• No se han encontrado resultados

MATE INICIAL V 2.1.pdf

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Share "MATE INICIAL V 2.1.pdf"

Copied!
221
0
0

Texto completo

(1)

M

ATEMATICA INICIAL

M

atiauda,

M

ario

E

.

R

ivero,

M

arta

O

.

M

oreno,

A

lejandro

(2)

Prólogo

Los cursos introductorios de Matemática en el nivel superior se encuentran, muchas veces, con las

dificultades de la dispersión temática de los contenidos o programas analíticos, sumados al cambio

repentino de hábitos o modalidades de estudio que experimentan los estudiantes en el cambio de un

nivel educativo a otro.

Matemática Inicial busca condensar en un volumen esa dispersión, pretendiendo constituir una

ayuda para la situación descripta, fundamentalmente en atención a los temas de la primera

Matemática.

(3)
(4)

ÍNDICE

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL 1

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS 17 CAPITULOIII RELACIONES 27 CAPITULO IV ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 35 CAPITULO V ALGEBRA DE BOOLE 43 CAPITULO VI LOS NATURALES 49

CAPITULOVII LOS ENTEROS 55

CAPITULO VIII LOS RACIONALES 61

CAPITULOIX LOS REALES 65

CAPITULO X COMBINATORIA 71 CAPITULO XI NUMEROS COMPLEJOS 93 CAPITULO XII POLINOMIOS 95 CAPITULO XIII GEOMETRIA ANALITICA 109

CAPITULO XIV FUNCIONES 123

CAPITULO XV LIMITES Y CONTNUIDADDE FUNCIONES 151

CAPITULO XVI SUCESIONES 173

CAPITULO XVII GRAFOS 191

(5)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

1

CAPÍTULO I: LÓGICA PROPOSICIONAL

Introducción

A partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y, a partir de un conjunto de proposiciones, podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas.

La lógica proposicional que estudiaremos, tiene una importancia singular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática.

1.1 Proposición

La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser:

verdadero (V) o falso (F)

En resumen, podemos dar la siguiente definición: Una Proposición es toda oración declarativa.

Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,..., etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:

p: 10 + 5 = 22 (F)

q: Posadas es una ciudad de Argentina. (V)

(6)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

2

1.2 Expresiones No Proposicionales

Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos.

Así tenemos, por ejemplo:

– ¿Cómo viniste?

– No avanzar

– Limpia la vereda.

1.3 Enunciados Abiertos

Si en la proposición: "once es mayor que cuatro" (en símbolos: 11 > 4) reemplazamos al número 11 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que cuatro" (x > 4), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 11, sino a un número cualquiera, entonces al enunciado x > 4 se le denomina enunciado abierto.

1.4 Clasificación de las Proposiciones

Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples. Por ejemplo, sea la proposición "p: 3 + 7 = 10" es una proposición simple.

Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta. Así, por ejemplo:

―Pitágoras era griego y era geómetra.‖

Encontramos dos enunciados. El primero (―p‖) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (―q‖) que Pitágoras era geómetra.

1.5 Notación y Conectivos Lógicos

A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos. A continuación vemos una concreta definición de cada uno:

Símbolo Operación asociada Significado

Negación no p o no es cierto que p

Conjunción o producto lógico p y q

Disyunción o suma lógica p o q (en sentido incluyente) Implicación p implica q, o si p entonces q Doble implicación p si y sólo si q

(7)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

3

1.6 Operaciones Proposicionales

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores de verdad, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba.

Negación

Dada una proposición p, se denomina la negación de “p” a otra proposición denotada por (se lee "no p") que le asigna el valor de verdad opuesto al de ―p‖. Por ejemplo:

p: Ella estudia matemática : Ella no estudia matemática

Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p ~ p

V F

F V

Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa. Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.

Ejemplo:la negación de "p: todos los estudiantes estudian algebra" es: ―~ p: no todos los estudiantes estudian algebra‖

O bien:

~ p: no es cierto que todos los estudiantes estudian algebra‖ ―~ p: hay estudiantes que no estudian algebra‖

Conjunción

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición ― ‖ (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p q

V V V

V F F

F V F

(8)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

4

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Ejemplos:

―5 es un número impar y 6 es un número par‖

Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son:

p: 5 es un número impar q: 6 es un número par

Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.

―Hoy es el día 3 de abril y mañana es el día de 5 de abril‖

Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones.

Disyunción

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición ― ‖ cuya tabla de valor de verdad es:

p q

V V V

V F V

F V V

F F F

La disyunción es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra ―o‖ es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo: ―Descarto las vasos rotos o que no están limpios‖

El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: descarto las vasos rotos, q: descarto los que no están limpios) es incluyente, pues si tiro algo roto, y que además no está limpio, la

(9)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

5

Implicación o Condicional

Implicación de las proposiciones p y q es la proposición ― ‖ (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:

p q

V V V

V F F

F V V

F F V

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la

implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplo: supongamos la implicación ―si apruebo, entonces te presto el libro‖.

La implicación está compuesta de las proposiciones

p: apruebo

q: te presto el libro

Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso,

condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera.

Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple.

Ejemplo: si , se tiene, – – (F)

La proposición resulta ser falsa por ser el consecuente (x = –x) falso.

Doble Implicación o Bicondicional

(10)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

6

p q

V V V

V F F

F V F

F F V

La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de puede obtenerse mediante la tabla de:

)

p q

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

Ejemplo:

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: a = b q: a2= b2

Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V, y viceversa. En los demás casos es V.

Diferencia Simétrica

La diferencia simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposición (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:

p q

V V F

V F V

F V V

(11)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

7

La verdad de está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes.

Ejemplo:

―o vamos al cine o vamos al estadio‖

Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de los dos lugares. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso.

1.7 Condición Necesaria y Suficiente

Consideremos la tabla de valores de verdad de la implicación:

p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Hay tres casos en los que es V, y entre ellos hay uno en que p es V, en el cual resulta q verdadera. Es evidente que hacemos referencia al primer renglón de la tabla y tenemos que si es V y p es V, entonces q es V. Se dice entonces que el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q.

En cambio, si p es F, nada podemos decir de q puesto que puede ser V o F. Por otra parte, cuando es V, si q es V, entonces p puede ser V o F; mas para que p sea V se necesita que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria para p.

Estas condiciones suelen expresarse del siguiente modo:

q si p (condición suficiente)

p sólo si q (condición necesaria)

Ejemplo: la siguiente implicación es V

"Si T es equilátero, entonces T es isósceles"

En este caso:

(12)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

8

q: T es isósceles

p es condición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea equilátero es suficiente para asegurar que sea isósceles. Por otra parte, T es equilátero sólo si es isósceles; es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea equilátero.

Sea ahora la doble implicación , es decir . Si es V, entonces es V y es V. Se tiene, atendiendo a la primera, que p es condición suficiente para q y, teniendo en cuenta la segunda implicación, ocurre que p es condición necesaria para q.

Es decir, si es V, entonces el antecedente p es condición necesaria y suficiente para el consecuente q. Análogamente, en el caso de la doble implicación verdadera, el consecuente q es también condición necesaria y suficiente para el antecedente p.

1.8 Proposiciones lógicamente equivalentes

Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota:

Ejemplo: sea t: recordamos su tabla de verdad:

p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Ahora bien, si analizamos la proposición r: su tabla de verdad resulta:

p q

V V V

V F F

F V V

F F V

(13)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

9

o también

1.9 Tautología, contradicción y contingencia

Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo:

Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre ―V‖ para cualquier combinación de sus valores de verdad, decimos que dicha fórmula es una Tautología ´o´ Ley lógica.

Ejemplo: Si analizamos la proposición realizando su tabla de verdad:

p ~ p

V F V

F V V

Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~ p, la proposición es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología.

Ejemplo: analicemos ahora la fórmula lógica

p q

V V V V V

V F F F V

F V V V V

F F V F V

En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica.

Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores, resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción.

Ejemplo: analicemos la fórmula lógica

p ~ p

V F F

(14)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

10

Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción.

Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una Contingencia.

1.10 Leyes del álgebra proposicional

Como bien dijimos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas sin importar la combinación de los valores de verdad de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

Involución (Se lee "no, no p, equivale a p")

Idempotencia

Conmutatividad

de la disyunción:

de la conjunción:

Asociatividad

de la disyunción:

de la conjunción:

Distributividad

De la conjunción respecto de la disyunción:

De la disyunción respecto de la conjunción:

Leyes de De Morgan

"La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones"

"La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones"

Contrarrecíproco

1.11 Negación de una Implicación

(15)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

11

p q

V V V F V V

V F F V F V

F V V F V V

F F V F V V

Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir:

A partir de la propiedad de idempotencia, podemos concluir entonces que:

Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente.

Ejemplo: sea la implicación

p: hoy es viernes ´entonces´ mañana es domingo Su negación es

: hoy es viernes ´y ´ mañana ´no´ es domingo.

1.12 Circuitos lógicos o booleanas

La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico con un interruptor.

Así, para representar a p, si es F, se tiene:

p

Y para p, si es V, se tiene:

p

Es decir, el interruptor se cierra si p es V y se abre si p es F.

De esta manera podemos representar las operaciones proposicionales mediante circuitos con tantos interruptores como proposiciones componentes, combinados en serie o paralelamente.

(16)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

12

Conjunción

Esta operación está representada por un circuito en serie.

Este circuito admite el pasaje de corriente, es decir la verdad de , sólo si ambas son V (comprobar en la tabla de verdad de la conjunción).

Disyunción

Está representada por un circuito en paralelo.

Como vemos, admite el pasaje de corriente cuando al menos una de las dos es V (comprobar en la correspondiente tabla de verdad).

Implicación

Dado que la representación mediante circuitos booleanos sólo es posible en caso de la conjunción o disyunción, para todas las demás operaciones necesitamos convertirlas en

combinación de éstas. Así, puesto que , aplicando la ley de De Morgan y la idempotencia, se tiene .

Es decir, convertimos la implicación en una disyunción para poder representarla mediante un circuito booleano. Tenemos, así:

Diferencia simétrica

Para poder representar la diferencia simétrica mediante un circuito booleano, necesitamos realizar algunas operaciones lógicas:

(17)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

13

Así hemos convertido la diferencia simétrica en la conjunción de dos disyunciones.

Ejemplo: dibujar el circuito booleano de la siguiente proposición:

1.13 Funciones proposicionales y cuantificadores

Función Proposicional

Supongamos los enunciados abiertos: ―x es la ciudad más populosa de Misiones‖ ―y + 6 = 13‖

Estos no tienen un valor de verdad determinado. Pero si en el primero de ellos hacemos ´= Posadas, tenemos:

―Posadas es la ciudad más populosa de Misiones‖ (V)

También, si en el segundo hacemos ´y´= 8, resulta: ―8 +6 = 13‖ (F)

Podemos, entonces, dar la siguiente definición:

(18)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

14

Ejemplos:

p(x): 2x + 7 > 12; si x = 3 13 > 12 (Verdadero)

q(x): 3x +4 = 10; si x = 5 19 = 10 (Falso)

r(x): 2x + 1 = 5; si x = 2 5 = 5 ( Verdadero )

s(x): x es un globo; si ´x = mesa, se tendrá: mesa es un globo (Falso)

t(x): x es un ave; si = flamenco, se tiene: el flamenco es un ave (Verdadero)

Cuantificadores

A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos y , llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones:

Para todo x, se verifica p(x) se denota por

Existe x, tal que se verifica p(x) se denota por

Corresponden a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo.

Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo:

, donde p(x): x es un número impar

La negación de "Todos los enteros son impares" es "Existen enteros que no son impares" y en símbolos:

Para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional. De forma similar, para negar una función proposicional cuantificada existencialmente se cambia el cuantificador por el universal y se niega la función proposicional.

Ejemplo: supongamos la proposición: ―Todos los alumnos de mi colegio son aplicados‖

La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario.

Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales:

(19)

CAPITULO I LOGICA PROPOSICIONAL

15

q(x): x es aplicado

Tenemos:

Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta:

(20)
(21)

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS

17

CAPÍTULO II: TEORÍA DE CONJUNTOS

Introducción

La teoría de conjuntos ha permitido mejorar la precisión del lenguaje en áreas de conocimiento como la teoría de relaciones y funciones, la teoría de las probabilidades y otras. Conocerla, al menos en sus aspectos fundamentales, es una necesidad para cualquier estudiante de ciencias.

2.1 Nociones de conjunto y elemento

Un conjunto es cualquier agrupación o colección de objetos o entidades.

Un elemento es cada uno de los objetos que forman un conjunto.

Los conjuntos se designan o denota generalmente con una letra mayúscula. Sus elementos se encierran entre llaves y si son literales, generalmente se usan minúsculas.

Por ejemplo, el conjunto A, formado por los elementos 1, 2, 3 y a, se denota así:

2.2 Definición (o determinación) de un conjunto

Un conjunto está definido o está determinado cuando se conocen todos y cada uno de los elementos que lo forman.

Se usan dos maneras para definir un conjunto:

 extensión o enumeración

 comprensión.

Definición por extensión o enumeración

(22)

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS

18

Ejemplo: si decimos que el conjunto M está formado por los elementos –5 y 7, y anotamos , lo hemos definido por extensión.

Definición por comprensión

Un conjunto está definido por comprensión cuando sus elementos se conocen a través de una propiedad que les es común a ellos y sólo a ellos.

Esa propiedad suele adquirir la forma de una función proposicional que se transforma en una proposición verdadera (V) sólo cuando a su/s variable/s se le/s asignan como valores los elementos de ese conjunto.

En el caso de conjuntos de interés matemático la función proposicional suele tener forma de una ecuación, o también de una inecuación.

Ejemplo: el mismo conjunto M del caso anterior puede ser definido por comprensión así:

El símbolo ―x/…‖ se lee: x, tal que…

Equivalencia de ambas definiciones

Analicemos la equivalencia de las dos formas de definición utilizadas.

En la definición por comprensión, la función proposicional usada es la ecuación de segundo grado en una incógnita, , que sólo se satisface como igualdad para sus raíces, que calculamos a continuación, con la fórmula de Baskara:

a c a b b x . 2 . . 4 2     2 12 2 1 . 2 ) 35 .( 1 . 4 ) 2 ( ) 2

( 2 

        .

De allí, x1 7 y x2 5.

Estos dos números son, precisamente, los elementos de M enumerados en la otra forma usada.

Concluimos entonces que ambas formas definen al mismo conjunto y, por ello, son equivalentes.

(23)

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS

19

2.3 Dos conjuntos especiales

Es frecuente, en esta teoría, la referencia a dos conjuntos que debemos distinguir como especiales:

el conjunto vacío (simbolizado con )

el conjunto universal (simbolizado con U)

El conjunto vacío es el que no tiene elementos.

El conjunto universal es el que reúne a todos los elementos de que se trata.

2.4 Diagramas de Venn-Euler

Los diagramas de Venn-Euler están formados por curvas que encierran a los elementos de un conjunto del cual se necesita proponer un gráfico representativo. La letra mayúscula que lo nombra se coloca afuera de la curva.

Ejemplo:

Si, el gráfico será:

El único conjunto que se representa gráficamente de un modo distinto es el universal U, pues para él se utiliza un rectángulo y su nombre se coloca en el interior, generalmente en el ángulo superior izquierdo.

Es también frecuente el uso de los dos diagramas que siguen, llamados diagramas de distribución, cuya utilidad se apreciará en sus aplicaciones.

U

A

U

B C

A U

A

B

 

1,2,3

A

A

1 2

(24)

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS

20

/ 22 350

x x x M

2.5 La pertenencia

La pertenencia es un concepto que permite observar la posición de un elemento cualquiera, con respecto a un conjunto, también cualquiera.

Así, dados un elemento y un conjunto cualesquiera, diremos que:

―el elemento pertenece al conjunto, o bien, el elemento no pertenece al conjunto‖

Los símbolos usuales son (pertenece) y (no pertenece).

Ejemplo: sea

M

5 es una proposición V (verdadera). M

7 es una proposición V. M

2 es una proposición V. M

 25 ,

4 es una proposición F (falsa).

M

5 es una proposición F.

En síntesis: la pertenencia sólo se debe usar para comparar la posición de un elemento con respecto a un conjunto.

El formato usual es:

[elemento][conjunto], o bien [elemento][conjunto] en donde los corchetes se deben interpretar como los lugares que en general han de ocupar las entidades que se comparan.

2.6 La inclusión

La inclusión es un concepto que permite comparar la ubicación de un conjunto con respecto a otro conjunto.

Definición: un conjunto está incluido en otro conjunto si, y sólo si, todos los elementos de lo son también de .

Los símbolos usuales en este caso son:

(…está incluido en…)

(…no está incluido en…)

(…incluye a…)

Con estos símbolos, podemos enunciar la definición de inclusión así:

)

(x A x B

B

(25)

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS

21

O, usando el condicional contrarrecíproco (equivalente):

)

(x B x A

B

A    

Propiedades de la inclusión:

1º) Propiedad Reflexiva: todo conjunto está incluido en sí mismo.

A A

A

 :

2º) Propiedad Transitiva:

C A C B B

A    

3º) El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto.

A

A

 :

4º) Todo conjunto está incluido en el Universal:

U A

A

 :

2.7 Conjuntos iguales

Definición:

Propiedades de la igualdad de conjuntos:

1º) Propiedad Reflexiva: A:AA 2º) Propiedad Simétrica: ABBA

3º) Propiedad Transitiva: ABBCAC

2.8 Conjunto de partes

El conjunto de partes de A es el conjunto cuyos elementos son todos subconjuntos de A.

El problema de decidir si un objeto es un elemento de se reduce a determinar si dicho objeto es un subconjunto de A, ya que de acuerdo con la definición, se tiene:

A B B A B

(26)

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS

22

De acuerdo a la propiedad reflexiva de la inclusión, se tiene que . Además, existe una propiedad que establece que el conjunto vacio está incluido en todo conjunto. De esto resulta que , para cualquier conjunto .

2.9 Operaciones con conjuntos

Unión de dos conjuntos Definición:

Gráficamente:

Propiedades:

1º) Idempotencia: AAA

2º) Conmutativa: ABBA

3º) Asociativa:

Casos particulares:

1º) Si un conjunto está incluido en otro, la unión de ambos es el conjunto incluyente.

B B A B

A   

Por lo tanto:

y

Intersección entre dos conjuntos

Definición:

Gráficamente:

x x A x B

B A B A

C     /   

AB

CA

BC

A

A  AUU

x x A x B

B A B A

C     /   

B U

A

B U

(27)

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS

23

A U

A 

Propiedades:

1º) Idempotencia: AAA 2º) Conmutativa: ABBA

3º) Asociativa:

AB

CA

BC

Casos particulares:

1º) Si un conjunto está incluido en otro, la intersección de ambos es el conjunto incluido.

A B A B

A   

Resulta, entonces, que:

2º) Si la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío, los dos conjuntos se dicen disyuntos.

Complemento de un conjunto

Definición: se llama complemento de al conjunto formado por todos los elementos de U, que no pertenecen a .

El complemento de se denota con , o con ̅. Usaremos preferentemente la segunda notación. Entonces:

o bien,

En forma gráfica:

Propiedades de la complementación:

1º) Involutiva:

2º)

Propiedad distributiva

La unión y la intersección de conjuntos se relacionan a través de dos propiedades que se enuncian simbólicamente a continuación:

  

A

x x U x A

A /    A

x/xA

U

A

A A) (

A B B

(28)

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS

24

Propiedad distributiva de la unión, con respecto a la intersección

AB

C

AC

 

BC

Propiedad distributiva de la intersección, con respecto a la unión

AB

C

AC

 

BC

Leyes de De Morgan

A su vez, la unión y la intersección de conjuntos se relacionan con la complementación de conjuntos a través de otras dos propiedades que se enuncian simbólicamente a continuación:

Primera ley de De Morgan

AB

AB Segunda ley de De Morgan

AB

AB Diferencia de dos conjuntos

Definición:

Gráficamente:

Observación: la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

Propiedades:

1º) ̅

2º) Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la diferencia:

AB

C

AC

 

BC

Diferencia simétrica de conjuntos

Definición:

Gráficamente:

x x A x B

B A B A

C     /   

U A

B

B U

(29)

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS

25

Propiedades:

1º) Conmutativa:

2º) Asociatividad:

2.10 Producto cartesiano de conjuntos

Sean a y b dos objetos. Al conjunto {{a},{a,b}} se le llama par ordenado o pareja o cupla formado por a y b. Se lo denota (a,b).

Al objeto a se lo denomina primera componente y b es la segunda componente del par ordenado.

Para la igualdad de dos pares, se tiene la siguiente equivalencia lógica:

Dados dos conjuntos A y B, se define al ´conjunto producto´(o producto cartesiano) de A y B (en ese orden), representado por , como el conjunto:

Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta que como norma general:

Por ejemplo: sea y . El producto cartesiano de A por B es igual a:

2.11 Grafo

Dados los conjuntos A, B y AxB, se llama grafo G a una parte de AxB. Es decir, es un conjunto de pares ordenados de AxB.

Representación de los grafos

Tabla de doble entrada: los elementos de A se escriben horizontalmente y los de B se escriben verticalmente. Con una cruz se marcan los elementos que pertenecen al grafo.

Diagrama cartesiano: está formado por un reticulado de rectas que indican los elementos de cada conjunto. Las verticales corresponden al conjunto de partida A y las horizontales al conjunto de llegada B.

(30)

CAPITULO II TEORIA DE CONJUNTOS

26

(31)

CAPITULO III RELACIONES

27

CAPÍTULO III: RELACIONES

3.1 Correspondencia

Se llama correspondencia entre dos conjuntos A y B a toda ley f que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B.

Se denota por

A es el conjunto inicial o conjunto de partida de la correspondencia.

B es el conjunto final o conjunto de llegada de la correspondencia

Los elementos de A que se transforman mediante la correspondencia forman el conjunto de definición (dominio): D(f).

Los elementos del conjunto B constituyen el codominio de la aplicación y se lo denota por Cod(B).

Los elementos de B que son transformados de los de A forman el conjunto de valores (imagen): I(f).

3.2 Aplicación o función

Se llama aplicación entre dos conjuntos A y B a toda correspondencia que verifica las siguientes condiciones:

Todos los elementos del conjunto A se transforman en elementos del conjunto B

La imagen de cada elemento es única.

Tipos de aplicaciones

(32)

CAPITULO III RELACIONES

28

Inyectiva: a cada elemento imagen le corresponde un único elemento del conjunto de definición:

Sobreyectiva, suprayectiva o exhaustiva: a todo elemento del codominio le corresponde un elemento del conjunto de definición:

Biyectiva: cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, es decir, es una aplicación uno a uno, por lo que los conjuntos de partida y de llegada tienen el mismo número de elementos.

En general al referirnos a conjuntos numéricos, se llaman funciones a las aplicaciones.

3.3 Relaciones binarias

Una relación binaria es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación matemática se puede representar mediante un subconjunto de pares ordenados .

Por ejemplo: sean los conjuntos A y B.

Los elementos de A quedan relacionados con los del conjunto B mediante la propiedad:

Esta relación entre A y B está caracterizada por el conjunto de pares ordenados:

Una relación R está representada por un grafo definido por:

Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria R:

Relación heterogénea

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea si A es distinto de B:

(33)

CAPITULO III RELACIONES

29

Relación homogénea

Una relación binaria entre dos conjuntos se llama homogénea si estos dos conjuntos son iguales:

Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar que o más comúnmente .

3.4 Propiedades de las relaciones binarias homogénea

Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:

Relación reflexiva

Una relación se llama reflexiva si todo elemento está relacionado consigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.

Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado pertenece a la relación binaria R.

Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad sólo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:

No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.

Relación no reflexiva

La no reflexividad de R queda especificada por la existencia de al menos un elemento de A que no esté relacionado consigo mismo.

Relación arreflexiva

Una relación binaria es arreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo:

(34)

CAPITULO III RELACIONES

30

No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que .

Relación simétrica

Una relación binaria es simétrica, si se cumple que un par ordenado pertenece a la relación entonces el par también pertenece a esa relación:

Para todo par ordenado que pertenezca a R, implica que el par también

pertenece a R, téngase en cuenta que si el par no pertenece a la relación el par tampoco tiene que pertenecer a esa relación:

No existe ningún par ordenado que pertenezca a R y que el par no pertenezca a R.

Relación no simétrica

Es la negación de la simetría. Es decir, existe al menos un par ordenado de la relación que al permutar sus componentes se obtiene otro par que no pertenece a la misma.

Relación asimétrica

Si un par ordenado pertenece a la relación, entonces el que se deduce por permutación no pertenece.

Relación antisimétrica

Una relación binaria se dice que es antisimétrica si los pares ordenado y pertenecen a la relación entonces :

Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionado con b y b esté relacionado con a:

(35)

CAPITULO III RELACIONES

31

Relación transitiva

Una relación binaria es transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces a esta relacionado con c:

Relación no transitiva

Es la negación de la propiedad transitiva:

Relación atransitiva

En este caso, la propiedad transitiva no se cumple para ninguna terna de elementos de A. Formalmente:

Relación total

Una relación binaria se dice que es total si para todo elemento del conjunto a, b: o a está relacionado con b o b está relacionado con a. Esto es: el grafo de la relación es conexo.

3.5 Relaciones definidas en un conjunto

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos:

3.5.1 Relación de equivalencia

Se dice que la relación binaria homogénea R es una relación de equivalencia, si cumple las siguientes propiedades:

Relación reflexiva.

Relación simétrica.

Relación transitiva.

(36)

CAPITULO III RELACIONES

32

Se llama conjunto cociente de A respecto a la relación R, y se representa por ⁄ , al conjunto formado por todas sus clases de equivalencia.

Por ejemplo:

Sea n un número entero positivo y sean a y b dos enteros cualesquiera. Se dice que a es congruente con b modulo n, o que a es un resto de b modulo n, si a y b dan el mismo resto cuando se dividen por n. Esto es equivalente a que n divide a la diferencia entre a y b. Lo denotamos por:

Así tenemos que:

ya que

ya que

La congruencia modular de grado n, de los números enteros, es una relación de equivalencia, dado que:

Es reflexiva:

Es simétrica:

Esta propiedad se verifica teniendo en cuenta que:

La propiedad se satisface ya que es múltiplo de n, basta con multiplicarlo por .

Es transitiva:

Demostración

Como , tenemos , para algún (1)

Por otro lado , entonces , para algún (2)

Reemplazando b de (1) en (2), obtenemos:

Como , su suma también será un número entero. Por lo tanto .

Concluimos entonces que la congruencia modular define una relación de equivalencia en el conjunto de los números enteros. Queda así particionado en clases de equivalencia.

(37)

CAPITULO III RELACIONES

33

Cada clase corresponde a uno de los n posibles restos , por lo que existen n clases de congruencia. Estas son:

………...

No existen más clases diferentes. Así por ejemplo,

Así el conjunto cociente de respecto a la relación de congruencia modular, es igual a: ⁄

3.5.2 Relación de orden

En Matemática y en la vida cotidiana hacemos uso de la noción de orden. Así queremos ordenar objetos de acuerdo a cierto criterio. Nuestro interés matemático reside en encontrar criterios que nos sean útiles para ordenar elementos de algún conjunto.

Lo esencial de toda relación de orden es que se cumpla la propiedad transitiva, y de acuerdo a si se cumplen o no otras propiedades hablaremos de distintas clases de orden.

Se dice que la relación binaria homogénea R define un conjunto con orden amplio, si cumple:

Relación reflexiva.

Relación antisimétrica

Relación transitiva.

A su vez, una relacion de orden amplio puede ser:

Orden parcial: existen pares de elementos que no son comparables:

Orden total: todos los elementos del conjunto son comparables:

Se dice que la relación binaria homogénea R define un conjunto con orden estricto, si cumple:

 Relación arreflexiva

 Relación asimétrica

 Relación transitiva

De la misma forma que en la relación de orden amplio, la relación de orden estricto puede ser parcial o total.

(38)

CAPITULO III RELACIONES

34

Propiedad reflexiva

Propiedad antisimétrica Propiedad transitiva

Por lo tanto, en se define la relación menor o igual de orden amplio. Además, esta relación de orden es total ya que:

Intervalos: sea A un conjunto ordenado por una relación, denotada . La relación de orden estricto que se deduce de ella se denota <.

Sea . Se tiene las siguientes definiciones:

Intervalo cerrado de origen a y extremo b: es el conjunto de los elementos x de A tales que .

Intervalo abierto de origen a y extremo b: es el conjunto de los elementos x de A tales que .

Intervalo semi-abierto: puede ser a izquierda y a derecha, definidos de la siguiente manera:

Cotas: sea un conjunto ordenado y E una parte no vacía de A.

Cota superior: a es una cota superior de E si todo elemento de E no supera a a, es decir:

Cota inferior: b es una cota inferior de E si todo elemento de E supera a b, es decir:

Elementos destacados: sea un conjunto ordenado y E una parte no vacía de A.

Si existe una cota superior a de E que verifique , se dice que a es el elemento máximo de E. Se lo denota

(39)

CAPITULO IV ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

35

CAPITULO IV: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Introducción

Una estructura algebraica es un objeto matemático formado por un conjunto no vacío donde sus elementos se relacionan mediante una o varias leyes de composición interna, satisfaciendo un cierto número de axiomas.

Las estructuras algebraicas surgen en la Matemática moderna como una herramienta propia de las matemáticas puras. Pero, en general, las estructuras algebraicas representan conceptos cuyas aplicaciones trascienden el ámbito de las Matemáticas puras. Sus aplicaciones han sido de gran utilidad para muchas ramas de la física, la química y, muy especialmente, en la informática.

2.1 Operaciones binarias

Ley de composición interna

Definido un conjunto no vacío A, una ley de composición interna es una aplicación o función ―‖ del producto cartesiano de en .

En símbolos:

ó

Ejemplo:

La suma ó la multiplicación en N, en Z, en Q, en R ó en C, son leyes de composición interna.

Las siguientes tablas definen leyes de composición interna en el conjunto

* 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

(40)

CAPITULO IV ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

36

Ley de composición externa

Una ley de composición externa definida en A con operadores de B es toda función ó aplicación ―‖ de en A.

En símbolos:

ó

2.2 Propiedades y elementos distinguidos de las leyes de

composición interna

Sea * y # dos leyes de composición interna en A.

Propiedad Asociativa

Propiedad conmutativa

Existencia de elemento neutro

Si el elemento e existe se lo llama neutro o identidad de A respecto de la ley *.

Existencia de elementos inversos

Propiedad distributiva de # respecto de *

2.3 Sistemas Axiomáticos

(41)

CAPITULO IV ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

37

2.3.1 Estructura de Monoide

El par donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación o ley de composición interna ―‖ se denomina monoide.

Ejemplo:

son ejemplos de monoides.

no es un monoide ya que la sustracción no es ley de composición interna en . donde , es un monoide.

2.3.2 Estructura de Semigrupo

Un monoide asociativo se denomina semigrupo.

Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo conmutativo.

Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad ó semigrupo con identidad.

El elemento neutro se llama identidad.

Ejemplos:

es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro.

es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0.

es un semigrupo conmutativo con elemento neutro ó identidad igual a 1.

2.3.3 Estructura de Grupo

Sea el par donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna ―‖:

es un grupo o se define sobre A una estructura de grupo si:

* es asociativa.

Existe elemento neutro en A.

Todo elemento de A tiene su inverso en A.

Cuando además de ser un grupo, la ley * cumple con la propiedad conmutativa, se tiene que constituye un Grupo Conmutativo o Grupo Abeliano.

(42)

CAPITULO IV ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

38

Ejemplos:

El par donde + es la suma usual entre números enteros, forma un grupo abeliano. El elemento identidad es el 0 y el inverso de a es –a en . Este grupo se denomina grupo aditivo .

no constituye una estructura de grupo ya que no posee neutro, como tampoco elementos inversos.

no es grupo. Tiene neutro, a saber el 0, pero no tiene inverso aditivo. y poseen estructura de grupo.

Propiedades de los grupos

Sea el par donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna ―‖.

(Ley cancelativa) ó

2.3.4 Estructura de Subgrupo

Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de si y solo sí es un grupo.

Por ejemplo, es un subgrupo de .

Condición necesaria y suficiente para la existencia de subgrupos

Sea (G,*) un grupo y . Entonces H es un subgrupo de G si y solo si:

2.3.5 Estructura de Anillo

Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna , la terna ordenada tiene estructura de Anillo si y solo si:

es asociativa en A. es conmutativa en A.

Existe elemento neutro en A respecto de .

Todo elemento de A posee su inverso en A respecto de .

(Estas 4 propiedades muestran que es un grupo abeliano.) * es asociativa en A.

(43)

CAPITULO IV ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

39

Resumiendo podemos decir que:

es un Anillo si es un grupo abeliano; es un semigrupo y la segunda operación distribuye doblemente sobre la primera.

Una aclaración oportuna

Como la operación puede ser aditiva y la operación * puede ser multiplicativa, es común representarlas con los conocidos signos de la suma y el producto, pero en todos los casos deberá respetarse la definición que corresponde a cada operación.

Con esta aclaración debe quedar claro que representa una estructura algebraica, talves un anillo, pero que la operación y la operación * no representan la suma y el producto conocido, salvo ello esté expresamente indicado.

Con igual margen de tolerancia en la interpretación de este tema, debemos decir que el elemento neutro de la operación aditiva se representa con 0 (cero) y el neutro de la operación multiplicativa con 1 (uno) sin que ellos sean necesariamente el 0 y 1 conocidos.

Si además:

* es conmutativa en A. Entonces se obtiene la estructura de Anillo Conmutativo.

Existe elemento neutro en A respecto de *. Entonces se tiene un Anillo con Identidad o Anillo con Unidad.

Todo elemento de A tiene su inverso en A respecto de *. Entonces la terna se denomina Anillo de División.

Ejemplos:

con las operaciones conocidas no es un anillo, pues en no existe neutro para la adición.

con las operaciones conocidas, tiene estructura de anillo conmutativo con unidad.

Anillos sin divisores de cero

Un anillo se dice sin divisores de cero si y solo sí elementos no nulos de A dan producto no nulo.

En símbolos:

Anillo de integridad

es un Anillo de integridad si y solo sí es un anillo y ―0‖ es su nico divisor de cero.

Dominio de integridad

(44)

CAPITULO IV ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

40

Dicho de otra manera, un Dominio de integridad es un Anillo conmutativo con identidad y de integridad.

Ejemplos:

con las operaciones usuales de suma y multiplicación constituye un dominio de integridad.

con las operaciones usuales son dominios de integridad. Los polinomios en una indeterminada (o más de una) con coeficientes en , o en , forman un dominio de integridad con las operaciones conocidas de suma y multiplicación.

2.3.6 Estructura de Cuerpo

La terna ordenada es un cuerpo, o tiene estructura de cuerpo si y solo si es un anillo de división conmutativo.

Esto es, es un cuerpo si y solo si es un anillo conmutativo con unidad cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo.

Un cuerpo queda caracterizado por las siguientes estructuras:

es un cuerpo si y solo si:

es un grupo abeliano. es un grupo abeliano. * distribuye respecto de .

Ejemplos:

con las operaciones usuales de suma y multiplicación, no es cuerpo, ya que carece de inversos multiplicativos.

con las operaciones usuales son cuerpos. Todo cuerpo es un dominio de integridad

Para proveer de un ejemplo de estructura algebraica no tan conocida, recordemos el conjunto cociente de respecto a la relacion de congruencia modular, es decir el conjunto llamado conjunto de los enteros modulo n.

Si n es un número entero tal que  , se denomina al conjunto:

Se definen las operaciones de suma y producto de la siguiente manera:

(45)

CAPITULO IV ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

41

Por ejemplo, si ; y , entonces:

La terna es un anillo conmutativo con unidad. Se llama Anillo de los enteros módulo n.

es un dominio de integridad si y solo sí n es primo. Esto puede verse en las siguientes tablas de operaciones en el conjunto .

Para las tablas de operaciones son:

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

Se observa que el producto no tiene divisores de cero.

Para las tablas de operaciones son:

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Aquí se observa que el producto posee divisores de cero.

2.4 Morfismo u Homomorfismo

Una aplicación de conjuntos  se dirá que es un morfismo de la estructura en la estructura o simplemente un morfismo de A en B si se cumple que:

Ejemplo:

Sean las estructuras y , donde las operaciones son la suma y multiplicación conocidas.

La aplicación  , para cualquier valor entero positivo , es un morfismo entre estas estructuras ya que cumple:

(46)

CAPITULO IV ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

42

La clasificación que hemos visto para las aplicaciones, en inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, se traslada a los morfismos que adquieren nombres especiales en función del tipo de aplicación que los define:

Endomorfismo Se llama así a todo morfismo de A en A

Monomorfismo Se llama así a todo morfismo inyectivo

Epimorfismo Se llama así a todo morfismo sobreyectivo

Isomorfismo Se llama así a todo morfismo biyectivo

Automorfismo Se llama así a todo endomorfismo biyectivo

Ejemplos:

Para todo a dado en la aplicación es un endomorfismo del monoide .

(47)

CAPITULO V: ALGEBRA DE BOOLE

43

CAPÍTULO V: ÁLGEBRA DE BOOLE

Introducción

Una herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana. Está compuesta por reglas matemáticas que se corresponden con el comportamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc).

En este capítulo se presentan los postulados que definen el álgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los resultados más importantes y su interpretación a través de las compuertas lógicas.

5.1 Postulados del álgebra booleana

Sea B un conjunto en el cual se han definido dos operaciones binarias, + y *, y una operación unitaria , denotada, ‗ , sean 0 y 1 dos elementos diferentes de B. Entonces (B, +, *, ‗ , 0, 1) forman el álgebra de Boole si se cumple los siguientes axiomas, para elementos a, b, c del conjunto B:

1) Leyes conmutativas

a) b)

2) leyes distributivas

a) b)

3) Leyes de identidad

(48)

CAPITULO V: ALGEBRA DE BOOLE

44

4) Leyes de complemento

a) b)

donde indica elemento unidad y es el complemento de .

Por ejemplo: sea B={0,1}, con operadores + y *, los complementos 1‘ =0, 0‘ =1. Las operaciones se definen mediante las siguientes tablas:

+ 0 1 0 0 1 1 1 1

* 0 1 0 0 0 1 0 1

Dados dos elementos de B7 hallar la suma, el producto y el complemento de y

.

5.2 Dualidad

El dual de cualquier enunciado en un algebra de Boole es el enunciado obtenido al intercambiar las operaciones + y * , e intercambiar los correspondientes elementos identidad 0 y1 , en el enunciado original.

Por ejemplo: es

Principio de dualidad: el dual de cualquier teorema en un algebra de boole es también un teorema.

5.3 Teoremas Básicos

Además de los ya enunciados tendremos:

5) Leyes de idempotencia

a) b)

6) Leyes de acotamiento

a) b)

7) Leyes de absorción

(49)

CAPITULO V: ALGEBRA DE BOOLE

45

8) Leyes asociativas

a) b)

9) Unicidad del complement

10)Ley de involución

a) b)

11)Leyes de de Morgan

a) b)

5.4 Compuertas lógicas

Los circuitos lógicos pueden visualizarse como máquinas que contienen uno o más dispositivos de entrada y exactamente un dispositivo de salida. En cada instante, cada dispositivo de entrada tienen exactamente un bit de información, o sea, un 0 o un 1, estos datos son procesados por el circuito para dar un bit de salida. Así, a los dispositivos de entrada se les pueden asignar sucesiones de bits que son procesados por el circuito bit por bit para producir una sucesión con el mismo número de bits. Podemos suponer que el circuito siempre procesa la sucesión de izquierda a derecha.

Los circuitos lógicos se construyen a partir de ciertos circuitos elementales llamados compuertas lógicas.

Compuerta

Denotamos la salida de una compuerta en la forma en donde la adición está definida como en el ejemplo 1. Es decir si o , y sólo si tanto como .

Por ejemplo: y entonces la compuerta producirá la sucesión .

(50)

CAPITULO V: ALGEBRA DE BOOLE

46

El valor de salida para estas sucesiones especiales se llama tabla de verdad del circuito para la compuerta .

A B A+B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Compuerta

Designamos la salida de una compuerta como el producto de las entradas . El valor de Y en este caso está dado por la tabla de multiplicación definida anteriormente; es decir cuando tanto como , de otro modo, . Por ejemplo si y la compuerta producirá la sucesión .

La representación gráfica para esta compuerta es la siguiente:

A B A.B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Compuerta

La compuerta también llamada inversor, con entrada A y salida Y. La compuerta puede tener solamente una entrada, y su salida se representa colocando una barra sobre la entrada ̅.

El valor de la salida Y es el opuesto del valor de la entrada A; o sea cuando A , y cuando . Así que si a A se le asigna la sucesión de bits la compuerta producirá la sucesión ̅ . Específicamente junto con cualquier interruptor A podemos incluir un interruptor ̅ que está abierto cuando A está cerrado, y está cerrado cuando A esta abierto. Este interruptor ̅ se llama complemento de A.

(51)

CAPITULO V: ALGEBRA DE BOOLE

47

(52)
(53)

CAPITULO VI: LOS NATURALES

49

CAPÍTULO VI: LOS NATURALES

Introducción

Los números naturales son los primeros números que crean las distintas civilizaciones más antiguas, ya que las tareas de contar y de ordenar eran las más elementales que debían realizar día a día.

Aquí se pretende formalizar la idea de número natural mediante los axiomas de Peano (1858-1932). La notación para el conjunto de los números naturales será .

6.1 Axiomas de Peano

Axioma I: existe un elemento de al que llamaremos cero (0), esto es, .

Axioma II: existe la llamada ―aplicación siguiente‖ , que asigna a todo número natural x, otro número x’ denominado el siguiente de x.

Axioma III: el cero no es imagen por la aplicación siguiente:

.

Axioma IV: la aplicación siguiente es inyectiva.

Axioma V: se verifica la inducción completa (recurrencia):

( )

(54)

CAPITULO VI: LOS NATURALES

50

elemento de A tiene siguiente en A, necesariamente ha de coincidir con el conjunto de los números naturales. Es lo que se acostumbra a denominar método simple de inducción completa.

A partir de estas cinco condiciones, y usando sistemáticamente el quinto axioma, de la inducción completa, podemos probar todas las propiedades del conjunto .

6.2 Adición de números naturales

Definimos la suma de números naturales como una aplicación , de manera que:

se cumple que:

1)

2)

Se tiene así definida la suma como una ley de composición interna que dota al conjunto de estructura de monoide.

NOTACIÓN: Representaremos en adelante la suma de dos elementos de , m y n, en la manera habitual:

De esta forma, las dos condiciones de la definición serían:

1)

2)

Propiedades:

Se verifican las propiedades asociativa, conmutativa y cancelativa para la suma de números naturales:

- Propiedad asociativa:

- Propiedad conmutativa:

- Propiedad cancelativa: (también llamada propiedad simplificativa de la suma)

Además se tiene que el elemento neutro para la suma de números naturales es el cero (0), ya que .

(55)

CAPITULO VI: LOS NATURALES

51

6.3 El producto de números naturales

Definimos la multiplicación o producto de números naturales como una aplicación , de modo que:

se cumple que

1)

2)

Se tiene así definido el producto como una ley de composición interna que dota al conjunto de estructura de monoide.

NOTACIÓN: Representaremos en adelante la multiplicación de dos elementos de , m y n, en la manera habitual:

y las dos condiciones de la definición serían, con esta notación:

1)

2)

Propiedades:

Se verifican las propiedades asociativa, conmutativa, cancelativa y distributiva respecto de la suma para la multiplicación de números naturales:

- Propiedad conmutativa:

- Propiedad asociativa:

- Propiedad cancelativa:

- Propiedad distributiva respecto de la suma:

Además se tiene que el elemento neutro para el producto de números naturales es el uno (1), ya que .

Por lo tanto, el conjunto con la operación suma constituye una estructura de semigrupo conmutativo con unidad.

6.4 Principio de inducción o recurrencia

Sea P(n) una proposición asociada a todo numero natural n. Si se cumple:

1) la proposición P(1) es verdadera;

(56)

CAPITULO VI: LOS NATURALES

52

Entonces P(n) es verdadera para cualquier numero natural n.

Por ejemplo: para cualquier ,

Demostración:

Para n=1, la proposición se convierte en:

Así P(1) es verdadera y tenemos una base para la inducción. Si se supone que el resultado es cierto para (para algún ), se quiere establecer un paso inductivo mostrando que la verdad de P(k) ―obliga‖ a aceptar la verdad de P(k+1). (La hipótesis de la verdad de P(k) es llamada hipótesis de inducción). Para establecer la verdad de P(k+1), se necesita probar que:

Luego, se puede realizar lo siguiente:

Ya que se está suponiendo la verdad de P(k).

Trabajando algebraicamente:

Lo que establece el paso inductivo (la 2º condición) del teorema.

En consecuencia, por el principio de inducción, P(n) es verdadera para todo .

6.5 Relación de orden

Definiciones:

- Se define la relación ―menor o igual que‖ (≤) del modo siguiente:

Referencias

Documento similar

¿Cómo se traduce la incorporación de ésta en la idea de museo?; ¿Es útil un museo si no puede concebirse como un proyecto cultural colectivo?; ¿Cómo puede ayudar el procomún

Soy algo más que el dolor que siento ahora mismo; soy también la respuesta sincera a ese dolor.» Cuando nos conmueve lo difícil que puede resultar la vida en un momento

Este enfoque conlleva la deconstrucción del sujeto moderno y la construcción de una identidad moral que no se define como la relación del yo consigo mismo, sino como la relación

Es cierto que si esa persona ha tenido éxito en algo puede que sea trabajadora, exigente consigo misma y con los demás (eso sí son virtudes que valoro en

Expondré que no se resume a su función de almacenar información, sino que es condición para el pensamiento, el juicio y la relación del yo consigo mismo; es decir, para la

El “entusiasmo didáctico” supone compromiso; con los alumnos, consigo mismo y con la innovación. El entusiasmo es capacidad de vibrar al son de una innovación didáctica, sea en

&#34;Región&#34; por un suelto en el que se comentaba los aten- tados contra la Guardia civil, al final de cuyo suelto se dice que lo más gra- ve de todo esto es que, cuándo en el

Nuestra autora insiste, por tanto, en que el crecimiento económico por sí mismo no traerá consigo una disminución de las desigualdades sociales, mejoras en la educación,