Karine Bertin 1er Semestre 2016

(1)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial Distribución geometrica Distribución Hipergeométrica Distribución Poisson Distri. Poisson como límite

Probabilidad y Estadística. EIC 311

Distribuciones discretas clásicas

Karine Bertin

(2)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial Distribución geometrica Distribución Hipergeométrica Distribución Poisson Distri. Poisson como límite

Estructura

1 Distribución de probabilidad binomial

2 Distribución Geometrica

3 Distribución Hipergeométrica

4 Distribución Poisson

(3)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial

Distribución geometrica Distribución Hipergeométrica Distribución Poisson Distri. Poisson como límite

Estructura

1 Distribución de probabilidad binomial

2 Distribución Geometrica

3 Distribución Hipergeométrica

4 Distribución Poisson

(4)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial

Numerosos experimentos siguen el siguiente patrón:

1 Experimento consta de una secuencia de

n

experimentos más

pequeños llamados

ensayos

, donde

n

se fija antes del experimento.

2 Cada ensayo puede genera sólo dos resultados posibles (ensayos

dicotómicos): éxito (S) y fracaso/falla (F).

3 Los ensayos son independientes, de modo que el resultado en

cualquier ensayo particular no influye en el resultado de cualquier

otro ensayo.

4 La probabilidad de éxito

P

(

S

)

es constante de un ensayo a otro;

esta probabilidad se denota por

p

.

Definición 1.1

Un experimento para el que se satisfacen las condiciones 1-4 se llama

(5)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial

Numerosos experimentos siguen el siguiente patrón:

1 Experimento consta de una secuencia de

n

experimentos más

pequeños llamados

ensayos

, donde

n

se fija antes del experimento.

2 Cada ensayo puede genera sólo dos resultados posibles (ensayos

dicotómicos): éxito (S) y fracaso/falla (F).

3 Los ensayos son independientes, de modo que el resultado en

cualquier ensayo particular no influye en el resultado de cualquier

otro ensayo.

4 La probabilidad de éxito

P

(

S

)

es constante de un ensayo a otro;

esta probabilidad se denota por

p

.

Definición 1.1

Un experimento para el que se satisfacen las condiciones 1-4 se llama

(6)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial

Numerosos experimentos siguen el siguiente patrón:

1 Experimento consta de una secuencia de

n

experimentos más

pequeños llamados

ensayos

, donde

n

se fija antes del experimento.

2 Cada ensayo puede genera sólo dos resultados posibles (ensayos

dicotómicos): éxito (S) y fracaso/falla (F).

3 Los ensayos son independientes, de modo que el resultado en

cualquier ensayo particular no influye en el resultado de cualquier

otro ensayo.

4 La probabilidad de éxito

P

(

S

)

es constante de un ensayo a otro;

esta probabilidad se denota por

p

.

Definición 1.1

Un experimento para el que se satisfacen las condiciones 1-4 se llama

(7)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial

Numerosos experimentos siguen el siguiente patrón:

1 Experimento consta de una secuencia de

n

experimentos más

pequeños llamados

ensayos

, donde

n

se fija antes del experimento.

2 Cada ensayo puede genera sólo dos resultados posibles (ensayos

dicotómicos): éxito (S) y fracaso/falla (F).

3 Los ensayos son independientes, de modo que el resultado en

cualquier ensayo particular no influye en el resultado de cualquier

otro ensayo.

4 La probabilidad de éxito

P

(

S

)

es constante de un ensayo a otro;

esta probabilidad se denota por

p

.

Definición 1.1

Un experimento para el que se satisfacen las condiciones 1-4 se llama

(8)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial

Numerosos experimentos siguen el siguiente patrón:

1 Experimento consta de una secuencia de

n

experimentos más

pequeños llamados

ensayos

, donde

n

se fija antes del experimento.

2 Cada ensayo puede genera sólo dos resultados posibles (ensayos

dicotómicos): éxito (S) y fracaso/falla (F).

3 Los ensayos son independientes, de modo que el resultado en

cualquier ensayo particular no influye en el resultado de cualquier

otro ensayo.

4 La probabilidad de éxito

P

(

S

)

es constante de un ensayo a otro;

esta probabilidad se denota por

p

.

Definición 1.1

Un experimento para el que se satisfacen las condiciones 1-4 se llama

(9)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial

Numerosos experimentos siguen el siguiente patrón:

1 Experimento consta de una secuencia de

n

experimentos más

pequeños llamados

ensayos

, donde

n

se fija antes del experimento.

2 Cada ensayo puede genera sólo dos resultados posibles (ensayos

dicotómicos): éxito (S) y fracaso/falla (F).

3 Los ensayos son independientes, de modo que el resultado en

cualquier ensayo particular no influye en el resultado de cualquier

otro ensayo.

4 La probabilidad de éxito

P

(

S

)

es constante de un ensayo a otro;

esta probabilidad se denota por

p

.

Definición 1.1

Un experimento para el que se satisfacen las condiciones 1-4 se llama

(10)

EIC 311

Karine Bertin

Ejemplo

Ejemplo 1.1

Se lanza una moneda equilibrada al aire sucesiva e

independientemente

n

veces. Sean los siguientes eventos:

S: sale cara

F

: sale sello.

(11)

EIC 311

Karine Bertin

Ejemplo

Definición 1.2

La

v.a. binomial

X

asociada a experimento binomial que

consiste en

n

ensayos con probabilidad de éxito

p, se define

como:

X

=

el número de exitos (de

S) entre los

n

ensayos.

(12)

EIC 311

Karine Bertin

Ejemplo

Definición 1.2

La

v.a. binomial

X

asociada a experimento binomial que

consiste en

n

ensayos con probabilidad de éxito

p, se define

como:

X

=

el número de exitos (de

S) entre los

n

ensayos.

Notación:

X

∼

Bin(n, p)

.

(13)

EIC 311

Karine Bertin

Ejemplo

Definición 1.2

La

v.a. binomial

X

asociada a experimento binomial que

consiste en

n

ensayos con probabilidad de éxito

p, se define

como:

X

=

el número de exitos (de

S) entre los

n

ensayos.

(14)

Función de masa de probabilidad

Teorema 1.1

Si

X

∼

Bin(n, p)

entonces la función de probabilidad de

X

es:

P(X

=

k) =

C

_n

k

p

k

(1

−

p)

n

−

k

= 0,

1,

2, . . . , n

0 en otro caso

Teorema 1.2

Si

X

∼

Bin(n, p)

entonces

E[X] =

np

y

V ar[X] =

np(1

−

p).

(15)

EIC 311

Karine Bertin

(16)

EIC 311

Karine Bertin

Cálculo de la función de distribución acumulada

Binomial

Suponga que

X

∼

Bin(n, p)

. Para calcular su función de

distribución acumulada:

P

(X

≤

i) =

i

X

k

=0

(17)

EIC 311

Karine Bertin

Ejemplos

Ejemplo 1.2

(18)

EIC 311

Karine Bertin

Ejemplos

Ejemplo 1.3

Supóngase que la probabilidad de tener una unidad

defectuosa en una línea de montaje es de 0.05. Si el número

de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos

independientes:

1 ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades dos se

encuentren defectuosas?

2 ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades, dos

como máximo sea defectuosas?

(19)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución geometrica

Distribución Hipergeométrica Distribución Poisson Distri. Poisson como límite

Estructura

1 Distribución de probabilidad binomial

2 Distribución Geometrica

3 Distribución Hipergeométrica

4 Distribución Poisson

(20)

EIC 311

Karine Bertin

Introducción a variables geométricas

Ejemplo 1.4

Se observa el sexo de cada niño recién nacido en un hospital hasta que

nazca un varón (B). Sea

p

=

P

(

B

)

y suponga que los nacimientos

sucesivos son independientes y defina la v.a.

X

como: número de

nacimientos observados. Encontrar la distribución de probabilidad de

X. Sol: Sea

Bk

el evento que el

k

-ésimo nacimiento sea un varón,

P

(

Bk

) =

P

(

B

) =

p

.

f

(1)

=

P

(

X

= 1) =

P

(

B

1

) =

p

f

(2)

=

P

(

X

= 2) =

P

(

B

c1

∩

B

2

) =

P

(

B

c1

)

P

(

B

2

) = (1

−

p

)

p

f

(3)

=

P

(

X

= 3) =

P

(

B

c1

∩

B

c

2

∩

B

3

) =

P

(

B

1c

)

P

(

B

c

2

)

P

(

B

3

) = (1

−

p

)

2

p

..

.

=

..

.

f

(

k

)

=

P

(

X

=

k

) =

(1

−

p

)

k−1

p

si

k

= 1

,

2 ,

3 , . . .

0 de lo contrario.

(21)

EIC 311

Karine Bertin

Introducción a variables geométricas

Ejemplo 1.4

Se observa el sexo de cada niño recién nacido en un hospital hasta que

nazca un varón (B). Sea

p

=

P

(

B

)

y suponga que los nacimientos

sucesivos son independientes y defina la v.a.

X

como: número de

nacimientos observados. Encontrar la distribución de probabilidad de

X. Sol: Sea

Bk

el evento que el

k

-ésimo nacimiento sea un varón,

P

(

Bk

) =

P

(

B

) =

p

.

f

(1)

=

P

(

X

= 1) =

P

(

B

1

) =

p

f

(2)

=

P

(

X

= 2) =

P

(

B

c1

∩

B

2

) =

P

(

B

c1

)

P

(

B

2

) = (1

−

p

)

p

f

(3)

=

P

(

X

= 3) =

P

(

B

c1

∩

B

c

2

∩

B

3

) =

P

(

B

1c

)

P

(

B

c

2

)

P

(

B

3

) = (1

−

p

)

2

p

..

.

=

..

.

f

(

k

)

=

P

(

X

=

k

) =

(1

−

p

)

k−1

p

si

k

= 1

,

2 ,

3 , . . .

0 de lo contrario.

(22)

EIC 311

Karine Bertin

Introducción a variables geométricas

Ejemplo 1.4

Se observa el sexo de cada niño recién nacido en un hospital hasta que

nazca un varón (B). Sea

p

=

P

(

B

)

y suponga que los nacimientos

sucesivos son independientes y defina la v.a.

X

como: número de

nacimientos observados. Encontrar la distribución de probabilidad de

X. Sol: Sea

Bk

el evento que el

k

-ésimo nacimiento sea un varón,

P

(

Bk

) =

P

(

B

) =

p

.

f

(1)

=

P

(

X

= 1) =

P

(

B

1

) =

p

f

(2)

=

P

(

X

= 2) =

P

(

B

c1

∩

B

2

) =

P

(

B

c1

)

P

(

B

2

) = (1

−

p

)

p

f

(3)

=

P

(

X

= 3) =

P

(

B

c1

∩

B

c

2

∩

B

3

) =

P

(

B

1c

)

P

(

B

c

2

)

P

(

B

3

) = (1

−

p

)

2

p

..

.

=

..

.

f

(

k

)

=

P

(

X

=

k

) =

(1

−

p

)

k−1

p

si

k

= 1

,

2 ,

3 , . . .

0 de lo contrario.

(23)

EIC 311

Karine Bertin

Introducción a variables geométricas

Ejemplo 1.4

Se observa el sexo de cada niño recién nacido en un hospital hasta que

nazca un varón (B). Sea

p

=

P

(

B

)

y suponga que los nacimientos

sucesivos son independientes y defina la v.a.

X

como: número de

nacimientos observados. Encontrar la distribución de probabilidad de

X. Sol: Sea

Bk

el evento que el

k

-ésimo nacimiento sea un varón,

P

(

Bk

) =

P

(

B

) =

p

.

f

(1)

=

P

(

X

= 1) =

P

(

B

1

) =

p

f

(2)

=

P

(

X

= 2) =

P

(

B

c1

∩

B

2

) =

P

(

B

c1

)

P

(

B

2

) = (1

−

p

)

p

f

(3)

=

P

(

X

= 3) =

P

(

B

c1

∩

B

c

2

∩

B

3

) =

P

(

B

1c

)

P

(

B

c

2

)

P

(

B

3

) = (1

−

p

)

2

p

..

.

=

..

.

f

(

k

)

=

P

(

X

=

k

) =

(1

−

p

)

k−1

p

si

k

= 1

,

2 ,

3 , . . .

0 de lo contrario.

(24)

EIC 311

Karine Bertin

Introducción a variables geométricas

Ejemplo 1.4

Se observa el sexo de cada niño recién nacido en un hospital hasta que

nazca un varón (B). Sea

p

=

P

(

B

)

y suponga que los nacimientos

sucesivos son independientes y defina la v.a.

X

como: número de

nacimientos observados. Encontrar la distribución de probabilidad de

X. Sol: Sea

Bk

el evento que el

k

-ésimo nacimiento sea un varón,

P

(

Bk

) =

P

(

B

) =

p

.

f

(1)

=

P

(

X

= 1) =

P

(

B

1

) =

p

f

(2)

=

P

(

X

= 2) =

P

(

B

c1

∩

B

2

) =

P

(

B

c1

)

P

(

B

2

) = (1

−

p

)

p

f

(3)

=

P

(

X

= 3) =

P

(

B

c1

∩

B

c

2

∩

B

3

) =

P

(

B

1c

)

P

(

B

c

2

)

P

(

B

3

) = (1

−

p

)

2

p

..

.

=

..

.

f

(

k

)

=

P

(

X

=

k

) =

(1

−

p

)

k−1

p

si

k

= 1

,

2 ,

3 , . . .

0 de lo contrario.

(25)

EIC 311

Karine Bertin

Introducción a variables geométricas

Ejemplo 1.4

Se observa el sexo de cada niño recién nacido en un hospital hasta que

nazca un varón (B). Sea

p

=

P

(

B

)

y suponga que los nacimientos

sucesivos son independientes y defina la v.a.

X

como: número de

nacimientos observados. Encontrar la distribución de probabilidad de

X. Sol: Sea

Bk

el evento que el

k

-ésimo nacimiento sea un varón,

P

(

Bk

) =

P

(

B

) =

p

.

f

(1)

=

P

(

X

= 1) =

P

(

B

1

) =

p

f

(2)

=

P

(

X

= 2) =

P

(

B

c1

∩

B

2

) =

P

(

B

c1

)

P

(

B

2

) = (1

−

p

)

p

f

(3)

=

P

(

X

= 3) =

P

(

B

c1

∩

B

c

2

∩

B

3

) =

P

(

B

1c

)

P

(

B

c

2

)

P

(

B

3

) = (1

−

p

)

2

p

..

.

=

..

.

f

(

k

)

=

P

(

X

=

k

) =

(1

−

p

)

k−1

p

si

k

= 1

,

2 ,

3 , . . .

0 de lo contrario.

(26)

EIC 311

Karine Bertin

Introducción a variables geométricas

Ejemplo 1.4

Se observa el sexo de cada niño recién nacido en un hospital hasta que

nazca un varón (B). Sea

p

=

P

(

B

)

y suponga que los nacimientos

sucesivos son independientes y defina la v.a.

X

como: número de

nacimientos observados. Encontrar la distribución de probabilidad de

X. Sol: Sea

Bk

el evento que el

k

-ésimo nacimiento sea un varón,

P

(

Bk

) =

P

(

B

) =

p

.

f

(1)

=

P

(

X

= 1) =

P

(

B

1

) =

p

f

(2)

=

P

(

X

= 2) =

P

(

B

c1

∩

B

2

) =

P

(

B

c1

)

P

(

B

2

) = (1

−

p

)

p

f

(3)

=

P

(

X

= 3) =

P

(

B

c1

∩

B

c

2

∩

B

3

) =

P

(

B

1c

)

P

(

B

c

2

)

P

(

B

3

) = (1

−

p

)

2

p

..

.

=

..

.

f

(

k

)

=

P

(

X

=

k

) =

(27)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. geométrica

Definición 1.3

La distribución de probabilidad de la v.a. geométrica

X

de

parámetro

0 < p <

1, esta dado por

P

(X

=

k) = (1

−

p)

k

−

1 p

si

k

= 1,

2,

3, . . . .

Notación:

X

∼

G(p)

.

X

representa el número de ensayos de Bernoulli (de

parámero

p

, P(éxito)=p) necesarios para obtener un éxito.

Teorema 1.3

Si

X

∼

G(p)

entonces

E[X] =

1 _p

,

V ar[X] =

1 _p

−

2

p

y

m

X

(t) =

(28)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. geométrica

Definición 1.3

La distribución de probabilidad de la v.a. geométrica

X

de

parámetro

0 < p <

1, esta dado por

P

(X

=

k) = (1

−

p)

k

−

1 p

si

k

= 1,

2,

3, . . . .

Notación:

X

∼

G(p)

.

X

representa el número de ensayos de Bernoulli (de

parámero

p

, P(éxito)=p) necesarios para obtener un éxito.

Teorema 1.3

(29)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. geométrica: ejemplo

Ejemplo 1.5

(30)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial Distribución geometrica

Distribución Hipergeométrica

Distribución Poisson Distri. Poisson como límite

Estructura

1 Distribución de probabilidad binomial

2 Distribución Geometrica

3 Distribución Hipergeométrica

4 Distribución Poisson

(31)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. hipergeométrica

Definición 1.4

Una variable aleatoria

X

sigue una distribución

hipergeométrica de parámetros

n,

N

y

K

si toma valores en

{

0, . . . , n

}

y si su función de probabilidad es

P

(X

=

k) =

C

k

K

C

n

−

k

N

−

K

C

_N

n

,

donde

m´

ax(0, n

−

N

+

K)

≤

k

≤

m´ın(n, K).

Notación:

X

∼

H(n, N, K)

.

Uso:

Se tiene una urna con

N

bolas:

K

blancas y

N

−

K

(32)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. hipergeométrica

Definición 1.4

Una variable aleatoria

X

sigue una distribución

hipergeométrica de parámetros

n,

N

y

K

si toma valores en

{

0, . . . , n

}

y si su función de probabilidad es

P

(X

=

k) =

C

k

K

C

n

−

k

N

−

K

C

_N

n

,

donde

m´

ax(0, n

−

N

+

K)

≤

k

≤

m´ın(n, K).

Notación:

X

∼

H(n, N, K)

.

Uso:

Se tiene una urna con

N

bolas:

K

blancas y

N

−

K

(33)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. hipergeométrica

Definición 1.4

Una variable aleatoria

X

sigue una distribución

hipergeométrica de parámetros

n,

N

y

K

si toma valores en

{

0, . . . , n

}

y si su función de probabilidad es

P

(X

=

k) =

C

k

K

C

n

−

k

N

−

K

C

_N

n

,

donde

m´

ax(0, n

−

N

+

K)

≤

k

≤

m´ın(n, K).

Notación:

X

∼

H(n, N, K)

.

Uso:

Se tiene una urna con

N

bolas:

K

blancas y

N

−

K

(34)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. hipergeométrica

Teorema 1.4

Si

X

∼

H(n, N, K)

entonces

E[X] =

nK

N

y

(35)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. hipergeométrica: ejemplo

Se extraen 3 ampolletas de una caja de 15 que contiene 5

defectuosas. Calcular la probabilidad de que:

1 haya exactamente una defectuosa dentro de las tres.

2 las tres sean defectosas.

(36)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial Distribución geometrica Distribución Hipergeométrica

Distribución Poisson

Distri. Poisson como límite

Estructura

1 Distribución de probabilidad binomial

2 Distribución Geometrica

3 Distribución Hipergeométrica

4 Distribución Poisson

(37)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución Poisson

(38)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson

Definición 1.5

La distribución de probabilidad de la v.a. de Poisson

X, que

representa el número de resultados que ocurren en un

intervalo de tiempo dado o en una región específica, es:

P

(X

=

k) =

e

−

µ

_µ

k

k!

,

k

= 0,

1,

2,

· · ·

donde

µ

(parámetro) es el número promedio de resultados

por unidad de tiempo o de región.

Notación:

X

∼

P(µ)

o

X

∼

P oisson(µ)

.

Teorema 1.5

Si

X

∼

P oisson(µ)

entonces

E[X] =

V ar[X] =

µ

y

m

X

(t) =

e

λ

(

e

(39)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson

Definición 1.5

La distribución de probabilidad de la v.a. de Poisson

X, que

representa el número de resultados que ocurren en un

intervalo de tiempo dado o en una región específica, es:

P

(X

=

k) =

e

−

µ

_µ

k

k!

,

k

= 0,

1,

2,

· · ·

donde

µ

(parámetro) es el número promedio de resultados

por unidad de tiempo o de región.

Notación:

X

∼

P(µ)

o

X

∼

P oisson(µ)

.

Teorema 1.5

Si

X

∼

P oisson(µ)

entonces

E[X] =

V ar[X] =

µ

y

m

X

(t) =

e

λ

(

e

(40)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson

Definición 1.5

La distribución de probabilidad de la v.a. de Poisson

X, que

representa el número de resultados que ocurren en un

intervalo de tiempo dado o en una región específica, es:

P

(X

=

k) =

e

−

µ

_µ

k

k!

,

k

= 0,

1,

2,

· · ·

donde

µ

(parámetro) es el número promedio de resultados

por unidad de tiempo o de región.

Notación:

X

∼

P(µ)

o

X

∼

P oisson(µ)

.

Teorema 1.5

Si

X

∼

P oisson(µ)

entonces

E[X] =

V ar[X] =

µ

y

m

X

(t) =

e

λ

(

e

(41)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson

Definición 1.5

La distribución de probabilidad de la v.a. de Poisson

X, que

representa el número de resultados que ocurren en un

intervalo de tiempo dado o en una región específica, es:

P

(X

=

k) =

e

−

µ

_µ

k

k!

,

k

= 0,

1,

2,

· · ·

donde

µ

(parámetro) es el número promedio de resultados

por unidad de tiempo o de región.

Notación:

X

∼

P(µ)

o

X

∼

P oisson(µ)

.

Teorema 1.5

(42)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson: Ejemplo

Ejemplo 1.6

Suponga que el número de accidentes semanales en un tramo

de una autopista es 3. Calcule la probabilidad de que haya

por lo menos un accidente esta semana.

Sol.: Sea

X

: num. de accidentes semanales que ocurren en

un tramo de una autopista.

X

∼

P oisson(3)

, se busca

P

(X

≥

1)

=

1 −

P

(X

= 0)

=

1 −

e

−

3

0

(43)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson: Ejemplo

Ejemplo 1.6

Suponga que el número de accidentes semanales en un tramo

de una autopista es 3. Calcule la probabilidad de que haya

por lo menos un accidente esta semana.

Sol.:

Sea

X

: num. de accidentes semanales que ocurren en

un tramo de una autopista.

X

∼

P oisson(3)

, se busca

P

(X

≥

1)

=

1 −

P

(X

= 0)

=

1 −

e

−

3

0

(44)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson: Ejemplo

Ejemplo 1.6

Suponga que el número de accidentes semanales en un tramo

de una autopista es 3. Calcule la probabilidad de que haya

por lo menos un accidente esta semana.

Sol.: Sea

X

: num. de accidentes semanales que ocurren en

un tramo de una autopista.

X

∼

P oisson(3)

, se busca

P

(X

≥

1)

=

1 −

P

(X

= 0)

=

1 −

e

−

3

0

(45)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson: Ejemplo

Ejemplo 1.6

Suponga que el número de accidentes semanales en un tramo

de una autopista es 3. Calcule la probabilidad de que haya

por lo menos un accidente esta semana.

Sol.: Sea

X

: num. de accidentes semanales que ocurren en

un tramo de una autopista.

X

∼

P oisson(3)

, se busca

P

(X

≥

1)

=

1 −

P

(X

= 0)

=

1 −

e

−

3

0

(46)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson: Ejemplo

Ejemplo 1.6

Suponga que el número de accidentes semanales en un tramo

de una autopista es 3. Calcule la probabilidad de que haya

por lo menos un accidente esta semana.

Sol.: Sea

X

: num. de accidentes semanales que ocurren en

un tramo de una autopista.

X

∼

P oisson(3)

, se busca

P

(X

≥

1)

=

1 −

P

(X

= 0)

=

1 −

e

−

3

0

(47)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson: Ejemplo

Ejemplo 1.6

Suponga que el número de accidentes semanales en un tramo

de una autopista es 3. Calcule la probabilidad de que haya

por lo menos un accidente esta semana.

Sol.: Sea

X

: num. de accidentes semanales que ocurren en

un tramo de una autopista.

X

∼

P oisson(3)

, se busca

P

(X

≥

1)

=

1 −

P

(X

= 0)

=

1 −

e

−

3

0

(48)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson: Ejemplo

Ejemplo 1.6

Suponga que el número de accidentes semanales en un tramo

de una autopista es 3. Calcule la probabilidad de que haya

por lo menos un accidente esta semana.

Sol.: Sea

X

: num. de accidentes semanales que ocurren en

un tramo de una autopista.

X

∼

P oisson(3)

, se busca

P

(X

≥

1)

=

1 −

P

(X

= 0)

=

1 −

e

−

3

0 0!

(49)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson: Ejemplo

Ejemplo 1.6

Suponga que el número de accidentes semanales en un tramo

de una autopista es 3. Calcule la probabilidad de que haya

por lo menos un accidente esta semana.

Sol.: Sea

X

: num. de accidentes semanales que ocurren en

un tramo de una autopista.

X

∼

P oisson(3)

, se busca

P

(X

≥

1)

=

1 −

P

(X

= 0)

=

1 −

e

−

3

0 0!

=

1 −

e

−

3

(50)

EIC 311

Karine Bertin

La v.a. de Poisson: Ejemplo

Ejemplo 1.6

Suponga que el número de accidentes semanales en un tramo

de una autopista es 3. Calcule la probabilidad de que haya

por lo menos un accidente esta semana.

Sol.: Sea

X

: num. de accidentes semanales que ocurren en

un tramo de una autopista.

X

∼

P oisson(3)

, se busca

P

(X

≥

1)

=

1 −

P

(X

= 0)

=

1 −

e

−

3

0

(51)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de probabilidad binomial Distribución geometrica Distribución Hipergeométrica Distribución Poisson

Estructura

1 Distribución de probabilidad binomial

2 Distribución Geometrica

3 Distribución Hipergeométrica

4 Distribución Poisson

(52)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite

La siguiente proposición muestra la importancia de esta

distribución en la práctica.

Proposición 1.1

Suponga que en la función de masa de probabilidad binomial

Bin(x;

n, p),

n

→ ∞

y

p

→

0 de tal modo que

np

tienda a

un valor

µ >

0. Entonces

Bin(x;

n, p)

→

P oisson(x;

µ).

Nota:

En cualquier experimento Binomial en el cual

n

es

grande y

p

pequeño,

Bin

(

x

;

n, p

)

≈

P oisson

(

x

;

µ

)

donde

µ

=

np

.

(53)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite

La siguiente proposición muestra la importancia de esta

distribución en la práctica.

Proposición 1.1

Suponga que en la función de masa de probabilidad binomial

Bin(x;

n, p),

n

→ ∞

y

p

→

0 de tal modo que

np

tienda a

un valor

µ >

0. Entonces

Bin(x;

n, p)

→

P oisson(x;

µ).

Nota:

En cualquier experimento Binomial en el cual

n

es

grande y

p

pequeño,

Bin

(

x

;

n, p

)

≈

P oisson

(

x

;

µ

)

donde

µ

=

np

.

(54)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite

La siguiente proposición muestra la importancia de esta

distribución en la práctica.

Proposición 1.1

Suponga que en la función de masa de probabilidad binomial

Bin(x;

n, p),

n

→ ∞

y

p

→

0 de tal modo que

np

tienda a

un valor

µ >

0. Entonces

Bin(x;

n, p)

→

P oisson(x;

µ).

Nota:

En cualquier experimento Binomial en el cual

n

es

grande y

p

pequeño,

Bin

(

x

;

n, p

)

≈

P oisson

(

x

;

µ

)

donde

µ

=

np

.

(55)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite

La siguiente proposición muestra la importancia de esta

distribución en la práctica.

Proposición 1.1

Suponga que en la función de masa de probabilidad binomial

Bin(x;

n, p),

n

→ ∞

y

p

→

0 de tal modo que

np

tienda a

un valor

µ >

0. Entonces

Bin(x;

n, p)

→

P oisson(x;

µ).

Nota:

En cualquier experimento Binomial en el cual

n

es

grande y

p

pequeño,

Bin

(

x

;

n, p

)

≈

P oisson

(

x

;

µ

)

donde

µ

=

np

.

(56)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite: Ejemplo

Sol.:

Sea

S

: un página tiene por lo menos un error y

X

: números de

página que contienen por lo menos un error en un libro de 400 páginas.

Del enunciado se tiene:

p

=

P

(

S

) = 0

,

005 y

n

= 400

.

Se puede afirmar que

X

∼

Bin

(400

,

0 ,

005)

donde

np

= 2

.

Se puede decir que

X

≈

P oisson

(2)

y así responder las preguntas

deseadas:

P

(

X

= 1)

≈

e

−2

(2)

1

1!

= 0

,

270671

P

(

X

≤

3)

≈

3

X

k=0

e

−2

(2)

k

!

= 0

,

135335 + 0

,

135335 + 0

,

270671 + 0

,

180447

(57)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite: Ejemplo

Sol.:

Sea

S

: un página tiene por lo menos un error y

X

: números de

página que contienen por lo menos un error en un libro de 400 páginas.

Del enunciado se tiene:

p

=

P

(

S

) = 0

,

005 y

n

= 400

.

Se puede afirmar que

X

∼

Bin

(400

,

0 ,

005)

donde

np

= 2

.

Se puede decir que

X

≈

P oisson

(2)

y así responder las preguntas

deseadas:

P

(

X

= 1)

≈

e

−2

(2)

1

1!

= 0

,

270671

P

(

X

≤

3)

≈

3

X

k=0

e

−2

(2)

k

!

= 0

,

135335 + 0

,

135335 + 0

,

270671 + 0

,

180447

(58)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite: Ejemplo

Sol.:

Sea

S

: un página tiene por lo menos un error y

X

: números de

página que contienen por lo menos un error en un libro de 400 páginas.

Del enunciado se tiene:

p

=

P

(

S

) = 0

,

005 y

n

= 400

.

Se puede afirmar que

X

∼

Bin

(400

,

0 ,

005)

donde

np

= 2

.

Se puede decir que

X

≈

P oisson

(2)

y así responder las preguntas

deseadas:

P

(

X

= 1)

≈

e

−2

(2)

1

1!

= 0

,

270671

P

(

X

≤

3)

≈

3

X

k=0

e

−2

(2)

k

!

= 0

,

135335 + 0

,

135335 + 0

,

270671 + 0

,

180447

(59)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite: Ejemplo

Sol.:

Sea

S

: un página tiene por lo menos un error y

X

: números de

página que contienen por lo menos un error en un libro de 400 páginas.

Del enunciado se tiene:

p

=

P

(

S

) = 0

,

005 y

n

= 400

.

Se puede afirmar que

X

∼

Bin

(400

,

0 ,

005)

donde

np

= 2

.

Se puede decir que

X

≈

P oisson

(2)

y así responder las preguntas

deseadas:

P

(

X

= 1)

≈

e

−2

(2)

1

1!

= 0

,

270671

P

(

X

≤

3)

≈

3

X

k=0

e

−2

(2)

k

!

= 0

,

135335 + 0

,

135335 + 0

,

270671 + 0

,

180447

(60)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite: Ejemplo

Sol.:

Sea

S

: un página tiene por lo menos un error y

X

: números de

página que contienen por lo menos un error en un libro de 400 páginas.

Del enunciado se tiene:

p

=

P

(

S

) = 0

,

005 y

n

= 400

.

Se puede afirmar que

X

∼

Bin

(400

,

0 ,

005)

donde

np

=

2 .

Se puede decir que

X

≈

P oisson

(2)

y así responder las preguntas

deseadas:

P

(

X

= 1)

≈

e

−2

(2)

1

1!

= 0

,

270671

P

(

X

≤

3)

≈

3

X

k=0

e

−2

(2)

k

!

= 0

,

135335 + 0

,

135335 + 0

,

270671 + 0

,

180447

(61)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite: Ejemplo

Sol.:

Sea

S

: un página tiene por lo menos un error y

X

: números de

página que contienen por lo menos un error en un libro de 400 páginas.

Del enunciado se tiene:

p

=

P

(

S

) = 0

,

005 y

n

= 400

.

Se puede afirmar que

X

∼

Bin

(400

,

0 ,

005)

donde

np

= 2

.

Se puede decir que

X

≈

P oisson

(2)

y así responder las preguntas

deseadas:

P

(

X

= 1)

≈

e

−2

(2)

1

1!

= 0

,

270671

P

(

X

≤

3)

≈

3

X

k=0

e

−2

(2)

k

!

= 0

,

135335 + 0

,

135335 + 0

,

270671 + 0

,

180447

(62)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite: Ejemplo

Sol.:

Sea

S

: un página tiene por lo menos un error y

X

: números de

página que contienen por lo menos un error en un libro de 400 páginas.

Del enunciado se tiene:

p

=

P

(

S

) = 0

,

005 y

n

= 400

.

Se puede afirmar que

X

∼

Bin

(400

,

0 ,

005)

donde

np

= 2

.

Se puede decir que

X

≈

P oisson

(2)

y así responder las preguntas

deseadas:

P

(

X

= 1)

≈

e

−2

(2)

1

1!

= 0

,

270671

P

(

X

≤

3)

≈

3

X

k=0

e

−2

(2)

k

!

= 0

,

135335 + 0

,

135335 + 0

,

270671 + 0

,

180447

(63)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite: Ejemplo

Sol.:

Sea

S

: un página tiene por lo menos un error y

X

: números de

página que contienen por lo menos un error en un libro de 400 páginas.

Del enunciado se tiene:

p

=

P

(

S

) = 0

,

005 y

n

= 400

.

Se puede afirmar que

X

∼

Bin

(400

,

0 ,

005)

donde

np

= 2

.

Se puede decir que

X

≈

P oisson

(2)

y así responder las preguntas

deseadas:

P

(

X

= 1)

≈

e

−2

(2)

1

1!

= 0

,

270671

P

(

X

≤

3)

≈

3

X

k=0

e

−2

(2)

k

!

= 0

,

135335 + 0

,

135335 + 0

,

270671 + 0

,

180447

(64)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite: Ejemplo

Sol.:

Sea

S

: un página tiene por lo menos un error y

X

: números de

página que contienen por lo menos un error en un libro de 400 páginas.

Del enunciado se tiene:

p

=

P

(

S

) = 0

,

005 y

n

= 400

.

Se puede afirmar que

X

∼

Bin

(400

,

0 ,

005)

donde

np

= 2

.

Se puede decir que

X

≈

P oisson

(2)

y así responder las preguntas

deseadas:

P

(

X

= 1)

≈

e

−2

(2)

1

1!

= 0

,

270671

(65)

EIC 311

Karine Bertin

Distribución de Poisson como límite: Ejemplo

Sol.:

Sea

S

: un página tiene por lo menos un error y

X

: números de

página que contienen por lo menos un error en un libro de 400 páginas.

Del enunciado se tiene:

p

=

P

(

S

) = 0

,

005 y

n

= 400

.

Se puede afirmar que

X

∼

Bin

(400

,

0 ,

005)

donde

np

= 2

.

Se puede decir que

X

≈

P oisson

(2)

y así responder las preguntas

deseadas:

P

(

X

= 1)

≈

e

−2

(2)

1

1!

= 0

,

270671

3