Problemas resueltos
1. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos:
a)z= (3 +i)(1−2i)
2 +i b)w=
1 +i3
(1−i)3 c)u= 1 1 +i+
1 1−i
a)z = (3 +i)(1−2i)
2 +i =
5−5i 2 +i =
(5−5i)(2−i) (2 +i)(2−i) =
5−15i
5 = 1−3i b)w = 1 +i
3 (1−i)3 =
1−i
1−3i−3i2−i3 =
1−i 1−3i−3 +i =
1−i
−2−2i = = (1−i)(−2 + 2i)
(−2−2i)(−2 + 2i) = 4i
8 = 0 + 1 2i
c)u = 1
1 +i+ 1 1−i =
1−i+ 1 +i (1 +i)(1−i) =
2 1−i2 =
2
2= 1 = 1 + 0i 2. Calculai431
Puesto que431 = 107×4 + 3se sigue quei431=i3=−i 3. Calcular la forma cartesiana de
z=i1999+i2000
Por un lado,i1999=i499×4+3=i3=−i. Por otra parte,i2000=i500×4= 1.Por tanto,
z=i1999+i2000= 1−i 4. Seaz= 1−2i.Calculaz5
z5= (1−2i)5=
µ
5 0
¶ −
µ
5 1
¶
(2i) +
µ
5 2
¶
(2i)2−
µ
5 3
¶
(2i)3+ +
µ
5 4
¶
(2i)4−
µ
5 5
¶
(2i)5= 1−10i−40 + 80i+ 80−32i= 41 + 38i
5. Determinar el módulo y el argumento de los siguientes números complejos: a)2i b)−4 c)5 + 5i d)−6 + 6√3i e)−3−3i f)2√3−2i a)z= 2i |z|=r= 2 Arg(z) =π
2. Por tanto, z= 2i= (2,π
2) = 2e
π
2i= 2(cosπ
2 +isen
π
b)z=−4 |z|=r= 4 Arg(z) =π. Por tanto, z=−4 = (4,π) = 2eπi= 2(cosπ+isenπ)
c)z= 5 + 5i |z|=r= 5√2 Arg(z) =Arctan 1 = π4. Por tanto, z= 5 + 5i= (5√2,π
4) = 5
√
2eπ4i= 5√2(cosπ
4+isen
π
4)
d)z=−6+6√3i |z|=r= 12 Arg(z) =π−Arctan√3 =π−π3 = 2π
3 . Por tanto,
z=−6 + 6√3i= (12,2π
3) = 12e
2π
3i= 12(cos2π
3 +isen 2π
3 ) e)z=−3−3i |z|=r= 3√2 Arg(z) =π+Arctan 1 =π+π
4 = 5π
4. Por tanto,
z=−3−3i= (3√2,5π 4 ) = 3
√
2e54πi= 3√2(cos5π
4 +isen 5π
4 ) f)z= 2√3−2i |z|=r= 4 Arg(z) =−π
6. Por tanto, z= 2√3−2i= (4,−π
6) = 4e
−π
6i= 4(cosπ
6−isen
π
6)
6. Expresar de todas las formas posibles los siguientes números complejos: a) 5 + 3i b) 3−2i c) 1 +i d) −4i
a)z= 5 + 3i r=|z|=√34 Argz=Arctan3
5 = 0,54.Por tanto, z = 5 + 3i= (5,3) = (√34, 0,54) =
= √34e0,54i=√34(cos(0,54) +isen(0,54))
b) z = 3−2i r =|z| =√13 Argz =−Arctan23 =−0,588. Por tanto,
z = 3−2i= (3,−2) = (√13, −0,588) =
= √13e−0,588i=√13(cos(0,588)−isen(0,588)) c)z= 1 +i r=|z|=√2 Argz=Arctan 1 = π4.Por tanto,
z = 1 +i= (1,1) = (√2, π 4) = = √2eπ4i=√2(cos(π
4) +isen(
π
4)) d)z=−4i r=|z|= 4 Argz=−π
2.Por tanto, z = −4i= (0,−4) = (4, −π
7. Calcular
a) (1 + 4i)3 b) (1 +i)4
a) (1 + 4i)3 = 13+ 3·12·4i+ 3·(4i)2+ (4i)3= = 1 + 12i−48−64i=−47−52i
b) (1 +i)4 =
µ 4 0 ¶ + µ 4 1 ¶ i+ µ 4 2 ¶
i2+
µ
4 3
¶
i3+
µ
4 4
¶
i4= = 1 + 4i−6−4i+ 1 =−4 =−4 + 0i
Otra forma de alcanzar este resultado consiste en darse cuenta que1 +i=
√
2eπ4i.Por tanto,
(1 +i)4= (√2)4eπi=−4 8. Calcular
(1 +i)5
(1 +i)5 =
µ 5 0 ¶ + µ 5 1 ¶ i+ µ 5 2 ¶
i2+
µ
5 3
¶
i3+
µ
5 4
¶
i4+
µ
5 5
¶
i5= = 1 + 5i−10−10i+ 5 +i=−4−4i
Si escribimos1 +i=√2eπ4i y aplicamos la fórmula de Moivre resulta que
(1 +i)5 = (√2)5e54πi= 4√2(cos5π
4 +isen 5π
4) = = 4√2(−√1
2−i 1
√
2) =−4−4i 9. Encuentra la parte real y la parte imaginaria dee(3+4i)x
e(3+4i)x=e3xe4ix=e3x(cos 4x+isen4x) Por tanto,
Ree(3+4i)x=e3xcos 4x ; Ime(3+4i)x=e3xsin 4x 10. Encuentra la parte real y la parte imaginaria dee2+π
3i
e2+π3i=e2e
π
3i=e2(cosπ
3+isen
π
3) =e 2(1
2+i
√
3 2 ) Por tanto,
Ree2+π3i=e
2
2 ; Ime
2+π
3i= √
11. Expresar cada uno de los siguientes números complejos en la forma a+bi 1)z=eπ2i = cosπ
2 +isen π 2 =i 2)z= 2e−πi
2 = 2
i =−2i 3)z= 3eπi =−3 4)z=−e−πi= 1 5)z=i+e2πi=i+ 1 6)z=eπ4i=√1
2+i 1
√
2 7)z=eπ4i−e−
π
4i= 2iIm(e
π
4i) = 2i senπ
4 = 2i 1
√
2 =i
√
2 8)z=1−e
π
2i
1+eπ2i =
1−i 1+i =
1
2(1−i)2=−i 9)z=eπi(1−e−π
3i) = (−1)(1−cosπ
3 +i sen π
3) =−(1− 1 2+i
√
3 2 ) = =−(1+i2√3) =−1−2i√3
12. Encuentra el módulo y el argumento principal de los siguientes números complejos:
a)z= i
−2−2i ; b)z= (
√
3−i)6
a)z= i
−2−2i =− 1 2(
i
1 +i) =− 1 2
µ
i(1−i) (1 +i)(1−i)
¶
=−1 2
i−i2
2 =−
1 4(1 +i)
De aquí se tiene que |z| = √42 .Por otra parte, teniendo en cuenta que
θ = arctan 1 = π4 se deduce que el argumento principal de z es igual a
θ−π=π4 −π=−3π4 ∈(−π,π].Por consiguiente,
z=−1
4(1 +i) =
√
2 4 e
−3π
4 = √
2 4 (cos
3π
4 −isen 3π
4 )
b) z = (√3−i)6. Si ponemos w =√3−i entonces z = w6. Puesto que |w|= 2yargw=−π6 se sigue que
w=√3−i= 2e−π6i
Por otra parte,
13. Encuentra el módulo y el argumento principal de los siguientes números complejos
a)z= 3
µ
cos(2π
3 ) +i sen( 2π
3 )
¶
b)w= 3 + 4i 5i−12
a)Este número complejo está en forma polarr(cosθ+i senθ) = 3¡cos(2π3 ) +i sen(2π3 )¢ con un ánguloθ=2π3 ∈(−π,π].Por tanto, su módulo esr= 3 y el
argu-mento principal es 2π3.
b)Para calcular el módulo dewse puede aplicar que |w|= |3 + 4i|
|5i−12| = 5 13
Otra forma de calcular el módulo dewsería expresarw en formaa+bi: w= 3 + 4i
5i−12 =
(3 + 4i)(−12−5i)
169 =
1
169(16 +i63) De aquí se sigue que
|w|=
¯ ¯ ¯ ¯
1
169(16 +i63)
¯ ¯ ¯ ¯=
√
256 + 3969
169 =
√
4225 169 =
65 169 =
5 13 Teniendo en cuenta que w= 1691 (16 +i 63),se deduce que el argumento principal dewsería
θ= arctan63
16 ≈1,3221∈(−π,π].
Conviene notar que, en este caso, el argumento principal de w coincide con la diferencia de los argumentos principales del numerador y del de-nominador. Pero, en general, la diferencia de los argumentos principales podría no estar en el intervalo(−π,π].
14. Sea z =−1 +i y w=i. Encuentra el argumento principal de z, el de w y el de zw. ¿ se verifica que el argumento principal de zw es igual al argumento principal dezmás al argumento principal dew?
Denotaremos porargzel argumento principal de z.Entoncesargz= 3π 4 ,argw=π2.Por otra parte
15. Encuentra(1 +i)10 Sea
z= 1 +i=√2eπ4i =√2(cosπ
4 +isen
π
4) Por tanto,
z10= (√2)10e10π4i= 25e 5π
2i = 25 e(2π+
π
2)i = 25e
π
2i = 32(cosπ
2 +i sen
π
2) = 32i
16. Encuentra(1−i)100 Sea
z= 1−i=√2e−π4i=√2(cosπ
4 −i sen
π
4) Por tanto,
z100 = (1−i)100= (√2)100 e−1004πi= 250 e−25πi= 250e−(12×2+1)πi=
= 250 e−πi= 250 eπi=−250
17. Expresa en la formaa+ibel número complejo
w=
µ
7 +i 3 + 4i
¶43
En primer lugar, 7 +i 3 + 4i =
(7 +i)(3−4i)
25 =
25−25i
25 = 1−i Por otro lado,
1−i=√2e−π4i
Entonces,
w =
µ
7 +i 3 + 4i
¶43
= (1−i)43= 2432 e−434πi= 2432 e−(10π+34π)i= 2432 e−34πi=
= 2432 (cos3π
4 −i sen 3π
4) = 2
43 2 (−√1
2− 1
√
2i) =−2 21
18. Encuentra la parte real y la parte imaginaria de (1−i)10 (√3i−1)4
Calculemos primero(1−i)10. Si ponemosz= 1−ise tiene que|z|=√2 yarg(z) =−π4.Por tanto,
z= 1−i=√2 (cosπ
4 −i sen
π
4) =
√
2e−π4i
De aquí se sigue que
z10 = (1−i)10= 25e−10π
4 i= 25e−52πi= 25e−(2π+π2)i =
= 25 e−π2i= 25(cosπ
2 −i sen
π
2) =−2 5 i
Por otra parte, sea w = √3 i−1 = −1 +√3i. Puesto que |w| = 2y arg(w) =2π
3 se sigue quew= 2e
2π
3i.Por tanto,
w4 = (−1 +√3i)4= 24 e83πi= 24e(2π+ 2π
3 i)= 24e 2π
3i =
= 24(cos2π
3 +i sen 2π
3 ) = 2 4 (
−1
2+i
√
3 2 ) En consecuencia,
(1−i)10 (√3i−1)4 =
−25i 24(−1
2+i
√
3 2 )
= −2i
(−12+i √23) =
−2i(−12−i √23)
1 =
= −2(−1 2i+
√
3 2 ) =−
√
3 +i
19. Expresa √3+i
1−√3i en forma polar.
√
3 +i 1−√3i =
2eiπ
6
2e−iπ
3
=ei(π6+
π
3)=ei
π
20. Sean m y n dos números enteros tales que pueden ser expresados como suma de dos cuadrados perfectos. Prueba que mn verifica también esta propiedad. Por ejemplo,17 = 42+ 12 , 13 = 22+ 32 , y 17·13 = 221 = 142+ 52.
Si m = a2+b2 y n = c2 +d2 , entonces consideramos el producto z= (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)iy calculamos|z|2.Por un lado, se tiene que
|z|2=|a+bi|2|c+di|2= (a2+b2)(c2+d2) =mn Por otra parte,
|z|2= (ac−bd)2+ (ad+bc)2
Por tanto,mn= (ac−bd)2+ (ad+bc)2es también suma de dos cuadrados perfectos.
21. Encuentra todos los números complejos z tales que z6 = −1. De aquí expresa z6+ 1 como producto de factores cuadráticos con coeficientes reales.
z6=−1 =eπi= cosπ+i senπ
Por tanto, las soluciones vienen dadas por zk = cos(π+ 2kπ
6 ) +i sen(
π+ 2kπ
6 )parak= 0,1,2,3,4,5 es decir,
z0= cosπ6 +i senπ6 = √23 +12 i z1= cosπ2 +i senπ2 = i
z2= cos5π6 +i sen5π6 =−√23+12 i
z3= cos7π6 +i sen7π6 =z0= cos−65π+i sen−65π =−√23−12 i z4= cos9π6 +i sen9π6 = cos−2π +i sen−2π =−i
z5= cos11π6 +i sen11π6 = cos−6π +i sen−6π = √23−12 i Por tanto,
z6+ 1 = (z−z0)(z−z1)(z−z2)(z−z3)(z−z4)(z−z5) = = (z−
√
3 2 −
1 2 i)(z−
√
3 2 +
1
2 i)(z−i)(z+i)(z+
√
3 2 −
1 2 i)(z+
√
3 2 +
22. Encuentra todos los z∈Ctales queeiz = 3i
Sea z =a+bi. Entoncesiz =ai−b.De aquí se tiene queeiz =e−beai. Por tanto,eiz tendrá móduloe−b y argumentoa.Por otra parte,3itiene módulo 3y argumento π
2 + 2kπ, dondek∈Z.Por tanto, habrá infinitas soluciones pero debemos elegiray btal quee−b = 3ya= π
2 + 2kπ.Por tanto,
z= (π
2+ 2kπ)−i ln 3 ,k∈Z 23. Seaz=−√3 +i y w=−1 +i√3. Verifica que
log(zw)6= logz+ logw si usamos la determinación principal del logaritmo.
Si z =−√3 +i se tiene que |z| = 2 y argz = π−π6 = 5π6. Del mismo modo, si w = −1 +i√3 se sigue que |w| = 2 y argw = π− π3 = 2π3. Por otra parte, como zw = −4i resulta que |zw| = 4 y arg(zw) = −π2. Calculando los logaritmos se obtiene que
logz= log 2 +5π6i logw= log 2 +2π3 i log(zw) = log 4−π2i Por tanto, se verifica que
logz+ logw= 2 log 2 +3π
2 i6= log 4−
π
2i= log(zw) 24. Calcular
a) log(3 + 3i) b)ilogi
a) Sea z = 3 + 3i. Puesto que r =|z| = 3√2 y Argz = π
4 se sigue que z= 3 + 3i= 3√2eπ4i. Por tanto,
log(3 + 3i) = log 3√2 +i(π
4+ 2kπ), k∈Z b)z=ilogi=elogi·logi=e(logi)2.Puesto quei= 1eπ
2i= cosπ
2+isen π 2 se sigue quelogi=i(π2+ 2kπ)parak∈Z. Por tanto,
ilogi=e[i(π2+2kπ)] 2
=e−(π2+2kπ) 2
25. Seaz=i y w= 1 +i.Calculalogzw Se tiene que
logzw= logw logz Teniendo en cuenta que
log(1 +i) =nlog√2 +π
4i+ 2kπi, k∈Z
o
logi=nπ
2i+ 2kπi,k∈Z
o
se sigue que
logzw = logw logz =
log√2 +i(π4 + 2kπ) i(π2 + 2k0π) = =
π
4 + 2kπ−ilog
√
2 π
2 + 2k0π
, dondek, k0∈Z.
26. Calcula las raices sextas de la unidad, esto es, √6
1.
Expresando la unidad real1en forma módulo-argumental resultar= 1y
θ= 0,esto esz= 1 = 1(cos 0 +isen0). Por tanto, las raices sextas de la unidad son
zk =
6 √
1 = √6
1
·
cos(0 +2kπ
6 ) +isen(0 + 2kπ
6 )
¸
k = 0,1,2,3,4,5 k= 0→z0= 1
k= 1→z1= cosπ3 +isenπ3 = 12+i√23 k= 2→z2= cos2π3 +isen2π3 =−12+i√23 k= 3→z3= cosπ+isenπ=−1
k= 4→z4= cos4π3 +isen4π3 =−12−i
√
3 2 k= 5→z5= cos5π3 +isen5π3 =12 −i
√
3 2
Los afijos de los números complejos obtenidos son los vértices de un hexá-gono regular de centro el origen y radio1.
27. Calcula los valores de √3 −2 + 2i
Sea z =−2 + 2i. Entonces r =|z|=√8 = 2√2y Argz=π−π 4 =
3π 4. Por tanto, los valores que nos piden vendrán dados por
zk = √3
−2 + 2i= 3
q
2√2
·
cos(3π+2kπ) +isen(3π+2kπ)
k= 0→z0=p3 2√2(cosπ4 +isenπ4) =p3 2√2(√1
2+i 1
√
2) k= 1→z1=p3 2√2(cos11π12 +isen11π12 ) =p3 2√2(−1+√3
2√2 +i
−1+√3 2√2 ) k= 2→z2=p3 2√2(cos19π12 +isen19π12 ) =p3 2√2(−1+√3
2√2 −i 1+√3
2√2 )
Los afijos de los números complejos obtenidos son los vértices de un trián-gulo equilátero de centro el origen y radio p3 2√2.
28. Determinar las cuatro raices de orden 4de−8 + 8√3i
Sea z = −8 + 8√3i. Entonces se tiene que r = |z| = √256 = 16 y Argz=π−π3 = 2π3 .Por tanto, las raices√4z vendrán dados por
zk =
4 q
−8 + 8√3i=√4
16
·
cos(2π 12 +
2kπ
4 ) +isen( 2π
12+ 2kπ
4 )
¸
k = 0,1,2,3
k= 0→z0= 2(cosπ6+isenπ6) = 2(
√
3
2 +i12) =
√
3 +i k= 1→z1= 2(cos2π3 +isen
2π
3) = 2(− 1 2+i
√
3
2 ) =−1 +i
√
3 k= 2→z2= 2(cos7π6 +isen
7π
6) = 2(−
√
3 2 −i
1 2) =−
√
3−i k= 3→z3= 2(cos10π6 +isen
10π 6 ) = 2(
1 2−i
√
3
2 ) = 1−i
√
3
Las raices son los vértices de un cuadrado inscrito en una circunferencia de centro el origen y radio2.
29. Determinar todas las soluciones de las dos ecuaciones siguientes: a)z4−16 = 0 b)z4+ 64 = 0
a) z4 −16 = 0 =⇒ z4 = 16 =⇒ z = √4
16. Teniendo en cuenta que 16 = 16(cos 0 +isen0) = 16e0ise sigue que las raices dez4−16 = 0serán
zk = √416 =√416
·
cos(2kπ
4 ) +isen( 2kπ
4 )
¸
k = 0,1,2,3 k= 0→z0= 2
k= 1→z1= 2(cosπ2+isenπ2) = 2i k= 2→z2= 2(cosπ+isenπ) =−2 k= 3→z3= 2(cos3π2 +isen3π2) =−2i b) z4+ 64 = 0 =⇒ z4 = −64 =⇒ z = √4
−64. Teniendo en cuenta que
−64 = 64(cosπ+isenπ) = 64eπi se sigue que las raices de z4+ 64 = 0 vendrán dadas por
zk = √4
−64 =√464
·
cos(π 4 +
2kπ
4 ) +isen(
π
4+ 2kπ
4 )
¸
k= 0→z0= 2
√
2(cosπ4 +isenπ4) = 2√2(√1
2+i 1
√
2) = 2 + 2i k= 1→z1= 2√2(cos3π4 +isen3π4) = 2√2(√1
2−i 1
√
2) = 2−2i k= 2→z2= 2√2(cos5π4 +isen5π4) = 2√2(−√1
2−i 1
√
2) =−2−2i k= 3→z3= 2
√
2(cos7π 4 +isen
7π 4) = 2
√
2(−√1 2+i
1
√
2) =−2 + 2i
30. Resolver la ecuación(1−i)z3= 1 +i Despejando se obtiene que
z3=1 +i 1−i =
(1 +i)2
2 =
1−1 + 2i
2 =i
Por tanto, nos piden las tres raices cúbicas de i=eπ2i = cosπ
2 +isen π 2. Estas raices son
zk = cos(
π
6 + 2kπ
3 ) +isen(
π
6+ 2kπ
3 ) k = 0,1,2
k= 0→z0= cosπ6 +isenπ6 = √23+i12 k= 1→z1= cos5π6 +isen5π6 =−√23+i12 k= 2→z2= cos9π6 +isen9π6 =−i 31. Resolver las siguientes ecuaciones
a)x2+ix+ 1 = 0 b)x4+x2+ 1 = 0 c)x3−x2−x−2 = 0 a) x2+ix+ 1 = 0 =⇒ x= 1
2(−i±
√
−1−4) =⇒ x1 = 12(
√
5−1)i y x2=−12(
√
5 + 1)i
b) x4+x2+ 1 = 0. Esta es una ecuación bicuadrada. Poniendo y =x2 resultay2+y+ 1 = 0.Las soluciones de esta ecuación son
y=1 2(−1±
√
3i)
Por consiguiente, se sigue que x2=y= 1
2(−1±
√
3i)
Puesto quey1 =−12+
√
3 2 i= 1e
2π
3i = cos2π
3 +isen 2π
3 se deduce que las dos raices cuadradas dey1 son
xk = √y1= 1
·
cos(π 3+
2kπ
2 ) +isen(
π
3 + 2kπ
2 )
¸
k = 0,1
k= 0→x0= cosπ3 +isenπ3 =12+i√23 k= 1→x1= cos4π3 +isen4π3 =−12−i√23
Puesto quey2 =−12−√23i= 1e43πi = cos4π
3 +isen 4π
3 se deduce que las dos raices cuadradas dey2 son
xk = √y2= 1
·
cos(2π 3 +
2kπ
2 ) +isen( 2π
3 + 2kπ
2 )
¸
k = 0,1
k= 0→x0= cos2π3 +isen2π3 =−12+i
√
3 2 k= 1→x1= cos5π3 +isen5π3 =12−i
√
3 2
c)x3−x2−x−2 = 0.
Puesto que la ecuación c) tiene grado impar se sigue que, al menos una de las tres raices, es real.Comprobando los divisores del término indepen-diente se puede probar fácilmente que2es raíz de la ecuaciónc).De aquí se sigue que
x3−x2−x−2 = (x−2)(x2+x+ 1) = 0 Resolviendox2+x+ 1 = 0se obtiene que
x= −1±
√
1−4
2 =
½ 1 2(−1 +i
√
3) 1
2(−1−i
√
3) En resumen, las tres raices dec)son2, 1
2(−1 +i
√
3) y 1 2(−1−i
√
Ejercicios
1. Hallar dos números complejosz y wtales que su suma sea i y2i es una raíz cuadrada de su cociente.
Solución: se tiene que z+w = i y si 2i es una raíz cuadrada de su cociente wz se sigue que
(2i)2= z
w =⇒ −4 = z
w =⇒ −4w=z
Sustituyendo esta igualdad enz+w=ise obtiene que
−4w+w=i=⇒ −3w=i=⇒w=−1
3i
Por último,
z=i−w=i+1 3i=
4 3i
2. Se sabe queeπ4i es una raíz cúbica de un cierto número complejo. Hallar
dicho número y sus dos raices cúbicas restantes.
Solución: Si denotamos por z el número complejo buscado se sigue del enunciado que
¡
eπ4i¢3 = e34πi =z
⇓
e34πi = cos3π
4 +i sin 3π
4 =−
1
√
2+ 1
√
2 i=z
Una vez obtenido z debemos calcular sus tres raices cúbicas, una de las cuales será eπ4i. Puesto que |z| = 1 y arg(z) = 3π
4 se tiene que las tres raices cúbicas dez son las siguientes:
3
√
z=zk = cos µ
π
4+
2kπ
3
¶
+i sin
µ π
4+
2kπ
3
¶
dondek= 0,1,2.
k= 0−→z0= cos
¡π
4
¢
+i sin¡π
4
¢
=eπ4i
k= 1−→z1= cos
¡11π
12
¢
+i sin¡1112π¢=e1112πi
k= 2−→z2= cos¡1912π¢+i sin¡1912π¢=e
19π
3. Se sabe que la suma de dos números complejosz ywes3y que π2ies un logaritmo neperiano de z
w.Hallar dichos números.
Solución: por un lado, se tiene quez+w= 3y, por otro lado, un valor delln¡z
w ¢
= π
2i. Esto último implica que
z w =e
π
2i = cos¡π
2
¢
+i sin¡π2¢=i ⇓
z=iw
Sustituyendo enz+w= 3se obtiene que
iw+w=w(1 +i) = 3
⇓
w= 1+3i = 3(12−i)= 32(1−i)
Por último, como z=iwse obtiene que
z=iw= 3
4. Resolver enClas siguientes ecuaciones:
a)iz= 1 b)ei−z= 1−i
Solución: a) iz = 1. Tomando logaritmos en ambos miembros de la
igualdad se obtiene que
z lni= ln 1
⇓
z i(π2 + 2kπ) = 2k0πi ⇓
z= π2k0π
2+2kπ , k, k
0∈Z
b)ei−z= 1−i. De nuevo, tomando logaritmos resulta que
ei−z= 1−i ⇓
(i−z) lne= ln(1−i)
⇓
(i−z)(1 + 2kπi) = ln√2 +i(−π4 + 2k0π) ⇓
z(1 + 2kπi) =i(1 + 2kπi)−ln√2−i(−π4 + 2k0π) = =−ln√2−2kπ+i(1 +π4 −2k0π)
⇓ z= −ln
√
2−2kπ+i(1+π
4−2k0π)
(1+2kπi)
5. Usando la determinación principal del logaritmo, resuelve la ecuación
iz= 1−i
Solución: tomando logaritmos neperianos se obtiene que
iz= 1−i ⇓ zlni= ln(1−i)
⇓ z= ln(1ln−ii) =ln
√
2+i(−π
4)
iπ
2 =
= (ln
√
2+i(−π
4))(−i
π
2)
π2 4
=
6. Resuelve enCla siguiente ecuación:
z2−2z−2 + 4i= 0
Solución:
z=2±
p
4−4(−2 + 4i)
2 =
2±√12−16i
2 = 1±
√
3−4i
Por tanto, sólo nos falta calcular las dos raices cuadradas de3−4i. Para ello, nótese que
3−4i = 5(cosθ+isinθ)con
sinθ = −4
5
cosθ = 3
5
Por otro lado, se tiene que
√
3−4i=±√5
µ
cosθ 2+isin
θ
2
¶
Ahora usando igualdades trigonométricas se obtiene que
sinθ
2 =
r
1−cosθ
2 =
1
√
5
cosθ
2 = −
2
√
5
Por tanto, las dos raices cuadradas buscadas son
√
3−4i=±(−2 +i)
Sustituyendo estos valores resulta que las dos soluciones buscadas son
z1 = −1 +i
7. Resuelve enCla siguiente ecuación:
z4+ (4−2i)z2−8i= 0
Solución: si ponemosz2=yresulta la ecuación
y2+ (4−2i)y−8i= 0
cuyas soluciones son
y1,2=
2i−4±p(4−2i)2+ 32i
2 =−(2−i)±
√
3 + 4i
Procediendo como en el ejercicio anterior para calcular las dos raices cuadradas de3 + 4iresulta que
3 + 4i = 5(cosϕ+isinϕ)con
sinϕ = 4
5
cosϕ = 3
5
Por otra parte,
√
3 + 4i = ±√5³cosϕ 2 +isin
ϕ
2
´
con
sinϕ
2 =
r
1−cosϕ
2 =
1
√
5
cosϕ
2 =
2
√
5
Por tanto, las dos raices cuadradas buscadas son
√
3 + 4i=±(2 +i)
Sustituyendo estos dos valores se obtiene que las dos raicesy1,2son
y1 = 2i
y2 = −4
Por último, las raices deseadas son
z1,2 = ±
√
2i=±(1 +i)
