_f

 

_x

_

₁

_

₃

_x

3

_

_x

5

2.

Dada la gráfica de

f(x

) con

D(f) = [-10,10

], complete el

gráfico para que

f

sea par o impar:

Impar

_Par

_Ninguna



Intervalos crecientes:

f es estrictamente creciente en un

intervalo I si y sólo si



Intervalos decrecientes:

F es estrictamente decreciente en

un intervalo I si y sólo si

Ejemplo Anexo

f es creciente en

f es decreciente en

Funciones Crecientes y Decrecientes

   

_{1 2}

2 1 2

1

,

x

I

si

x

x

f

x

f

x

x











   

_{1 2}

2 1 2

1

,

x

I

si

x

x

f

x

f

x

x











 

x



3

sen

(

x

),

x









,





f



₂

,

₂





Acotada Superiormente o Inferiormente:

Una función

f

está acotada

superiormente

si y sólo si

para algún

e inferiormente si y sólo si

Para algún



Acotada:

Una función

f

es acotada si es acotada superior e inferiormente.

Funciones Acotadas

   

f

,

f

x

M

D

x







R

M



   

f

,

f

x

m

D

x







Ejemplos de funciones acotadas

1. Acotada inferiormente

2. Acotada superiormente

3. Acotada

e

)

x

(

f

.

2

4

x

)

x

(

f

.

1

x

2

Igualdad de Funciones

Dos funciones f y g son iguales si y sólo si:

D

x

x

g

x

f

y

D

g

D

f

D











),

(

)

(

.

2

,

)

(

)

(

.

1







x

1

g

(

x

)

1

1

x

1

x

1

x

1

x

1

x

)

x

(

f

2

_

_



_













Tomemos el siguiente ejemplo

Son distintos porque:

Catálogo de funciones conocidas

Parte I



Funciones que derivan de las cónicas



Función a trozos



Función Parte Entera



Función Signo



Función afín o lineal



Función polinómica (un ejemplo la

cuadrática)

Funciones que Derivan de las Cónicas

Tomemos por ejemplo

 

























_

_









1

4

1

1

x

9

2

y

1

1

x

4

9

2

y

1

x

4

1

9

2

y

1

x

4

1

3

2

y

1

x

4

1

3

2

x

f

2

2

2

2

2

2

2

2





















































OJO

1.

Identifique la

cónica y el

pedazo de cónica

de describe cada

ecuación

2.

Del gráfico de la

función infiera la

ecuación de la

cónica de la cual

deriva

Funciones que Derivan de las Cónicas

Ejercicios

2

2

2

3

6

3

)

1

1

)

8

2

)

1

1

)

x

y

d

y

x

c

x

y

b

y

x

a

























Funciones que Derivan de las Cónicas

Solución a ejercicios

1.

Solución

a)

(x+1)

2

+ y

2

= 1. Lado Izquierdo de la

circunferencia.

b)

y

2

= -4(x-8). Parte inferior de la parábola

horizontal que abre hacia la izquierda.

c)

(x+1)

2

- y

2

= 1. Parte derecha de Hipérbola

horizontal

d)

(y-3)

2

/6 + x

2

/2 = 1. Parte inferior de elipse

vertical.

2.

Solución:

₆₄



₁



2

4

1

1









x

 

 

_{ }













a

x

x

h

a

x

x

g

x

f

Son funciones como por ejemplo:

Nota: La función Valor Absoluto es un ejemplo de función definida

Un ejemplo:

 













0

x

x

2

x

3

x

f

₃

Función a Trozos

Función Parte Entera

 

x

 

 

x

n

,

n

x

n

1

f











Z

n

,

R

x





 

 

 

 







































































































4

x

3

3

x

2

2

x

1

1

x

0

0

x

1

1

x

2

2

x

3

3

x

4

3

2

1

0

1

2

3

 























0

x

si

1

0

x

si

0

0

x

si

1

)

x

(

sig

x

f

Por ejemplo si la

Funcion Signo.gr

es:

 





















































1

x

si

1

1

ó

1

x

si

0

1

x

si

1

0

1

x

si

1

0

1

x

si

0

0

1

x

si

1

)

1

x

(

sig

x

f

2

2

2

2

Función a Trozos

Función Afín o Lineal

 

 

 

 

Biyectiva

f

Rang

R

f

D

mx

x

f

ó

b

mx

x

f











 

x

mx

Función Polinómica

Función Cuadrática

 

 

 

f

a

partir

del

vértice

Rang

R

f

D

c

bx

ax

x

f

2











 

 

f

R

D

a

x

a

x

a

x

a

x

f

_n

n

_n

₁

n

1

₁

₀













_



_



Función Polinómica:

Funciones Polinómicas

Función Potencia

 

_x

_

_x

_,

_n

_

_Z



f

.

1

n

n par

Función par

n impar

Función Impar

 

_x

_

_x

_,

_n

_

_Z



f

.

2

n

n par

n impar

Ejemplos

Función Potencia.gr

Funciones Polinómicas

Funciones Polinómicas

Función Potencia

 

_x

_

_x

_,

_n

_

_Z



f

.

1

n

1

n par

n impar

 

_x

_

_x

_,

_n

_

_Z



f

.

2

n

EJERCICIOS

1.

Determine el tipo de función y grafique:

 

5

)

f

x

x

a



_b

₎

_f

 

_x

_

₁

_

_x

2

c

)

f

 

x



x

4

 

159

)

f

x

x

d



e

)

f

 

x





x



2

 

9



5



2

3

2

)

f

x





x



f

2.

Haga coincidir cada ecuación con su gráfica.

Justifique

 

3

)

f

x

x

a



 

4

)

f

x

x

b



 

3

)

f

x



x



c

potencia

potencia

potencia

cónica

Catálogo de funciones conocidas

Parte II



Funciones algebraicas



Funciones racionales



Funciones trigonométricas



Seno, coseno, tangente



Cosecante, Secante, Cotangente



Funciones Exponenciales

Funciones Algebraicas

La “

función algebraica”

es la construida usando operaciones

algebraicas (como suma, multiplicación, sacar raíces, etc):

 

1

.

1

f

x



x

2



Ejemplos:

 





3

2

4

1

2

16

.

2













x

x

x

x

x

x

x

g

Funciones Racionales

Una función Algebraica

donde P(x) y Q(x) son polinomios. Ejemplo:

La “

función racional”

es la razón de dos polinomios:

 

 

_{ }

x

Q

x

P

x

f



 

4

1

2

2

2

4









x

x

x

Dominio R

Rango [-1, 1]

Función Impar

Función Periódica de período

fundamental 2π

Funciones Trigonométricas

Seno

 

h

co

x

sen



Seno



x

co

h

1

0

0X

Funciones Trigonométricas

Coseno

Dominio R

Rango [-1, 1]

Función par

Función Periódica de período

fundamental 2π

Coseno

 

h

ca

x

cos





x

ca

h

1

0

0X

Funciones Trigonométricas

Tangente

 



 







  











































_



_

_











P

,

f

R

Z

k

,

2

1

k

2

x

/

x

R

0

x

cos

/

x

R

f

D

 

 

 

_{ }

x

cos

x

sen

x

tg

x

Funciones Trigonométricas

Secante y Cosecante

 

_{ }

x

sen

1

x

ec

cos



 



 



 









2

1

,

1

,

2

1

2

/

0

cos

/























_











P

R

f

R

Z

k

k

x

R

x

x

R

f

D

 



 



Funciones Trigonométricas

Cotangente

 



 



 









 



























P

R

f

R

Z

k

,

k

/

x

R

0

x

sen

/

x

R

0

x

tg

/

x

R

f

D

 

 

_{ }

x

sen

x

cos

x

g

Funciones Trigonométricas

Importante al menos manejar:



Identidades

trigonométricas



Ángulos Notables

 

 





   

   





   

 

 

 

 

 

 

2

2

cos

1

cos

.

5

2

2

cos

1

.

4

cos

cos

cos

.

3

cos

cos

.

2

1

cos

.

1

2 2 2 2

x

x

x

x

sen

y

sen

x

sen

y

x

y

x

x

y

sen

y

x

sen

y

x

sen

x

x

sen

























 

 

3

2

1

Ejercicios

con identidades trigonométricas



Usando Identidades trigonométricas

demuestre las siguientes igualdades:

 

 

 



 

x



x

x

sen

x

sen

x

tg

b

cos

2

2

/

sec

)

2

3





 

 

x

 

x

 

x

sen

x

tg

a

sec

cos

1

)









 

 

x

x

sen

x

x

sen

d









)

 

 

2

2 Soluciones Paso a paso

 

 

x

 

x

 

x

sen

x

tg

a

sec

cos

1

)









 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

x



sen

 

x

 

x



 

x

 

x

x

x

sen

x

x

sen

x

x

sen

x

x

x

sen

x

tg

sec

cos

1

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

1



























 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 



 

 



 





 





 



 



 

 

 





 







 

x



x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

sen

x

x

x

sen

x

x

x

sen

x

sen

x

sen

x

sen

x

x

sen

x

sen

x

sen

x

tg

cos

2

2

/

sec

2

/

cos

1

cos

2

1

2

/

cos

2

1

cos

1

cos

1

1

cos

1

cos

1

cos

1

cos

1

cos

1

cos

1

cos

cos

1

cos

cos

1

cos

cos

cos

2 2 2 2 2 3 3 3









































 

 



Una Función de la forma:

Función Exponencial

 

x

a

,

con

a

0

y

a

1

f



x





es una función exponencial y está definida

para cada numero real.



Algunas propiedades algebraicas:

1

a

.

3

a

a

a

.

2

a

a

a

.

1

0

n

m

n

m

n

m

n

m











 

m

n

m

.

n

m

n

m n

m

m

a

a

.

5

a

1

a

.

4





Ejercicio

1.

Usando propiedades de potencia

demuestre las siguientes

igualdades

1

2

2

)

2

2































_e

x



_e



x

_e

x

_e



x

 

x

a

,

0

a

1

f

.

1



x





 

x

Función Exponencial

 

  



 

0

1

f

,

0

f

R

R

f

D

caso

cualquier

En











Definiremos la función Logaritmo como

Función Logarítmica

1

a

y

0

a

con

,

x

log

y



_a





y tal que:

.

x

a

y



Ejemplo 1:

log

₅

25



2

porque

5

2



25

Nota:

La función logaritmo no existe para números no positivos



Algunas propiedades:

 

*

x

log

r

x

log

.

3

y

log

x

log

y

/

x

log

.

2

y

log

x

log

y

.

x

log

.

1

a

r

a

a

a

a

a

a

a











0

y

,

x





base

de

Cambio

,

a

log

x

log

x

log

.

6

0

1

log

.

5

1

a

log

.

4

b

b

a

a

a







 

 

 

_

_

 

 

_









R

g

D

mientras

0

R

f

D

porque

x

log

2

x

g

x

log

x

f

_a

2

_a

(*)Gráficamente:

Funcion Logaritmo2.gr

:

Función Logarítmica

 

x

log

x

2

log

x

Ejercicios

1.

Usando propiedades de log

demuestre las siguientes

igualdades:

2.

Sea f(x) = ln((1+x)/(1-x)).

Demuestre que





















_log

₁

2

1

log

)

1

log

1

log

1

log

)

2

2

















x

x

b

x

x

x

x

a

a

a

x

a

a

a

   

















f

y

f

x

y

x

 

x

log

x

,

0

a

1

f

.

2



_a





 

x

log

x

,

a

1

f

.

1



_a



Función Logarítmica

  



 

 

1

0

f

R

f

R

,

0

f

D

caso

cualquier

En





EJERCICIO

1.

Grafique la siguiente función:

 

 

 





























































4

log

4

3

cot

3

2

),

(

2

2

,

3

1

8

x

x