2015 T02 Campo gravitatorio

Concepto de campo:

Se define un campo como una zona del espacio en la que se deja sentir una magnitud; a cada punto del espacio se le puede dar un valor de esa magnitud en un instante determinado.

Los campos pueden ser:

Escalares: Si la magnitud que se deja sentir es escalar (p.ej: la temperatura)

Vectoriales: Si la magnitud que se deja sentir es vectorial. Los campos gravitatorio, eléctrico y magnético son vectoriales (la magnitud que se deja sentir es una fuerza).

Centrales: El vector de la magnitud está dirigido siempre hacia el mismo punto.

Conservativos: Si el trabajo para trasladar un cuerpo de un punto a otro depende solo de los puntos inicial y final y no del camino recorrido.

Uniformes: Si la magnitud que define el campo permanece constante. Estacionarios: Si no dependen del tiempo.

Campo escalar:

Zona del espacio en la que se puede asociar un valor de una magnitud escalar a cada punto. Las líneas (superficies) que unen los puntos en los que el escalar toma los mismos valores se llama línea (superficie) equiescalar o equipotencial. Las isotermas y las isobaras son un ejemplo. Las líneas equipotenciales no se pueden cortar.

A la dirección en la que es máxima la variación del campo se le llama gradiente y va en sentido creciente.

Campo vectorial:

Zona del espacio en la que se puede asociar un valor de una magnitud vectorial a cada punto, generalmente una fuerza.

Ley de Newton de la gravitación

Deducida por Newton (~1680) a partir de las leyes de Kepler dice que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al valor de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

1 2 2

m m F G

d 

La constante G tiene un valor de 6,67·10-11_Nm2_kg-2

¿Por qué depende del cuadrado de la distancia?

Si un cuerpo gira alrededor del otro, la fuerza de atracción entre ellos es la fuerza centrípeta:

2 _{2 3}

2 2

A CP 2 2 2

2 d 4 m

v m d 4 m

F F m k

d d T d T d

 

  

 

   _{ }  _{ }

   

luego la fuerza de atracción depende del cuadrado de la distancia.

El valor de la constante fue determinado por Cavendish (~1780) y más tarde por von Jolly (~1880). Características de las fuerzas de atracción gravitatoria:

 tienen como dirección la recta que une los centros de los cuerpos.

 aparecen por pares F₁₂ F₂₁ (acción y reacción)

 para masas discretas la fuerza de atracción es despreciable. 50

40 30

d m1

m₂

Principio de superposición. Cuando una masa es atraída por varias masas la fuerza resultante es la suma de todas las fuerzas individuales que la atraen.

1 4 2 4 3 4

14 2 24 2 34 2

14 24 34

TOT 14 24 34

m ·m m ·m m ·m

F G F G F G

r r r

F F F F

  

  

Intensidad de campo gravitatorio

Se representa por g y se define, en un punto del espacio, como la fuerza que actúa por unidad de masa:

2

F M

g G

m r

 

Se trata de un vector que va dirigido hacia el centro del cuerpo que atrae y se mide en N·kg-1_{. El campo gravitatorio se representa por líneas de fuerza (cada}

una de las trayectorias seguidas por la unidad de masa cuando se abandona en un punto).

Si el campo es uniforme las líneas son paralelas.

Las líneas de fuerza no se cortan y el campo es más fuerte si las líneas están más juntas.

Variación de la gravedad con la altura.

Tenemos que tener en cuenta que estemos donde estemos quien nos va a atraer es la esfera que estamos pisando en cada momento. De acuerdo con esto:

En el exterior de la Tierra:

El cuerpo es atraído por la esfera en la que está apoyado. Su masa es la terrestre, pero su radio es RT+h

Luego g será:





ESF T

2 2

ESF _T

M M

g G G

R _{R h}

 



La gravedad disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre y se hace cero en el infinito.

En el interior de la Tierra:

El cuerpo es atraído por la esfera en la que está apoyado. Si suponemos que la densidad de la Tierra  es uniforme:

3 ESF ESF

ESF ESF

2 2 2

ESF ESF ESF

4 R

M V ₃ 4

g G G G G R cte·R

3

R R R

  

      

La gravedad es una función lineal del radio de la esfera y varía desde cero en el centro de la Tierra hasta 9,8 ms-2 _{en la superficie.}

Representando el valor de g frente a la distancia, tenemos que es cero en el centro de la Tierra y crece linealmente hasta llegar a la superficie, donde alcanza el valor máximo. A partir de ahí la gravedad disminuye con la altura y se hace cero en el infinito.

F14

F₂₄ F₃₄

m₁ m2

m₃ m₄

h

RT

R_T R

d RT

Variación de la gravedad con la latitud.

Si suponemos que la Tierra es una esfera perfecta, cada punto de la superficie

describe una trayectoria circular de radio R cosT  y se mueve con una velocidad

lineal v  R cos_T . La fuerza centrífuga hace que la fuerza neta de atracción de la Tierra sea menor. Esa disminución es máxima en el ecuador y mínima en los polos. Por lo que la gravedad en el ecuador (9,780 ms-2_{) es menor que en los}

polos (9,832 ms-2_).

Latitud º 0 30 60 90

g m·s-2 _{9,780 9,793 9,819 9,832}

Energía potencial gravitatoria

El trabajo necesario para desplazar una masa m desde un punto A hasta un punto B es: W F·x en donde F es la fuerza y x la distancia entre los dos puntos. Si la fuerza no es constante y varía con la distancia, como es el caso de la fuerza en un campo gravitatorio, tendremos que integrar desde la posición inicial hasta la final:

B

B B B

2 2

A B A

A A A

Mm dx 1 1 1

W F dx G dx G Mm GMm G Mm

x x x

x x

 

      _  _

 







Si quisiéramos trasladar esa masa desde la superficie de la Tierra hasta el infinito, el trabajo necesario sería:

T

T T T

T T

T T

2 2

R T T

R R R

M m dx 1 1 1 M m

W F·dx G dx G M m G M m G M m G (1)

x R R

x x



   _{ }

        



 







Si el cuerpo está a una altura h sobre la superficie terrestre, el trabajo para llevarlo hasta el infinito es:

T T

M m W G

R h

 

La energía potencial se define como el trabajo necesario para trasladar una masa desde el infinito hasta la posición que ocupa en un instante dado. Así la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado en la superficie terrestre será el trabajo de la expresión (1) cambiado de signo puesto que el trabajo se realiza ahora en sentido contrario, a favor de las fuerzas del campo:

T P

T

M m

E G

R  

La energía potencial de un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre la superficie terrestre es:





P

T

M m

E G

R h

  

Esta energía siempre es negativa. Suponemos que el cero de energía potencial en el infinito y que por debajo es negativa.



A B

M _m

EP

Potencial gravitatorio

Se define como el trabajo necesario para trasladar la unidad de masa desde el infinito hasta la posición que ocupa. Como la energía potencial traslada una masa m, para trasladar una masa unidad:





P T

T

E M J

V G V se mide en

m R h kg

  



Al lugar geométrico de los puntos del espacio que tienen el mismo potencial se le llama superficie equipotencial que tiene las siguientes características:

Por un punto solo puede pasar una superficie equipotencial.

En el caso del campo gravitatorio son esferas con centro en el centro del planeta. El vector intensidad de campo es perpendicular a la superficie equipotencial. El trabajo para mover un cuerpo de un punto a otro de la misma superficie es 0. Dos líneas (superficies si hablamos en 3D) equipotenciales no se cortan.

Velocidad de escape

Se define como la velocidad mínima que hay que comunicar a un cuerpo para que no vuelva a caer sobre la superficie del planeta. Para el caso de la Tierra, sabemos que el trabajo necesario para enviar un cuerpo de masa m hasta el infinito es:

T

T T

T T

T

2 2

R T

R R

M m dx 1 M m

W G ·dx GMm GM m G

x R

x x



 



_

_

Ese trabajo hay que comunicárselo al cuerpo en forma de energía cinética:

2 T

T

M m 1

W G mv

R 2

  , despejando T

T

2G M m

v 11190

R s

 

segunda velocidad cósmica

Podemos hacer el mismo razonamiento por energías:

La energía cuando el cuerpo sale de la Tierra es 2 T

T C P

T

M m 1

E E E mv G

2 R

    ,

cuando llega al infinito no tiene energía potencial (origen de energía potencial), ni cinética (podemos suponer que se para) por lo que la energía total será cero. Aplicando el principio de conservación, la energía total también será cero en la superficie terrestre y al igualar obtenemos:

2 T 2 T T

T C P

T T T

M m M m GM

1 1

E E E mv G 0 mv G v 2

2 R 2 R R

        

Leyes de Kepler

Utilizando los datos sobre movimiento relativo de los planetas, recopilados por Tycho Brahe durante años, enuncia las tres leyes que explican el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

Kepler 1: Ley de las órbitas

Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol que ocupa uno de los focos. Las órbitas son planas y su excentricidad es próxima a la de una circunferencia.

La excentricidad de una elipse se define como el cociente:

2 2

c a b

e

a a



 

Varía entre 0 para la circunferencia, (a=b, c=0) y 1 para la recta, (b=0) La excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es 0,0168. a

b

F F

Kepler 2: Ley de las áreas

El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La velocidad del planeta es mayor cuando está cerca del Sol y menor cuando está lejos. El planeta tarda el mismo tiempo en hacer el recorrido 12 que el recorrido 34. Los espacios recorridos son

diferentes pero las áreas S1 y S2 son iguales.

El área del triángulo es dS ₂1r dr

Si definimos la velocidad areolar como el área barrida por el radio

vector en la unidad de tiempo:v_A dS 1r dr 1r v

dt 2 dt 2

    

y recordando que el momento angular es L r mv  y que se mantiene constante podemos decir que la velocidad areolar se

mantiene constante. v_A 1 L cte

2m

 

En una órbita elíptica se llama afelio al punto de la órbita más alejado del Sol y perihelio el más próximo. (si la órbita es alrededor de la Tierra se llama apogeo al punto más alejado y perigeo al más próximo). La velocidad lineal que lleva el planeta es mayor cuando está más cerca del Sol. Como el momento angular se mantiene constante:

AF PER AF AF PER PER AF AF PER PER

L L  r mv r mv  r v r v y como r_AF r_PER  v_AF v_PER

Kepler 3: Ley de los periodos

Para los cuerpos que dan vueltas alrededor de la misma estrella, el resultado de dividir el cuadrado del periodo entre el cubo del radio de la órbita es una constante.

La fuerza que actúa sobre el planeta es la fuerza centrípeta

2

A CP 2

M m v

F F G m

R R

  

2 _{2 2 2}

2 2 2

2 3

M 2 4 T 4

G v ( R) R R cte

R T T R G M

  

 

   _{ }    

 

Para dos cuerpos que giran alrededor de la misma estrella

2 2

1 2

3 3

1 2

T T

cte

R R 

Satélites

Un satélite es cualquier cuerpo que da vueltas alrededor de un planeta. Los satélites pueden ser naturales o artificiales. Las órbitas de los satélites pueden ser circulares o elípticas y la orientación puede ser ecuatorial, polar o inclinada.

Según la altura a la que están se clasifican en:

 Satélites de órbita baja (LEO = Low Earth Orbit). Giran a una altura de hasta 2500 km. La órbita es elíptica y polar. Debido al bajo retardo de la señal (15 ms) se usan para telefonía.

 Satélites de órbita media (MEO = Medium Earth Orbit). Giran a alturas comprendidas entre 5000 y 20000 km. La órbita es elíptica e inclinada. En estas órbitas se mueven los satélites GPS.

 Satélites geoestacionarios (GEO). Giran con la Tierra, siempre están en la misma vertical y su altura es de 36000 km. Se utilizan para emisiones de televisión y transmisión de datos a larga distancia.

3

S1 S2

1

2

4

r r+dr

dr

FA

 Satélites de órbita muy elíptica (HEO = Highly Elliptical Orbit). Estos satélites tienen una órbita muy excéntrica e inclinada. El apogeo está por encima de 40000 km. Se utilizan para cartografiar la superficie de la Tierra.

Para cualquier satélite la fuerza de atracción es la fuerza centrípeta:









2 T

A CP 2

T T

M m v

F F G m

R h R h

  

 

y despejando v, tenemos la velocidad orbital del satélite:





GM v

R h 



A esta velocidad se le suele llamar primera velocidad cósmica, cuando h=0.

El tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta alrededor del planeta (periodo) es:













2

T T

T T

T

2 R h 4 R h

L T

v GM GM

R h

   

  



Un satélite geoestacionario es aquel que tiene un periodo de 24 h, gira a la misma velocidad que la Tierra y está siempre en la misma vertical. Los satélites geoestacionarios se encuentran en órbita ecuatorial a una altura aproximada de 36000 km.

2 3 2

O ₃ T

O 2

T

4 R G M T

T R

GM 4



  



,

O

R 42265km  h 35895km

Energía de un satélite

La energía cinética de un satélite en su órbita es:









2 T T

C

T T

GM GM m

1 1 1

E mv m

2 2 R h 2 R h

  

 

La energía potencial es:





P

T

M m

E G

R h

  

La energía total de un satélite en su órbita será la suma de las dos:



 







T C P

T T T

GM m GM m GM m

1 1

E E E

2 R h R h 2 R h

     

  

El trabajo necesario para poner en órbita un satélite es la diferencia de energías entre la posición final y la inicial. Al principio el satélite está en reposo en la superficie terrestre:

T

0 P0

T T T

F 0 T

T O T T O

F PF CF

o

M m

E E G

R 1 M m M m 1 1

W E E G G G M m

M m 2 R R R 2R

1

E E E G

2 R



   _

 

 _{      }

 



 



   



y el trabajo para pasarlo de una órbita a otra es la diferencia de energías:

T T T

F 0

F 0 0 F

M m M m G M m

1 1 1 1

W E E E G G

2 R 2 R 2 R R

   

       _{ } _  _

   

FA